抛物线——2025届高考数学一轮复习例题训练集

（28）抛物线——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为( ) A. B. C.8 D. 2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足.设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为( ) A. B. C. D. 3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A在F的正上方，过点A的直线l与抛物线交于另一点B，满足，则钝角( ) A. B. C. D. 4．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 5．已知抛物线，过点的直线与C相交于A，B两点，过点A，B分别作抛物线的切线，设两条切线分别与y轴相交于点M，N，则面积的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 6．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线C上，若，则( ) A.F的坐标为 B. C. D.以MF为直径的圆与x轴相切 7．在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线的焦点，点，在抛物线C上，则下列结论正确的是( ) A.C的准线方程为 B. C. D. 三、填空题 8．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点A，则该抛物线的标准方程为__________. 9．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点M，过F且不与x轴垂直的直线l交C于A，B两点，，，则C的方程为___________. 四、解答题 10．已知抛物线的焦点为F，过原点O且斜率为1的直线交于另一点M，的外接圆周长为. （1）求的方程； （2）设曲线，过点F的直线自上而下依次交和E于A，P，F，B，过点F的直线（不与重合）自上而下依次交和E于C，F，Q，D，且，记，，证明：为定值. 参考答案 1．答案：A 解析：由可得抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线焦半径公式知，所以，将代入，可得，所以的面积为，故选A. 2．答案：D 解析：如图，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N. 设，，则，. 由MN为梯形ACDB的中位线，得，由可得，故. 因为，当且仅当时取等号， 所以，故选D. 3．答案：D 解析：由题知，抛物线的焦点为，准线方程为.因为点A在F的正上方，所以点A的坐标为. 因为为钝角，则点B在x轴下方， 所以，解得，即点B的坐标为（舍去）或. 因为直线BF的斜率，所以直线BF的倾斜角为，故钝角.故选D. 4．答案：C 解析：由题意知，圆心，半径，抛物线的焦点，准线. 如图，作于点H，因为P在抛物线上，所以. ，当P，Q，H三点共线时，取等号. 过E作直线l的垂线，垂足为，与圆E交于点，与抛物线交于点，则有，此时，E，，，四点共线，且，在线段上，则上述两式可同时取等号.所以的最小值为8.故选C. 5．答案：B 解析：设直线AB的方程为，，，联立消去x整理得，易知恒成立，由韦达定理得，.因为抛物线C在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，令，得，，则，，所以，所以当时，有最小值，故选B. 6．答案：BCD 解析：对于抛物线，可得，，且焦点在y轴正半轴上，则点，A错误； 由抛物线的定义可得，可得，B正确； 由可知，可得，所以，C正确； 因为MF的中点坐标为，则点到x轴的距离，所以以MF为直径的圆与x轴相切，D正确. 故选BCD. 7．答案：ABD 解析：点，在抛物线C上，则有解得所以抛物线，，. 选项A：抛物线C的准线方程为，A正确； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：抛物线C的焦点，则，，则，D正确.故选ABD. 8．答案： 解析：设点关于直线对称的点为，过A且平行于x轴的直线交抛物线于B，则有. 由可得 即. 由题意可知，，F，B三点共线，因为，F都在x轴上，所以，F重合，即，，，所以抛物线的标准方程为. 9．答案： 解析：方法一：设过的直线l的方程为，与联立，可得. 设，，，， 则，， 则. 如图，过点A作轴于点H， 根据抛物线的定义可得， 则，，， ，.由得，故C的方程为. 方法二：如图，过点A作轴于点H，根据抛物线的定义可得，则，，，C的方程为. 10．答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）设外接圆半径为R，则，故. 依题意知，直线的方程为，其倾斜角为，则. 联立 解得， 由抛物线的定义可知. 在中，由正弦定理得， 即， 解得. 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知，代入E的方程，得， 故E的方程为，易知直线和的斜率不为0， 设，， 由得或， 故， 同理可得， 所以，， 所以， 解得，① 由得， 设，，，， 则，， 同理可得，， 所以， ， ，， 因为， ， 且， 得 . 又 . 且， 所以， 将①式代入可得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$