高二数学开学摸底考试卷01 (考试范围：必修第二册)-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 高二数学开学摸底考试卷01 （考试范围：必修第二册 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 3．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶形众多，经典的有相关数据（单位：cm），那么图中该壶的容积约接近于（    ）    A． B． C． D． 4．设是从集合中随机取出的一个数，是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点．记事件为“”，则发生的概率是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形ABCD中，，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若，则（    ） A．4 B．3 C． D． 6．有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则下列说法错误的是（   ） A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D．若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数 7．如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．若z为纯虚数，则 B．若z在复平面内对应的点位于第一象限，则 C．若，则 D．若，则 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A． 与是互斥事件 B．与互为对立事件 C．发生的概率为 D．与不相互独立 11．如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（    ）    A． B．与平面所成角的正弦值为 C．存在点使得⊥平面 D．若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若，且为锐角，则实数的取值范围是 . 13．为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是 ，方差是 ． 14．在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 16．（15分）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 17．（15分）为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； (2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 18．（17分）在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值． 19．（17分）为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示，区域规划为游客餐饮服务区，区域规划为微型游乐场，区域规划为网红打卡区. 已知，m，m，， (1)若m，求的长； (2)若，求的值； (3)求微型游乐场面积的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 高二数学开学摸底考试卷01 （考试范围：必修第二册 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】, 故选：A. 2．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理可知，即， 又，， 则， 所以的面积， 又面积，即， 解得， 故选：B. 3．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶形众多，经典的有相关数据（单位：cm），那么图中该壶的容积约接近于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该壶可看作圆台， 设为圆台下底面圆半径，为上底面圆半径，高为， ，，， 则. 故选：B. 4．设是从集合中随机取出的一个数，是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点．记事件为“”，则发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果， 即该试验的样本空间中共包含12个样本点． 若，则当时，， 当时，， 故事件共包含5个样本点， 所以根据古典概型的概率公式得到所求概率是． 故选：B. 5．如图，在平行四边形ABCD中，，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若，则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】设，平行四边形ABCD中， 由已知可得：， 所以 ， 解得：或（舍）， 故选：B 6．有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则下列说法错误的是（   ） A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D．若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数 【答案】D 【详解】不妨设原数据，新数据..， A：例如原数据为，新数据为，此时极差均为，故A正确； B：原数据中位数为，新数据中位数为，可知或， 若，可得；若，可得； 综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B正确； C：若，可知去掉的数据为，则， 可得，所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C正确； D：若，可知去掉的数据为，因为，可知原数据的分位数为第3位数，，可知新数据的分位数为第2位数与第3位数的平均数， 例如原数据为，新数据为，此时新数据的分位数､原数据的分位数均为3，故D错误， 故选：D. 7．如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，为等边三角形，且高，则， 而，又，则为等边三角形， 平面平面，，平面平面，平面，于是平面， 令的外心为，三棱锥外接球的球心为，则平面， 又三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，此平面平行于平面， 因此，等边外接圆半径， 三棱锥的外接球，则， 所以三棱锥的外接球的表面积， 故选：C 8．已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A．若z为纯虚数，则 B．若z在复平面内对应的点位于第一象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】由， 若z为纯虚数，即且，则，故A错误； 若z在复平面内对应的点位于第一象限，则，得，即，故B正确； 若，则，则，故C正确； 若，则，解得，故D正确. 故选：BCD. 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A． 与是互斥事件 B．与互为对立事件 C．发生的概率为 D．与不相互独立 【答案】BC 【详解】由题意，不放回地随机取两次，共有种情况， = {(2，1)，(2，3)，(2，4) ，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) ，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}共15个样本点， = {(2，1)， (3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(1，3)，(2，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5) ，(6，5)}共15个样本点， 故，故C正确; 事件与可以同时发生，不是互斥事件，故A错误; = {(1，3)，(1，5) ，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，2)，(4，6)，(5.1)，(5，3) ，(6，2)，(6，4)}共12个样本点， 故， D = {(1，2)，(1 ，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3) ，(4，5).(5，2)，(5.4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)}共18个样本点， 所以C与D互为对立事件，故B正确; 事件BC = {(3，1)， (5，1)，(1，3)，(5，3)，( 1，5)，(3，5)}共6个样本点， 所以，所以B与C相互独立，故不D正确. 故选：BC. 11．如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（    ）    A． B．与平面所成角的正弦值为 C．存在点使得⊥平面 D．若平面，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】对于A：连接，    则，平面平面,所以， 平面，所以平面，所以，故A选项正确； 对于B：延长交于，易得在延长线上，，    则， 则， 设到平面距离为d，则，则，则与平面所成角的正弦值为，故B选项正确； 对于C；若平面，则，则在平面内射影垂直于，在平面内的射影为,在正方形内任意点时都不可能射影垂直，故C选项错误； 对于D：如图所示，取的中点，的中点，连接，    可得四边形是平行四边形，所以平面，在平面外，所以平面, 同理可得，平面，因为平面，所以平面平面， 因为点是正方形内的动点，若平面，则点在线段上， 所以点的轨迹长度，故D选项正确 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若，且为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为为锐角，所以与的夹角为锐角， 又，所以， 解得且. 故答案为：. 13．为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是 ，方差是 ． 【答案】 166 45 【详解】设样本中男生的身高为，女生的身高为， 则，该校高一年级学生身高的均值是， 方差为 . 故答案为：166，45. 14．在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为 . 【答案】/ 【详解】， ， 即， ， ， . ，得， 由，得，当且仅当时，等号成立. 又的周长，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或. 【详解】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 16．（15分）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为基底，设， 则 ， 所以， 同理， ， 则； （2）因为三点共线，不妨设， 同理有三点共线，不妨设， 则有. 17．（15分）为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； (2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【答案】(1)分 (2) (3)甲最终获胜的可能性大；理由见解析 【详解】（1）解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. （2）解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为， 所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为， 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有 ，共有12个基本事件； 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个， 所以概率为. （3）解：甲最终获胜的可能性大. 理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 则甲的2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大. 18．（17分）在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 证明：连接，设，连接， 在中，，，∴， 又平面，平面， ∴平面． （2）由正三棱柱，可得平面， ∵平面，∴，∵为的中点，∴， 又，，平面， 故平面， 而，平面，故，， ∴二面角的平面角是， 在平面内作，连接， ∵平面，∴平面平面， 又平面平面，平面， 故平面， ∴直线和平面所成的角为， 又平面，∴， ∴， ∴直线和平面所成角的正弦值为． 19．（17分）为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示，区域规划为游客餐饮服务区，区域规划为微型游乐场，区域规划为网红打卡区. 已知，m，m，， (1)若m，求的长； (2)若，求的值； (3)求微型游乐场面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 得，又，所以． 若,在中，由余弦定理，得， 解得,所以，所以， 所以为等腰三角形，所以． （2）设,在中，由正弦定理，得, 同理, 又,所以， 所以, 即,又，所以，即，所以． （3）设,由（2）知， 又, 所以， 当且仅当，即当时，的面积取最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$