精品解析：湖南省娄底市第二中学2023--2024学年下学期九年级数学期末模拟试卷（五）

2023年下学期期末数学模拟试卷（五） 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，将点代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：D． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：， 移项得 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得： 配方得． 3. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 4. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积等于4， ∴ ∴ 故 故选：B 5. 如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，根据，可得，根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故选项A错误； ∵， ∴，，， ∴ 故选项B错误；C正确， ∵，， ∵，， 故选项D错误； 故选：C． 6. 为深入贯彻习近平总书记关于教育的重要论述，全面贯彻党的教育方针，落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校倡议学生参加家务劳动，小明记录了连续五个周的劳动时间（单位：小时）分别为13，9，11，13，14，则这组数据的中位数和方差为（ ） A. 13，3.2 B. 11，3.2 C. 11，3 D. 13，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的定义及方差的定义直接计算即可． 【详解】解：根据中位数的定义，将13，9，11，13，14由小到大排列得：9，11，13，13，14，得出中位数是：13； 先计算出五个数的平均数为：， 故： 故选：A． 【点睛】本题考查了中位数及方差的就算，解题的关键是：掌握中位数及方差的定义，能通过定义计算得到答案． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是(   ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次的定义，以及判别式的意义，据此先得到，从而即可求出的取值范围． 【详解】解：根据题意 解得且 故选：D． 8. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ） A. 1 ：3 B. 1：6 C. 1：9 D. 3：1 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案． 【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：C． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 9. 一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意给出公式即可求出答案． 【详解】解：sin15°＝sin（45°﹣30°） ＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30° ＝ ＝ 故选A． 【点睛】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用特殊角锐角三角函数的值，本题属于基础题型． 10. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值． 【详解】解：根据题意知， 点N的横坐标的最大值为4，此时点P和点B重合，即抛物线的对称轴为：， N点坐标为，则M点坐标为， 点P和点A重合，点M的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为：， N点坐标为，则M点的坐标为， 点M的横坐标的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由得出，再代入进行计算即可，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 已知，是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的综合应用，利用根与系数的关系，求出，，再代入计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可． 【详解】解：∵为的黄金分割点，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在地面上的点处测得滑雪赛道顶端点的仰角为度； 米，则赛道的长度为_____________米(用含的代数式表示)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形仰角俯角问题；直接根据正弦函数定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有______.（只需填写结论序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．由抛物线的开口方向以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图可知， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ①，错误； ②∵的图象经过点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∴，正确； ③由图象可知，抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程有两个相异的实数根，正确； ④∵函数的最大值为， ∴，即，正确． 故答案为：②③④． 16. 在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上．，，，…都是等腰直角三角形，如果，，那么点的纵坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先求出直线的解析式，求出直线与轴、轴的交点坐标，分别过等腰直角三角形的直角顶点向轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用勾股定理依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到的坐标，进而得出各点的坐标的规律．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：，在直线上， ， 解得， 直线解析式为； 设直线与轴、轴的交点坐标分别为、， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为，， 作轴于点，轴于点，轴于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设， 点在直线上， ，解得． ， ， ， ， 同理可求，第四个等腰直角三角形， 依此类推，点的纵坐标是． 的坐标是， 故答案为． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算或解方程： （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）5；（2），． 【解析】 【分析】（1）首先根据根式的化简、特殊锐角三角函数的值、负整数指数幂的意义、绝对值的意义分别求出其值，再依次计算加减即可求出答案； （2）根据十字相乘法即可求出答案． 【详解】（1） ． （2）∵，∴， 则或， 解得，（方法不唯一）． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、解一元二次方程，熟练运用运算法则以及找到合适的解题方法是解答本题的关键． 18. 如图，中，是斜边上的高，． （1）求证； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）依据，，即可判定； （2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到比例式，代入数据即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ， ∴． ∵是线段 ∴舍去， 即 19. 若关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两根分别是、，且满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出方程解答即可，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：设方程的两根分别是、， ∴，， 又∵， ∴，即 ∴， ∴， 解得：，符合题意． 20. 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于小时为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中共调查了多少名学生？ （2）求户外活动时间为小时的人数，并补充条形图； （3）求表示户外活动时间小时的扇形圆心角的度数． 【答案】（1） （2） ， 补全条形统计图； （3） 【解析】 【分析】由总数某组频数频率计算； 户外活动时间为小时的人数总数；再补全条形图即可； 扇形圆心角的度数比例． 【小问1详解】 解：调查人数人； 【小问2详解】 户外活动时间为小时的人数人， 【小问3详解】 表示户外活动时间小时的扇形圆心角的度数． 【点睛】本题考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21. 避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】根据，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：m， ∵， ∴，即， 解得：m， ∴m ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键． 22. 如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1），；（2）12． 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入m的值，得出A的坐标代入，求出一次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用B点的坐标求得的解析式； （2）根据一次函数解析式求得点C的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOB的面积； 【详解】解：（1）∵，在函数的图象上， ∴m=5， ∴A(-2，5)， 把A(-2，5)代入得：， ∴b=4， ∴一次函数的表达式为：， ∵在函数的图象上， ∴n=2， ∴， 把代入得：2=，∴k=8， ∴反比例函数的解析式为：； （2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：， ∴当x=0时，y=4， ∴点C（0，4），即OC=4， ∵A(-2，5)，， ∴=×4×2+×4×4=12； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C点坐标是解题的关键． 23. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】（1）两次下降的百分率为 （2）每件商品应降价2.5元 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程求解即可； （2）设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为，由题意，得 ， 解得（不符合题意，舍去）． 答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得 ， 解得：，， ∵有利于减少库存， ∴ 答：要使商场每天销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元． 24. （1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 （1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴； （2）3；（3）4或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 25. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点． （1）直接写出：点坐标________，点坐标________；抛物线的解析式是________； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1），， （2）8， （3）或 【解析】 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令，便可求得点坐标； （2）过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标； （3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【小问1详解】 解：令，得， ∴， 令，得，解得，， ∴， 把、两点代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， 解得，，或， ∴； 【小问2详解】 过点作轴，与交于点，如图， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为8， 此时的坐标为； 【小问3详解】 ∵将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图， ∴，， 当时， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， ∴， 当点在抛物线上时，有， 解得，或2， ∴， ∴， 当时， 同理可得：． ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键再求函数的解析式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年下学期期末数学模拟试卷（五） 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ） A. 8 B. C. 4 D. 5. 如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为深入贯彻习近平总书记关于教育的重要论述，全面贯彻党的教育方针，落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校倡议学生参加家务劳动，小明记录了连续五个周的劳动时间（单位：小时）分别为13，9，11，13，14，则这组数据的中位数和方差为（ ） A. 13，3.2 B. 11，3.2 C. 11，3 D. 13，3 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是(   ) A. B. C. 且 D. 且 8. 已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ） A. 1 ：3 B. 1：6 C. 1：9 D. 3：1 9. 一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为______． 12. 已知，是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为______． 14. 如图，在地面上的点处测得滑雪赛道顶端点的仰角为度； 米，则赛道的长度为_____________米(用含的代数式表示)． 15. 如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有______.（只需填写结论序号） 16. 在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上．，，，…都是等腰直角三角形，如果，，那么点的纵坐标是___________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算或解方程： （1）计算： （2）解方程：． 18. 如图，中，是斜边上的高，． （1）求证； （2）求的长． 19. 若关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两根分别是、，且满足，求k的值． 20. 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于小时为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中共调查了多少名学生？ （2）求户外活动时间为小时的人数，并补充条形图； （3）求表示户外活动时间小时的扇形圆心角的度数． 21. 避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 22. 如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 23. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？ 24. （1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 25. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点． （1）直接写出：点坐标________，点坐标________；抛物线的解析式是________； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $