2024-2025学年冀教版九年级数学上册一课一练基础练习

冀教版九年级数学上册一课一练基础练习 第二十三章　数据分析 23. 1 平均数与加权平均数 第1课时　算术平均数 1．日常生活中，我们常用____________表示一组数据的“平均水平”． 2．数据3，4，5，6的平均数是______． 3．一次数学测验中，3名同学的数学成绩分别是60分，80分，100分，则他们的平均成绩为________分． 1．一般地，我们把n个数x1，x2，…，xn的和与n的比，叫做这n个数的____________，简称平均数，记作______，读作“x拔”，即______________________． 2．平均数是一组数据的____________，它反映了数据的“____________”． 3．数据85，80，85，90的平均数是(　　) A．80 B．85 C．90 D．95 4．[2023邢台期末]一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a＝(　　) A．0 B．3 C．4 D．5 5．[2023重庆期末]某区某个月连续5天中午12时的气温(单位：℃)为：26，28，29，29，28，则这5天中午12时的平均气温为________℃. 6．某校七年级篮球队12名同学的身高(单位：厘米)如下： 171，168，170，173，165，178，166，161，176，172，176，176. 求全队同学的平均身高． 知识点1 算术平均数 [2023唐山古冶区期末]一组数据3，4，8，5，6的平均数是________． 变式1已知数据a，b，c的平均数为8，那么数据a＋1，b＋2，c＋3的平均数是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 算术平均数的应用 [2023丽水中考]青田县“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，现有一农户在5块面积相等的稻田里养殖田鱼，产量(单位：kg)分别是：12，13，15，17，18.则这5块稻田的田鱼平均产量是________kg. 变式2[2023佛山月考]某市去年5月21日～26日每天的最高气温统计如下表： 日期/日 21 22 23 24 25 26 最高气温/℃ 22 22 20 23 23 25 则这几天该市每天的最高气温的平均数是________． 知识点3 用计算器求平均数 利用计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下： ，则输出的结果为(　　) A．1 B．3.5 C．4 D．9 变式3已知一组数据：9.9，10.3，9.8，10.1，10.4，10，9.8，9.7，利用计算器求得这组数据的平均数是________． 第二十三章　数据分析 23. 1 平均数与加权平均数 第2课时　加权平均数 1．一次数学测验中，某学习小组六名同学的成绩(单位：分)分别是110，90，105，91，85，95，则该小组的平均成绩是(　　) A．94分 B．95分 C．96分 D．98分 2．一组数据x1，x2，x3，x1，x1的平均数是(　　) A．3x1＋x2＋x3 B. C. D. 3．有一组数据：1，2，1，2，3，2，2，3，这组数据的平均数是________． 1．已知n个数x1，x2，…，xn，若w1，w2，…，wn为一组正数，则把叫做n个数x1，x2，…，xn的______________， w1，w2，…，wn分别叫做这n个数的________，简称为________． 2．从一组数据中取出2个1，1个4，3个2组成一个样本，那么这个样本的平均数是(　　) A．1　 B．4　 C．2　 D．3 3．小明记录了唐山市九月份某周每天的最高气温(单位： ℃)，列成下表： 最高气温/℃ 22 26 28 29 天数/天 1 2 1 3 则这周每天的最高气温的平均值是(　　) A．26.25 ℃ B．27 ℃ C．28 ℃ D．29 ℃ 4．一次数学测验，100分的有7人，90分的有14人，80分的有17人，70分的有8人，60分的有3人，50分的有1人，则这次测验的平均成绩是(　　) A．80分 B．81分 C．82.2分 D．83分 5．某外卖员十二月份的送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于或等于3公里 大于3公里 占比 70% 30% 送餐费 4元/单 6元/单 则该外卖员十二月份平均每单送餐费是______元． 知识点1 加权平均数的计算 [2023温州鹿城区期中]一组数据，有4个数的平均数为20，另外16个数的平均数为15，则这20个数的平均数是(　　) A．16 B．17.5 C．18 D．20 变式1下表中若平均分为2分，则x等于(　　) 分数/分 0 1 2 3 4 学生人数 x 5 6 3 2 A.0 B．1 C．2 D．3 知识点2 加权平均数的应用 某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼，规定体育科目学期成绩满分为100分，其中平时表现(早操、课间操)、期中考试和期末考试成绩按比例3∶2∶5计入学期总成绩．甲、乙两名学生的各项成绩如下表： 学生 平时表现/分 期中考]试/分 期末考试/分 甲 96 91 86 乙 82 97 90 则下列说法正确的是(　　) A．甲、乙二人的总成绩都是90分 B．甲、乙二人的总成绩都是89分 C．甲的总成绩是90分，乙的总成绩是89分 D．甲的总成绩是89分，乙的总成绩是90分 变式2－1[2023保定期末]某校组织了“中国梦·航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩(单位：分)． 项目　 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 班次 甲 80 85 90 乙 90 80 85 如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按4∶3∶3的比例确定最后成绩，则最后成绩高的为________班． 变式2－2学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩．某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是________分． 第二十三章　数据分析 23. 1 平均数与加权平均数 第2课时　加权平均数 1．一次数学测验中，某学习小组六名同学的成绩(单位：分)分别是110，90，105，91，85，95，则该小组的平均成绩是(　　) A．94分 B．95分 C．96分 D．98分 2．一组数据x1，x2，x3，x1，x1的平均数是(　　) A．3x1＋x2＋x3 B. C. D. 3．有一组数据：1，2，1，2，3，2，2，3，这组数据的平均数是________． 1．已知n个数x1，x2，…，xn，若w1，w2，…，wn为一组正数，则把叫做n个数x1，x2，…，xn的______________， w1，w2，…，wn分别叫做这n个数的________，简称为________． 2．从一组数据中取出2个1，1个4，3个2组成一个样本，那么这个样本的平均数是(　　) A．1　 B．4　 C．2　 D．3 3．小明记录了唐山市九月份某周每天的最高气温(单位： ℃)，列成下表： 最高气温/℃ 22 26 28 29 天数/天 1 2 1 3 则这周每天的最高气温的平均值是(　　) A．26.25 ℃ B．27 ℃ C．28 ℃ D．29 ℃ 4．一次数学测验，100分的有7人，90分的有14人，80分的有17人，70分的有8人，60分的有3人，50分的有1人，则这次测验的平均成绩是(　　) A．80分 B．81分 C．82.2分 D．83分 5．某外卖员十二月份的送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于或等于3公里 大于3公里 占比 70% 30% 送餐费 4元/单 6元/单 则该外卖员十二月份平均每单送餐费是______元． 知识点1 加权平均数的计算 [2023温州鹿城区期中]一组数据，有4个数的平均数为20，另外16个数的平均数为15，则这20个数的平均数是(　　) A．16 B．17.5 C．18 D．20 变式1下表中若平均分为2分，则x等于(　　) 分数/分 0 1 2 3 4 学生人数 x 5 6 3 2 A.0 B．1 C．2 D．3 知识点2 加权平均数的应用 某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼，规定体育科目学期成绩满分为100分，其中平时表现(早操、课间操)、期中考试和期末考试成绩按比例3∶2∶5计入学期总成绩．甲、乙两名学生的各项成绩如下表： 学生 平时表现/分 期中考]试/分 期末考试/分 甲 96 91 86 乙 82 97 90 则下列说法正确的是(　　) A．甲、乙二人的总成绩都是90分 B．甲、乙二人的总成绩都是89分 C．甲的总成绩是90分，乙的总成绩是89分 D．甲的总成绩是89分，乙的总成绩是90分 变式2－1[2023保定期末]某校组织了“中国梦·航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩(单位：分)． 项目　 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 班次 甲 80 85 90 乙 90 80 85 如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按4∶3∶3的比例确定最后成绩，则最后成绩高的为________班． 变式2－2学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩．某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是________分． 第二十三章　数据分析 23.2 中位数和众数 第2课时　平均数、中位数、众数的综合运用 1．某青年排球队12名队员的年龄情况如下表所示： 年龄/岁 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这12名队员的平均年龄是(　　) A．18岁 B．19岁 C．20岁 D．21岁 2．[2023黄石中考]我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是：9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1.这组数据的众数和中位数分别是(　　) A．9.1，9.1 B．9.1，9.15 C．9.1，9.2 D．9.9，9.2 3．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是________． 1．取________、________和________都是刻画一组数据集中趋势的方法，因为方法不同，所以得到的结论也可能不同． 2．平均数、中位数和众数从不同的角度反映了一组数据的集中趋势，在实际问题中应灵活选用．当考查数据的平均水平时，应计算________；当考查某个数据出现次数最多时，应选用________；当考查数据的中等水平时，一般选择________． 3．下表是某校女子乒乓球队12名队员的年龄分布： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 1 5 4 2 则关于这12名队员的年龄的说法正确的是(　　) A．中位数是14岁 B．中位数是15岁 C．众数是14岁 D．众数是15岁 4．某销售部门有7名员工，所有员工的月工资情况如下表所示： 人员 经理 会计 职工A 职工B 职工C 职工D 职工E 月工资/元 7 000 4 000 2 000 1 800 1 800 1 800 1 780 则比较合理反映该部门员工月工资的一般水平的数据是(　　) A．平均数 B．平均数和众数 C．中位数和众数 D．平均数和中位数 知识点　合理选择平均数、中位数和众数进行数据分析 [2023温州期中]某工艺品厂草编车间共有16名工人，调查每名工人的日均生产能力，获得数据如下表： 日均生产件数/件 10 11 12 13 14 16 人数 1 2 6 4 2 1 (1)这16名工人日均生产件数的平均数为________件，众数为________件，中位数为________件． (2)为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？ 变式1为了从嘉嘉、淇淇两名同学中选拔一人参加“希望杯”数学竞赛，在相同条件下对她们的数学知识进行了5次测验，成绩(单位：分)如下： 测验次数 1 2 3 4 5 嘉嘉的成绩 92 86 96 96 100 淇淇的成绩 94 100 92 90 84 (1)嘉嘉同学成绩的众数是多少分？淇淇同学成绩的中位数是多少分？ (2)分别求出这两名同学成绩的平均数． (3)如果测验分数在95分(含95分)以上为优秀，那么她们的优秀率分别是多少？ (4)你认为应选哪名同学去参加“希望杯”数学竞赛？说说你的理由． 第二十三章　数据分析 23.3 方差 1．小聪期末语文、数学、英语三科的平均分为122分，已知语文成绩是118分，英语成绩是125分，则他的数学成绩是(　　) A．122分 B．123分 C．124分 D．125分 2．[2023南京期中]改编甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩(单位：环)如下表： 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 (1)如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩(表中标记为？)是________． (2)在(1)的条件下，现需要从甲、乙两名运动员中选出一人参加比赛，你认为选谁更为合理？请说出你的理由． 第二十三章　数据分析 23.4 用样本估计总体 1．为了判断甲、乙两个小组学生的英语口语测验成绩哪一组较为整齐，通常需要知道两组成绩的(　　) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 2．下列说法中正确的是(　　) A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大 B．平均值反映数据的集中趋势，方差则反映数据偏离平均值的波动大小 C．方差的求法：求出各个数据与平均值的差的平方后再求和 D．在记录两人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 3．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，他们的命中环数的平均数相同，方差s甲2＝4，s乙2＝2.5, 则射击成绩比较稳定的是(　　) A．甲 B．乙 C．甲、乙一样稳定 D．无法确定 4．已知x1，x2，x3的方差为a ，那么x1＋5，x2＋5，x3＋5的方差是________． 1．[2023秦皇岛期中]小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量(单位：度)，结果如下：9，11，7，10，8.根据这些数据，估计她家6月份的用电量为(　　) A．180度 B．210度 C．240度 D．270度 2．某渔场为了解某个鱼池中鱼的生长情况，从中捕捞10条测量鱼长，结果(单位：cm)如下：39.9，40，40.1，40，40.2，39.9，40，39.9，40，40，则我们可估计这个鱼池中鱼长的方差是________． 3．小红家今年有苹果树100棵，现进入收获期，收获时先随意采摘5棵树上的苹果，称得每棵树上的苹果质量(单位：千克)如下：50，49，51，52，48.估计今年小红家一共可收获苹果________千克． 知识点1 用样本平均数估计总体平均数 从鱼塘捕获同时放养的草鱼240条，从中任选8条称得每条鱼的质量(单位：千克)分别为：1.5，1.6，1.4，1.3，1.5，1.2，1.7，1.8，那么可估计这240条鱼的总质量为(　　) A．300千克 B．360千克 C．36千克 D．30千克 变式1[2023石家庄期中]某市初中毕业生进行了一项技能测试，有4万名考生的得分都是不小于70的两位数，从中随机抽取4 000个数据，统计如下表： 数据x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 个数 800 2 000 1 200 平均数 78 85 92 根据表格中的信息，可估计这4万个数据的平均数为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 用样本方差估计总体方差 为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取70株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，方差分别是3.5，10.9，则下列说法正确的是(　　) A．甲种秧苗出苗更整齐 B．乙种秧苗出苗更整齐 C．甲、乙两种秧苗出苗一样整齐 D．无法确定甲、乙两种秧苗谁出苗更整齐 变式2现有A，B两家农副产品加工厂到某公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿，检查人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量(单位：克)如下： A加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75 B加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75 (1)根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数； (2)根据鸡腿质量的稳定性，该公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 第二十四章　一元二次方程 24.1 一元二次方程 1．“元”和“次”是方程的术语，对于下面的理解，正确的有(　　) ①“元”是指方程中的未知数；② “次”是指次数；③“次”是指未知数的最高次数；④ “次”是指未知项的最高次数． A. 1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．[2023沧州期末]下列方程中是一元一次方程的是(　　) A．x＋3＝0　 B．x2－3x＝2 C．x＋2y＝7 D.＋3＝5 3．[2023石家庄裕华区期末]方程－3(★－9)＝5x－1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．[2023石家庄新华区期末]有一根竹竿和一条绳子，绳子比竹竿长4.5米；将绳子对折后，它比竹竿长了1米，则竹竿的长为多少米？若设竹竿的长为x米，则可列方程为____________． 1．只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的________方程，叫做一元二次方程，一元二次方程的一般形式是__________________． 2．一元二次方程的解也叫做这个方程的__________． 3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A．5x－3＝x B．x＋3y＝5 C．2x－x2＝3 D．x＋＝0 4．若x＝2是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根，则m＝________． 5．方程(3x＋2)(2x－3)＝5化成一般形式为________________，它的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 6．[2023济南槐荫区期末]公园原有一块正方形空地，如图， 后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(阴影部分)，原空地一边减少了3 m，另一边减少了2 m，剩余空地面积为56 m2，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为________________． 知识点1 一元二次方程的概念 [2023张家口宣化区期末]下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A．ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数) B．x2－x－2＝0 C.＋－2＝0 D．x2＋2x＝x2－1 变式1[2023唐山古冶区期中]方程xa－2x＋5＝0为一元二次方程，则实数a＝______． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 一元二次方程的一般形式 把方程(2x－1)(3x＋2)＝x2＋2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是(　　) A．5，－4 　 B．5，1 C．5，4 D．1，－4 变式2[2023沧州青县月考]方程(2x－1)·(x＋1)＝2化成一般形式为__________，它的二次项系数是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点3 一元二次方程的根(解) 下列各数①x＝－2；②x＝－1；③x＝0；④x＝1；⑤x＝.其中是方程2x2－5x＝0的根的是________．(填序号) 变式3[2023保定期末]关于x的一元二次方程x2＋mx＋4＝0有一个根为1，则m的值为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点4 用一元二次方程刻画实际中的数量关系 [2023邢台期中]如图，将一张七寸照片(长7英寸，宽5英寸)贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同，且矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则可列方程为____________． 变式4我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为________________． 第二十四章　一元二次方程 24. 2 解一元二次方程 第1课时　配方法 1．64的平方根是(　　) A．8 B．－8 C．±8 D．4 2．若x使(x－1)2＝4成立，则x的值是(　　) A．3 B．－1 C．3或－1 D．±2 3．解方程： (1)2(1－x)＝x＋5；　　　　　　(2)－1＝. 1．通过________，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用________，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做配方法． 2．用配方法解方程的一般步骤：(1)如果二次项系数不是1，就在方程的两边同时除以__________，将二次项系数化为1；(2)移项——把常数项移到方程的________；(3)配方——在方程的两边都加上__________________，使方程的左边成为一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；(4)用____________解一元二次方程． 3．[2023邢台襄都区月考]方程(x－3)2＝1的解为(　　) A．x＝1或x＝－1 B．x＝4或x＝2 C．x＝4 D．x＝2 4．用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(　　) A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28 C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1 5．用配方法解方程：x2－6x＋5＝0. 知识点1 直接开平方法 用直接开平方法解方程： (x＋1)2＝25. 变式1用直接开平方法解方程： (1)2(x－1)2＝8；　　(2)(x＋6)2－9＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解方程：x2－2x－1＝0. 变式2用配方法解方程： (1)x2＋8x＝9；　　　(2)x2－6x＋4＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解方程：2x2－4x－7＝0. 变式3用配方法解方程： (1)2x2＋4x＝6； (2)2x2－5x＋2＝0. 1．设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为x，各个数据与平均数偏差的__________分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2.____________的平均数叫做这组数据的方差，用s2表示，即s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]． 2．方差是反映一组数据波动范围的量．在样本容量相同的情况下，当数据分布比较分散时，方差________，当数据分布比较集中时，方差________． 3．一名学生军训时射靶10次，命中的环数分别为4，7，8，6，8，6，5，9，10，7.则这名学生射击环数的方差是________． 4．[2023湘潭期中]杭州第19届亚运会是继北京亚运会，广州亚运会后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事！在射击比赛中，分析甲、乙两名射击选手的10次比赛成绩的方差，发现s甲2>s乙2，则成绩比较稳定的射击选手是______(填“甲”或“乙”)． 知识点1　方差的计算 数据1，2，3，4，5的方差是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 变式1[2023保定一模白老师在黑板上计算一组数据的方差时，列式如下：s2＝，由上式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是(　　) A．中位数是4　　　　 B．众数是4 C．平均数是4 D．方差是 知识点2　方差的应用 [2023承德期末]下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息，请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是(　　) 选手 甲 乙 丙 丁 平均数/环 9.3 9.3 9.3 9.2 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A.甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式2[2023廊坊广阳区期末]甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩如图所示． (1)甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是________分、________分； (2)利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性； (3)结合数据，请再写出一条与(1)(2)不同角度的结论． 第二十四章　一元二次方程 24. 2 解一元二次方程 第2课时　公式法 1．用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是(　　) A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6 2．当a＝2，b＝－7，c＝5时，代数式的值是________． 3．解方程：2x2－6x－3＝0. 1．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，运用配方法可以求得x＝______________，这个式子叫做一元二次方程的________．利用求根公式解一元二次方程的方法叫做________． 2．我们把________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式． 3．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： 当b2－4ac＞0时，方程有两个________的实数根； 当b2－4ac＝0时，方程有两个________的实数根； 当b2－4ac＜0时，方程________实数根． 4．[2023保定莲池区月考]用求根公式解一元二次方程3x2－2＝4x时，a，b，c的值分别是(　　) A．3，－2，4 B．3，－4，2 C．3，－4，－2 D．3，4，－2 5．[2023石家庄裕华区模拟一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况为(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．一元二次方程x2＋x－1＝0的解是____________________． 知识点1 一元二次方程的根的判别式 不解方程，判断下列关于x的一元二次方程的根的情况． (1)2x2－3x＝－1； (2)9x2＋6 x＋2＝0； (3)3x2＋3＝－4x. 变式1－1[2023梅州月考]如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　) A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0 C．p2－4q＞0 D．p2－4q＜0 变式1－2下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　) A．(x＋2)2＝1 B．x2＝x C．x2－x＋1＝0 D．x2－3x－3＝0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 利用公式法解一元二次方程 解方程：(1)2x2－5x－1＝0； (2)3x2－2 x＝－1； (3)x2－2x＋3＝0. 变式2解方程： (1)3x2＋2x＝2； (2)2x2－2 x＋1＝0； (3)2x2－5x＋4＝0. 第二十四章　一元二次方程 24. 2 解一元二次方程 第3课时　因式分解法 1．如果a·b＝0，那么a＝________或b＝________． 2．你学过的因式分解中的平方差公式：a2－b2＝____________； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________． 3．分解因式：(1)x2－2x＝______________； (2)2a(x－y)－(x－y)＝______________； (3)2x2－4x＋2＝______________． 1．把一元二次方程的一边化为__________，另一边分解成两个________________的乘积，进而转化为两个______________方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2．[2023宿迁月考]方程x(x－1)＝0的根是(　　) A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝－1 3．[2023邯郸期末]用因式分解法解一元二次方程(x－1)2－4＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x－1＋2＝0，则另一个方程是________________，一元二次方程(x－1)2－4＝0的解是______________． 4．解方程： (1)(x－1)2－16＝0；　　(2) x(x－7)＝8(7－x)；　　(3)(x－1)2＝2x(1－x)． 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 解方程：(1)a2＋a＝0； (2)(y－1)2＝2y(y－1)； (3)16(x－7)2－9(x＋2)2 ＝0. 变式1用因式分解法解下列方程： (1)(x－1)2＝2x(1－x)； (2)(x－1)2 －4＝0； (3)x2－4 x＋8＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 用适当的方法解下列方程： (1)x2－4x－7＝0； (2)2x2－7x－2＝0； (3)2(x－3)2＝3(x－3)． 变式2用适当的方法解下列方程： (1)(2x＋3)2－25＝0； (2)x2－2x＝2x＋1； (3)(x＋2)2＝3(x＋2)． 第二十四章　一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 1．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根的判别式为______________，求根公式为________________． 2．完成下列填空：＋＝________，x12＋x22＝(x1＋x2)2－________，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－________． 1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________，即______________等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，__________等于常数项与二次项系数的比． 2．若一元二次方程的两根为x1，x2，则该一元二次方程可化为____________________． 3．若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是________，x1x2＝________． 4．[2023随州中考]已知一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为________． 5．[2023湘西州中考]已知一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝________． 6．[2023北京朝阳区期中]已知x1，x2是方程x2－x－1＝0的两个实数根． (1)填空：x1＋x2＝________； x1·x2＝________． (2)求代数式x12＋x22的值． 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 设x1，x2是方程3x2＋2＝1－4x的两个实数根，求x1＋x2和x1x2的值． 变式1－1[2023唐山期末]关于x的方程2x2＋6x－7＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2的值为(　　) A．3 B．－3 C．－ D. 变式1－2若一元二次方程x2－4x－3＝0的两个根是x1，x2，则x1·x2的值是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 根与系数的关系的应用 设方程2x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值． (1)＋；　　　(2)(x1－x2)2. 变式2－1[2023绥化中考]已知一元二次方程x2＋x＝5x＋6的两根为x1与x2，则＋的值为________． 变式2－2[2023承德月考]已知关于x的一元二次方程2x2－3x－2m2＝0. (1)若m＝1，求此方程的根； (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α－3β＝5，求m的值． 第二十四章　一元二次方程 24. 4 一元二次方程的应用 第1课时　图形问题 1．底为a、底边上的高为h的平行四边形面积为________；上底为a、下底为b、高为h的梯形面积为____________；对角线长分别为m，n的菱形面积为________；长为a、宽为b的长方形面积为________；边长为a的正方形面积为________． 2．已知一个正方形的周长为c，则这个正方形的边长为________，面积为________；若已知一个长方形的周长为m，宽为a，则其长为________，面积为________． 1．列一元二次方程解应用题的步骤一般可归纳为：①审题；②设________；③列__________；④解________；⑤检验；⑥写出答案． 2．面积问题：求解规则图形的面积问题，需记住常见图形的面积公式．求解不规则图形的面积问题，往往把不规则图形________成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程求解． 3．[2023哈尔滨中考]为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是(　　) A．x(x－6)＝720 B．x(x＋6)＝720 C．x(x－6)＝360 D．x(x＋6)＝360 4．[2023保定期末]已知一个矩形的周长为56 cm. (1)当该矩形的面积为180 cm2时，求矩形的长．设矩形的长为x cm，则根据题意可列方程为________________； (2)该矩形的面积________(填“能”或“不能”)为200 cm2. 5．[2023石家庄藁城区期末]学校计划在长为12 m、宽为9 m的矩形地块正中间建一个占地形状为矩形的劳动实践大棚，大棚占地面积为88 m2.建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域(如图)，这个宽度应设计为多少米？ 知识点1　面积问题[2023北京海淀区期末]用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长为42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边的长不超过7米，围栏宽忽略不计，若生态园的面积为144平方米，则生态园垂直于墙的一边长为________米． 变式1[2023佛山月考]如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少米时，猪舍面积为80平方米？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　甬道问题[2023广州期末]如图，有一块长为30米、宽为20米的矩形场地，计划在该场地上修建两条互相垂直的小道，横向小道与竖向小道的宽度比为2∶3，余下矩形场地建成草坪，草坪的面积为486平方米，则横向小道的宽为________米． 变式2[2023合肥期中]如图，某市近郊有一块长为60 m、宽为50 m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域(一边长均为a m)将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为x m，则a＝________(用含x的代数式表示)； (2)若塑胶运动场地总占地面积为2 430 m2，则通道的宽为________m. 第二十四章　一元二次方程 24. 4 一元二次方程的应用 第2课时　变化率问题和数字问题 1．李师傅家的超市今年1月份盈利3 000元，每月盈利的平均增长率为10%，则2月份盈利________元，3月份盈利__________元． 2．嘉淇学习非常认真，数学成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，她第二次月考数学成绩是________分，第三次月考数学成绩是________分． 3．国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，某品牌上衣原价是a元，第一次价格降低了15%，第二次价格又降低了15%，第一次促销活动中该上衣的价格是__________元，第二次促销活动中该上衣的价格是________元． 4．有连续两个偶数，其中较小的偶数记为a，则较大的偶数为________． 1．基数×(1＋________)2＝两次增长到的数，即a(1＋x)2＝b；基数×(1－________)2＝两次下降到的数，即a(1－x)2＝b. 2．临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为9万元，第三个月的销售额为14万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为(　　) A．9(1＋2x)＝14 B．2×9(1＋x)＝14 C．9(1＋x2)＝14 D．9(1＋x)2＝14 3．某校截止到2022年底，校园绿化面积为1 000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1 440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为________________． 4．学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树576棵，则该校植树棵数的年平均增长率为__________． 5．有连续两个偶数的乘积为728，则这两个偶数分别为________． 6．继续复习回顾第2题，如果知道嘉淇第一次月考]发挥失常，数学成绩为72分，第三次月考]数学成绩为98分，第二次和第三次月考]数学成绩的增长率均为n，那么n的值是多少？ 知识点1 变化率问题 2022年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，以后每年以相同的增长率投入，2024年该县投入“扶贫工程”144万元．求该县投入“扶贫工程”的年增长率． 变式1－1某厂家2024年1～5月份的自行车产量统计图如图所示，3月份的自行车产量不小心被墨汁覆盖．若2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率相同，则3月份的自行车产量为(　　) A．218辆 B．240辆 C．256辆 D．272辆 变式1－2某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x＞0)，则x＝________(用百分数表示)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　数字问题 [2023忻州月考]一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，则原来的两位数为________． 变式2小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为________． 第二十四章　一元二次方程 24. 4 一元二次方程的应用 第3课时　循环问题与销售问题 1．某学校开办足球联赛，规定每两个班级球队之间都要进行一场比赛，一共有6个班级，一共要比赛________场． 2．某班同学毕业时都将自己的照片给全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1 980张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为________________． 3．某酒店每个房间每天的房价为200元时， 30间房可以全部租出，房价每涨10元，平均每天少租出1间，据此规律，请回答：若每个房间每天的房价为220元，则酒店可以租出________间客房，酒店每天的总收入为________元；若每间房定价为x元，则酒店可以租出________间客房． 1．利润＝售价－________，总利润＝每件商品的利润×________． 2．一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1 980条，则可列方程为(　　) A.x(x－1)＝1 980 B．x(x－1)＝1 980 C.x(x＋1)＝1 980 D．x(x＋1)＝1 980 3．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现销售该种台灯平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 知识点1 循环问题 为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场．问该校八年级共有几个班？ 变式1一次足球联赛，赛制为双循环形式(每两队之间都赛两场)，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点2 销售问题 [2023石家庄栾城区期中]沃柑是零陵区最近几年引进种植的水果品种，它因色泽亮丽，口味甜美而迅速占领了零陵区的水果市场，今年恰逢沃柑大丰收，一水果商以每千克3元的价格购进了大量的沃柑，然后以每千克9元的价格进行销售，平均每天可以销售150千克，经调查发现，如果沃柑的售价每千克降低1元，那么平均每天的销售量会增加50千克，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售，如果该水果商销售的沃柑要每天保证盈利1 000元，那么每千克沃柑应降至多少元？ 变式2[2023南阳期末]某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现：当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，销售单价每增长1元，月均销量就相应减少10个． (1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于________元． (2)在(1)的条件下，当该种背包的销售单价为多少元时，销售这种背包的月利润是3 120元？ (3)这种背包的月销售利润有可能达到3 700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 第二十五章　图形的相似 25.1 比例线段 1．在200克水中放入20克盐，则盐与水的比是(　　) A. B. C. D. 2．甲、乙两数的平均数是40，甲、乙两数的比是3∶5，那么乙数是________． 1．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做____________，简称________． 2．比例的基本性质：(1)如果＝，那么________； (2)如果________，那么＝(b，d≠0)． 3．特别地，如果＝，即________，就把b叫做a，c的________． 4．在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，称为__________． 5．[2023石家庄期中]下列各组线段中，是成比例线段的是(　　) A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6 C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5 6．[2023宁波期中]如果x∶y＝2∶3，那么x∶(x＋y)＝(　　) A．2∶5 B．5∶2 C．3∶5 D．5∶3 7．已知＝＝，则的值为________． 8．[2023新乡期中]黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为12 cm，则AP的长度为________cm. 知识点1　线段的比 已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比为(　　) A．3∶4 　 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶2 变式1长方形的长为12 cm，宽为5 cm，则这个长方形的长与对角线的比为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　成比例线段 [2023承德期中]下列各组线段中，不是成比例线段的是(　　) A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，，， D．2，，2 ， 变式2已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则线段d的长为(　　) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点3　比例的基本性质 [2023邯郸邯山区期末]已知xy＝mn，则把它改写成比例式后，正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 变式3已知5a＝2b(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 知识点4　黄金分割点 [2023石家庄期末]大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，则下列结论中正确的是(　　) A．AB2＝AP2＋BP2 B．BP2＝AP·BA C.＝ D.＝ 变式4[2023邢台信都区期末]已知点C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，若AB＝8厘米，则BC＝(　　) A．(4 －4)厘米 B．(12－4 )厘米 C．(2 －2)厘米 D．(6－2 )厘米 第二十五章　图形的相似 25. 2 平行线分线段成比例 第1课时　平行线分线段成比例 1．若＝，则x＝________． 2．已知四条线段a，b，c，d满足＝，其中b＝3 cm，c＝4 cm，d＝5 cm，求a的长． 1．两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段__________． 2．两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段__________． 3．[2023上海闵行区期中]如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝6 cm，DH＝8 cm，AB＝12 cm，那么BG＝________cm. 　　　　　　　 知识点　平行线分线段成比例 如图，已知AB∥CD∥EF，BF＝20. (1)若AC＝3，CE＝5，求DF的长； (2)若AC∶CE＝2∶3，求DF的长． 变式1[2023驻马店期中]如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3. (1)如果AB＝8，BC＝4，EF＝12，求DE的长； (2)如果DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长． 第二十五章　图形的相似 25. 2 平行线分线段成比例 第2课时　平行线分线段成比例的推论 1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，AC＝11，EF＝4，则DE的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D. (第1题)　　(第2题) 2．如图，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BC＝6，则CE的长为(　　) A．2 B．4 C．3 D．5 1．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段__________． 2．平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边__________． 3．如图，DE∥BC，AD∶DB＝2∶3，EC＝6，则AE的长是(　　) A．3 B．4 C．6 D．10 (第3题)　　　　　(第4题) 4．[2023金华期末]如图，已知△ABC，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC.若AE＝4，AC＝8，AD＝5，则AB的长为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 5．如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，AC＝6，则AE＝________． 知识点1 平行线分线段成比例的推论1 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝(　　) A. B. C. D. 变式1如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳(线段AD1)，量得AE＝0.4 m，则AD1＝________m. 　　　　　　　　　　　　　 知识点2 平行线分线段成比例的推论2 [2023雅安中考]如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 变式2－1如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别交l1，l2，l3于点A，B，C和点D，E，F，连接AF，作BG∥AF.若＝，BG＝9，则AF的长为(　　) A．12 　 B．13 C．14 D．15 变式2－2如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，若DB＝4，DA＝2，DE＝3，则AC＝________． 第二十五章　图形的相似 25. 3 相似三角形 1．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，点B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5 cm，BF＝7 cm，则EC的长为________cm. 2．如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在AD上取一点E，连接CE.若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为________． 1．对应角__________、对应边__________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做它们的__________． 2．三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形可以看成是相似比为__________的相似三角形． 3．平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形__________． 4．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2，则(　　) A．∠A是∠A′的2倍 B．∠A′是∠A的2倍 C．AB是A′B′的2倍 D．A′B′是AB的2倍 5．[2023福州鼓楼区模拟如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，则∠E＝(　　) A．75° B．105° C．60° D．45° (第5题)　　　　　(第6题) 6．[2023成都双流区期末]如图，△ABC∽△CBD，AB＝4，BD＝6，则BC＝________． 知识点1 相似三角形的概念及其相似比如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝108°，求AB，OC的长和∠D的度数． 变式1如图，D是AB的中点，△ABC∽△ACD，且AD＝2，∠ADC＝65°. (1)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式； (2)求AC的值及∠ACB的度数． 知识点2 平行线判定两三角形相似 [2023哈尔滨香坊区月考]如图，在平行四边形ADBC中，点E是边AD的中点，EC交对角线AB于点F，则的值为________． 变式2如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么图中相似的三角形共有(　　) A．1对 　B．2对 C．3对 D．4对 第二十五章　图形的相似 25. 4 相似三角形的判定 第1课时　相似三角形的判定定理1 1．[2023芜湖期末]如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则有(　　) A．△ABD≌△AFD 　B．△AFE≌△ADC C．△AEF≌△DFC D．△ABC≌△ADE (第1题)　　　　(第2题) 2．[2023大同期末]如图，点D，A，E在直线m上，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E.若BD＝3，CE＝5，则DE＝________． 1．两角对应________的两个三角形相似． 2．已知一个三角形的两个内角分别是30°，70°，另一个三角形的两个内角分别是70°，80°，则这两个三角形(　　) A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．全等 3．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且∠AED＝∠ABC，若DE＝3，BC＝6，AB＝8，则AE的长为________． 　　　　　 知识点　两角对应相等的两个三角形相似 [2023广州越秀区二模如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点(不与点B，点C重合)，连接DE并延长，交AB的延长线于点F.求证：△CDE∽△AFD. 变式1如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D.△ABC与△ADE相似吗？为什么？ 第二十五章　图形的相似 25. 4 相似三角形的判定 第2课时　相似三角形的判定定理2 1．如图，AD＝BC，要利用SAS判定△ABC≌△CDA，则可以添加的一个条件是________． 2．[2023赣州模拟如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C. (1)求证：△ABE∽△ACD； (2)若D为AE的中点，BE＝4，求CD的长． 1．两边______________且________的两个三角形相似. 利用这种方法判定两个三角形相似时，寻找的条件必须满足“两边夹一角”，如果改为“两边与一组对应角”，这两个三角形就不一定相似了． 2．[2023葫芦岛二模如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是(　　) A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C.＝ D.＝ 3．如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC.求证：△DAB∽△EAC. 知识点　两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，E是AC上一点，且AB＝6，AE＝3，AC＝12. 求证：△ABE∽△ACB. 变式1如图，在等边三角形ABC中，点D，E 分别在AC，AB边上，且＝，AE＝BE， 连接DE，BD.求证：∠AED＝∠CBD. 第二十五章　图形的相似 25. 4 相似三角形的判定 第3课时　相似三角形的判定定理3 1．下列各组(每组两个)三角形中，不一定相似的是(　　) A．直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形 B．底角为40°的两个等腰三角形 C．有一个角为30°的两个直角三角形 D．有一个角为30°的两个等腰三角形 2．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠D＝45°，求∠EGC的大小． 1．三条边________________的两个三角形相似． 2．直角边和________对应成比例的两个直角三角形相似． 3．有甲、乙两个三角形，甲三角形的三边长分别为1，，，乙三角形的三边长分别为，2，，则甲、乙两个三角形(　　) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 4．[2023赣州一模如图，已知＝＝k，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你添加的条件是________________． 知识点1 三条边对应成比例的两个三角形相似 如图，已知O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．求证：△ABC∽△DEF. 变式1－1如图，D是△ABC内一点，连接BD并延长到点E，连接AD，AE，若＝＝，且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________． 变式1－2在△ABC与△A′B′C′中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，CA＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，C′A′＝24 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2 直角三角形相似的判定方法 如图，在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E＝90°，则△ABC与△DEF相似吗？说明理由． 变式2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，已知CD＝1，AD＝，AB＝2 .求证：Rt△ADC∽Rt△BAC. 第二十五章　图形的相似 25. 5 相似三角形的性质 第1课时　相似三角形的性质定理1 1．如图，△EFO∽△GHO，若FO＝12，HO＝6，GH＝4，则EF的长是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 (第1题)　　　　(第2题) 2．如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，△ADE∽△ABC.若AD∶AB＝4∶7，则DE∶BC＝(　　) A．16∶49 B．4∶7 C．4∶14 D．8∶7 3．如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝________． 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于______________． 2．如果两个相似三角形对应边之比为1∶3，那么它们的对应中线之比是(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶9 D．1∶81 3．两个相似三角形的相似比是2∶3，则其对应角平分线之比是(　　) A.∶ B．2∶3 C．4∶9 D．8∶27 4．如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，AG⊥BC于点G，交DE于点F，则AF∶AG＝(　　) A．2∶5 B．5∶2 C．5∶1 D．1∶5 知识点1 相似三角形对应线段的比 将△ABC的三边长分别增加50%得到△A′B′C′，若△ABC的高是4，则△A′B′C′中与之对应的高是(　　) A．9 B．6 C．5 D．2 变式1－1若两个相似三角形的相似比为1∶9，则这两个三角形的对应角平分线之比为(　　) A．1∶3 　B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 变式1－2如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为______． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点2 相似三角形对应线段的比的应用 如图，电灯P(看作一个点)在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离为9 m，求AB与CD之间的距离． 变式2[2023廊坊安次区二模图①是一个不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图②中的数据可得x的值为(　　) A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08 第二十五章　图形的相似 25. 5 相似三角形的性质 第2课时　相似三角形的性质定理2 1．若△ABC∽△DEF，且＝，则的值为(　　) A. B. C. D. 2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则AB∶A′B′为________． 1．相似三角形周长的比等于________________． 2．相似三角形面积的比等于________________． 3．两个相似三角形对应角平分线的比为4∶3，那么这两个三角形的面积的比是(　　) A．2∶3 B．4∶9 C．16∶36 D．16∶9 4．已知△ABC∽△DEF，面积比为9∶4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为(　　) A．3∶4 B．2∶3 C．9∶16 D．3∶2 5．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△DEF与△ABC的面积比为________． 6．[2023滁州期中]如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝3BD，S△ABC＝64，求S△ADE. 知识点1 相似三角形的周长比 [2023重庆中考]若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是(　　) A．1∶2 　B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 变式1已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为(　　) A．1∶1 　B．3∶2 C．6∶2 D．9∶4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 相似三角形的面积比 如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD. (1)求证：△ABC∽△DEC； (2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求CE的长． 变式2－1两个相似三角形的相似比是4∶9，则其面积之比是(　　) A．2∶3 　B．4∶9 C．9∶4 D．16∶81 变式2－2如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥ED于点F.若AD＝5，AB＝7，求： (1)的值； (2)△ADE与△ABC的面积比． 第二十五章　图形的相似 25. 6 相似三角形的应用 第1课时　利用相似三角形测高和距离 1．如图，已知D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，AE＝3k，EC＝2k，DE＝6，那么BC等于(　　) A．4 B．8 C．9 D．10 (第1题)　　　(第2题) 　　　 2．[2023衡水模拟如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15 cm，12 cm，0 cm，1 cm，若直尺宽BD＝1 cm，则AD的长为(　　) A. cm B. cm C．1 cm D. cm 3．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为________． (第3题) 1．利用影长测量物体的高度，通常利用“相似三角形对应边________”的原理来解决．在同一时刻物高与影长的比__________． 2．如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则旗杆CD的高度是(　　) A．9 m B．10.5 m C．12 m D．16 m (第2题)　　(第3题) 3．如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80 cm，步枪上的准星宽度AB为0.2 cm，目标的正面宽度CD为50 cm，则眼睛到目标的距离OF为________m. 4．如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2米宽的“亮区”DE，经测量BC＝1米，CE＝2米，那么窗口的高AB等于________米． (第4题) 知识点1 利用相似三角形测高度[2023保定竞秀区二模西周数学家商高总结了用“矩”(如图①)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A(人眼)望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG.若a＝30 cm，b＝60 cm，AB＝1.6 m，量得BG＝2.4 m，则物体的高EG为(　　) A．1.2 m　 B．2 m　 C．2.4 m　 D．2.8 m 变式1[2023石家庄期末]如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高(眼上部分忽略不计)为1.6米，则凉亭的高度AB为________米． 知识点2　 利用相似三角形测距离如图①是用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②是其工作的示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝AB，EF＝0.35米，则B，C之间的距离为________． 变式2如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数据，可知C，D两点间的距离是(　　) A．0.9 m B．1.2 m C．1.5 m D．2.5 m 第二十五章　图形的相似 25. 6 相似三角形的应用 第2课时　相似三角形的其他应用 1．如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中①号“E”字的高度BC为b，当测试距离为3 m时，②号“E”字的高度DF为(　　) A．5b B．3b C.b D.b (第1题)　　(第2题) 2．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．图②为其示意图，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝9 cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB(AB与CD相交于点O)，要把这块石头撬起，至少要将杠杆的点C向下压________cm. 3．小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A(如图)．设小明的手臂长l＝50 cm，小尺长EF＝20 cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40 m，则铁塔的高度为________m. (第3题) 1．测量河宽、管状物体的口径等问题，可以构造两个相似三角形，借助相似三角形的________相等来求解． 2．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为多少？答案是(　　) A. B. C. D. (第2题)　　　(第3题) 3．为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：如图，在地面取一点O，使AC，BD交于点O，且CD∥AB.若测得OB∶OD＝3∶2，CD＝40米，则A，B两点之间的距离为________米． 知识点1 利用相似三角形测量河宽、内径 [2023承德期中]如图，零件的外径为15 cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量，若测得OA∶OD＝OB∶OC＝3∶2，CD＝6 cm，你能求出零件的壁厚x吗？ 变式1为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺CD，把它放在地面上，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝________米． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 利用相似三角形求矩形的长和宽 [2023石家庄期中]如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120 mm，高AD＝90 mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为(　　) A．36 mm B．80 mm C．40 mm D．72 mm 变式2如图是一块三角形的铁皮，BC长为4 m，BC边上的高AD长为3 m，要将它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的长和宽． 第二十五章　图形的相似 25. 7 相似多边形和图形的位似 第1课时　相似多边形 1．下列说法正确的是(　　) A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似 C．锐角三角形都相似 D．等腰直角三角形都相似 2．在比例尺是1∶1 000的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，则这块土地的实际面积是(　　) A．200平方米 B．500平方米　　 C．2 000平方米 D．20 000平方米 3．相似三角形的对应角________，对应边的比________，对应边的比等于________． 1．若两个图形外形相似，则它们的形状________，而与它们的____________无关． 2．相似多边形的特征： 相似多边形的________相等，对应边的比________，反之，如果两个多边形的________相等，__________的比相等，那么这两个多边形相似． 3．[2023保定莲池区期中]如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 4．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列角的度数正确的是(　　) A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝76° (第4题)　　　　(第5题) 5．如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似且相似比为3∶4，CD＝2.4 cm，则C′D′＝________cm. 知识点1 相似图形 下列图形中，不是相似图形的有(　　) A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 变式1下列给出的图形中，不是相似图形的是(　　) A．所有的圆 B．复印出来的两个“谁”字 C．一副乒乓球拍 D．仅宽度不同的长方形木板 知识点2 相似多边形 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′. (1)α＝________，它们的相似比是________； (2)求x，y的值． 变式2如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求α，β 的大小和EH的长度． 第二十五章　图形的相似 25. 7 相似多边形和图形的位似 第2课时　图形的位似 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若EC＝0.9，则AE长为(　　) A．1.8 B．2.7 C．3.6 D．4.5 (第1题)　　　　(第2题) 2．如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若DO＝2AO，AB＝3 cm，则CD的长是(　　) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长． 1．位似图形的定义：两个多边形不仅________，而且经过每对对应顶点的直线____________，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________． 2．位似图形的特点： (1)位似图形是________图形，各对应点到位似中心的距离的比等于________； (2)每组对应点所在的直线相交于________； (3)对应边________(或在同一直线上)． 3．已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC各边扩大为原来2倍所得到的图形，这样的图形可以作________个． 4．[2023衡水二模如图，已知△ABC与△DEF位似，且相似比为k. (1)k＝________； (2)位似中心的坐标为________． 知识点1 位似图形如图所示，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的，任取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的有(　　) ①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形； ③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1； ④△ABC与△DEF的面积比为4∶1. A．1个 　B．2个 C．3个 D．4个 变式1如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点________． 知识点2 位似作图 如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点． (1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2； (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号) 变式2如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2)． (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标． 第二十六章　解直角三角形 26. 1 锐角三角函数 第1课时　正切 1．[2023廊坊期中]如图，在△ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足为D，若∠DCB＝30°，则∠A＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．条件不足，无法计算 (第1题)　　(第2题) 2．[2023大理期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD是斜边BC上的高，若CD＝3，则BD的长为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.∠A的________与________的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝＝. (第1题)　 2．tan 30°＝________，tan 45°＝________，tan 60°＝________． 3．[2023保定期末]如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则tan B的值为(　　) (第3题)　 A. B. C. D. 4．[2023沧州期中]已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，则AC等于(　　) A．6 B．16 C．12 D．4 5．[2023潮州一模3tan 30°－1的值等于________． 知识点1 正切的概念[2023西安长安区月考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，若将△ABC各边都扩大5倍，则tan A的值为(　　) A. 　 B. C．5 D. 变式1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 特殊角的正切值 [2023邯郸期中]能与tan 60°相加得0的是(　　) A. B．－ C. D．－ 变式2－1计算：3tan 30°－tan 45°＋2tan 60°. 变式2－2[2023长沙三模如图，已知△ABC，AC＝6. (1)尺规作图：作出线段AC的垂直平分线DE，交AC 于点 D，交 BC于点 E(不写作法，但保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若∠C＝60°，连接 AE，求△AEC的面积． 第二十六章　解直角三角形 26. 1 锐角三角函数 第2课时　正弦、余弦 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是(　　) A. B. C. D. 2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，BC＝14，则AC的值为________． 3．[2023邢台期中]满足tan α＝的锐角α的度数是______． 4．已知－tan A＝0，则锐角∠A＝__________°． 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°.锐角∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值．∠A的________与______的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝______＝______．∠A的________与________的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝________＝________． 2．sin 30°＝__________，sin 45°＝__________，sin 60°＝__________； cos 30°＝__________，cos 45°＝__________，cos 60°＝__________． 3．我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的______________． 4．[2023成都期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则sin B＝(　　) A. B．3 C. D. (第4题)　　　　(第5题) 5．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是________． 6．计算：tan 45°－sin 30°cos 60°－cos245°. 知识点1 正弦的概念 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是(　　) A. 　 B. 　 C．3 D. 变式1在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，求sin B的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 余弦的概念 [2023唐山路北区月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cos A的值为(　　) A. 　 B．2 C. D. 变式2如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E，设∠ADE＝α，且cos α＝，AB＝9.求AD的长． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点3 特殊角的三角函数 [2023松原期末]tan 60°的值等于(　　) A．1 　 B. C．3 D. 变式3(－1)2 023＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°. 第二十六章　解直角三角形 26. 2 锐角三角函数的计算 1．用计算器求－53，按键的顺序正确的是(　　) 2．用四舍五入法对0.060 45取近似值，错误的是(　　) A．0.1(精确到0.1) B．0.06(精确到百分位) C．0.061(精确到千分位) D．0.060 5(精确到0.000 1) 3．在下面的表中，填出 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1．用计算器计算sin 24°的值，以下按键顺序正确的是(　　) A. B. C. D. 2．如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC＝12 m，上弦AB＝BC，∠BAC＝25°.若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是(　　) A. 　 B. C. D. 3．用科学计算器计算：＋3tan 56°(结果精确到0.01)． 知识点1 用计算器求三角函数值[2023威海一模利用科学计算器计算cos 35°，下列按键顺序正确的是(　　) A. B. C. D. 变式1用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1)： (1)sin 47°；　　(2)sin 12°30′； (3)cos 25°18′；(4)sin 18°＋cos 55°－tan 59°. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 已知三角函数值用计算器求角度 已知sin A＝0.501 8，用计算器求∠A的度数．(结果精确到1″) 变式2利用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序依次输入：，显示屏显示的结果为88.443 009 64.将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是(　　) A．36.79°的正切函数值约为88.4 B．正切函数值为36.79的角约是88.4° C．36°79′的正切函数值约为88.4 D．正切函数值为36.79的角约是88°4′ 第二十六章　解直角三角形 26.3 解直角三角形 1．如图，某游乐园彩虹滑梯的高度为h，滑梯的坡角为α，那么该彩虹滑梯的长度l为(　　) (第1题)　 A. B．h·sin α C. D. 2．[2023烟台期中]如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则下列结论错误的是(　　) (第2题)　 A．cos C＝ B．tan B·tan C＝1 C．sin B＝sin C D．tan B＝ 3．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，BC＝10，则AB＝________． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tan A＝，求AB的值． 1．在直角三角形中，除直角外，还有________和__________共五个元素．由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形． 知识点1 解直角三角形 [2023广州越秀区二模在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin B＝，则BC等于(　　) A．25 B．12 C．9 D．16 变式1如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sin A＝. (1)求BD的长； (2)求tan C的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 解非直角三角形 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC的长． 变式2[2023北京海淀区期末]已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1＋，AC＝2，则∠C＝(　　) A．45° B．75° C．90° D．105° 第二十六章　解直角三角形 26. 4 解直角三角形的应用 第1课时　俯仰角、方向角 1．如图，下列角中为俯角的是(　　) A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 (第1题)　　　(第2题) 2．直角梯形ABCD按如图所示方式放置，AB，CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，那么从A处看向C处，点C在点A的(　　) A．俯角67°方向 B．俯角23°方向 C．仰角67°方向 D．仰角23°方向 3．如图所示，下列说法错误的是(　　) A．图①中的方向角是南偏西20° B．图②中的方向角是北偏西30° C．图③中的方向角是东北方向 D．图④中的方向角是南偏西45° 1．如图，在距旗杆15 m的A处，用测角仪测得旗杆顶点C的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1 m，则旗杆CD的高为______m. 2．[2023大连期中]如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12 km到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是__________． 知识点1 仰角、俯角 [2023岳阳中考][2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC约是________米(结果精确到0.1米．参考数据：sin 21.8°≈0.371 4，cos 21.8°≈0.928 5，tan 21.8°≈0.400 0)． 变式1如图，某测量队采用无人机技术测量无法直达的A，B两处的直线距离，已知在无人机的镜头O处测得A，B两处的俯角分别为45°和50°，无人机的飞行高度OC为238米，点A，B，C在同一直线上，求AB的长度(结果保留整数，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 方向角如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是(　　) A．15 海里 B．30海里 C．45海里 D．30 海里 变式2如图，一艘海轮在位于灯塔P的北偏东64°方向上，距离灯塔200海里的A岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的东南方向上的B岛，求A，B两岛之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin 64°≈0.899，cos 64°≈0.438，tan 64°≈2.050) 第二十六章　解直角三角形 26. 4 解直角三角形的应用 第2课时　坡度、坡角及其他问题 1．[2023济南期中]如图，电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为(　　) A. B. C．5·cos 52° D. 2．[2023杭州期中]小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，如图所示，求该建筑物BC的高度．(结果保留根号) 1．我们通常把坡面的________h和________l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，坡面与水平面的夹角α叫做__________．显然，tan α＝. 2．如图所示． (第2题)　 (1)若斜坡的坡度是1∶，则坡角α＝__________； (2)若斜坡的坡角是45°，则坡比是__________； (3)若斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是________； (4)特别注意，坡度不是一个度数，而是一个________，是坡角的__________值． 3．[2023泉州期中]如图，在一坡度i＝1∶的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了________米． (第3题)　 知识点1 坡度和坡角 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶CD的宽是8米，坝高(DE，CF)为30米，斜坡AD的坡度为∶3，斜坡CB的坡度为3∶2，则坝底AB的宽为________米． 变式1[2023沈阳期中]如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB(与水平地面BF垂直)形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，若BC＝2米，CD＝8米，斜坡的坡角∠ECF＝30°.请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号． (1)求点D到地面的距离； (2)求立柱AB的高为多少米． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2　 其他问题 如图所示的是某高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AB＝8 m，BC＝4 m，∠DAC＝30°，∠EBC＝45°，∠DCA＝90°，则警示牌DE的高度约为________．(结果精确到0.1 m．参考数据：≈1.41，≈1.73) 变式2[2023济南期中]如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，CP＝ m，AD为窗外水平遮阳篷． (1)求BC的长； (2)求遮阳篷AD的宽度(≈1.732，结果精确到0.1 m)． 第二十七章　反比例函数 27.1 反比例函数 1．已知某种铅笔的购买单价是0.4元，设购买这种铅笔的数量为x支，所花费的总金额为y元．则用含x的代数式表示y的关系式为____________． 2．一个长方形的长为a，宽为b，这个长方形的面积S＝________； 3．周六小明在长为1 000 m的路段上进行自行车骑车训练，行驶全程所用时间为t s，行驶的平均速度为v m/s，则vt＝__________． 4．一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么就称y是x的________，x叫做____________． 5．一般地，我们把形如y＝kx(k为常数，k≠0)的函数叫做__________函数，其中非0常数k叫做__________________． 1．一般地，如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成________(k为常数，且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数， k称为________． 2．下列函数中，是反比例函数的是(　　) A．y＝－　　　　　 B．y＝－1　　　　　 C．y＝－　　　　　 D．y＝－ 3．若函数y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m的值为________． 4．已知y－3与x＋2成反比例，且当x＝2时，y＝7，则当y＝1时，x的值为__________． 5．[2023重庆九龙坡区期末]若某城市市区人口为x万人，市区绿地面积为100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为__________． 6．已知y是x的反比例函数，当x＝5时，y＝－1. (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)当x＝－5时，求y的值． 知识点1 反比例函数的概念 [2023怀化期末]下列函数不是反比例函数的是(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－ C．xy＝5 D．y＝ 　　　　　　　　　　　　　　　 变式1－1[2023宜春期中]若函数y＝(m＋2)·x|m|－3是反比例函数，则m的值是______． 变式1－2下列函数中，y是x的反比例函数的有________________(填序号)． (1)y＝－；(2)y＝－； (3)y＝；(4)xy＝； (5)y＝x－3；(6)y＝x－1； (7)＝4；(8)y＝； (9)y＝(a为常数，a≠5)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 确定反比例函数表达式 已知y是x的反比例函数，并且当x＝－3时，y＝4. (1)求y关于x的函数表达式； (2)当x＝2时，求y的值． 　　　　　　　　　　　　　　　 变式2笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化，已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f/MHz 10 15 40 波长λ/m 24 16 6 (1)求波长λ关于频率f的函数关系式； (2)当λ＝8 m时，求此电磁波的频率f. 第二十七章　反比例函数 27. 2 反比例函数的图像和性质 第1课时　反比例函数的图像 1．正比例函数y＝kx(k≠0)的图像如图所示，则一次函数y＝kx－k的图像大致是(　　) 2．已知反比例函数y＝，那么下列各点中在此函数图像上的是(　　) A．(－2，3) B．(－3，2) C．(－3，－2) D．(4，1) 3．画函数图像的步骤：________、________、________． 1．反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图像由分别位于________象限内的两条________组成，这样的曲线叫做双曲线． 2．反比例函数y＝－的图像大致是(　　) 3．在如图所示的坐标系中，画出反比例函数y＝－的图像． 知识点1 反比例函数的图像及画法画出反比例函数y＝－的大致图像，结合图像回答： (1)当x＝2时，y的值； (2)当1<x≤4时，y的取值范围； (3)当－1≤y<4且y≠0时，x的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　 变式1已知反比例函数y＝－. (1)画出这个反比例函数的图像； (2)利用所画图像求当y<2时，x的取值范围； (3)已知(－3，y1)，(－15，y2)，(1，y3)是所画图像上的三个点，比较y1，y2，y3的大小． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 反比例函数图像上点的坐标特点[2023渭南一模已知正比例函数y＝ax(a为常数，a≠0)与反比例函数y＝的图像的一个交点坐标为(1，m)，则另一个交点的坐标为______________． 　　　　　　　　　　　　　　　 变式2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x与双曲线y＝(m≠0)交于A，B两点，若点A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝________． 第二十七章　反比例函数 27. 2 反比例函数的图像和性质 第2课时　反比例函数的性质 1．关于一次函数y＝－2x－3，下列说法正确的是(　　) A．图像经过第一、二、四象限 B．当x>0时，y<－3 C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．图像与y轴交于点 2．已知一次函数y＝kx＋b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb<0，则函数y＝kx＋b的图像大致是(　　) 1．对于反比例函数y＝，请完成以下表格． 表达式 图像的位置 y随x的变化情况 y＝ (k＞0) 图像在第______、______象限内 在每个象限内，y的值随x值的增大而______ y＝ (k＜0) 图像在第______、______象限内 在每个象限内，y的值随x值的增大而______ 2.[2023哈尔滨期末]对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是(　　) A．点(2，1)在它的图像上 B．它的图像在第一、三象限 C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小 3．已知反比例函数y＝(k为常数)的图像在第二、四象限，写出一个符合条件的k的值：________． 4．若点A(x1，－6)，B(x2，－2)，C(x3，2)在反比例函数y＝的图像上，则x1，x2，x3的大小关系是________________． 知识点1 反比例函数的性质[2023沈阳期末]关于反比例函数y＝－，下列说法不正确的是(　　) A．点(2 024，－1)在它的图像上 B．它的图像在第二、四象限 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．当x>2时，y<－1 012 变式1－1反比例函数y＝的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是(　　) A．m>－2 B．m≥－2 C．m<－2 D．m≤－2 变式1－2[2023宜昌中考]某反比例函数图像上四个点的坐标分别为(－3，y1)，(－2，3)，(1，y2)，(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2 反比例函数y＝(k≠0)的比例系数k的几何意义[2023邵阳中考]如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝(k≠0)的图像上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为(　　) A．(4，4)　 B．(2，2) C．(2，4) D．(4，2) 变式2如图，矩形ABCD的边CD在x轴上，顶点A在双曲线y＝上，顶点B在双曲线y＝上，求矩形ABCD的面积． 第二十七章　反比例函数 27.3 反比例函数的应用 1．若点(2，－4)在反比例函数 y＝的图像上，则k＝________． 2．若反比例函数y＝的图像在第二、四象限，则k的取值范围是__________． 3．反比例函数的图像既是________对称图形，又是________对称图形． 4．香涛公园要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x变化的表达式为____________． 1．某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是2.5 h，则该高铁的平均速度为(　　) A．180 km/h B．240 km/h C．280 km/h D．300 km/h 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： Ω)是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)这个反比例函数的表达式是________(R>0)． (2)若使用时电阻R＝12 Ω，则电流I是________． (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10 A，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 知识点 利用反比例函数解决实际问题驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克且小于800微克即为酒驾，某研究所经实验测得成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．下列说法不正确的是(　　) A．饮酒时间在4小时以内时，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越高 B．当x＝5时，血液中酒精浓度y的值为320 C．当x＝9时，该驾驶员为非酒驾状态 D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间为7小时 变式1[2023济南期中]某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20 ℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100 ℃，此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50 ℃，则水温下降到50 ℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温y(℃)与通电时间x(min)之间的函数关系如图所示． (1)水温从20 ℃加热到100 ℃需要____min；加热过程中水温y与通电时间x之间的函数关系式为____________． (2)观察判断：在水温下降过程中，y与x的函数关系是________函数，并尝试求该函数的表达式． (3)已知冲泡奶粉的最佳温度在40 ℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40 ℃.现将20 ℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，至少需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？ 第二十八章　圆 28.1 圆的概念及性质 1．在同一个圆里，所有的半径都________，所有的直径都________，且________是________的2倍． 2．有一个圆形花池的半径是10米，如果绕其周围走一圈，至少需要走________米．(π取3.14) 1．平面上，到________的距离等于________的所有点组成的图形，叫做圆，这个________叫做圆心，这条________叫做圆的半径． 2．以点O为圆心的圆，记作“________”，读作“________”． 3．圆是轴对称图形，过圆心的每一条________都是它的对称轴．圆也是中心对称图形，________是它的对称中心． 4．与圆有关的概念： (1)圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条________，如图，线段AC，AB； (2)经过圆心的弦叫做这个圆的________，如图，线段AB； (3)圆上任意两点间的部分叫做________，简称________，圆的直径将这个圆分成能够______的两条弧，这样的弧叫做________； (4)大于半圆的弧叫做________，小于半圆的弧叫做________．以AB为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”． (第4题)　　(第6题) 5．能够________的两个圆叫做等圆．能够完全重合的两条弧叫做________． 6．图中有________条直径，________条弦，以A为一个端点的优弧有________条，劣弧有________条． 7．下列说法不正确的是(　　) A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴 知识点1 圆的定义 下列条件中，能确定一个圆的是(　　) A．以点O为圆心 B．以2 cm长为半径 C．以点O为圆心，10 cm长为半径 D．经过点A 　　　　　　　　　　　　　　　 变式1如图，一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的一角A处，绳长为6米，请用图形表示出狗能到达的区域． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2 圆的对称性 如图所示的三个圆是同心圆，那么图中阴影部分的面积为______．(结果保留π) 　　　　　　　　　　　　　　　 变式2如图⊙A，⊙B，⊙C，两两不相交，且半径都是0.5 cm.则图中三个阴影扇形的弧长之和为(　　) A．π cm B. cm C. cm D. cm 知识点3 与圆有关的概念下列命题中，正确的有(　　) (1)直径是弦，但弦不一定是直径； (2)半圆是弧，但弧不一定是半圆； (3)半径相等且圆心不同的两个圆是等圆； (4)一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧． A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 变式3－1如图，在⊙O中，点A，O，D和点B，O，C分别在一条直线上，图中共有______条弦，它们分别是____________． (变式3－1)　　(变式3－2) 变式3－2如图，CD是⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为________． 第二十八章　圆 28.2 过三点的圆 1．已知A，B，C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线(　　) A．一定有三条 B．只能有一条 C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对 2．线段BC上有3个点P1，P2，P3(不与点B，C重合)，直线BC外有一点A，把A分别和B，P1，P2，P3，C中的任意两点连接起来，可以得到的三角形个数为(　　) A．8 B．10 C．12 D．20 3．已知⊙O的半径为2，则⊙O中最长的弦长为(　　) A．2 B. C．4 D. 1．不在____________的三点确定一个圆． 2．我们把经过三角形三个________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的________叫做三角形的外心． 3．[2023邢台期中]如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 (第3题)　　(第4题) 4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，连接AB，AE，DE，CF，下列三角形中，外心是点O的是(　　) A．△ABF B．△ACF C．△ADE D．△AEF 5．[2023绍兴月考]如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)三个格点，请在网格中进行下列操作： (1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置； (2)D点的坐标为________，求⊙D的半径长． 知识点1 过三点的圆平面直角坐标系内的三个点A(4，－3)，B(0，－3)，C(2，－3)，________确定一个圆(填“能”或“不能”)． 变式1下列条件中能够确定一个圆的是(　　) A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2 三角形的外接圆 [2023平凉期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)求作：△ABC的外接圆⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； (2)若AC＝6 cm，BC＝8 cm，求⊙O的面积． 　　　　　　　　　　　　　　　 变式2－1如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－2，－2)，C(4，－2)，则△ABC的外接圆圆心的坐标为______． 变式2－2小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来．(不写作法，保留作图痕迹) 第二十八章　圆 28. 3 圆心角和圆周角 第1课时　圆心角及其性质 1．找出图中所有的弦、优弧和劣弧． 1．顶点在________的角叫做圆心角． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦________，所对的弧__________． 3．在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量________，其他两组量就分别________． 4．在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有(　　) ①所对的圆心角等于所对的圆心角；②和是等弧； ③所对的弦长等于所对的弦长． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．[2023丽水期中]如图，若∠AOB＝40°，则所对的圆心角的度数是________． 6．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，已知∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD. 知识点1 圆心角的概念 下面图形中的角是圆心角的是(　　) 　　　　　　　　　　　　 变式1下列说法正确的是(　　) A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是0°＜α＜180° C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是顶点在圆内的角 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 弧、 弦、圆心角之间的关系 [2023邢台期末]如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝50°，求∠AOD的度数． 　　　　　　　　　　　　　　　 变式2－1已知弦AB把圆周分成1∶3两部分，则劣弧AB所对圆心角的度数为(　　) A．90° B．270° C．45° D．135° 变式2－2如图，A，B，C，D是⊙O上的点，如果AB＝CD，∠AOB＝70°，那么∠COD＝________． 第二十八章　圆 28. 3 圆心角和圆周角 第2课时　圆周角及其性质 1．圆心角指顶点在________的角． 2．如图，AB，CD是⊙O的两条弦： ①如果AB＝CD，那么____________，____________； ②如果＝，那么____________，____________； ③如果∠AOB＝∠COD，那么____________，____________． 1．顶点在________，两边都与圆________的角叫做圆周角． 2．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的________的一半． 3．半圆(或直径)所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________． 4．如图，所对的圆周角是__________，所对的圆周角是__________． (第4题)　　(第5题)　　 5．[2023无锡期中]如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为(　　) A．100° B．120° C．130° D．150° 6．[2023杭州期中]如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若所对的圆心角为64°，则∠CBA的度数为(　　) (第6题) A．32° B．64° C．68° D．58° 7．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝50°，求∠OAB的度数． 知识点1 圆周角 [2023唐山期末]下列图形中，∠BAC是圆周角的是(　　) 变式1如图，△ABC内接于⊙O，弦BD交AC于点P，连接AD.下列角中，是所对的圆周角的是(　　) A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2 圆周角定理 [2023邢台期末]如图，在⊙O中，∠AOB＝130°，则∠C的度数为________． 变式2如图，在⊙O中，∠OBA＝34°，点D是上的一点，则∠ADB的度数为(　　) A．54° 　 B．56° C．58° D．60° 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点3 圆周角定理的推论 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则所对圆心角的度数为________°. 变式3[2023周口期末]将一个含60°角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，∠ACB＝90°，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为30°，连接DC交AB于点E，则图中∠BEC的度数是(　　) A．75° 　 B．65° C．55° D．45° 第二十八章　圆 28. 3 圆心角和圆周角 第3课时　圆内接四边形及其性质 1．如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为(　　) A．100° B．160° C．150° D．130° (第1题)　　　(第2题) 2．如图，在四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹的∠2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________． 1．________所对的圆周角相等． 2．四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做____________，这个圆叫做四边形的________． 3．圆内接四边形的对角________． 4．[2023北京西城区期中]如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，D是上的一点，分别连接DB，DC，则∠D的度数为(　　) A．30° B．80° C．90° D．70° (第4题)　　　　　(第5题) 5．[2023北京西城区期中]如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠DAB＝40°，则∠DCB的度数为(　　) A．80° B．100° C．140° D．160° 6．在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数． 知识点1 同弧所对的圆周角相等 如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝50°，则∠ABD的度数是(　　) A．50° B．40° C．30° D．25° 变式1[2023许昌期末]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝50°，∠APD＝82°，则∠B的大小是(　　) A．32° B．42° C．48° D．52° 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2　圆内接四边形 [2023南京期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A，C的⊙O与BC，AB分别交于点D，E，连接DE. (1)求证：DB＝DE； (2)延长ED，AC相交于点P，若∠P＝33°，则∠A的度数为________°. 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式2－1[2023南昌期末]如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C＝100°，则∠O＝(　　) A．110° B．120° C．150° D．160° 变式2－2已知在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝，AD＝2，试判断A，B，C，D四点是否在同一个圆上，并说明理由． 第二十八章　圆 28.4 垂径定理* 1．已知在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝9∶8∶3，则∠D的度数为(　　) A．15° B．120° C．30° D．60° 2．如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，若∠CAB＝36°，则∠ADC的大小是________． (第2题)　　　　　(第3题) 3．[2023安庆期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若BD＝5，则DE的长是________． 1．垂直于弦的直径________这条弦，并且________这条弦所对的两条弧． 2．[2023嘉兴期中]如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列选项中错误的是(　　) A．∠BOC＝2∠BAD B．BE＝EO C．∠OCE＝50° D．CE＝DE (第2题)　　　　　(第3题) 3．[2023福州期中]绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC＝5 m，则水面宽AB为________m. 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若OE＝3，CD＝8.求⊙O的半径． 知识点1 垂径定理 如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为点P，则CP的长等于(　　) A．2 B．2.5 C．3 D．4 变式1－1如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点D，延长OD交⊙O于点E，C为上一点，则下列说法错误的是(　　) A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C.＝ D．OD＝DE 变式1－2如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D.若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为(　　) A．6 B．5 C．4 D．4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2 垂径定理的应用 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是(　　) A．3 　　 B．4 　　 C．3 　　 D．6 变式2[2023武汉期中]如图是一个高速公路的隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，如果D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，AB＝24，CD＝18，则此圆的半径OA的长为________． 第二十八章　圆 28.5 弧长和扇形面积的计算 1．[2023保定期末]把半径为5 cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8 cm，则EF的长为(　　) A．8 cm B．7 cm C．5 cm D．4 cm (第1题)　　(第3题) 2．一个半圆形的半径是8厘米，它的周长是(π取3.14)(　　) A．25.12厘米 B．12.56厘米 C．41.12厘米 D．50.24厘米 3．如图，该扇环的面积是(π取3.14)(　　) A．43.96 cm2 B．21.98 cm2 C．10.99 cm2 D．23.98 cm2 1．一条弧和经过这条弧端点的两条________所组成的图形叫做扇形． 2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长为________，1°的圆心角所对的扇形面积为________． 3．在半径为R的圆中，若设n°的圆心角所对的弧长为l，所对扇形的面积为S，则l＝________，S＝________． 4．半径为R，弧长为l的扇形的面积S＝________． 5．圆锥的顶点与底面圆周上________的连线叫做圆锥的母线．圆锥的顶点与__________之间的线段叫做圆锥的高． 6．[2023哈尔滨期中]若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为________． 7．在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长为________． 8．[2023天津津南区期末]用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________． 知识点1 弧长公式 [2023承德二模]某款钟表的分针长度为5 cm，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为(　　) A．5π cm B. cm C. cm D. cm 　　　　　　　　　　　　　　 变式1[2023张家口期末]如图，在⊙O中，AO＝，∠C＝60°，则的长度为(　　) A．6π B．9π C．2π D．3π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2 扇形的面积公式 如图，在2×2的正方形网格中，格点O是半径为1的圆的圆心，则图中两个小扇形(阴影部分)的面积之和为__________(结果保留π)． 　　　　　　　　　　　　　　　 变式2[2023西安模拟已知扇形的弧长是2π，圆心角为120°，则该扇形的面积是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点3 圆锥的侧面积和表面积 [2023邢台模拟如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝3 cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为________cm. 　　　　　　　　　　　　　　　 变式3如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则此圆锥的表面积为(　　) A．4π cm2 B．5π cm2 C．6π cm2 D．8π cm2 第二十三章　数据分析 23. 1 平均数与加权平均数 第1课时　算术平均数 复习回顾 1．平均数　2.4.5　3.80 1．算术平均数；；＝(x1＋x2＋…＋xn) 2．代表值；一般水平　3.B　4.B　5.28 6．解：分别将各数据减去170，得1，－2，0，3，－5，8，－4，－9，6，2，6，6， 这组新数据的平均数为(1－2＋0＋3－5＋8－4－9＋6＋2＋6＋6)÷12＝12÷12＝1， 则已知数据的平均数为170＋1＝171. 答：全队同学的平均身高为171厘米． 课堂导学 例1　5.2　变式1. 10　例2　15　变式2. 22.5 ℃ 例3　C　变式3. 10 第二十三章　数据分析 23. 1 平均数与加权平均数 第2课时　加权平均数 1．C　2.C　3.2 1．加权平均数；权重；权 2．C　3.B　4.C　5.4.6 例1　A　变式1.B　例2　C　变式2－1.乙 变式2－2.88 第二十三章　数据分析 23.2 中位数和众数 第1课时　中位数和众数 1．C 2．解：(1)(39＋5＋6＋6＋5＋6＋5＋6＋6＋6)÷10＝9(岁)． 答：他们的平均年龄是9岁． (2)不能，因为他们的平均年龄既不体现老师的年龄特征，也不体现小朋友的年龄特征． 1．中间；平均数　2.最多　3.B　4.5　5.38 例1　解：(1)把这组数据从小到大排列如下： 2，3，7，8，10，11，13，14，16. 因为位于中间位置的数是10，所以中位数为10. (2)把这组数据从小到大排列如下： 10，12，14，14，15，15，16，17，17，19. 因为数据的个数为偶数，且中间两个数据的平均数为×(15＋15)＝15，所以中位数为15. 变式1－1.D　变式1－2.1.5　 例2　8.5　变式2－1.D　变式2－2.B 第二十三章　数据分析 23.2 中位数和众数 第2课时　平均数、中位数、众数的综合运用 1．C　2.B　3.3 1．平均数；中位数；众数　2.平均数；众数；中位数 3．C　4.C 例1　解：(1)12.5；12；12 (2)当定额为13件时，有7名工人达标，3名工人获奖，不利于提高工人的积极性； 当定额为12件时，有13名工人达标，7名工人获奖，有利于提高大多数工人的积极性， 故应选择中位数或众数作为日生产件数的定额． 变式1.解：(1)嘉嘉同学成绩的众数是96分． 淇淇同学成绩的中位数是92分． (2)嘉嘉成绩的平均数是＝94(分)； 淇淇成绩的平均数是＝92(分)． (3)嘉嘉的优秀率为＝60%；淇淇的优秀率为＝20%. (4)嘉嘉．理由：因为嘉嘉的平均分和优秀率都比淇淇高． 第二十三章　数据分析 23.3 方差 1．B 2．解：(1)7环 (2)甲．理由：因为甲的成绩的众数为8环、9环，没有像乙那样出现5环的成绩，所以派甲参赛更为稳妥．(理由不唯一，言之有理即可) 1．平方；偏差平方　2.较大；较小　3.3　4.乙 例1　C　 变式1.D　 例2　B 变式2.解：(1)80；80 (2)方差分别是：s甲2＝×[3×(80－80)2＋(70－80)2＋(90－80)2]＝40， s乙2＝×[(60－80)2＋(70－80)2＋(90－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2]＝200， 由s甲2＜s乙2可知，甲同学的成绩更加稳定． (3)甲同学的成绩在70分，80分，90分间上下波动，而乙同学的成绩从60分到100分，呈现上升趋势，越来越好，进步明显．(答案不唯一，合理即可) 第二十三章　数据分析 23.4 用样本估计总体 1．B　2.B　3.B　4.a 1．D　2.0.008　3.5 000 例1　B　变式1.85.7　 例2　 A 变式2.解：(1)把这些数从小到大排列，第5个和第6个数都是75，则中位数是＝75(克)． 因为75出现了4次，出现的次数最多，所以众数是75克． 平均数是×(74＋75＋75＋75＋73＋77＋78＋72＋76＋75)＝75(克)． (2)A加工厂的方差是：×[(74－75)2＋4×(75－75)2＋(76－75)2＋(73－75)2＋(72－75)2＋(77－75)2＋(78－75)2]＝2.8. B加工厂的平均数是：×(78＋74＋78＋73＋74＋75＋74＋74＋75＋75)＝75(克)， B加工厂的方差是：×[2×(78－75)2＋4×(74－75)2＋(73－75)2＋3×(75－75)2]＝2.6. 因为平均值一样，B加工厂的方差比A加工厂的方差小，所以B加工厂的更稳定，所以应选购B加工厂的鸡腿． 第二十四章　一元二次方程 24.1 一元二次方程 复习回顾 1．B　2.A　3.A　4.＝x＋1 1．一；2；整式；ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2．根　3.C　4. 5．6x2－5x－11＝0；6；－5；－11 6．(x－3)(x－2)＝56 例1　B　 变式1.2　 例2　A　变式2.2x2＋x－3＝0；2 例3　③⑤　 变式3.－5　 例4　(7＋2x)(5＋2x)＝2×7×5 变式4.3x(x－1)＝6 210 第二十四章　一元二次方程 24. 2 解一元二次方程 第1课时　配方法 1．C　2.C 3．解：(1)去括号，得2－2x＝x＋5， 移项，得－2x－x＝5－2， 合并同类项，得－3x＝3， 两边同除以－3，得x＝－1. (2)去分母，得8x－12＝3(x－1)， 去括号，得8x－12＝3x－3， 移项，得8x－3x＝－3＋12， 合并同类项，得5x＝9， 两边同除以5，得x＝1.8. 1．配方；开平方 2．二次项系数；右边；一次项系数一半的平方；直接开平方法 3．B　4.D 5．解：移项，得x2－6x＝－5， 配方，得x2－6x＋9＝－5＋9， 整理，得(x－3)2＝4， 两边开平方，得x－3＝±2， 所以x1＝5，x2＝1. 例1　解：(x＋1)2＝25， ∴(x＋1)2＝100，∴x＋1＝±10，∴x1＝－11，x2＝9. 变式1.解：(1)2(x－1)2＝8， ∴(x－1)2＝4，∴x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1. (2)(x＋6)2－9＝0，∴(x＋6)2＝9， ∴x＋6＝±3，∴x1＝－3，x2＝－9. 例2　解：(1)移项，得x2－2x＝1， 配方，得x2－2x＋1＝1＋1，即(x－1)2＝2， 两边开平方，得x－1＝±， 所以x1＝1＋，x2＝1－. 变式2.解：(1)配方，得x2＋8x＋16＝9＋16， 即(x＋4)2＝25， 两边开平方，得x＋4＝±5， 所以x1＝1，x2＝－9. (2)移项，得x2－6x＝－4， 配方，得x2－6x＋9＝－4＋9，即(x－3)2＝5， 两边开平方，得x－3＝±， 所以x1＝＋3，x2＝－＋3. 例3　解：移项，并将二次项系数化为1， 得x2－2x＝， 配方，得x2－2x＋1＝＋1，即(x－1)2＝， 两边开平方，得x－1＝±， 所以x1＝1＋，x2＝1－. 变式3.解：(1)将二次项系数化为1，得x2＋2x＝3， 配方，得x2＋2x＋1＝3＋1， 即(x＋1)2＝4， 两边开平方，得x＋1＝±2， 所以 x1＝1，x2＝－3. (2)移项，并将二次项系数化为1，得x2－x＝－1， 配方，得x2－x＋＝－1＋， 即2＝， 两边开平方，得x－＝±， 所以x1＝，x2＝2. 第二十四章　一元二次方程 24. 2 解一元二次方程 第2课时　公式法 1．C　2. 3．解：移项，并将二次项系数化为1，得x2－3x＝， 配方，得x2－3x＋＝＋，即＝， 两边开平方，得x－＝±，所以x1＝，x2＝. 1.；求根公式；公式法 2．b2－4ac 3．不相等；相等；没有 4．C　5.B 6．x1＝，x2＝ 例1　解：(1)2x2－3x＝－1化为2x2－3x＋1＝0， ∵a＝2，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－8＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)9x2＋6 x＋2＝0， ∵a＝9，b＝6 ，c＝2， ∴b2－4ac＝72－72＝0， ∴方程有两个相等的实数根． (3)3x2＋3＝－4x化为3x2＋4x＋3＝0， ∵a＝3，b＝4，c＝3， ∴b2－4ac＝16－36＝－20＜0， ∴方程没有实数根． 变式1－1.A　变式1－2.C 例2　解：(1)2x2－5x－1＝0， 这里a＝2，b＝－5，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－1)＝33＞0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝. (2)3x2－2 x＝－1， 这里a＝3，b＝－2 ，c＝1， ∴b2－4ac＝(－2 )2－4×3×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根， ∴x1＝x2＝＝. (3)这里a＝1，b＝－2，c＝3， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0， ∴方程无实数根． 变式2.解：(1)∵3x2＋2x＝2， ∴3x2＋2x－2＝0， 这里a＝3，b＝2，c＝－2， ∴b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝28＞0， ∴x＝＝， 即x1＝，x2＝. (2)2x2－2 x＋1＝0， 这里a＝2，b＝－2 ，c＝1， ∴b2－4ac＝(－2 )2－4×2×1＝0， ∴x1＝x2＝. (3)这里a＝2，b＝－5，c＝4， ∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×4＝－7＜0， ∴此方程没有实数根． 第二十四章　一元二次方程 24. 2 解一元二次方程 第3课时　因式分解法 1．0；0　2.(a＋b)(a－b)；(a±b)2 3．(1)x(x－2)　(2)(x－y)(2a－1)　(3)2(x－1)2 1．0；一次因式； 一元一次 2．C　3.x－1－2＝0；x1＝－1，x2＝3 4．解：(1)x1＝5，x2＝－3.(2)x1＝7，x2＝－8. (3)x1＝1，x2＝. 例1　解：(1)a2＋a＝0， 因式分解，得a(a＋1)＝0， ∴a＝0或a＋1＝0， ∴a1＝0，a2＝－1. (2)整理，得(y－1)2－2y(y－1)＝0， 因式分解，得(y－1)(y－1－2y)＝0， ∴y－1＝0或y－1－2y＝0， ∴y1＝1，y2＝－1. (3)16(x－7)2 －9(x＋2)2＝0， 整理，得[4(x－7)]2－[3(x＋2)]2＝0. 因式分解，得[4(x－7)＋3(x＋2)][4(x－7)－3(x＋2)]＝0， ∴(7x－22)(x－34)＝0， ∴x1＝，x2＝34. 变式1.解：(1)(x－1)2＝2x(1－x)， (x－1)2＋2x(x－1)＝0， (x－1)(x－1＋2x)＝0， x－1＝0或x－1＋2x＝0， ∴x1＝1，x2＝. (2)(x－1＋2)(x－1－2)＝0， (x＋1)(x－3)＝0， ∴x1＝－1，x2＝3. (3)x2－4 x＋8＝0， (x－2 )2＝0， ∴x1＝x2＝2 . 例2　解：(1)x2－4x－7＝0， 移项，得x2－4x＝7， 配方，得x2－4x＋4＝11， 即(x－2)2＝11， 两边开平方，得x－2＝±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. (2)2x2－7x－2＝0， 这里a＝2，b＝－7，c＝－2， ∴b2－4ac＝49＋16＝65， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝. (3)2(x－3)2＝3(x－3)， 2(x－3)2－3(x－3)＝0， (x－3)(2x－6－3)＝0， ∴x－3＝0或2x－9＝0， ∴x1＝3，x2＝. 变式2. 解：(1)(2x＋3)2－25＝0， 移项，得(2x＋3)2＝25， ∴2x＋3＝5或2x＋3＝－5， ∴x1＝1，x2＝－4. (2)移项，得x2－4x＝1， 配方，得x2－4x＋4＝1＋4， 即(x－2)2＝5， 两边开平方，得x－2＝±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. (3)(x＋2)2＝3(x＋2)， 原方程可化为(x＋2)2－3(x＋2)＝0， ∴(x＋2)(x＋2－3)＝0， ∴x＋2＝0或x＋2－3＝0， ∴x1＝－2，x2＝1. 第二十四章　一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 1．b2－4ac；x＝ 2.；2x1x2；4x1x2 1．－；；两根的和；两根的积 2．x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0 3．3；2　4.2　5.3 6．解：(1)1；－1 (2)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12－2×(－1)＝3. 例1　解：方程化为一般形式为3x2＋4x＋1＝0， 这里a＝3，b＝4，c＝1， ∴b2－4ac＝42－4×3×1＝4＞0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. 变式1－1.B　变式1－2.－3 例2　解：由一元二次方程根与系数的关系，知 x1＋x2＝－，x1x2＝－. (1)＋＝＝＝ ＝－. (2) (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝. 变式2－1.－ 变式2－2.解：(1)当m＝1时，原方程为2x2－3x－2＝0， 解得x1＝2，x2＝－. (2)∵方程的两个实数根分别为α，β， ∴α＋β＝，αβ＝－m2. 将α－3β＝5与α＋β＝联立， 得解得 ∴αβ＝－m2＝－，∴m＝±. 第二十四章　一元二次方程 24. 4 一元二次方程的应用 第1课时　图形问题 1．ah；(a＋b)h；mn；ab；a2 2.；；－a；a 1．未知数；方程；方程　2.转化　3.A 4．(1)x＝180　(2)不能 5．解：设这个宽度应设计为x m， 则矩形大棚的长为(12－2x)m，宽为(9－2x)m， 由题意，得(12－2x)(9－2x)＝88， 解得x＝0.5或x＝10， 因为当x＝10时，12－2x＝－8＜0，不合题意，舍去， 所以这个宽度应设计为0.5 m. 例1　6 变式1.解：设所围矩形与墙垂直的一边长为x米， 由题意，得x(25＋1－2x)＝80， 整理，得x2－13x＋40＝0，解得x1＝5，x2＝8. 当x＝5时，25＋1－2x＝16＞12(舍去)， 当x＝8时，25＋1－2x＝10＜12. 答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米． 例2　2　变式2.(1)　(2)2 第二十四章　一元二次方程 24. 4 一元二次方程的应用 第2课时　变化率问题和数字问题 1．3 300；3 630　2.1.1a；1.21a　3.0.85a；0.722 5a 4．a＋2 1．增长率；下降率　2.D　3.1 000(1＋x)2＝1 440 4．20%　5.26，28或－28，－26 6．解：根据题意，得72(1＋n)2＝98， 解得n1＝，n2＝－(不符合题意，舍去)． 答：n的值是. 例1　解：设该县投入“扶贫工程”的年增长率为x， 依题意，得100(1＋x)2＝144， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该县投入“扶贫工程”的年增长率为20%. 变式1－1.B　 变式1－2.30% 例2　26　变式2.7或－5 第二十四章　一元二次方程 24. 4 一元二次方程的应用 第3课时　循环问题与销售问题 1．15　2.x(x－1)＝1 980 3．28；6 160； 1．进价；销售量　2.B 3．解：设这种台灯的售价应定为x元，根据题意，得 [600－10(x－40)](x－30)＝10 000， 整理，得x2－130x＋4 000＝0， 解得x1＝50，x2＝80(舍去)． 600－10(x－40)＝600－10×(50－40)＝500. 答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个． 例1　解：设该校八年级共有x个班， 根据题意，得x(x－1)＝45， 整理，得x2－x－90＝0， 解得x1＝10，x2＝－9(不符合题意，舍去)． 答：该校八年级共有10个班． 变式1.解：设共有x个队参加比赛． 依题意，得x(x－1)＝90， 整理，得(x－10)(x＋9)＝0， 解得x1＝10，x2＝－9(不合题意，舍去)． 答：共有10个队参加比赛． 例2　解：设将沃柑每千克降低x元，则平均每天的销售量是(150＋50x)千克， 根据题意，得(9－x－3)(150＋50x)＝1 000， 整理，得x2－3x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝2. ∵需要尽快减少库存，∴x＝2，∴9－x＝9－2＝7. 答：每千克沃柑应降至7元． 变式2.解：(1)55 (2)设该种背包的销售单价为x元，依题意，得 (x－30)[280－10(x－40)]＝3 120， 整理，得x2－98x＋2 352＝0， 解得x1＝42，x2＝56(不符合题意，舍去)． 答：当该种背包的销售单价为42元时，销售这种背包的月利润是3 120元． (3)这种背包的月销售利润不能达到3 700元，理由如下： 设这种背包的销售单价为y元， 依题意，得(y－30)[280－10(y－40)]＝3 700， 整理，得y2－98y＋2 410＝0. ∵b2－4ac＝(－98)2－4×1×2 410＝－36＜0， ∴该方程没有实数根， 即这种背包的月销售利润不能达到3 700元． 第二十五章　图形的相似 25.1 比例线段 1．A　2.50 1．成比例线段；比例线段 2．(1)ad＝bc　(2)ad＝bc 3．b2＝ac；比例中项　4.＝；黄金比 5．B　6.A　7.　8. 例1　A　 变式1.12∶13　 例2　B　变式2.B　例3　A 变式3.B　例4　D　 变式4.B 第二十五章　图形的相似 25. 2 平行线分线段成比例 第1课时　平行线分线段成比例 1．25 2．解：∵＝，b＝3 cm，c＝4 cm，d＝5 cm， ∴＝，∴a＝ cm. 1．成比例　2.也相等　3. 例1　解：(1)∵AB∥CD∥EF，∴＝. ∵AC＝3，CE＝5，BF＝BD＋DF＝20， ∴＝，解得DF＝12.5. (2)由(1)得＝. ∵AC∶CE＝2∶3，BF＝20， ∴＝，解得DF＝12. 变式1.解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝. ∵AB＝8，BC＝4，EF＝12， ∴＝，∴DE＝24. (2)由(1)可得＝. ∵DE∶EF＝2∶3，AB＝6，∴＝，解得BC＝9， ∴AC＝AB＋BC＝6＋9＝15. 第二十五章　图形的相似 25. 2 平行线分线段成比例 第2课时　平行线分线段成比例的推论 1．D　2.B 1．成比例　2.成比例　3.B　4.C　5.4 例1　C　 变式1.1.2　例2　C　 变式2－1.D 变式2－2. 第二十五章　图形的相似 25. 3 相似三角形 1．3　2.45°－α 1．相等；成比例；相似比　2.1　3.相似 4．C　5.A　6.2 例1　解：∵OA＝2，AD＝9，∴OD＝9－2＝7. ∵△AOB∽△DOC， ∴＝＝，∠D＝∠A＝108°. ∴＝＝，解得OC＝，AB＝. 变式1.解：(1)＝＝. (2)由(1)得＝. ∵D是AB的中点，AD＝2，∴AB＝4， ∴＝，解得AC＝2 (负值舍去)． ∵△ABC∽△ACD， ∴∠ACB＝∠ADC＝65°. 例2　2　 变式2.C 第二十五章　图形的相似 25. 4 相似三角形的判定 第1课时　相似三角形的判定定理1 1．D　2.8 1．相等　2.A　3.4 例1　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AF，∠C＝∠A，∴∠CDE＝∠F， ∴△CDE∽△AFD. 变式1.解：△ABC与△ADE相似．理由如下： ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE. 又∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE. 第二十五章　图形的相似 25. 4 相似三角形的判定 第2课时　相似三角形的判定定理2 1. ∠DAC＝∠ACB(答案不唯一) 2．(1)证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD. 又∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ACD. (2)解：∵D为AE的中点，∴AE＝2AD. ∵△ABE∽△ACD，∴＝. 又∵BE＝4，∴＝，∴CD＝2. 1．对应成比例；夹角相等　2.C 3．证明：∵AD·AC＝AB·AE，∴＝. ∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， ∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC. 例1　证明：∵＝＝，＝＝，∴＝. 又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB. 变式1.证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°，BC＝AB. ∵AE＝BE，∴AB＝2AE，∴CB＝2AE. ∵＝，∴CD＝2AD，∴＝＝. ∴△AED∽△CBD，∴∠AED＝∠CBD. 第二十五章　图形的相似 25. 4 相似三角形的判定 第3课时　相似三角形的判定定理3 1．D 2．(1)证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC， ∴BC＝EF.在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． (2)解：∵△ABC≌△DEF，∠D＝45°， ∴∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF， ∴AB∥DE，∴∠EGC＝∠A＝45°. 1．对应成比例　2.斜边　3.A 4.＝k(答案不唯一) 例1　证明：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点， ∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC， 即＝＝，∴△ABC∽△DEF. 变式1－1.29° 变式1－2.解：△ABC∽△A′B′C′.理由如下： ∵＝＝，＝＝，＝＝， ∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′. 例2　解：△ABC与△DEF相似． 理由：∵∠E＝90°，DF＝10，EF＝6， ∴DE＝＝＝8. ∵AC＝5，AB＝4，∴＝＝2. 又∵∠DEF＝∠ABC＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF. 变式2.证明：∵∠C＝90°，CD＝1，AD＝， ∴AC＝＝2，∴＝. ∵AB＝2 ，∴＝＝，∴＝. 又∵∠DCA＝∠ACB＝90°，∴Rt△ADC∽Rt△BAC. 第二十五章　图形的相似 25. 5 相似三角形的性质 第1课时　相似三角形的性质定理1 1．C　2.B　 3. 1．相似比　2.B　3.B　4.A 例1　B　变式1－1.B　变式1－2. 例2　解：作PE⊥CD于点E，交AB于点F，则PE＝9 m. ∵AB∥CD，∴PF⊥CD，△PAB∽△PCD， ∴＝.∵AB＝2 m，CD＝6 m， ∴＝， ∴PF＝3 m，∴EF＝PE－PF＝9－3＝6(m)． ∴AB与CD之间的距离是6 m. 变式2.B 第二十五章　图形的相似 25. 5 相似三角形的性质 第2课时　相似三角形的性质定理2 1．A　2.2∶3 1．相似比　2.相似比的平方　3.D　4.D　5.4∶1 6．解：∵AD＝3BD，∴＝. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴＝2＝， ∴S△ADE＝S△ABC＝36. 例1　B　 变式1.B 例2　(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE， ∴∠ACB＝∠DCE. 又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC. (2)解：∵△ABC∽△DEC， ∴＝＝， 又∵BC＝6，∴CE＝9. 变式2－1.D 变式2－2.解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∠ADE＝∠B， ∴△BAC∽△DAE. 又∵AG⊥BC，AF⊥ED， ∴＝＝. (2)∵△BAC∽△DAE， ∴＝2＝. 故△ADE与△ABC的面积比为25∶49. 第二十五章　图形的相似 25. 6 相似三角形的应用 第1课时　利用相似三角形测高和距离 1．D　2.B　3.4.5 1．成比例；相等　2.C　3.200　4.1 例1　D　 变式1.8.5　例2　2.1米　变式2.B 第二十五章　图形的相似 25. 6 相似三角形的应用 第2课时　相似三角形的其他应用 1．C　2.27　3.16 1．对应边的比　2.B　3.60 例1　解：∵OA∶OD＝OB∶OC＝3∶2，∠COD＝∠AOB， ∴△COD∽△BOA.∴＝＝. ∵CD＝6 cm，∴AB＝9 cm. ∴2x＋9＝15.∴x＝3 cm. 变式1.30　 例2　D 变式2.解：设这个矩形的长EH＝FG＝x m，△AEH中EH边上的高为h m. ∵四边形EFGH是矩形， ∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC， ∴＝，即＝，∴h＝x， ∴矩形的宽EF＝AD－h＝ m. ∵S△ABC＝BC·AD＝×4×3＝6(m2)， 矩形的面积是三角形面积的一半， ∴x＝6×，解得x1＝x2＝2， ∴3－x＝1.5， ∴这个矩形的长为2 m，宽为1.5 m. 第二十五章　图形的相似 25. 7 相似多边形和图形的位似 第1课时　相似多边形 1．D　2.C　3.相等；相等；相似比 1．相同；位置及大小　2.对应角；相等；对应角；对应边 3．C　4.D　5.3.2 例1　C　 变式1.D 例2　解：(1)83°；3∶2 (2)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴＝＝，解得x＝12，y＝. 变式2.解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°， ∴β＝360°－83°－78°－118°＝81°. ∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴EH∶AD＝EF∶AB， ∴x∶21＝24∶18，解得x＝28，∴EH＝28 cm. 第二十五章　图形的相似 25. 7 相似多边形和图形的位似 第2课时　图形的位似 1．A　2.D 3．解：∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO. ∴＝.∴＝.解得OC＝6. ∵AD⊥BC，∴OC2＋OD2＝CD2. ∴CD＝＝3 . 1．相似；相交于一点；位似中心 2．(1)相似；相似比　(2)位似中心　(3)互相平行 3．2　4.(1)　(2)(3，6) 例1　 D　 变式1.P 例2　解：(1)如图，△A′B′C′即为所求． (2)由图易知AA′＝CC′＝2. 在Rt△OA′C′中，OA′＝OC′＝2，易得A′C′＝2 ；同理可得AC＝4 .∴四边形AA′C′C的周长＝4＋6 . 变式2.解：(1)如图，△A1B1C1即为所作； (2)如图，△A2B2C2即为所作，点B2的坐标为(－4，－6)． 第二十六章　解直角三角形 26. 1 锐角三角函数 第1课时　正切 1．A　2.C 1．对边；邻边　2.；1；　3.B　4.B　5.－1 例1　D　变式1.9　例2　B 变式2－1.解：原式＝3×－1＋2×＝－1＋2 ＝3 －1. 变式2－2.解：(1)如图所示，DE即为所求． (2)∵DE垂直平分AC，AC＝6， ∴CD＝AC＝3，∠CDE＝90°. ∵∠C＝60°，∴DE＝CD×tan 60°＝3 ， ∴S△AEC＝×AC×DE＝×6×3 ＝9 . 第二十六章　解直角三角形 26. 1 锐角三角函数 第2课时　正弦、余弦 1．A　2.6　3.30°　4.60 1．对边；斜边；；；邻边；斜边；； 2.； ；； ；； 3．三角函数　4.C　5. 6．解：原式＝1－×－2＝1－－＝. 例1　A 变式1.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝， ∴sin A＝＝，即＝.∴AB＝6. ∴AC＝＝＝4 . ∴sin B＝＝＝. 例2　C 变式2.解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝9, ∴CD＝AB＝9，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝90°. ∵DE⊥AC，∴∠ECD＋∠CDE＝90°， ∴∠ECD＝∠ADE＝α. 在Rt△DEC中，cos ∠ECD＝cos α＝＝， 即＝，∴CE＝，∴DE＝＝， 在Rt△AED中，cos α＝＝，即＝，∴AD＝12. 例3　C 变式3.原式＝－1＋2×－＋＋()2＝－1＋＋3＝2＋. 第二十六章　解直角三角形 26. 2 锐角三角函数的计算 1．A　2.C 3. 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 1．A　2.A 3．解：＋3tan 56°≈5.568＋3×1.483＝5.568＋4.449≈10.02. 例1　A　变式1.解：(1)sin 47°≈0.731 4； (2)sin 12°30′≈0.216 4； (3)cos 25°18′≈0.904 1； (4)sin 18°＋cos 55°－tan 59°≈－0.781 7. 例2　解：利用计算器可求得∠A的度数约为30°7′9″. 变式2.B 第二十六章　解直角三角形 26.3 解直角三角形 1．D　2.C　3.10 4．解：∵∠C＝90°，BC＝12，tan A＝＝，∴AC＝16. ∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝＝20. 1．三条边；两个锐角 2．解：在Rt△ABC中，∵a2＋b2＝c2，a＝4，c＝8， ∴b＝＝＝4 . ∵sin A＝＝＝， ∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°. 例1　B 变式1.解：(1)∵AB＝13，BD⊥AC于点D，sin A＝， ∴＝， 即＝，解得BD＝12. (2)∵AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，∴AD＝5. ∵AC＝13，∴DC＝8， ∴tan C＝＝＝. 例2　解：过点A作AD⊥BC于点D. ∵在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，AC＝2， ∴AD＝CD＝. ∵在Rt△ABD中，∠B＝30°，AD＝， ∴BD＝＝，AB＝＝2 . ∴BC＝CD＋BD＝＋. 变式2.B 第二十六章　解直角三角形 26. 4 解直角三角形的应用 第1课时　俯仰角、方向角 1．C　2.D　3.B 1．16　2.8 km 例1　9.5 变式1.解：由题意可得∠OAC＝45°，∠OBC＝50°，∠ACO＝∠BCO＝90°. ∵在Rt△AOC中，∠OAC＝45°， ∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝238米． ∵在Rt△OBC中，∠OBC＝50°，tan ∠OBC＝， ∴tan 50°＝≈1.19，∴BC≈200米， ∴AB＝AC＋BC≈238＋200＝438(米)． ∴AB的长度约为438米． 例2　B 变式2.解：过点P作PC⊥AB于点C.由题意，得∠A＝64°，∠B＝45°. ∵在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠A＝64°， sin A＝，cos A＝， ∴PC＝PA·sin A≈200×0.899＝179.8(海里)， AC＝PA·cos A≈200×0.438＝87.6(海里)． ∵在Rt△BPC中，∠BCP＝90°，∠B＝45°， ∴BC＝PC≈179.8(海里)， ∴AB＝AC＋BC≈87.6＋179.8＝267.4≈267(海里)， ∴A，B两岛之间的距离约为267海里． 第二十六章　解直角三角形 26. 4 解直角三角形的应用 第2课时　坡度、坡角及其他问题 1．B 2．解：由题意可知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC， ∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝10米． ∵在Rt△ACD中，tan ∠CAD＝， 即tan 60°＝＝， ∴CD＝10 米，∴BC＝CD＋BD＝(10 ＋10)米． ∴该建筑物BC的高度为(10 ＋10)米． 1．竖直高度；水平宽度；坡角 2．(1)30°　(2)1∶1　(3)1∶　(4)比值；正切 3．5 例1　(30 ＋28) 变式1.解：(1)如图，过点D作DH⊥BF于点H，则DH的长即为点D到地面的距离． ∵在Rt△CDH中，∠DHC＝90°， ∴DH＝CD·sin ∠DCH＝CD·sin 30°＝8×＝4(米)． 答：点D到地面的距离是4米． (2)如图，延长AD交BF于点G. ∵在Rt△CDG中，∠CDG＝90°， ∴CG＝＝＝＝(米)， ∴BG＝CG＋BC＝米． ∵在Rt△CDG中，∠CDG＝90°，∠DCG＝30°， ∴∠DGC＝90°－∠DCG＝90°－30°＝60°. ∵在Rt△ABG中，∠ABG＝90°， ∴AB＝BG·tan ∠AGB＝·＝16＋2 (米)． 例2　2.9 m 变式2.解：(1)在Rt△BCP中，∵PC＝ m，∠BPC＝30°， ∴BC＝PC·tan 30°＝×＝(m)． (2)∵AF＝2 m，CF＝1 m，∴AC＝3 m. ∵BC＝ m，∴AB＝3－＝(m)． 易知AD∥PC，∴∠ADB＝∠BPC＝30°. 在Rt△ADB中， ∵tan ∠ADB＝tan 30°＝＝， ∴AD＝ m≈0.9 m. 第二十七章　反比例函数 27.1 反比例函数 1．y＝0.4x　2.ab　3.1 000 4．函数；自变量　5.正比例；比例系数 1．y＝；比例系数　2.C　3.－1　4.－10　5.y＝ 6．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝， ∵当x＝5时，y＝－1，∴－1＝， ∴k＝－5，∴反比例函数的表达式为y＝. (2)令x＝－5，则y＝＝1. 例1　B　变式1－1.2　变式1－2.(2)(3)(4)(6)(9) 例2　解：(1)设y关于x的函数表达式为y＝(k≠0)，把x＝－3，y＝4代入y＝(k≠0)，得4＝，解得k＝－12. 所以y关于x的函数表达式为y＝－. (2)当x＝2时，y＝－＝－6. 变式2.解：(1)因为波长λ与频率f是反比例函数关系， 所以设波长λ与频率f的函数表达式为λ＝， 由表可知，当λ＝24时，f＝10，所以k＝24×10＝240， 故波长λ关于频率f的函数表达式为λ＝. (2)将λ＝8 m代入λ＝，得8＝，解得f＝30 MHz，故当λ＝8 m时，电磁波的频率f＝30 MHz. 第二十七章　反比例函数 27. 2 反比例函数的图像和性质 第1课时　反比例函数的图像 1．A　2.C　3.列表；描点；连线 1．两个；曲线　2.C 3．解：列表如下： x … －4 －2 －1 1 2 4 … y … 1 2 4 －4 －2 －1 … 反比例函数y＝－的图像如图． 例1　解：作出反比例函数y＝－的大致图像如图所示． (1)把x＝2代入y＝－， 得y＝－＝－2. (2)当x＝1时，y＝－4； 当x＝4时，y＝－1. 根据图像得，当1<x≤4时， y的取值范围为－4<y≤－1. (3)当y＝－1时，x＝4；当y＝4时，x＝－1. 根据图像得，当－1≤y<4且y≠0时， x的取值范围为x<－1或x≥4. 变式1.解：(1)画出图像如图所示． (2)由图像可知当y<2时，x＞0或x<－2. (3)y1>y2>y3. 例2　(－1，2)　变式2.0 第二十七章　反比例函数 27. 2 反比例函数的图像和性质 第2课时　反比例函数的性质 1．B　2.C 1．一；三；减小；二；四；增大 2．C　3.－2(答案不唯一)　4.x2<x1<x3 例1　D　变式1－1.C　变式1－2.C　例2　D 变式2.解：设A，则B， ∴S矩形ADOE＝x·＝1，S矩形BCOE＝3x·＝3， ∴S矩形ABCD＝S矩形BCOE－S矩形ADOE＝3－1＝2. 第二十七章　反比例函数 27.3 反比例函数的应用 1．－8　2.k＜0　3.中心；轴　4.y＝ 1．B 2．解：(1)I＝　 (2)3 A (3)当I≤10 A时，≤10，由函数图像可知R≥3.6Ω， ∴用电器的可变电阻至少是3.6 Ω. 例1　D 变式1.解：(1)4；y＝20x＋20(0≤x≤4) (2)反比例 设在水温下降过程中，y与x的函数表达式为y＝，将(5，80)代入表达式，得80＝，解得k＝400， ∴在水温下降过程中，y与x的函数表达式为y＝. (3)由(2)得，在水温下降过程中，y与x的函数表达式为y＝，当y＝40时，＝40，解得x＝10，∴从加入自来水开始，至少需要等待10 min才可以接水冲泡奶粉． 第二十八章　圆 28.1 圆的概念及性质 1．相等；相等；直径；半径　 2．62.8 1．定点；定长；定点；定长　2.⊙O；圆O　3.直线；圆心 4．(1)弦　(2)直径 (3)圆弧；弧；完全重合；半圆 (4)优弧；劣弧 5．完全重合；等弧　 6．1；3；4；4　7.D 例1　C 变式1.解：如图，白色部分就是狗能到达的区域，阴影部分不能到达． 例2　π　变式2.B　例3　C　 变式3－1. 3；AE，DC，AD 变式3－2.16° 第二十八章　圆 28.2 过三点的圆 1．C　2.B　3.C 1．同一直线上　2.顶点；圆心　3.C　4.C 5．解：(1)该圆弧所在圆的圆心D点的位置如图所示． (2)(2，0) 如图，连接DC，由勾股定理得DC＝＝2 . ∴⊙D的半径长为2 . 例1　不能　变式1.D 例2　解：(1)如图所示，⊙O即为所求． (2)∵∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴根据勾股定理，得AB＝＝10 cm， ∴OA＝AB＝5 cm，∴⊙O的面积为π×52＝25π(cm2)． 变式2－1.(1，0) 变式2－2.如图所示，⊙O即为所求． 第二十八章　圆 28. 3 圆心角和圆周角 第1课时　圆心角及其性质 1．解：弦：弦AB，弦CD，弦AD； 优弧：，，，； 劣弧：，，，. 1．圆心　2.相等；也相等　3.相等；相等　4.D　5.40° 6．证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD. 例1　D　变式1.C 例2　解：∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，∴∠AOB＝180°. ∵＝，∴∠BOC＝∠COD＝50°， ∴∠AOD＝180°－50°－50°＝80°. 变式2－1.A　变式2－2.70° 第二十八章　圆 28. 3 圆心角和圆周角 第2课时　圆周角及其性质 1．圆心 2．①＝；∠AOB＝∠COD ②AB＝CD；∠AOB＝∠COD ③AB＝CD；＝ 1．圆上；相交　2.圆心角　3.直角；直径 4．∠BDC；∠CBD，∠CAD　5.A　6.D 7．解：连接OB，∵∠ACB＝50°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝100°. ∵OA，OB都是⊙O的半径，∴OA＝OB. ∴∠OAB＝∠OBA＝＝40°. 例1　B　变式1.C　例2　65°　变式2.B 例3　40　变式3.D 第二十八章　圆 28. 3 圆心角和圆周角 第3课时　圆内接四边形及其性质 1．B　2.120°；60° 1．同弧　2.圆内接四边形；外接圆　3.互补　4.B　5.C 6．解：∵∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7， ∴设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°， ∴3x＋7x＝180°，∴x＝18°， ∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°. 又∵∠B＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－∠B＝180°－36°＝144°. 例1　B　变式1.A 例2　(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵四边形AEDC为⊙O的内接四边形， ∴∠AED＋∠C＝180°， 又∵∠AED＋∠BED＝180°， ∴∠BED＝∠C， ∴∠BED＝∠B，∴DB＝DE. (2)38 变式2－1.D　 变式2－2.解：连接AC， ∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝＝5. ∵在△ADC中，AD2＋DC2＝22＋()2＝52＝AC2， ∴∠D＝90°，∴∠B＋∠D＝180°. 又∵∠B＋∠BCD＋∠D＋∠BAD＝360°， ∴∠BCD＋∠BAD＝180°， ∴A，B，C，D四点在同一个圆上． 第二十八章　圆 28.4 垂径定理* 1．D　2.54°　3. 1．平分； 平分　2.B　3.8 4．解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝4. 在Rt△COE中，由勾股定理，得OC＝＝＝5.∴⊙O的半径为5. 例1　A　变式1－1.D　变式1－2.B　 例2　A　变式2.13 第二十八章　圆 28.5 弧长和扇形面积的计算 1．A　2.C　3.C 1．半径　2.；　3.； 4.lR　5.任意一点； 底面圆心　6.π　7.8π　8. 例1　A　 变式1.D　例2　　变式2.3π 例3　9　变式3.B ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$