精品解析：河南省开封市通许县开封清华中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024——2025学年开封清华学校高三开学考试 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知函数若方程至少有两个实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出函数的图象和直线，由图象得出它们至少有2个交点的的范围． 【详解】方程至少有两个实数根，等价于的图像与直线至少有两个不同的交点.根据图像可知，当时，函数的图像与有两个不同的交点，当时，函数的图像与有一个交点，当或时，函数的图像与没有交点，所以的取值范围是. 故选：A． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式及指数幂运算求解即可. 【详解】由，则， 所以. 故选：C. 3. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记录于其重要著作《详解九章算法》中， 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 数列 是单调递增数列 D. 数列 有最大项 【答案】D 【解析】 【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，从而可得数列 是单调递增数列，则，A、C不符合题意；再利用累加法计算可判断B；借助基本不等式判断D. 【详解】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知， 所以数列是以为首项，公差的等差数列，即， 所以，即数列 是单调递增数列， ，则，A、C不符合题意； 所以，将所有上式累加可得 ，所以， 即该数列的第11项为，B不符合题意； 由于， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 但由于，即数列 有最小值为， 而当时，单调递增，所以无最大值，D符合题意. 故选：D. 5. 某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可将中奖的情况分成第一次两球连号和第二次取出的小球与第一次取出的号码相同两种情况，分别计算两种情况的概率，根据和事件概率公式可求得结果. 【详解】中奖的情况分为：第一次取出两球号码连号和第二次取出两个小球与第一次取出的号码相同两种情况 第一次取出两球连号的概率为： 第二次取出两个小球与第一次取出号码相同的概率为： 中奖的概率为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查和事件概率问题的求解，关键是能够根据题意将所求情况进行分类，进而通过古典概型和积事件概率求解方法求出每种情况对应的概率. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，， 所以，，可得， 则， 所以，，故． 故选：D 7. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值. 【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点， ∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，，，，， ，，， 设平面PEF的法向量， 则，取，得， 设PB与平面PEF所成角为， 则， ∴PB与平面PEF所成角的余弦值为. 故选：D. 【点睛】 8. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率. 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中， 设点、、， 联立可得，，， 所以，， ，， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，， 因为，则，因为，解得， 因此，直线的斜率为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基底的定义，判断所给向量组中的两个向量是否共线，若不共线则可作为基底，若共线则不能作为基底. 【详解】对于A选项，已知，零向量与任意向量共线，所以与共线，不能作为基底，A选项错误.  对于B选项，对于，， ，所以与不共线，可以作为基底，B选项正确.  对于C选项，对于，， ，所以与共线，不能作为基底，C选项错误.  对于D选项，对于，，计算，所以与不共线，可以作为基底，D选项正确.  故选：BD. 10. 在正方体中，E，F，G分别为AD，，的中点，H为BG的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. AH，互为异面直线 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用线线平行证线面平行易得；对于B，分别证，，由线线垂直可得线面垂直；对于C，先证明，得H为的中点即得；对于D，先由B项结论易得即与平面所成的角，借助于直角三角形易求. 【详解】 对于A，如图，因，平面，而平面，故平面，即A正确； 对于B，如图，在正方形中，因E， G分别为AD， 的中点，易得， 则，因，故，即， 又平面，平面，故， 又平面，故平面，即B正确； 对于C， 如图，连接，因F，G分别为，的中点，则， 故得，又H为BG的中点，故H也是的中点，即与交于点，故C错误； 对于D， 如图，由B项已得平面，设，则即在平面上的投影， 故即与平面所成的角，设正方体棱长为2，则， 易得故，即D错误. 故选：AB. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与正方体有关的线面平行、线面垂直及线面所成角问题，属于较难题. 解题思路无非利用找线线平行证线面平行，由找线线垂直证线面垂直；在求线面所成角时，一般先找面的垂线得到射影即得所求角，之后还能借助于空间向量夹角公式求解. 11. 已知在 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ） A. n=6 B. 展开式中含的项的系数是 C. 展开式的各二项式系数和为64 D. 展开式的各项系数和为729 【答案】AC 【解析】 【分析】由展开式共有7项判断A；由通项公式利用赋值法判断B；由性质判断C；由得出展开式的各项系数和. 【详解】展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式共有7项，则，故A正确； 展开式的通项为， 令，则展开式中含的项的系数是，故B错误； 展开式的各二项式系数和为，故C正确； 令，则展开式的各项系数和为，故D错误； 故选：AC 三、填空题（5*3） 12. 正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，，则的值为 _________；的值为 ___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设出正项数列成等比数列的后7项的公比，求出及，再分组求和即得. 【详解】正项数列成等比数列的后7项的首项为，设公比为，则，而，解得， 于是，显然， 所以. 故答案为：； 13. 纵截距为，与两坐标轴围成的三角形面积为20的直线的一般式方程为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】设直线的方程为：求得轴的截距，根据三角形的面积公式计算求解即可. 【详解】设直线的方程为：由得 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为20， 所求直线方程为 即或 故答案为：或 14. 已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设为四面体的外接球球心，为外接圆的圆心，取的中点，四边形为长方形可得，在中由正弦定理可得，再由可得答案. 【详解】设为四面体的外接球球心，连接， 因为，，平面， 所以平面，， 因为，，由余弦定理可得 ， 因为，所以，， 设为外接圆的圆心，连接， 则平面，，取的中点，连接， 因为，所以，所以四边形为长方形， 可得， 在中，由正弦定理可得， 所以， 则四面体的外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是确定外接球的球心和外接圆的圆心. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知是一次函数，且，求； （2）已知，求． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）设，代入已知条件可得的方程组，解方程组即可得到答案 （2）利用换元法求解求出解析式 【详解】（1）设，则： ； 即； 解得或； ∴或； （2）令，则，； ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式，掌握待定系数法、换元法、配凑法、列方程组法等，由条件的不同运用适当方法解题． 16. 已知为正项数列的前n项积，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求的前n项和. 【答案】（1） 由题意知①， 当时，. 当时，②. ①-②得适合上式， ③，则④. 得， 两边同时取以2为底的对数，得， 则，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，然后两边取对数，结合等比数列的定义，即可证明； （2）根据题意，由条件可得，结合错位相减法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1）知，则， 所以， 两式相减得， . 17. 已知圆及一点，在圆上运动一周，的中点形成轨迹. （1）求轨迹的方程； （2）若直线的斜率为1，该直线与轨迹交于异于的一点，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）转移法求动点轨迹，先设所求动点坐标及点坐标，再根据中点坐标公式得两者坐标关系，用动点坐标表示点坐标，最后代入圆方程,化简得轨迹的方程. （2）先根据点斜式写出直线的方程，再根据圆心到直线距离得三角形的高，利用垂径定理可得弦长，即三角形底边边长，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）设，则， 把代入，所以 即，所以轨迹的方程为：. （2）直线方程为：, 圆心到直线的距离为 ， 所以 ， 所以的面积为：. 18. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【答案】（1） 连接与交于点，连接， 因为四边形是正方形， 所以为中点，又因为为，中点所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 在正方体中， 由面，面，所以， 又，面，面，， 所以面， 又由面，所以． 【解析】 【分析】（1）只需由中位线定理得出，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）先由线面垂直的判定定理证得面，再结合线面垂直的性质即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后. （1）从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写如下列联表： 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 依据小概率值的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001) ，其中. 下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）调查了近10个月的产量（单位：万个)和月销售额（单位：万元)，得到以下数据：，根据散点图认为y.关于x的经验回归方程为，试求经验回归方程. 参考公式：，其中. 【答案】（1） 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 ，能 （2）【解析】 【分析】（1）根据的计算公式即可求解. （2）利用经验回归方程计算公式即可代入求解. 【小问1详解】 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 设：车间与优等品无关. 根据小概率值的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为车间与优等品有关联. 【小问2详解】 依题意得： ， 又因为，， 故， 所以经验回归方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年开封清华学校高三开学考试 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知函数若方程至少有两个实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 4. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记录于其重要著作《详解九章算法》中， 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 数列 是单调递增数列 D. 数列 有最大项 5. 某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 在正方体中，E，F，G分别为AD，，的中点，H为BG的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. AH，互为异面直线 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 已知在 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ） A. n=6 B. 展开式中含的项的系数是 C. 展开式的各二项式系数和为64 D. 展开式的各项系数和为729 三、填空题（5*3） 12. 正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，，则的值为 _________；的值为 ___________. 13. 纵截距为，与两坐标轴围成的三角形面积为20的直线的一般式方程为________． 14. 已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知是一次函数，且，求； （2）已知，求． 16. 已知为正项数列的前n项积，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求的前n项和. 17. 已知圆及一点，在圆上运动一周，的中点形成轨迹. （1）求轨迹的方程； （2）若直线的斜率为1，该直线与轨迹交于异于的一点，求的面积. 18. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 19. 某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后. （1）从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写如下列联表： 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 依据小概率值的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001) ，其中. 下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）调查了近10个月的产量（单位：万个)和月销售额（单位：万元)，得到以下数据：，根据散点图认为y.关于x的经验回归方程为，试求经验回归方程. 参考公式：，其中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $