3.2.2 代数式求值的应用 同步练习 2024--2025学年人教版七年级数学上册

3.2.2 代数式求值的应用 【知识点1】利用代数式求值解决几何图形问题 1.a，b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则梯形的面积S＝　 　，当a＝2cm，b＝4cm，h＝5cm时，S＝　 　cm2． 2.一块三角尺的形状和尺寸如图所示，如果圆孔的半径是r，三角尺的厚度是h，用式子表示这块三角尺的体积V为　 ，若a＝6cm，r＝0.5cm，h＝0.2cm，则V的值为　 （π取3）． 3.如图，将边长为a的正方形沿虚线剪去边长为b的小正方形． （1）求阴影部分图形的周长和面积（用含有a、b的式子表示）； （2）当a＝10，b＝2时，求阴影部分图形的面积． 4.某木工师傅制作如图所示的一个工件（阴影部分）： （1）求阴影部分的面积S．（用含a，b的代数式表示） （2）当a＝8厘米，b＝12厘米时，阴影部分的面积S是多少？（结果用含π的式子表示） 5.如图，一个跑道由两条半圆形的跑道和两条直道组成．已知每条直道的长都是a米，半圆形跑道的直径是b米． （1）用含a，b的代数式表示该跑道的周长． （2）用含a，b的代数式表示该跑道所围成的图形的面积． （3）当a＝100，b＝40时，求该跑道的周长（π≈3）． 6.如图，一截钢管外半径是R cm，内半径是r cm，高为a cm． （1）用含有R，r，a的代数式表示钢管的体积； （2）若R＝10，r＝8，a＝20，求钢管的体积（π取3.14，结果保留整数）． 【知识点2】利用代数式求值解决实际问题 7.BMI是身体质量指数，健康的身体质量指数应该保持在18.5~23.9之间，它的计算公式为BMI=[w表示体重(单位：kg)，h表示身高(单位：m)]，航航的身高是160 cm，体重48kg，那么他的身体质量指数 (填“在”或“不在”)健康范围内. 8.如图是某平台2023国庆期间河南热门景点前两名，在某个时间段内，共售出a张龙门石窟门票和b张少林寺门票． （1）在该时间段内，该平台这两种门票共售出多少元？ （2）当a＝50，b＝45时，该平台这两种门票共售出多少元？ 9.A、B两地相距s千米，甲、乙两人分别以a千米/时、b千米/时（a＞b）的速度从A到B．如果甲先走1小时， （1）用代数式表示甲比乙早到的时间． （2）求当s＝120，a＝15，b＝12时，这一代数式的值． 10.某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价30元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的80%付款． 该学校要到该商场购买乒乓球拍40副，乒乓球x盒（x＞40，x为整数）． （1）若该学校按方案一购买，商场可赠送　　 盒乒乓球，学校还需花费　　 元购买乒乓球，则一共需付款　　 元； （2）若该学校按方案二购买，需付款　　 元（用含x的代数式表示）； （3）若x＝90，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算． 【知识点3】用代数式表示图形中的规律问题 11.如图所示，将形状大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图案，第1个图案中有4个“●”，第2个图案中有9个“●”，第3个图案中有14个“●”，…，第137个图案中“●”的个数为（　　） A．683 B．684 C．685 D．686 12.如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形. （1）按此规律排下去，如果图形中含有5个三角形，需要 根火柴棍；如果图形中含有n个三角形，需要 根火柴棍； （2）如果图形中含有100个三角形，需要 根火柴棍； （3）如果有2025根火柴棍，可拼出 个三角形. 13.用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路． （1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖_____块，用白色正方形瓷砖_____块； （2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖_____块，用白色正方形瓷砖_____块（用含n的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×0.5宽米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？ 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 代数式求值的应用 【知识点1】利用代数式求值解决几何图形问题 1.a，b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则梯形的面积S＝　 　，当a＝2cm，b＝4cm，h＝5cm时，S＝　 　cm2． 【分析】先依据梯形的面积公式列出代数式，然后将a、b、h代入计算即可． 【解答】解：． 当a＝2cm，b＝4cm，h＝5cm时，S＝×（2+4）×5＝15． 故答案为：；15． 2.一块三角尺的形状和尺寸如图所示，如果圆孔的半径是r，三角尺的厚度是h，用式子表示这块三角尺的体积V为　 ，若a＝6cm，r＝0.5cm，h＝0.2cm，则V的值为　 （π取3）． 【分析】观察这块三角尺的体积等于三棱柱的体积减去圆柱的体积． 【解答】解：（1）三角尺的体积V＝三棱柱的体积﹣圆柱的体积 ． （2）把a＝6cm，r＝0.5cm，h＝0.2cm代入上式得： 3.如图，将边长为a的正方形沿虚线剪去边长为b的小正方形． （1）求阴影部分图形的周长和面积（用含有a、b的式子表示）； （2）当a＝10，b＝2时，求阴影部分图形的面积． 【分析】（1）利用周长公式和分割法求面积，列出代数式即可； （2）将a＝10，b＝2，代入（1）中的代数式，进行求解即可． 【解答】解：（1）根据正方形的边长相等，可知，阴影部分的周长等于原大正方形的周长，即为：4a； 阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即：a2﹣b2； （2）把a＝10，b＝2，代入a2﹣b2，得：102﹣22＝96． 4.某木工师傅制作如图所示的一个工件（阴影部分）： （1）求阴影部分的面积S．（用含a，b的代数式表示） （2）当a＝8厘米，b＝12厘米时，阴影部分的面积S是多少？（结果用含π的式子表示） 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆的面积计算即可； （2）将a＝8，b＝12代入（1）中的代数式求值即可． 【解答】解：（1）阴影部分的面积； （2）当a＝8厘米，b＝12厘米时， ＝96﹣16π（平方厘米） 答：阴影部分的面积S是（96﹣16π）平方厘米． 5.如图，一个跑道由两条半圆形的跑道和两条直道组成．已知每条直道的长都是a米，半圆形跑道的直径是b米． （1）用含a，b的代数式表示该跑道的周长． （2）用含a，b的代数式表示该跑道所围成的图形的面积． （3）当a＝100，b＝40时，求该跑道的周长（π≈3）． 【分析】（1）利用周长公式进行计算即可；（2）用圆的面积加上矩形的面积即可；（3）代入数据计算即可． 【解答】解：（1）跑道的周长为米； （2）跑道所围成的图形的面积米； （3）当a＝100，b＝40时，跑道的周长＝2×100+3×40＝320（平方米）． 6.如图，一截钢管外半径是R cm，内半径是r cm，高为a cm． （1）用含有R，r，a的代数式表示钢管的体积； （2）若R＝10，r＝8，a＝20，求钢管的体积（π取3.14，结果保留整数）． 【分析】（1）大圆柱的体积减去小圆柱的体积即为钢管的体积； （2）将R＝10，r＝8，a＝20代入求值即可． 【解答】解：（1）钢管的体积＝（πR2a﹣πr2a）cm3； （2）当R＝10，r＝8，a＝20，钢管的体积＝100×20π﹣64×20π≈2261（cm3）， 答：钢管的体积约为2261cm3． 【知识点2】利用代数式求值解决实际问题 7.BMI是身体质量指数，健康的身体质量指数应该保持在18.5~23.9之间，它的计算公式为BMI=[w表示体重(单位：kg)，h表示身高(单位：m)]，航航的身高是160 cm，体重48kg，那么他的身体质量指数 (填“在”或“不在”)健康范围内. 【分析】将h=160 cm=1.6 m，w=48 kg代入BMI=即可． 【解答】解：当h=160 cm=1.6 m，w=48 kg时， BMI==18.75 ∵18.5<18.75<23.9 ∴航航的身体质量指数在健康范围内. 8.如图是某平台2023国庆期间河南热门景点前两名，在某个时间段内，共售出a张龙门石窟门票和b张少林寺门票． （1）在该时间段内，该平台这两种门票共售出多少元？ （2）当a＝50，b＝45时，该平台这两种门票共售出多少元？ 【分析】（1）根据题意列出两种门票共售出多少元的代数式即可； （2）根据题意将a＝50，b＝45代入（1）式求值即可． 【解答】解：（1）根据题意，在该时间段内，该平台这两种门票共售出（90a+80b）元； 答：在该时间段内，该平台这两种门票共售出（90a+80b）元； （2）将a＝50，b＝45代入（1）式得： 90a+80b＝90×50+80×45＝4500+3600＝8100（元）． 答：当a＝50，b＝45时，该平台这两种门票共售出8100元． 9.A、B两地相距s千米，甲、乙两人分别以a千米/时、b千米/时（a＞b）的速度从A到B．如果甲先走1小时， （1）用代数式表示甲比乙早到的时间． （2）求当s＝120，a＝15，b＝12时，这一代数式的值． 【分析】（1）首先根据时间＝路程÷速度这一关系式分别求出甲和乙所走的时间，然后列出代数式； （2）把s＝120，a＝15，b＝12代入关系式求出值． 【解答】解：（1）根据题意可知，甲需要的时间为，乙需要的时间为， 则甲比乙早到的时间； （2）当s＝120，a＝15，b＝12时， ． 10.某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价30元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的80%付款． 该学校要到该商场购买乒乓球拍40副，乒乓球x盒（x＞40，x为整数）． （1）若该学校按方案一购买，商场可赠送　　 盒乒乓球，学校还需花费　　 元购买乒乓球，则一共需付款　　 元； （2）若该学校按方案二购买，需付款　　 元（用含x的代数式表示）； （3）若x＝90，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算． 【分析】（1）方案一费用：40副乒乓球拍子费用+（x﹣40）盒乒乓球费用； （2）方案二费用：（40副乒乓球拍子费用+x盒乒乓球费用）×0.8，把相关数值代入求解即可； （3）把x＝90代入（1）得到的式子进行计算，然后比较结果即可． 【解答】解：（1）该学校按方案一购买，商场可赠送40盒乒乓球，学校还需花费30（x﹣40）＝30x﹣1200元购买乒乓球， 则一共需付款40×80+（30x﹣1200）＝30x+2000（元）， 故答案为：40，（30x﹣1200），（30x+2000）． （2）方案二费用：（40×80+30x）×80%＝24x+2560（元）； 故答案为：（24x+2560）． （3）当x＝90时，方案一：30x+2000＝30×90+2000＝4700 （元）， 方案二：24x+2560＝24×90+2560＝4720 （元）， 所以，按方案一购买较合算． 【知识点3】用代数式表示图形中的规律问题 11.如图所示，将形状大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图案，第1个图案中有4个“●”，第2个图案中有9个“●”，第3个图案中有14个“●”，…，第137个图案中“●”的个数为（　　） A．683 B．684 C．685 D．686 【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解． 【解答】解：第1个图案中“●”有：5×1﹣1＝4（个）， 第2个图案中“●”有：5×2﹣1＝9（个）， 第3个图案中“●”有：5×3﹣1＝14（个）， ……， 第137个图案中“●”有：5×137﹣1＝684（个）， 故选：B． 12.如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形. （1）按此规律排下去，如果图形中含有5个三角形，需要 根火柴棍；如果图形中含有n个三角形，需要 根火柴棍； （2）如果图形中含有100个三角形，需要 根火柴棍； （3）如果有2025根火柴棍，可拼出 个三角形. 【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解． 【解答】（1）当图形中含有1个三角形时，需要1+2=3（根）； 当图形中含有2个三角形时，需要1+2×2=5（根）； 当图形中含有3个三角形时，需要1+3×2=7（根）； 当图形中含有4个三角形时，需要1+4×2=9（根）； 当图形中含有5个三角形时，需要1+5×2=11（根）； ……， 当图形中含有n个三角形时，需要1+n·2=1+2n（根）. 故答案为：11，1+2n（根）. （2）当n=100时，1+2n=1+2×100=201. 故答案为：201. （3）如果有2025根火柴棍，则1+2n=2025 解得n=1012. 故答案为：1012. 13.用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路． （1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖_____块，用白色正方形瓷砖_____块； （2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖_____块，用白色正方形瓷砖_____块（用含n的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为0.5米×0.5宽米），若按照此方式铺满一段总面积为24.75平方米的小路时，n是多少？ 【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解． 【解答】（1）解：第1个图形中有1+4=5个黑色正方形瓷砖，有2+2=4个白色瓷砖； 第2个图形中有1+4×2=9个黑色正方形瓷砖，有2+2×2=6个白色瓷砖； 第3个图形中有1+4×3=13个黑色正方形瓷砖，有2+2×3=8个白色瓷砖； ···， 第n个图形中有(1+4n)个黑色正方形瓷砖，有(2+2n)个白色瓷砖； 第6个图形中有25个黑色正方形瓷砖，有14个白色瓷砖； 故答案为：25，14； （2）由（1）知：第n个图形中有(1+4n)个黑色正方形瓷砖，有(2+2n)个白色瓷砖， 故答案为：(1+4n)，(2+2n)； （3）第n个图形中有(1+4n)个黑色正方形瓷砖，有(2+2n)个白色瓷砖， 故第n个图形中有(1+4n)+(2n+2)=(6n+3)个正方形瓷砖； (6n+3)×0.25=24.75，解得：n=16． 第1页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$