第二十六章解直角三角形综合测试卷2024-2025学年 冀教版九年级数学上册

冀教版九年级数学上册第二十六章综合测试卷 一、选择题(每题3分，共36分) 1．(母题：教材P107做一做)cos 45°的值为(　　) A． B．1 C． D． 2．[2023·攀枝花]△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为(　　) A． B． C． D． 3．[2024·石家庄市第四十中学期中]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为(　　) A． B． C． D．1 4．[2022·锦州]如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为(　　) A． B． C． D． 5．[2024·石家庄第十七中学期中]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为(　　)(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51) A．9.90 cm B．11.22 cm C．19.58 cm D．22.44 cm 6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为(　　) A． B． C． D． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝60 cm，∠AOD＝90°，设∠DAO＝α，若AO＝100 cm，则点O到BC的距离OE是(　　) A．(60＋100sin α) cm B．(60＋100cos α) cm C．(60＋100tan α) cm D．以上选项都不对 8．(母题：教材P118例2)如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(　　) A．26 m B．28 m C．30 m D．46 m 9．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为(　　) A． B．4 C． D．4 10．[2024·石家庄第四十一中学期中]如图①是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm(如图②)，边缘AC＝BD＝60 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　) A．(60＋8)cm B．(60＋8)cm C．64 cm D．68 cm 11．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝，则下列结论中正确的有(　　) ①DE＝3 cm； ②BE＝1 cm； ③菱形的面积为15 cm2； ④BD＝2 cm. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．[2022·荆州]如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OCBC＝12，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是(　　) A． B． C． D．3 二、填空题(每题3分，共12分) 13．[2024·石家庄第九中学期中]sin 30°＋cos 45°＝________. 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5，则tan B的值为________． 15．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为________，△ABC的面积为________． 16．[2023·衢州]下面是勾股定理的一种证明方法：图①所示纸片中，∠ACB＝90°(AC<BC)，四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图②. (1)若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________； (2)若＝，则＝________. 三、解答题(第17～22题每题10分，第23题12分，共72分) 17．计算： (1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；　(2)[2023·盐城]＋4cos 60°－(5－π)0. 18．在△ABC中，∠C＝90°. (1)已知c＝2，∠A＝30°，求∠B，a，b； (2)已知a＝5，∠A＝45°，求∠B，b，c. 19．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若∠A＝60°，求BC的长； (2)若sin A＝，求AD的长． 20．[2024·石家庄市第四十一中学期中]图①是某款篮球架，图②是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5 m， AD＝0.8 m，∠AGC＝32°. (1)求∠GAC的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3 m处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据： sin 32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan 32°≈0.62) 21．如图，湖边A，B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A，B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80 m，求A，B两点之间的距离．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60) 22．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短的边长为1，△ABC的顶点都在格点上． (1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°； (2)在(1)的条件下，连接AD，求tan ∠BAD的值． 23．【初建模型】(1)如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE.求证：BD＝CE.分析：要证明BD＝CE，我们可以通过________(只填序号)的方法证明△ADB和△AEC全等即可． ①SSS　　 ②ASA　　 ③AAS　　　 ④SAS 【类比探究】(2)如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝ ∠ADE＝90°，连接BD，CE.请你写出BD与CE的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】(3)如图③，在图②的基础上，延长BD，交AC于点F，交CE的延长线于点G，求sin G的值． 答案 一、1．C　2．C　3．B 4．D 【点拨】设MN与AC的交点为O， ∵ 四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8. ∴AC＝＝＝10. ∴cos∠CAD＝＝＝. 又由作图知MN为AC的垂直平分线， ∴∠MOA＝90°，AO＝AC＝5. ∴在Rt△AOE中，cos∠EAO＝. ∵cos∠CAD＝cos∠EAO, ∴＝.∴AE＝. 5．B 6．D 【点拨】根据题意可得AB＝4，AF＝AD＝BC＝5，∠AFE＝∠D＝∠B＝90°， ∴∠BAF＋∠AFB＝∠EFC＋∠AFB． ∴∠BAF＝∠EFC． ∴cos∠EFC＝cos∠BAF＝＝. 故选D． 7．A 8．D 【点拨】过点B作AD的垂线，垂足为E. ∵坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5， ∴AE＝1.5BE＝18 m. ∴易得AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(m) . 9．A 【点拨】如图，分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，则有sin B＝sin 45°＝＝，易知DF＝AE，∴DF＝AB＝4. ∵∠DCF＝180°－∠BCD＝60°，∴sin∠DCF＝sin 60°＝＝. ∴CD＝＝＝，故选A． 10．D 【点拨】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图． ∵AC＝60 cm，∠PCA＝30°，∴AE＝AC＝30 cm. 同理可得BF＝30 cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为30＋8＋30＝68(cm)．故选D． 11．C 【点拨】∵菱形ABCD的周长为20 cm， ∴菱形的边长AB＝AD＝20÷4＝5(cm)． ∵DE⊥AB，sinA＝，∴DE＝5×＝3(cm)， 故①正确； ∵AE＝＝＝4(cm)， ∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)，故②正确； 菱形的面积＝AB·DE＝5×3＝15(cm2)， 故③正确； 在Rt△BDE中，BD＝＝＝(cm)，故④错误． 综上所述，正确的有①②③，共3个． 12．C 【点拨】∵点P坐标为(1，1)， ∴OP与x轴正方向的夹角为45°. 又∵OP∥AB，∴∠BAO＝45°. 又∵∠AOB＝90°，∴OA＝OB． 设OC＝x，则BC＝2OC＝2x，∴OA＝OB＝3x， ∴tan∠OAP＝＝＝. 二、13． 【点拨】原式＝＋×＝＋1＝. 14． 15．；　【点拨】如图，过点A作AD⊥BC． 在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3， ∴AD＝AB·sin B＝1. ∴BD＝＝＝2. 在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝. 又∵AD＝1，∴CD＝.∴BC＝BD＋CD＝3. ∴S△ABC＝BC·AD＝. 16．(1)9　(2) 【点拨】(1)设剪裁线的交点为T，过C作CM⊥AB于M，如图． ∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT. ∵cos∠ABC＝，∴cos∠BCT＝，即＝.∴CT＝BC． ∵∠ACM＝90°－∠BCM＝∠ABC， ∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝. ∴CM＝AC． ∴CT·CM＝BC·AC＝BC·AC． ∵△ABC的面积为16，∴BC·AC＝16. ∴BC·AC＝32. ∴CT·CM＝18.易知BT＝CM， ∴纸片Ⅲ的面积为CT·BT＝CT·CM＝9. (2)如图，设CT的延长线交BF于点W，BT的延长线交GF于点N. ∵＝，∴＝. 设NT＝19t，则BT＝15t，∴BN＝34t. ∵∠FBN＝90°－∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°， ∴△BFN≌△CBW(ASA)．∴CW＝BN＝34t. ∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°， ∴△BCT∽△WBT. ∴＝.∴CT·WT＝BT2. ∴CT·(34t－CT)＝(15t)2， 解得CT＝9t或CT＝25t. 当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去； 当CT＝25t时，WT＝9t， ∵BK＝CT，AK＝WT，∴＝. 三、17．【解】(1)原式＝×＋1×＝＋＝. (2)原式＝2＋4×－1＝3. 18．【解】(1)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°. ∵sin A＝，sin B＝， ∴a＝c·sin A＝2×＝， b＝c·sin B＝2×＝3. (2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°. ∴b＝a＝5.∴c＝＝10. 19．【解】(1)在Rt△ABE中， ∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝， ∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6. 在Rt△CDE中， ∵CD＝4，sin E＝，∠E＝30°， ∴CE＝＝＝8.∴BC＝BE－CE＝6－8. (2)∵在Rt△ABE中，sin A＝＝， ∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x. 由勾股定理可得AB＝3x， 又∵AB＝6，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10. ∴tan E＝＝＝＝.∴DE＝. ∴AD＝AE－DE＝10－＝. 20．【解】(1)∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°. 又∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°－32°＝58°. (2)该运动员能挂上篮网，理由如下： 如图，延长OA，ED交于点M， ∵OA⊥OB，DE∥OB，∴∠DMA＝90°. 又∵∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝32°. 在Rt△ADM中， AM＝AD·sin 32°≈0.8×0.53＝0.424(m)， ∴OM＝OA＋AM≈2.5＋0.424＝2.924(m)<3 m. ∴该运动员能挂上篮网． 21．【解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D， 在Rt△ACD中， ∵∠DAC＝37°，AC＝80 m，sin∠DAC＝，cos∠DAC＝， ∴CD＝AC·sin37°≈80×0.60＝48(m)， AD＝AC·cos37°≈80×0.80＝64(m)． 在Rt△BCD中， ∵∠CBD＝58°，CD≈48 m，tan∠CBD＝， ∴BD＝≈＝30(m)． ∴AB＝AD＋BD≈64＋30＝94(m)． 答：A，B两点之间的距离约为94 m. 22．【解】(1)如图所示，点D即为所求． (2)如图，连接BD． ∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1， ∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝＝＝. 易知BF＝AF＝2，∠BFA＝90°，∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2. ∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°. ∴tan ∠BAD＝＝＝. 23．【解】(1)④ 【点拨】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE. 又∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△ADB≌△AEC(SAS)． (2)BD＝CE，理由如下： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°. ∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE.∴△BAD∽△CAE. ∴＝＝.∴BD＝CE. (3)由(2)可知：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD． 又∵∠AFB＝∠CFG，∴△BAF∽△CGF. ∴∠G＝∠BAC． ∴sin G＝sin∠BAC＝. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$