专项训练：利用空间向量解决折叠问题大题精练20题-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

利用空间向量解决折叠问题大题精练 1．（23-24高二上·安徽六安·月考）已知如图1所示等腰中，，，为中点，现将沿折痕翻折至如图2所示位置，使得，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 2．（23-24高二上·重庆·期末）如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（23-24高二下·广东广州·月考）如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． (1)证明：平面； (2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段的距离的取值范围． 4．（23-24高二上·湖北武汉·月考）如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结． (1)证明：平面； (2)在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（23-24高二下·云南丽江·月考）在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥． (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 6．（23-24高二上·江西南昌·月考）如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 7．（23-24高二下·江苏淮安·月考）如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为的中点. (1)证明：； (2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为. 8．（22-23高二上·贵州铜仁·月考）如图,在直角梯形中，，，且，现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离 9．（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，直角梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿着AE翻折至，点M为PC的中点，点N在线段BC上． (1)证明：平面PBC (2)若平面平面ABCE，平面EMN与平面PAB的夹角为30°，求的值． 10．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 11．（23-24高二上·辽宁·月考）如图①，在矩形中，为边的中点.将沿翻折至，连接，得到四棱锥（如图②），为棱的中点. (1)求证：面，并求的长； (2)若，棱上存在动点（除端点外），求直线与面所成角的正弦值的取值范围. 12．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图1，矩形ABCD中，，，E为CD的中点，现将，分别沿AE，BE向上翻折，使点D，C分别到达点M，N的位置，且平面AME，平面BNE均与平面ABE垂直（如图2）. (1)证明：M、N、A、B四点共面； (2)求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值. 13．（23-24高二上·河北唐山·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点，沿将翻折到，连接，得到如下图2的五棱锥，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 14．（23-24高二上·湖北黄石·月考）如图2，在中，，，．将沿翻折，使点D到达点P位置（如图3），且平面平面． (1)求证：平面平面； (2)设Q是线段上一点，满足，试问：是否存在一个实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（23-24高二上·陕西西安·月考）如图1，四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠ADC=60°，E是CD的中点，将平行四边形ABCD沿着AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2），点G是的重心，连结AC，BE交于点F. (1)求证：GF平面CDE； (2)求直线GF与平面BCD所成角的正弦值. 16．（23-24高二上·四川南充·月考）用文具盒中的两块直角三角板(直角三角形和直角三角形)绕着公共斜边翻折成二面角，如图和，，，，，将翻折到，使，为边上的点，且. (1)证明： 平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 17．（23-24高二下·山西晋城·月考）如图所示，在等腰直角中，，点、分别为，的中点，将沿翻折到位置. (1)证明：； (2)若，求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值. 18．（23-24高二上·浙江杭州·月考）如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2）    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 19．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在四边形中，于交点，.沿将翻折到的位置，使得二面角的大小为. (1)证明：平面平面； (2)在线段上（不含端点）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由. 20．（22-23高二下·福建宁德·月考）已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面. (1)证明：； (2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 利用空间向量解决折叠问题大题精练 1．（23-24高二上·安徽六安·月考）已知如图1所示等腰中，，，为中点，现将沿折痕翻折至如图2所示位置，使得，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析（1）、分别为、的中点，， 平面，平面，平面． （2）在原等腰三角形中， ，，为中点， ，，且， 在折叠后的三棱锥中，，， 又，平面， 以为原点，在平面内，过作的垂线为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设二面角的平面角为， 则， 由图可知二面角为锐二面角，， 二面角的余弦值为． 2．（23-24高二上·重庆·期末）如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析（1）证明：由题可知，因为分别为中点，所以， 所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知，因为， 所以，所以两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即，解得一个法向量 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．（23-24高二下·广东广州·月考）如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． (1)证明：平面； (2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 为中点，所以，， 设平面的法向量为， 又，， 所以，，令，则，，所以， 所以， 所以，所以平面. （2）设，由（1）知，， 因为动点Q在线段上，且，所以， 所以，所以，，， 所以，，， 设平面的法向量为， ，，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，， 根据二次函数的性质可知，所以， 由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 4．（23-24高二上·湖北武汉·月考）如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结． (1)证明：平面； (2)在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析（1）在四棱锥中，取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，，则，， 因为平面，平面，则平面，同理可得，平面， 又，，平面，故平面平面，因为平面， 故平面； （2）因为在等腰直角三角形中，，， 所以，则在四棱锥中，，， 因为，则，，又，平面， 故平面，又平面，故， 因为，，，则，所以，故． 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则： ，，，，故， 设平面的法向量为，则， 令，则，故； 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 5．（23-24高二下·云南丽江·月考）在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥． (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析（1）在三棱锥中，取CD中点为Q， 过点M作直线EQ的垂线交直线EQ于点H， 因为ABCD为等腰梯形，且M为AB中点，则，， 可知，，且EQ，平面MEQ，， 则平面MEQ，且平面MEQ，可得， 可知，，，CD，平面CDE， 则平面CDE，可知即为所求线面角， 在等腰梯形ABCD中，已知，，， 可求出，，， 可得， 且，则， 所以直线ME与平面CDE所成角为. （2）以H为原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 可得，， 设平面MEQ的法向量为，则， 取，则，可得， 且平面CDE的法向量为， 可得， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 6．（23-24高二上·江西南昌·月考）如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)或 【解析（1）在图1连接交于点， 在图2中，易知、都是等边三角形， 易得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）解法一： 假设存在点，符合题意. 设，则，则在中，由， 由余弦定理得， 由（1）得直线平面，又，∴直线平面， ∵平面，∴平面平面 作，垂足为，则平面， 在，由，， 所以 如图3，取中点，连接，， 由，得四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面， 则直线与平面所成角为，且. 由已知，即， 由，得 在中，设，由余弦定理得 即，解得或 所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为， 此时或 解法二（等体积法）： 设，则， 则在中，由，，由余弦定理得， 作，垂足为，连接，得，∴ 由（1）得直线平面，又，∴直线平面， ∴，所以是直角三角形， 所以的面积为， 设点到平面的距离为， 由得，得， 设直线与平面所成角为，则，所以 所以，得， 在中，设，由余弦定理得 即，解得或 所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为， 此时或 解法三（向量法）  由解法一知，如图3，以的中点为原点， ，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，所以， 因此，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设存在点，，满足题意， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，则，所以 所以，解得， 所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为， 此时或 7．（23-24高二下·江苏淮安·月考）如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为的中点. (1)证明：； (2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析；(2)或. 【解析（1）证明：由图1知：是直角梯形，C、D分别为的中点，则， 故图2中，，，且平面BCF， ∴平面，即是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，且N是的中点，故， 又平面，平面，可得， 而，BC，平面，∴平面， 而平面，∴. （2）因为平面，过点N作的平行线，平面， 故，又， 所以以点N为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 图1中，是直角梯形，，，，，， 可得； 则空间直角坐标系中，，，，， 设，∴，， ，， 由于，则，∴，. ∴，∴， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为，大于等于小于等于， 由于直线BM与平面ADE所成角的余弦值为， 故直线BM与平面ADE所成角的正弦值为， ∴， ∴，∴或，适合题意， 故或. 8．（22-23高二上·贵州铜仁·月考）如图,在直角梯形中，，，且，现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析（1）结合题意：连接,在直角梯形中，， 易得, ,, 四边形为正方形，, 由平面与平面互相垂直， 且平面平面,平面 面,面，， ,且面, 面,面,平面平面. （2）结合上问：由面，且面内， , 以为原点，分别为建立如图所示的空间直角坐标系. ， . 设面的法向量为， 由,即，令，则， 点到平面的距离为. 9．（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，直角梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿着AE翻折至，点M为PC的中点，点N在线段BC上． (1)证明：平面PBC (2)若平面平面ABCE，平面EMN与平面PAB的夹角为30°，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析（1）依题意，由，，平面， 得平面，而平面，则， 又，于是，由为的中点，得， 而平面，所以平面. （2）平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，设， ， 设平面的法向量为， ，令，得， 设是平面的一个法向量，，， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为， ，而，解得， 所以的值为. 10．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，此时 【解析（1）因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 11．（23-24高二上·辽宁·月考）如图①，在矩形中，为边的中点.将沿翻折至，连接，得到四棱锥（如图②），为棱的中点. (1)求证：面，并求的长； (2)若，棱上存在动点（除端点外），求直线与面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析；(2) 【解析（1）证明：取的中点，连接，如下图， 因为分别为的中点， 所以且. 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面平面， 所以平面. 在中，，所以. （2）取的中点，连接，易得. 在中，，且， 则，即. 因为面， 所以面. 取的中点，连接，则， 以为原点，方向分别为轴的正方向，建立如上图所示的空间直角坐标系， ， 设， 则有， 所以. 因为， 设平面的一个法向量， 则取，可得. 设与平面所成角为， 则. 设，所以， 因为，因为，所以， 所以，所以. 即与平面所成角的正弦值的取值范围为. 12．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图1，矩形ABCD中，，，E为CD的中点，现将，分别沿AE，BE向上翻折，使点D，C分别到达点M，N的位置，且平面AME，平面BNE均与平面ABE垂直（如图2）. (1)证明：M、N、A、B四点共面； (2)求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2) 【解析（1）证明：如图： 取，的中点，，连接，，如图， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 同理可得平面，所以， 在直角三角形中，， 所以，同理， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，是，的中点，所以， 所以，所以M、N、A、B四点共面. （2）在图1中，， 所以，所以， 取的中点，连接，则，所以, 由（1）知，，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴 建立如图所示空间直角坐标系， 则，， ， ，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，即， 令，则， 又，设直线与平面所成角为， 所以 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 13．（23-24高二上·河北唐山·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点，沿将翻折到，连接，得到如下图2的五棱锥，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析（1）点分别是边的中点，则． 菱形的对角线互相垂直，即． 所以，则． 由平面平面， 所以平面，故平面． （2）设，连接，， 所以，故为等边三角形． ． 在中，， 在中，则． 平面，平面， 平面． 以为原点，、、为、、轴，建立空间直角坐标系， 则． ． 设平面的法向量为，由，得 令，得，则平面的一个法向量为． 由（1）知平面的一个法向量为， 设面与面的夹角为，则． 所以平面与平面的夹角的余弦值． 14．（23-24高二上·湖北黄石·月考）如图2，在中，，，．将沿翻折，使点D到达点P位置（如图3），且平面平面． (1)求证：平面平面； (2)设Q是线段上一点，满足，试问：是否存在一个实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析（1）在中，由余弦定理得， ， ， 过点作交于点，如图所示， 又平面平面，且平面平面 由平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由题知，即， 由（1）知，且 平面，所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设为平面的法向量， 由， 令得， 且， 又易得平面的法向量为， 由， 故存在实数使得平面与平面的夹角的余弦值为． 15．（23-24高二上·陕西西安·月考）如图1，四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠ADC=60°，E是CD的中点，将平行四边形ABCD沿着AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2），点G是的重心，连结AC，BE交于点F. (1)求证：GF平面CDE； (2)求直线GF与平面BCD所成角的正弦值. 【答案】(1)见详解；(2) 【解析（1）证明：连接并延长交于，连结， 因为点是的重心，所以， 由题意可知，，所以， 所以，所以. 所以. 又平面，平面, 所以GF平面CDE. （2）因为，所以是等边三角形， 所以，因为，所以， 所以，所以， 连接,由等边三角形三线合一, 故, 因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE平面ABCE，,平面ADE， 所以平面ABCE . 所以以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 因为，所以，所以. . 设向量为平面的一个法向量， 则，令可得， 设直线与平面的夹角为， 则. 所以直线与平面的夹角的正弦值是. 16．（23-24高二上·四川南充·月考）用文具盒中的两块直角三角板(直角三角形和直角三角形)绕着公共斜边翻折成二面角，如图和，，，，，将翻折到，使，为边上的点，且.    (1)证明： 平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析（1）由已知，又三角形为等腰直角三角形，， 又，所以，， 又，平面∴平面， 又平面，∴ 平面平面. （2）取BC中点F，连接， 中，，，， 所以，则，， 中，，根据余弦定理可知，， 所以，即， 由（1）可知， 平面平面.，且平面平面， 且平面，所以平面 中，,,， 根据余弦定理可知， 中，，所以， 以分别为轴的正方向，过点作轴，轴平行于，建立空间直角坐标系， 则，，， 故，，， 设平面的法向量，则，则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为，， 则 所以直线与平面所成角的为. 17．（23-24高二下·山西晋城·月考）如图所示，在等腰直角中，，点、分别为，的中点，将沿翻折到位置. (1)证明：； (2)若，求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析（1）等腰直角中，，得，所以， 点E、F分别为，的中点，，所以， 将沿翻折到位置后，，， 又平面，平面，， 所以平面，又，得平面， 又平面，所以平面平面； （2）由（1）知面，又平面，所以平面平面， 由为中点，故，又因为，所以为等边三角形， 设的中点为，连接，则，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 过作交于， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设， 得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 取， 设平面的一个法向量为，则， 取， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18．（23-24高二上·浙江杭州·月考）如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2）    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析（1）证明：∵平面平面， 平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且 ∴平面PBC，且平面，∴ （2）取BC中点，连接PO， ∵，∴ ∵平面平面，平面平面，平面 ∴平面BCFE 以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，设， 由得，解得，所以， 设，由得，解得， ∴，则，， 平面BEF的一个法向量，设平面PEF的一个法向量， ，令，得， 设二面角的平面角为，易知为锐角，则， ∴二面角的余弦值为． 19．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在四边形中，于交点，.沿将翻折到的位置，使得二面角的大小为. (1)证明：平面平面； (2)在线段上（不含端点）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为上靠近点的三等分点，理由见解析 【解析（1）因为，所以，平面,平面, 又因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）过作，因为平面，所以， 因为，平面,平面 所以平面， 如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴， 与过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为，所以二面角的平面角为，即 则，，. 设， 则. 设是平面的一个法向量， 则，取 因为是平面的一个法向量. 所以，解得或（舍）. 所以为上靠近点的三等分点，即. 故：存在点为上靠近点的三等分点满足条件. 20．（22-23高二下·福建宁德·月考）已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面. (1)证明：； (2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析（1）依题意矩形，，，是中点， 所以， 又，所以，，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， 设是的中点， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，， 假设存在满足题意的，则由. 可得，. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，，即， 设与平面所成的角为，所以 解得（舍去）， 综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$