精品解析：安徽省安庆市第一中学2024届高三下学期三模数学试题

安庆一中2024届高三第三次模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z的实部大于0，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 8位选手参加射击比赛， 最终的成绩(环数) 分别为42，38，45，43，41，47，44，46，其分位数是（ ） A. 44.5 B. 45 C. 45.5 D. 46 4. 已知函数（，）两个相邻的零点为，，距离y轴最近的对称轴为，则（ ）. A. B. C. D. 5. A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 60种 6. 已知数列的通项公式为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ） A. 这两个球体的半径之和的最大值为 B. 这两个球体的半径之和的最大值为 C. 这两个球体的表面积之和的最大值为 D. 这两个球体的表面积之和的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD＝1，，现将沿斜边AC翻折成（不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ） A. 与BC可能垂直 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若A，C，E，都在同一球面上，则该球的表面积是 D. 直线与EP所成角的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若正数x，y满足，则的最小值是___________. 13. 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________． 14. 以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则__________. 四、解答题：本题共5大题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为 （1）求数列的通项公式及数列的前n项和 （2）是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由. 16. 如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，，，点F在棱AC上. （1）若BF∥平面CDE，求CF的长； （2）若F是棱AC的中点，求二面角的正弦值. 17. 为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染） （1）估计该市流感感染率是多少？ （2）根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关； （3）已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001） 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值； （2）由抛物线弧，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围． 19. 已知函数，记是的导函数. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆一中2024届高三第三次模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，然后求交集即可. 【详解】因为， 又，所以. 故选：B. 2. 若复数z的实部大于0，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算和复数相等计算即可. 【详解】令，且，， 则 因为 根据复数相等有，解得：，． 所以. 故选：D. 3. 8位选手参加射击比赛， 最终的成绩(环数) 分别为42，38，45，43，41，47，44，46，其分位数是（ ） A. 44.5 B. 45 C. 45.5 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】借助百分位数的定义计算即可得. 【详解】将最终的成绩(环数)从小到大重新排列：38，41，42，43，44，45，46，47， ，则分位数为. 故选：C. 4. 已知函数（，）两个相邻的零点为，，距离y轴最近的对称轴为，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得解析式，根据两角和的余弦公式计算即可． 【详解】由题意，知，又，所以； 又距离轴最近的对称轴为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：A． 5. A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两个原理，结合排列、组合应用列式计算即可. 【详解】①A校去乙地有种； ②A校与另一所学校去丙地有种， ③A校单独去丙地有种， 所以共有种， 故选：B． 6. 已知数列的通项公式为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复合函数单调性可得的单调性，结合数列单调性与函数单调性之间的关系可得，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】二次函数图象的开口向上，对称轴是直线， 且在定义域内单调递增， 当时，单调递减，单调递减； 当时，单调递增，单调递增； 因为中的自变量为正整数，且， 则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，求得，再利用，求得，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ， 椭圆的离心率的取值范围是， 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及利用三角形的性质是解决本题的关键. 8. 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ） A. 这两个球体的半径之和的最大值为 B. 这两个球体的半径之和的最大值为 C. 这两个球体的表面积之和的最大值为 D. 这两个球体的表面积之和的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则，，其中，表达出，，求导得到函数单调性，得到最值，并求出，令，函数在上单调递增，求出，得到答案. 【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切， 过底面圆的直径作截面， 如图所示，过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点作⊥AB，垂足为E， 过点作⊥OF，垂足为D． 设圆O的半径为R，圆的半径为r，当下面的球与上底面相切时，取得最大值， 此时为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为，内切球半径为， 故，故R的最大值为，且取最大值时， 三点共线，设，则， 则，解得， 所以，，，，. 因为，所以①， 整理得，解得， 令函数，， . 令函数，，所以是增函数. 又因为，，所以，， 所以，，，， 即，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为. 由①可得， 这两个球体的表面积之和为. 令，函数在上单调递增， 所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为. 故选：D． 【点睛】方法点睛： 立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,只需验证和的数量积是否为0即可;对于B,在方向上的投影向量表示为;对于C,先求平方，再利用数量积即可求夹角;对于D,对式子进行化简，进而判断. 【详解】对于A，因为，是单位向量， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，是单位向量， 所以在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为， 所以， 又因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 所以，故D错误； 故选：AB． 10. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率公式，逐一判断即可. 【详解】A选项：因为，，所以，A正确； B选项：因为，，所以，因此，B正确； C选项：因为，所以，C错误； D选项：因为，，所以，又因为，所以，D正确. 故选：ABD 11. 如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD＝1，，现将沿斜边AC翻折成（不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ） A. 与BC可能垂直 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若A，C，E，都在同一球面上，则该球的表面积是 D. 直线与EP所成角的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由，当时，平面，则； 对于B选项：取的中点，连接，根据，则平面平面时，三棱锥体积的最大值，从而可判断； 对于C，根据，可得都在同一球面上，且球的半径为，从而可判断； 对于D选项：由可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，即可求得与所成角的取值范围. 【详解】对于A选项：由，则，当时，且，此时满足平面，因此，故A正确； 对于B，取的中点，连接， 则，且， 因为， 当平面平面时，三棱锥体积的最大值， 在中，，则， 此时， 所以三棱锥体积的最大值为，故B错误； 对于C，因为， 所以都在同一球面上，且球的半径为， 所以该球的表面积是，故C正确； 对于D，作， 因为为的中点，所以， ，所以， 所以，所以， 可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线， 所以与夹角为，与夹角为，又不在平面内， ，， 所以与所成角的取值范围，所以D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若正数x，y满足，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 13. 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解. 【详解】设，则，可得， 又因为分别为双曲线的左右顶点，可得， 所以； 又由，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为. 故答案为：；. 14. 以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，设，则再结合基本不等式求解即得. 【详解】由可得， 设，则 由 ，当且仅当时，等号成立. 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，由已知得出，进而得出是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5大题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为 （1）求数列的通项公式及数列的前n项和 （2）是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和； （2）假设存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，得到方程，得到，求范围，即得结论. 【小问1详解】 由题意在等差数列中，设公差为d， 由，得，则， 又，，成等比数列， ∴7，，成等比数列，得， 即，得， ∴，， ∴数列的通项公式为：（）． ∴， ∴ . 【小问2详解】 若存在正整数m，n（），使得，，成等比数列， 则，即， 化简得：，解得： 又且，所以，， 故存在正整数，，使得，，成等比数列. 16. 如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，，，点F在棱AC上. （1）若BF∥平面CDE，求CF的长； （2）若F是棱AC的中点，求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记中点为，连接、，依题意可得，根据面面垂直的性质得到平面，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，依题意可得求出的值，即可得解； （2）依题意点与点重合，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 记AC中点为M，连接DM、BM，三角形ACD为正三角形，，则DM⊥AC，且. 因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面，平面ACD，所以DM⊥平面ABC， 又△ABC为正三角形，所以BM⊥AC，所以， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 设平面CDE的法向量为，则，令，则，，则， 设，，则， 因为BF∥平面CDE，所以，解得， 所以F为CM的中点，此时. 【小问2详解】 若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为， 设二面角为，显然二面角为锐角，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. 17. 为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染） （1）估计该市流感感染率是多少？ （2）根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关； （3）已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001） 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有 （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可； （2）根据题中数据得到列联表，结合卡方运算公式和附表中的值进行判断即可； （3）利用条件概率和全概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 估计流感的感染率； 【小问2详解】 列联表如下： 疫苗情况 患有流感 不患有流感 合计 打疫苗 220 580 800 不打疫苗 80 120 200 合计 300 700 100 所以， 所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关. 【小问3详解】 设事件A为“一次检测结果呈阳性”，事件B为“被检测者确实患有流感”， 由题意得，，，，， 由全概率公式得， 所以，于是此人真的患有流感的概率是0.976. 18. 具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值； （2）由抛物线弧，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围． 【答案】 （1）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，则． 当时，（），， 即； 当时，（），． 即；∴为定值． （2）或，． 【解析】 【分析】（1）设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，再根据抛物线的方程表达出的解析式证明即可 （2）根据圆锥曲线的参数方程将A、B的坐标用三角函数表示，从而使求的范围问题转化为三角函数值域的求法即可 【详解】（1）略 （2）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧或椭圆弧上加以分类．由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）， 当时，，此时，． 当时，A在椭圆弧上，由题设知代入， 得，整理得， 解得或（舍去）． 当时，A在抛物线弧上，由方程或定义均可得到，于是． 综上，或． 相应地，． ①当时，A在抛物线弧上，B在椭圆弧上， ； ②当时，A在椭圆弧上，B在抛物线弧上， ； ③当时，A、B在椭圆弧上， ． 综上，． 19. 已知函数，记是的导函数. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2）的单调递增区间是和，单调递减区间是和 （3） 当时，要证， 只需证， 因为，所以只需证， 只需证， 只需证， 只需证， 只需证， 令（）， 则只需证（）（※） 因为 由（2）知，在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以在上单调递减， 又，所以，即不等式（※）成立， 故当时，. 【解析】 【分析】（1）求出当时的的导函数即可得； （2）先分类讨论求出的导函数，即可得函数的导函数，再借助导数构造相应函数去研究的正负，即可得函数的单调性； （3）原问题可转化为证明：当时，，构造函数，可得的导函数与的关系，即可得其单调性，即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 此时，所以. 【小问2详解】 先求的导数， 当时，， 当时，， 当时，总有， 所以， 令，则，， 所以在，上均单调递减， 由（1），又，也即是， 所以当时，，于是， 所以在上单调递减， 当时，，于是， 所以在上单调递增， 当时，，于是， 所以在上单调递增， 当时，，于是， 所以在上单调递减， 故的单调递增区间是和， 单调递减区间是和； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于构造出后，得到其导函数与的关系，从而可由的性质得到的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $