专题讲义13 二次函数的图象与性质（山东专用）-2025年中考数学一轮复习

二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题13 二次函数图象与性质 【基本知识梳理】 ---知识点1：定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ---知识点2：二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 ---知识点3二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成十四个字“左加右减自变量，上加下减常数项”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） ---知识点4：二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2.b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3.c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 ---知识点5：二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 : 考点1 二次函数图象与性质 【例1-1】（2024·山东菏泽鄄城二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·山东潍坊昌邑二模）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024·山东潍坊中考真题）（多选）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 【变式训练1】（2024·山东烟台中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 【变式训练2】（2024·山东临沂蒙阴三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【变式训练3】（2024·山东临沂模拟）抛物线与y轴交于点，过点作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 考点2 二次函数的平移 【例2】（2024·山东滨州校级模拟）对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（2024·山东济宁邹城二模）二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新图象的二次函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·山东泰安肥城模拟）若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【变式训练3】（2024·山东临沂沂南一模）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 考点3 二次函数图象与系数a,b,c的关系 【例3】（2024·山东东营中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【变式训练1】（2024·山东烟台中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变式训练2】（2023·山东青岛中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是______．（只填写序号） 【变式训练3】（2024·山东临沂费县二模）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 考点4 二次函数与方程、不等式的关系 【例4】（2024·山东临沂校级模拟）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． （1）求m的值； （2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 【变式训练1】（2024·山东济宁中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【变式训练2】（2023·山东威海环翠区一模）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 【变式训练3】（2024·山东枣庄校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题13 二次函数图象与性质 【基本知识梳理】 ---知识点1：定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ---知识点2：二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 ---知识点3二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成十四个字“左加右减自变量，上加下减常数项”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） ---知识点4：二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2.b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3.c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 ---知识点5：二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 : 考点1 二次函数图象与性质 【例1-1】（2024·山东菏泽鄄城二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考察二次函数、一次函数和反比例函数的性质，利用二次函数的性质结合所给的二次函数图像可以判断、、的符号，然后结合一次函数和反比例函数的性质可以推断正确的图像． 【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴的正半轴， ∴， ∵对称轴 得出， ∴一次函数经过一、三、二象限，反比例函数 经过一、三象限， 故选：A． 【点睛】结合已知的二次函数图像正确判断a、b、c的符号的关键． 【变式训练1】（2024·山东潍坊昌邑二模）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．分与两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：当时，函数的图象位于一、三象限，的开口向上，交y轴的负半轴，故选项B符合题意； 当时，函数的图象位于二、四象限，的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项． 故选：B． 【例1-2】（2024·山东潍坊中考真题）（多选）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 【答案】ACD 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项A正确； 对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项B错误； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项C正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项D正确； 故选ACD． 【变式训练1】（2024·山东烟台中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 【变式训练2】（2024·山东临沂蒙阴三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值， 当时，有最大值，最小值，当时，， 根据对称性可得时，， ， 故选：C． 【变式训练3】（2024·山东临沂模拟）抛物线与y轴交于点，过点作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称变换，通过计算可得，是关于抛物线对称轴对称的点，再分三种情况：若，即和在轴右侧（包括在轴上）；当时，即和在轴左侧（包括在轴上）；当，即在轴左侧，在轴右侧时；分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，令，得， 令，， ∴，是关于抛物线对称轴对称的点， 若，即和在轴右侧（包括在轴上），则点经过翻折得，点经过翻折得，如图： 由对称性可得：，此时不满足； 当时，即和在轴左侧（包括在轴上），则点即为，点即为， ∴，此时不满足； 当，即在轴左侧，在轴右侧时，如图： 此时，翻折后得，满足， 由得：， 故选：D． 考点2 二次函数的平移 【例2】（2024·山东滨州校级模拟）对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线，函数图象开口向上， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故①符合题意； 当时，y有最小值3，故②符合题意； 当时，即 ∴ ∴ ∴方程无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意； ∵， ∴图象是由抛物线向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意； 其中结论正确的个数为2个． 故选：B． 【变式训练1】（2024·山东济宁邹城二模）二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新图象的二次函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的平移，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数的图象向左平移2个单位得到， 由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象向下平移3个单位可得到函数， 故选：B． 【变式训练2】（2024·山东泰安肥城模拟）若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线 根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线， 则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：． 【变式训练3】（2024·山东临沂沂南一模）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 考点3 二次函数图象与系数a,b,c的关系 【例3】（2024·山东东营中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 【变式训练1】（2024·山东烟台中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 【变式训练2】（2023·山东青岛中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可得，，，又， ． ． ①正确． 由题意，令， ． 又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2， 的两根之和为，两根之积为． ，． ． 又， ． ． ②错误，③正确． ，， ． ④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【变式训练3】（2024·山东临沂费县二模）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图象信息解决问题是关键．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据函数图象与x轴的交点个数，可判断②；可求得图象与x轴的另一个交点坐标为，由当时，，可判断③；由当时，，可判断④；把看为与的图象的交点问题，可判断⑤；从而解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ， ∵抛物线交y轴的正半轴， ， ，故①正确； 该函数图象与x轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ，故②不正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，，故③不正确； ∵抛物线经过点， ， ， ，即，故④正确； 函数图象与x轴的交点坐标分别为和， 令，则， ∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为， ∴由图象可知：，，故⑤正确； 故正确的有3个， 故选：C． 考点4 二次函数与方程、不等式的关系 【例4】（2024·山东临沂校级模拟）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． （1）求m的值； （2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 【答案】（1）m=1 （2）二次函数图象与x轴有两个交点，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值； （2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ， ∴4=4+2m+m2−3， 即m2+2m−3=0， 解得：m1=1，m2=−3， 又∵m>0， ∴m=1； 【小问2详解】 解：由（1）知二次函数y=x2+x−2， ∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0， ∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键． 【变式训练1】（2024·山东济宁中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式训练2】（2023·山东威海环翠区一模）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】B 【分析】观察函数图象，找到抛物线在双曲线下方时的自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：观察函数图象，可知当时，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象的性质，数形结合是解题的关键． 【变式训练3】（2024·山东枣庄校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　 　． 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴﹣m+n＝p，3m+n＝q， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点， 观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方， ∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1． 故答案为：x＜﹣3或x＞1． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$