精品解析：福建省德化第二中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

绝密★启用前 德化二中2024年春高二年段数学阶段练习 一、单选题：本题共25小题，每小题3分，共75分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的定义计算. 【详解】，. 故选：A. 2. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果. 【详解】且能够推出，反之不能推出且， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选:. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对全程量词的否定用存在量词，直接写出其否定. 【详解】因为对全程量词的否定用存在量词， 所以命题“”的否定是“”. 故选：D 4. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特例法判断AB；利用指数函数的单调性判断C；利用幂函数的单调性判断D. 【详解】时，不成立，A不正确； 时，不成立，B不正确； 因为在上递增，所以，若 则，C不正确； 因为在上递增，所以，若 则，D正确. 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故选：D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合临界值0、1，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为在上单调递减，且恒成立， 所以， 因为在上单调递减，所以， 综上：. 故选：A. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得，从而求出的值. 【详解】因为，所以，即，所以. 因为，所以，所以. 因为， 所以. 故选：B. 8. 将函数的图像向右平移个单位长度，可得函数的图像，则的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把的解析式化成的形式，然后根据平移求出解析式，从而根据正弦函数的对称中心求出的对称中心，进而可得答案. 【详解】， 因为的图像向右平移个单位长度得函数的图像， 所以， 因为的对称中心为， 所以当时，， 即函数的对称中心为， 当时，对称中心为. 故选：A. 9. 已知，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解； 【详解】因为，设向量与的夹角为 所以， 又因为，所以 故选：B. 10. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】，，则， 即，解得. 故选：C. 11. 棱长为2的正四面体的表面积是 A. B. 4 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意求出一个面的面积，然后乘以4即可得到正四面体的表面积． 【详解】每个面的面积为，∴正四面体的表面积为. 【点睛】本题考查正四面体的表面积，正四面体四个面均为正三角形． 12. 某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　） A. 80 B. 160 C. 200 D. 280 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单随机抽样概率的求解方法，列出方程计算即可. 【详解】由题意可知，，解得. 故选：C 13. 随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费（元） 6 7 8 人数 10 20 20 这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是 A. 7.2元，0.56元2 B. 7.2元，元 C. 7元，0.6元2 D. 7元，元 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可. 【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是， 所以方差是,故选A． 【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式：；样本方差公式：. 14. 设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析： ，故选B 考点：概率分布 15. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式即可得到答案. 【详解】 故选：C. 16. 已知，则x+y的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所有的最小值为8. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 17. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】，即， 则，解得. 故选：D. 18. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m//，m//n，则n// B. 若m//，n//，则m//n C. 若m//，n，则m//n D. 若m//，m，＝n，则m//n 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A，B，C；利用线面平行的性质判断D作答. 【详解】如图，长方体中，平面视为平面， 对于A，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，m//n，而，A不正确； 对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//，n//，而m与n相交，B不正确； 对于C，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，n，显然m与n是异面直线，C不正确； 对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确. 故选：D 19. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ③④ D. ①②⑤⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 20. 若，则有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得结论. 【详解】因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值. 故选：B. 21. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由是定义在上的奇函数，可得，结合可得函数的周期为4，利用周期性求解即可. 【详解】由已知是定义在上的奇函数，所以， 由于可知，所以， 进而得到周期为4，. 故选：B. 22. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】， 故选：B 23. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的定义判断即可. 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 对于A，原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． 对于B，原始平均数，后来平均数， 平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，B不正确. 对于C，，， 结合B选项易知，方差会改变，C不正确． 对于D，原极差，新极差，可能相等可能变小，D不正确． 24. 某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先分析题目要求加工出来的零件的次品率，可以求其反面加工出来零件的正品率，然后用1减去正品率即可的答案． 【详解】四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品. 设事件“加工出来的零件是次品”， 则， 故加工出来的零件的次品率约为. 故选：D 【点睛】此题主要考查相互独立事件概率的乘法公式，其中应用到求对立面的思想，这种思想在解题的时候非常重要，需要理解并学会应用． 25. 如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】若函数对于任意的实数，都有成立， 则在上单调递增， 则有：，解得：， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 26. 已知为虚数单位，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算计算即可. 【详解】． 故答案为：． 27. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：，由此能求出结果． 【详解】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”， 则，，， 他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为： ． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 28. 在△中，角的对边分别是， 若，，，则△的面积是 ▲ ． 【答案】 【解析】 【分析】由在中,由正弦定理求得,结合余弦定理,我们易求出b与c的关系,进而得到B与C的关系,然后根据三角形内角和为,即可求出A角的大小,再由的面积为 运算求得结果. 【详解】解:在中,如果,由正弦定理得. 又,由余弦定理,可得:, 解得,故是等腰三角形, 故的面积为, 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理,求得 是解题的关键,属于中档题. 29. 已知函数，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，求解方程即可. 【详解】当时,令，得.不满足这个条件，舍去. 当时,令,可得.由于，所以舍去，保留. 当时,令，可得.不满足的条件，所以这个解不符合要求，舍去. 综上所述，满足的的值为. 故答案为：. 30. 给出下列五个命题： ①已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或． ②若，则的取值范围是； ③若对于任意都成立，则图象关于直线对称； ④对于函数，其定义域内任意都满足 其中所有正确命题的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由奇函数的定义，解方程可判断①；由对数不等式的解法可判断②；根据函数对称性的判断即可判断③；由对数函数的运算性质可判断④． 【详解】①因为当时， ，且， 所以由函数是定义在R上的奇函数得，故①错误； ②若，可得，故②正确； ③若对于任意都成立，则图象关于直线对称，故③正确； ④对于函数， 当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题：本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 31. 已tanθ＝3，求值： （1）； （2）sin2θ+3sinθcosθ﹣2cos2θ． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)上下同时除以cosθ再代入tanθ＝3求解即可. (2)将原式化简为再上下同时除以代入tanθ＝3求解即可. 【详解】（1）∵tanθ＝3, , （2）sin2θ+3sinθcosθ﹣2cos2θ, , ． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及其运用等.属于基础题型. 32. 某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人现从这5名工人中随机抽取2名． Ⅰ求被抽取的2名工人都是初级工的概率； Ⅱ求被抽取的2名工人中没有中级工的概率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】Ⅰ设初级工为，，中级工为，，高级工为c，从中随机取2人，利用列举法能求出被抽取的2名工人都是初级工的概率;Ⅱ利用列举法求出没有抽取中级工的情况有3种，由此能求出被抽取的2名工人中没有中级工的概率． 【详解】Ⅰ设初级工为，，中级工为，，高级工为c， 从中随机取2人， 基本事件有10个，分别为： ，，，，，，，，，． 抽到2名工人都是初级工的情况为：，共1种， 被抽取的2名工人都是初级工的概率． Ⅱ没有抽取中级工的情况有3种，分别为： ，，， 被抽取的2名工人中没有中级工的概率． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 33. 已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）在四棱锥中，底面是菱形，取的中点，连接. 由分别为的中点，得， 又是的中点，则，于是， 因此四边形为平行四边形，即有，而平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，借助平行四边形的性质，利用线面平行的判定推理得解. （2）利用三棱锥的体积公式，结合割补法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由底面，且，为中点，得点到底面的距离为1， 菱形中，，则， 因此， 所以，即三棱锥的体积为. 34. 已知函数 . （1）求证：在(0，+∞)上是增函数； （2）若在(0，+∞)上恒成立，求的取值范围； （3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围. 【答案】（1）任取 ∵，∴，， ∴，即，故在(0，+∞)上是增函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义证明，首先设，作差，变形，判断的正负，即证；（2）参变分离后，不等式转化为在（0，+∞）上恒成立，转化为利用基本不等式求函数的最值；（3）利用单调性，可知，将问题转化为方程有两个不相等的正根m，n， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在(0，+∞)上恒成立，且a＞0， ∴在（0，+∞）上恒成立， 令，当且仅当即x=时取等号 要使在(0，+∞)上恒成立，则 故的取值范围是［，+∞)． 【小问3详解】 由（1）在定义域上是增函数. ∴，即， 故方程有两个不相等的正根m，n，注意到， 故只需要，由于，则． 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法： 1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围； 2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 德化二中2024年春高二年段数学阶段练习 一、单选题：本题共25小题，每小题3分，共75分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图像向右平移个单位长度，可得函数的图像，则的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 棱长为2的正四面体的表面积是 A. B. 4 C. D. 16 12. 某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　） A. 80 B. 160 C. 200 D. 280 13. 随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费（元） 6 7 8 人数 10 20 20 这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是 A. 7.2元，0.56元2 B. 7.2元，元 C. 7元，0.6元2 D. 7元，元 14. 设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 15. 的值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知，则x+y的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 17. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 18. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m//，m//n，则n// B. 若m//，n//，则m//n C. 若m//，n，则m//n D. 若m//，m，＝n，则m//n 19. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ③④ D. ①②⑤⑥ 20. 若，则有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值 21. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 22. 已知，则（ ） A. B. C. D. 23. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 24. 某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率约为（ ） A. B. C. D. 25. 如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 26. 已知为虚数单位，则______． 27. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______． 28. 在△中，角的对边分别是， 若，，，则△的面积是 ▲ ． 29. 已知函数，若，则________. 30. 给出下列五个命题： ①已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或． ②若，则的取值范围是； ③若对于任意都成立，则图象关于直线对称； ④对于函数，其定义域内任意都满足 其中所有正确命题的序号是______． 三、解答题：本题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 31. 已tanθ＝3，求值： （1）； （2）sin2θ+3sinθcosθ﹣2cos2θ． 32. 某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人现从这5名工人中随机抽取2名． Ⅰ求被抽取的2名工人都是初级工的概率； Ⅱ求被抽取的2名工人中没有中级工的概率． 33. 已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 34. 已知函数 . （1）求证：在(0，+∞)上是增函数； （2）若在(0，+∞)上恒成立，求的取值范围； （3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $