10.5 图形的全等 课件 2023--2024学年华东师大版七年级数学下册

华东师大版· 数学· 七年级（下） 第10章 轴对称、平移与旋转 10.5 图形的全等 1.知道全等图形，全等多边形，全等三角形的概念和性质. 2、能找出全等多边形、全等三角形的对应元素，会利用图形的全等解决一些简单的问题. 学习目标 课间操时间，小明和小聪在操场上突然争论起来， 他们都说比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着 对他们说：“你们不用争了，比一下你们俩地上的影 子，如果一样长就说明你们一样高.”你知道数学老师 为什么能从他们的影长相等就判 定他们的身高相同吗？ 学习了全 等图形的有关知识，我们就可以 说明其中的道理了. 导入新知 我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这 是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置 发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等， 对应角相等，图形的形状和大小并没有改变. 合作探究 新知一 全等图形 要想知道两个图形的形状和大小是否完全相同， 可以通过轴对称、平移和旋转这些图形的变换，把两 个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合. 能够完 全重合的两个图形叫做全等图形(congruent figures). 归纳小结 1. 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 要点精析： (1)图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够完 全重合即可；而完全重合包含两层含义：图形的 形状相同，大小相等； (2)全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相 等的两个图形不一定全等． 2. 几种常用全等变换的方式：轴对称、平移、旋转． 合作探究 下图中是全等图形的是_____________________ _____________________. 例1 (1)和(9)、(2)和(3)、 (4)和(8)、(11)和(12) 导引： 上述图形中，(5)和(7)形状相同，但大小不同，(6) 和(10)形状不同，故都不是全等图形；(1)和(9)、 (2)和(3)、(11)和(12)尽管方向不同，但大小、形 状完全相同，所以它们是全等图形；(4)和(8)都是 五角星，大小、形状都相同，是全等图形． (1)此题运用定义识别全等图形，确定两个图形全等 要符合两个条件：①形状相同，②大小相等；是 不是全等图形与位置无关． (2)判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、 翻折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能否 重合，即用叠合法判断． 归纳小结 1 下列各图中，与所给图形全等的是 (　　) 巩固新知 2 下列图形中与已知图形全等的是(　　) 3 下列四组图形中，是全等图形的一组是(　　) 如图中给出了 8个图形，你能发现哪两个图形是 全等图形吗？ 动手试试看. 合作探究 新知二 全等三角形及其对应元素 一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到 的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图 形经过上述变换后一定能够互相重合. 思考：观察图中的 两对多边形，每对 中的其中一个可以 经过怎样的变换和 另一个图形重合？ 上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等 多边形.两个全等的多边形，经过变换而重合，相互 重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应 边，相互重合的角叫做对应角. 如图中的两个五边形是全等的，记作五边形 ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′(这里，符号“≌” 表示全等， 读作“全等于”). 点A与点A′、点B与 点B′、点C与点C′、点D与点D′、点E与点E′分别是对应顶点. 依据上面的分析，我们知道： 全等多边形的对应边相等，对应角相等. 这就是全等多边形的性质.实际上，边、角分别 对应相等这两个特征足以刻画多边形的全等了.也就 是说，在数学上我们可以给出全等多边形如下的定 义： 边、角分别对应相等的两个多边形称为全等多 边形. 1. 全等三角形的定义：如果两个三角形的边、角分 别对应相等，那么这两个三角形全等． 2. 全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合 到一起，(1)对应顶点：重合的顶点；(2)对应边： 重合的边；(3)对应角：重合的角． 3. 全等三角形的表示法：如图，△ABC和△DEF全 等，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”读作全等于. 其中“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等．记 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母 写在对应的位置上，如点A和点D ，点B和点E ， 点C和点F 是对应顶点；AB和DE，BC和EF ，AC 和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E ，∠C和 ∠F是对应角． 4. 对应元素的确定方法： (1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点 确定对应边、对应角，如△CAB≌△FDE，则 AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和 ∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角． (2)图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公 共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角． (3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角) 是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)． 5. 对应边(或角)与对边(或角)的区别：对应边、对应 角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的 关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的 位置关系. 对边是与角相对的边，对角是与边相对 的角． 6. 易错警示：记两个三角形全等时，通常把表示对 应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能 随意书写． 如图，△ACB≌△BDA，AC和BD对应，BC和 AD对应，写出其他的对应边及对应角． 例2 因为已经知道了两组对应边，所以剩下的一组边是 对应边．根据对应边所对的角是对应角，容易发现 AC的对角∠CBA和BD的对角∠DAB是对应角， BC的对角∠CAB和AD的对角∠DBA是对应角，剩 下的一组角∠ACB和∠BDA是对应角． 导引： 解： 其他的对应边是AB和BA；对应角是∠CBA和 ∠DAB，∠CAB和∠DBA，∠ACB和∠BDA. 根根据对应边(角)找对应角(边)的方法：对应边 所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边． 归纳小结 1 如图，△ABC≌△EDC，∠ACB和∠ECD是对应角，BC与DC是对应边，写出其他的对应边及对应角． 巩固新知 2 如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌________，AB的对应边是________，∠BCA的对应角是________________． 3 如图，将△ABC沿BC所在的直线平移到△A′B′C′ 的位置，则△ABC________△A′B′C′，图中∠A与______，∠B与________，∠ACB与_________是 对应角． 三角形是特殊的多边形，因此， 全等三角形的对应边、对应角分别相等. 同样，我们也可以得到全等三角形的定义，从 而也得到了判断两个三角形是否全等的准确方法： 如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么 这两个 三角形全等. 合作探究 新知三 全等三角形的性质 如图所示，△ABC≌△DEF，且∠A=∠D， ∠B=∠E. 你能指出它们之间其他的对应顶点、对应 角和对应边吗？ 1.性质：全等三角形的对应边相等 ，对应角相等． 要点精析： (1)全等三角形的对应元素相等．其中，对应元素包 括：对应边、对应角、对应中线、对应高、对应 角平分线、周长、面积等． (2)在应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件： ①两个三角形全等；②找对应元素． (3)全等三角形的性质是说明线段、角相等的常用 方法． 2.全等三角形的判定：如果两个三角形的边角分别对 应相等，那么这两个三角形全等． 3.易错警示：周长相等的两个三角形不一定全等，面 积相等的两个三角形也不一定全等． 如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠A=80°，∠B=60°，求∠F的度数. 例3 解： 由图形平移的特征，可知与△ABC与△DEF的形状 与大小相同，即 △ABC≌△DEF. ∴ ∠D=∠A=80°(全等三角形的对应角相等). 同理∠DEF=∠B=60°. 又∵∠D+∠DEF+∠F = 180°(三角形的内角和 等于180°)， ∴∠F=180°-∠D-∠DEF =180°-80°-60°=40°. (1)全等三角形的性质在几何计算中起着重要作用， 当所求线段不是全等三角形的对应边时，可利用 等式的性质进行转换，从而找到所求线段与已知 线段的关系． (2)本题运用转化思想，通过全等三角形的性质，可 把线段AB转化成线段DF，再利用等式的性质可把 求线段FB的长转化成求线段AD的长． 归纳小结 1 如图，△EFG与△NMH全等，在△EFG中，FG是最长的边，在△NMH中，MH是最长的边，∠F和∠M是对应角，且EF＝2.4 cm，FH＝1.9 cm，HM＝3.5 cm. (1)写出对应相等的边及 对应相等的角； (2)求线段NM及线段HG 的长度． 巩固新知 2 若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D分别是对应点，则下列结论错误的是(　　) A．BC＝EF　 B．∠B＝∠D　 C．∠C＝∠F　 D．AC＝EF 3 如图，△ABC≌△A′B′C′，则∠C的度数是(　　) A．56° B．51° C．107° D．73° 1．(3分)如图所示的图形全等的是( ) C 课堂练习 2．(3分)下列说法不正确的是( ) A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B.面积相等的两个图形是全等图形 C.图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关 D.全等三角形的对应边相等，对应角相等 B 3．(4分)如图，四边形ABCD与四边形D′C′B′A′全等，则∠A′＝__________，∠B＝________，∠A＝________． 120° 85° 70° 4．(3分)有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长，面积分别相等．其中正确的说法有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(3分)如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是( ) A．BE＝EC B．BC＝EF C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF D A 6．(3分)如图，△ABC≌△DCB，其中点A与点D，点B与点C分别是对应顶点，如果AB＝2，AC＝3，CB＝4，那么DC的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．无法确定 A 7．(3分)如图，△ABC≌△ADE，已知在△ABC中，AB边最长，BC边最短，则△ADE中三边的大小关系是( ) A．AD＝AE＝DE B．AD<AE<DE C．DE<AE<AD D．无法确定 C 8．(4分)已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是( ) A．72° B．60° C．58° D．50° D 9．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝4 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于____cm. 7 10．(10分)如图所示，△ABC≌△DEF，若AB＝DE，∠B＝50°，∠C＝70°，∠E＝50°，AC＝2 cm，求∠D的度数及DF的长． 解：∠D＝60°，DF＝2 cm 找全等三角形的对应元素的方法： (1)在两个全等三角形中最长边对应最长边，最短边对 应最短边，最大角对应最大角，最小角对应最小角； (2)对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角； (3)重合的边(角)一般是对应边(角)，公共边(角)一般是 对应边(角)，对顶角是对应角． 注意：对应边与对边，对应角与对角不同，对应边和对 应角是相对两个三角形而言的，是两条边、两个角的关 系；而对边与对角则是指一个三角形中的边与角的位置 关系． 归纳新知 1．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，若△EAB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为( ) A．15° B．20° C．25° D．30° D 课后练习 2．已知△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4.若△DEF的周长为偶数，则EF的取值为____． 4 3．如图所示，若△ABD≌△ACE，∠B与∠C是对应角，若AE＝5 cm，BE＝7 cm，∠ADB＝100°，则∠AEC＝_________，AC＝____cm. 100° 12 4．(教材P136习题T1变式)如图所示的是两个全等的五边形，β＝115°，d＝5，指出它们的对应顶点，对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值． 解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H； 对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，DC和JI，BC和HI； 对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F. ∵两个五边形全等， ∴a＝12，b＝10，c＝8，e＝11，α＝90° 5．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长． 解：∵△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5， ∴AC＝AD＝12，AF＝AE＝5， ∴DF＝AD－AF＝12－5＝7 6．如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的关系，并说明理由． 解：AD与BC的关系是AD＝BC且AD∥BC，理由如下：如图，∵△ADF≌△CBE(已知)，∴∠1＝∠2，∠F＝∠E，AD＝BC， 又∵点E，B，D，F在一条直线上， ∴∠3＝∠1＋∠F，∠4＝∠2＋∠E，∴∠3＝∠4，∴AD∥BC 7．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由C点向A点运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间． 再见 ),\s\do5(第5题图)) eq \o(\s\up7( 解：∵点D为AB的中点，AB＝10 cm，∴BD＝AD＝5 cm，设点P运动的时间是x s，则BP＝CQ＝3x cm，CP＝(8－3x)cm，若BD与CQ是对应边，则BD＝CQ，即5＝3x，∴x＝ eq \f(5,3) ，此时BP＝3× eq \f(5,3) ＝5 cm，CP＝8－3× eq \f(5,3) ＝3(cm)，BP≠CP，故舍去；若BD与PQ是对应边，则∠BPD＝∠C＝∠B，△BDP是等腰三角形，BD＝PD＝PQ＝QC，CP＝BP＝4，此时BP≠CQ，舍去；若BD与CP是对应边，则BD＝CP，∴5＝8－3x，∴x＝1，符合题意，综上，点P运动的时间是1 s $$