2024届天津各区县高三数学模拟题分类汇编—专题十三直线和圆

2024天津各区高考数学模拟卷分类汇编—专题十三直线和圆 1.（2024和平区一模）圆与抛物线的准线相交于A，B两点.若，则抛物线的焦点坐标为__________. 2.(2024河西区一模）已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为__________. 3.（2024南开区一模）直线被圆截得的弦长的最小值为__________ 4.（2024和平区二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.（2024滨海新区三模）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆C相交于A，B两点，且，则圆C的标准方程为______. 6.（2024部分区二模）过点的直线与圆相交于，两点，且与抛物线相切，则 ______． 7.（2024河东区一模）已知过点的直线不过原点与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则a的值为__________. 8.（2024河东区二模）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数(    ) A. 或 B. C. 或 D. 9.（2024河西区三模）已知：，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线PA，PB，切点为A、B，当最小时，点P坐标为______. 10.（2024区一模）已知直线与圆C：相切，交曲线于点P，若，O是坐标原点，则以P为圆心，以p为半径的圆与圆C的位置关系为(    ) A. 相交 B. 内含 C. 外离 D. 外切 11.（2024北辰区三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为___________. 12.（2024河北区一模）直线将圆分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为__________. 13.（2024河北区二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为_____________. 14. （2024南开区二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为___________. 15.（2024河西区二模）已知抛物线的焦点为F，圆C与直线相切，且与圆相切于点F，则符合要求的圆C的方程为___________.（写出一个即可） 2024天津各区高考数学模拟卷分类汇编—专题十三直线和圆答案 1.【答案】  【解析】【分析】根据弦长为，利用垂径定理可得，进而可得焦点坐标为 【详解】 如图，抛物线的准线方程为， 圆即，圆心坐标为，半径为5， 由垂径定理可得，即， 得或舍去，故抛物线的方程为，焦点坐标为 故答案为： 2.【答案】4  【解析】【分析】 本题考查抛物线的几何性质，直线与圆的交点坐标、弦长，圆的标准方程，属于中档题. 首先利用抛物线定义确定P点坐标，进而可得以PF的中点为圆心，长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长. 【解答】 解：抛物线的焦点，准线为， 由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6，    则， 代入横坐标可得，即， 所以PF的中点坐标为或， ， 所以以PF的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或， 圆心到x轴距离为，所以与x截得的弦长为 . 故答案为 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于基础题. 求得圆的圆心C和半径，求得直线恒过的定点P，可得经过点P与线段CP垂直的弦的长度最短，由弦长公式计算即可． 【解答】 直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 可得点P在圆C内，经过点P与线段CP垂直的弦的长度最短， 此时弦长为 故答案为： 4.【答案】A  【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，CP与直线垂直， 所以直线CP的方程为， 由解得，所以 故选： 5.【答案】  【解析】解：依题意可知抛物线的焦点为， 圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称， 所以圆心坐标为，， 则圆C的标准方程为 故答案为： 根据圆心与焦点关于直线对称，求得圆心坐标，在此基础上由直线与圆C相交的弦长求得圆的半径． 本题考查了抛物线的性质，属于中档题． 6.【答案】  【解析】解：设过点与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得． ，解得． 切线方程为． 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， ． 故答案为：． 设过点与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式为求解，可得切线方程，再由垂径定理求． 本题考查抛物线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题． 7.【答案】18  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系的判断，属于基础题. 确定直线的方程，根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列式求解，即得答案. 【解答】 解：由题意知过点的直线不过原点在x轴、y轴上的截距相等， 设该直线方程为，将代入得，即直线方程为， 由于该直线与相切，圆心为，半径为， 故， 故答案为：18 8.【答案】A  【解析】解：圆C：的标准方程是， 圆心C的坐标为，半径为3， 因为，所以点C到直线AB的距离， 所以，解得或 故选： 化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由题意可得圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列式求解a值． 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】  【解析】解：将的方程整理成标准方程为， 所以圆心，半径 ， 要使最小，只需最小， 显然当PM与直线l垂直时，有最小值， 此时直线PM的方程为，即， 联立，解得，， 即， 故答案为： 由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，所以最小转化为最小，此时PM与直线l垂直．求出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标． 本题考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 10.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆、抛物线的位置关系及应用，属于中档题. 根据点到直线的距离求得k，再联立直线与抛物线方程得点P坐标及圆方程，再考虑圆心距即可． 【解答】 解：圆C：的圆心为，半径为， 由直线与和圆相切可得，解得， 结合抛物线的对称性，只需考虑的情形， 联立，解得，或， 所以，解得， 此时点，圆P的方程为， 因为圆C和圆P的圆心距， 所以两圆外离，同理当时，两圆也外离． 故选： 11.【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解． 【详解】如图， 过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形， 则在直角三角形MCF中，，， 又C(2,0)，，又， 则，即，则p＝4． 故答案为：4． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查点到直线的距离公式，属于基础题. 首先设直线与圆的两个交点为A、，圆心为C，，利用已知求得，再利用两段圆弧的弧长之比等于两段圆弧所对的圆心角的度数之比即可得解. 【解答】 解：设直线与圆的两个交点为A、，圆心为C，， 圆心到直线的距离， ， ， ， ， 所以两段圆弧的弧长之比，等于两段圆弧所对的圆心角的度数之比，为 故答案为： 13.【答案】 【解析】 【分析】依题设点，，由求出的值，即可求得圆的方程. 【详解】设点，则，若抛物线的顶点为,焦点为， 依题意，,即，解得，， 则圆的圆心为，半径为, 故这个圆的方程为：. 故答案为：. 14.【答案】150° 【解析】 【分析】根据两直线垂直和得到直线l的斜率，从而得到l的倾斜角. 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 15.【答案】或 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$