湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高三上学期8月联考数学试卷

数学试卷（共 4 页） 第 1 页 2025 届高三年级八月智学联考 数 学 命题人：刘静平、曹旗、郑安利；命题学校：黄石二中 一､选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合    2 , ln( 1| 0 )2 |A x Bx x x y x     ，则 )( BCA R （ ） A． 1,1 B． 1,1 C．  1,2 D．  1, 2. 若复数 z满足 1 1 i i z z     ， i为虚数单位，则 z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 已知向量 | | 3,| | | 2 |a a b a b         ，则 | |a b    （ ） A． 3 B．2 C． 5 D．3 4. 若 13 n x x      的二项展开式中，当且仅当第 5项是二项式系数最大的项，则其展开式中 5 1 x 的系数为（ ） A．8 B．28 C．70 D．252 5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也 寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大 智大勇的象征（如图 1）．图 2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE AC， 所在圆台的底面半径分别是 1r 和 2r ，且 1 5r  ， 2 10r  ，圆台的侧面积为150 ，则该圆台的 体积为（ ） A． 35 3π 3 B．175 3π 3 C． 875 3π 3 D．875 3π 6. 已知函数    2 x mf x m R 为偶函数，则  2log 0.8a f ， )3( 2.0fb  ，  3c f 的 大小关系为（ ） A． a b c  B． c a b  C． a c b  D．b c a  7. 已知函数 2 2( ) 2cos (sin cos ) ( 0)f x x x x       的图象关于直线 π 12 x  轴对称，且 ( )f x 在 π0, 3       上没有最小值，则 的值为（ ） A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 8. 已知抛物线 C： 2 12x y 和圆 2 2: 4 4 4 0M x y x y     ，点 F 是抛物线C的焦点，圆M 上 数学试卷（共 4 页） 第 2 页 的两点 ,A B满足 2AO AF ， 2BO BF ，其中O是坐标原点，动点 P在圆M 上运动，则 P到 直线 AB的最大距离为（ ） A． 2 2 B． 2 C． 24 D． 2 2 二､多选题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 某公司为保证产品生产质量，连续 10 天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天 出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结 论正确的是（ ） A．极差是 4 B．众数小于平均数 C．方差是 1.8 D．数据的 80%分位数为 4 10. 已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2，在矩形 ABCD内（包括边界）的动点 E始终满足 1D E 与平面 ABCD所成的角是 4  ，则下列结论正确的是（ ） A．多面体 1 1 1BC D ABCD 的体积为 20 3 B．动点 E运动轨迹的长度为 C．不存在点 E，使得平面 1 1 //AB D 平面 1DEC D．在正四面体 1 1D ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体的棱长可以是 0.93 11. 已知函数  f x 是定义在R上的可导函数，其导函数为  g x ，  2f x  和  1g x  都是奇函数，  1 1f  ，则下列说法正确的是（ ） A．  g x 关于点  1,0 对称 B．     0f x f x   C．  2025 1g  D．   2024 0 0 k f k   三､填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在ABC中， 1cos 7 A   ， 7AB  ， 8BC  ，则 ABC 的面积是______． 13. 数列 na 是等差数列，且满足 14 2n n nn S Sa     ，则 1a  ________． 14. 已知双曲线   2 2 2 2 1 0， x y a b a b    的左焦点为F ，过坐标原点O作直线与双曲线的左右两 支分别交于 ,A B两点，且 4FB FA   ， 2π 3 AFB  ，则双曲线的渐近线方程为_________． 数学试卷（共 4 页） 第 3 页 四､解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分 13分） 已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是直角梯形， , / /PB PD AD BC ，AB BC ， 3AB  ， 2 2BC AD  ，平面 PBD 平面 ABCD，点Q在 AB 上， PB CQ ． (1)求 :AQ QB的值； (2)若四棱锥 P ABCD 的体积是 3 3 2 ，求二面角 P CD A  的余弦值 16. （本小题满分 15分） 已知函数   1axy f x e   ， x R ． (1)若 1 2 a  ，求过原点且与  y f x 相切的切线方程； (2)若关于 x的不等式 ( ) 2f x x e  对所有  0,x  成立，求 a的取值范围． 17. （本小题满分 15分） 某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额 X（单位：元）服从正态分 布  2330, 25N ．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动， 顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题， 则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得 0分，答对得 10分，两类 题总分 20分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机 会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若 第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回 答错误，则认为答错该类试题． (1)若某天有 200位进店消费的顾客，请估计该天消费额 X 在  305 ， 内的人数（结果保留 整数）； 附：若  2,X N   ，则    0.6827, 2 2 0.9545P X P X                 ． (2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，A类题中的两次答题机会答对的概率都是 3 4 ， B类题中的两次答题机会答对的概率都是 2 3 ，且每次答题相互独立． 若答题结束后可减免的现金数额为 X元，求 X的分布列和数学期望． 18. （本小题满分 17分） 椭圆 E：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的上顶点到右顶点的距离为 7 ，椭圆上的点到焦点的最短距 离是 1，点 A为椭圆的左顶点，过点  4,0P 且斜率为  0k k  的直线交椭圆于 B，C两点． (1)求 E的方程； 数学试卷（共 4 页） 第 4 页 (2)直线 AB，AC分别交直线 4x  于 M，N两点，且 3 5MN  ，求直线的斜率 k． 19. （本小题满分 17分） 若项数为  3m m  的数列 na 满足两个性质：①  *1 1, N 2,3, ,ia a i m    ；②存在  2,3, , 1n m  ，使得   1 1, 2 , 1 1 11, , 1 2 k k k n a a n k m             ，并记   max 是 的最大项,1  i kM i a a k n ．则称数列 na 具有性质． (1)若 44, 2m a  ，写出所有具有性质的数列 na ； (2)若 2025m  ， 2025 16a  ，求 na 的最大项的最大值； (3)若 20252Ma  ， 1ma  ，且 na 满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足1 s t M   的项 sa 和 ta ， 在 na 的余下的项中，总存在满足1 p q M   的项 pa 和 qa ，使得 s t p qa a a a   ；（ⅱ）对于满 足M s t m   的项 sa 和 ta ，在 na 的余下的项中，总存在满足M p q m   的项 pa 和 qa ，使 得 s t p qa a a a   ．求满足上述性质的m的最小值． 2025届高三年级八月智学联考数学答案详解 1.【答案】B 【详解】解不等式x2-x-2≤0，得-1≤x≤2，即A=-l,2],函数y=ln(x-)有意义，得x-1>0,解得 x>1,则B=1,+∞，(AB)=(o,,所以An(AB)=[1,.故选：B. 2.【答案】A 【详解】因为-三=1+i,所以1-2=(e-)-1+),即(2+i):=i,所以2=，i z-i 2+i 上212】5+，所以：对应的点的坐标为 12 5'5 位于第一象限.故选：A 3.D 【分析】对1a-Ha+21两边平方化简可得6+2ab=0,再对1a+b平方化简后再开方即可. 【详解】1a-bHa+2b1两边平方得，a2+6-2a6=a+462+4a6) 所以6+2a6=0,所以a+b=a+6+2a6=aP=9,所以a+b上3，故选：D. 4.【答案】D 【详解】易知n=8, mG-m>0)的展开式的二项式系数之和2”=a-川，m=3,则 3-- 展开式的通项公式：C 令8-3 =-5.r=6,所以的系数为C×32=252.故选：D. D 5.【答案】C 【详解】片=5,5=10，母线长1=10。圆台的高h=V102-52=5√5，则圆台上下底 h 面面积为S,=π×52=25元，S2=π×102=100π，由圆台的体积计算公式可得： v-++kh-175x55=875 .故选：C. 3 6.【答案】A 【详解】因为函数f(x)=2(m∈R)为偶函数，则f(-x)=f(x)即+m=卜x+m,即4r=0对于x∈R 恒成立，所以m=0,即f(x)=2.a=flog,0.8)=f(-log20.8)=flog21.25),因为y=3在R内单调 递增，则35>3>1，y=og,x在定义域内单调递增，则0=l0g:1<10g:1,25<16g:5=<1易知。 f(x)=2在(0，+o)上单调递增，所以a<b<c·故选：A. 7.【答案】C 【详解】)=2cos2ax+sn20r-1=cos2or+sin20r=V5sn20r+引因为f)的图象关于直线 =轴对称，所以f)5n管+}5，故管+-ke,即w=6+kez,当 64 +子=+2，即x=+低keZ时，函数f()取得最小值，因为)在(0写 20r+÷=- 上没有最小值， 42 8@ 所以品2登即0s号由=6+子片解得人≤名故长=0，得0号 8w3 8【答案】A 【详解】抛物线的焦点F(0,3),圆M:(x-2)+(y-2)=4,其圆心M(2,2),半 径r=2.设点N(xy)是满足N0=2NF的任意一点，则2+2=4x2+y-3门化 简得x2+(y-4)=4.所以AB是圆M与圆N的公共弦，将圆M与圆N的方程相 减得，直线AB的方程为x-y+2=0,取线段AB的中点E,连接PE,则 M=B2+3-5,则PEL=反+2PE=2万，故选：A √2 9.【答案】AC 【详解】数据从小到大排列为1,1,2,3,3,3,3,4,5,5.对于A,该组数据的极差为5-1=4，故 A正确：对于B,众数为3，平均数为1x2+2+3×4+4+5×2=3,两者相等，故B错误：对于C, 10 -3x2+e-3x1+B-3或x444-1+(6-3x2习]-18，故c正确：对于D10x0%=8 ,这组数据的80%分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D错误，故选：AC. 10.【答案】ABD 【详解】'4GA-A8cD=P正-'44n= 所以A正确，因为DDL平面ABCD,所以∠DED是直线DE 20 与平面ABCD所成的角，依题设，∠D,ED-牙→DE=2,又在矩形ABCD内，所以B正确：当点E在 对角线DB上时，平面CDE即为平面CDB,因为CD‖AB,CDC平面ABD,所以C,B‖平面AB,D, 同理CEI平面ABD,又因为C,DOCB=C,所以平面CDB‖平面ABD,故C错误：对于D:容易 求得正四面体D-AB,C的高有=45，设正四面体D-ABC的内切球O的半径是r,，则 3 ☑c票Sch=4g,所以r=4片，设半径是7的球Q的内接正四面体的边长为0，败 将内接正四面体补形成边长为20的正方体，则0=5，解得a=25 >0.93,所以D正确. 2 43 3 11.ABD【详解】对于A:由g(2x+)为奇函数，则g(2x+)+g(-2x+I)=0, 则g(x+1)+g(-x+1)=0,即g(x)的图象关于点(L,0)对称，故A正确： 对于B:由g(x+)为奇函数，则g(x+)+g(-x+I)=0, 即得f(x+I)-f(-x+I)=c,c为常数，令x=0,即得f)-f)=c,则c=0, 故f(x+l)-f(-x+1)=0,即f(x)-f(2-x)=0,则f(x-2)-f(4-x)=0, 又f(x+2)为奇函数，所以f(x+2)+f(-x+2)=0, 即f(x)+f(4-x)=0,可得f(x-2)=-f(x),故f(x-2)=-f(2-x), 故f(-x)=-(x),即f(x)+f(-x)=0,即f(x)是奇函数，故B正确： 对于C:由于f(x)+f(4-x)=0,故f(4-x)=-f(x)=f(-x),即f(4+x)=f(x), 故4是f()的一个周期， 又f'(x)-∫'(4-x)=0,即g(x)=g(4-x),所以g(x)为周期为4的周期函数， 因为g(2x+I)+g(-2x+1)=0,所以g(1)+g(1)=0,即g()=0, 所以g(2025)=g(4×506+1)=g(1)=0,故C错误： 对于D:因为f(x)是R上的奇函数，故f(0)=0,f仙)=1，结合f(x)-f(2-x)=0得f(2)=0, f(3)=f(2-3)=f(-1)=-f①)=-1，f(4)=f(0)=0, 故觉f)=506/0+f+6+4=6.故D正确. 故选：ABD 12.【答案】65 【详解】由余弦定理BC=A8+AC-2B.4Co:得64=49+4C2-14C×》 解得AC=3(负 值舍).所以，△4BC的面积S.c=besin4=6N5,故答案为：6N5. 13.【答案】2 【详解】由a,=4n+2-Sa+Sn,得an+al=4n+2,又an=a+(n-1)d,an1=a+nd,则 2a,+(2n-10d=4n-2,从而a,=2 【详解】边接AF,BF,由A,B关于原点对称，可知四边形FAFB是平行四边形， 即FA=5卧，∠FBR=子，F团=4F得：F团=4F, 又由双曲线的定义得F团-下=2a,解得F团-号-号。 再由余弦定理得：FF2=FB2+FB2-2FB·F,Bcos∠FBF, 4c2=64n3 82 0a2+4a2-2×5a2a·cos9 9 3 39 即e=3 3 2 故渐近线方程为：y=±。x, 3 I5.【详解】(1)证明：过点P作直线PO⊥BD于点O,因为平面PBD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD, CQC平面ABCD,所以PO⊥CQ,PB⊥CQ,所以CQ⊥BD.由四边形ABCD是直角梯形，且 AB=V5,BC=2AD=2,AB⊥BC.在直角△ABD中，BD=√AB+AD=2,可得DC=2,∠BCD= 3 从而△BCD是等边三角形，CQ⊥BD,∠CBD=号，所以∠BCQ=石，从而 BQ=BC.n∠BC0=2nz=2g，A0=AB-B0=2,所以40：0B:2·5分 3 (2)解：因为PB=PD,所以O是BD的中点，连接OC 因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,所以PO⊥平面ABCD, SucnPO p ,所以PO=3. 32 P0=3 2 以O为原点，以OB,OC,OP所在的直线分别为x,,:轴建立空间直角 坐标系，在等边△BCD中，OC=√3，如图， B(1,0.0),C0,5,0)D(H,0.0P0,0,3),可得 PD=(-1,0,-3,PC=(0,V3,-3),设平面PCD的一个法向量为 m·PD=-x-3z=0 n1=(x,y,z), 则 解得x=-3z,y=√3z, n·PC=V3y-3z=0 法向量元=z(-3,5,)令：=1得，m-（-3,V3,1,而n,=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，所以二面角 几1·n 1 3 P-CD-A的余弦值CosB= 3113· ……·。4。*·4”◆·。◆…4…13分 【备注】儿何法给满分 16.【详解】(1)若a=。 设切点横坐标是1，则切线斜率k=了0)=，切线方程是 2 11 y-e2 2X-）……2分 2 因为切线过原点，所以0-。宁中0-小解得，1=2，所以切线方程是y=号：…6分 e' (2)首先注意到f(0)=e,g(x)=er1-2x+e,x>0,g'(x)=aer-2, ①若a≤0，则g'(x)<0在x>0时恒成立，故g(x)单调递减，则对所有x>0,g(x)<g(0)=0,不满 足题意，故舍去； ……8分 国若a>0,则g)=e"引令g0得，后-小令g到0得后-小所 以，g)在子-刃月上单调递减8()在子-小+树小上单调递指。 ()若0<a<子则n子1，即2-小0，所以g(在0后止单调递减， 2-小+上单调适增，则g=fn子-儿水fo)=0不满足题意，故含去 ()若a≥径，则h子31，即n名0，所以g)在(@，+o)上单调造增，则对所有x>0, g(x)>f(0)=0,符合题意. 2 综上所述，a的取值范围是 …15分 e 【备注】用切线放缩做，只要过程严谨，给满分 17.【详解】(1)由题意P(X>305)=1-P(X≤4-o)≈1-1-0.6827)=0.84135，若某天该商场有200 位顾客，估计该天消费额X在(305，+∞)内的人数为0.84135×200=168.27≈168：··6分 2)设X的取值为0,1020，则PX=0)=-引x[-引-G 311.13115 P(X=10)=2× …13分 43344^3^348 PX=2)=1-PX=0)-PX=1)=, 所以X的分布列为 X 0 10 20 1 5 P 16 48 6 数学期望E(X)=0x 16 0x48+20x5425 6+10x5 …15分 624 【备注】第二问，讨论A为一类或二类给满分，只要最终结果出现 就行 a-c=1 I7.【详解】(1)由椭圆上的点到焦点的最近距离是1，故a-c=1,则 Va2+b=√万，解得a=2,b=5, a2=b2+c2 C=1,即椭圆E的方程为”+广 …………5分 43 （2设小c小，由题可知，4-20，则长五与=在2所以4长 2 53+2(x+2)+4 y=k(x-4) ①.由题意，设BC所在的直线方程为y=k(x-4),联立 +上=1可得，(B+4)r-32kx+64k2-12=0, 43 且△=(-32k2)-4(4k2+3)64k2-120, 32k2 解得0<<)依据韦达定理，+53+4状' 64k2-12 3+4k21 ……………7分 设直线B的方程为在2+2引.直线4C的方程为7产2r+2), +2 则依题设， ,片=(：-4)，乃=(x-4),则 、x+2 MN= 6y2 6yx2+12-6y2x-12y 36k-36k =|36k× x-x2 10分 x+2x2+2 x5+2(x+2)+4 xx3+2(x+x2)+4 xx2+2(x+x)+4 1024k4256k2-48 +-4x5 (3+42) 3+4k2 即MW=36k 36 144k2 化简得 x52+2(x+x)+4 3+42 MN=|36k× V144-576k2 1-42 144k2 …川4分 依愿设，w-3侵-4=35，所以k=号满足0<<兮合题意.…16分 综上所述，直线的斜率k=士 0………17分 【备注】不检验A扣一分 19.【详解】(1){an}有三种结果：1,1,2,2或1,2,2,2或1,2,4,2：…4分 (1)当m=2025时，ne{2,3,,2024.由4=1,1s4≤2，，1≤0≤2,1≤0≤2， a。-2 da-1 累乘得1≤0n≤2①：…5分 又由1sa≤21s0L≤2，…，1sm≤2,1s8t≤2,1sams≤aas a024 a3025 累乘得1≤≤20am②：…6分 将①②相乘得1≤a≤2as,又a,eN,ams=l6,所以1≤a,≤2o ……………………7分 所以数列{a}的最大项的最大值为2+，满足条件的数列为 (n=12.…,1015) a= 12209-”(n=1016,1017,,2025) ……………………………9分 (3)①讨论项数满足1≤k≤M的情况： 因为数列a,}满足：当1≤n≤M-1时1s1≤2，a=l,所以0≤a,≤2， 又因为当1≤i≤M-1,都有a∈N”,所以a2=1或%=2，…10分 当a=2时，a,≥a≥2，此时aa=2<aa4,这与在剩下的项中总存在满足1≤p<g≤M的项a,和a。, 使得a,a=a。a,矛盾，所以a2=1,类似的，必有a=1,a,=1,a=2,4=2,…12分 由a,·a,=a。·a,得前6项任意两项之积小于等于4时，均符合，要使得m值要尽量小，则需要每项尽可能 大，且则a5*a6=4=a"a,a,=2, 同理，4=2，a,=2,,au-6=2,由对称性得最后6项为au=a4=aw-2=a=25, aM4=0w5=2,…14分 当{a}中间各项为公比为2的等比数列时，可使得M值最小，且M的最小值为Mm=6+2022+6=2034, 满足已知条件. ②讨论项数满足M≤k≤m的情况： 类比①可知ay=a41=a42=a3=225，aw4=aw45=224，aM6=2，aw47=222，，an7=2, am6=2',am5=2,an4=2,an-3=am-2=01=0n=2°=l.…16分 综上所述，m的最小值mm=2034×2-1=4067.故答案为：4067.………·17分 【备注】1.第一问多写一种情况扣一分：2，第二问不给出数列的构造不扣分：3.计数错了，但是过程正确。 酌情扣分：