3.1.1 函数的概念（8大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.1.1 函数的概念 知识点 1 函数的概念 1、函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 知识点2 函数的三要素与函数相等 1、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； 2、对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． 3、值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 知识点3 区间与无穷大 1、区间 （1）区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定： 满足不等式的实数的集合叫作闭区间，表示为； 满足不等式的实数的集合叫作开区间，表示为； 满足不等式或的实数的集合叫作半开半闭区间，表示为，； 这里的实数叫做相应区间的端点. （2）几何表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、无穷大 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足，，，的实数的集合，用区间表示为，，， 定义 符号 数轴表示 知识点4 抽象函数与复合函数 1、抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2、复合函数的定义 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当⊆时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数． 【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域． 3、抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数的定义域是指的取值所组成的集合； （2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的取值范围． （3）同一对应法则下，括号内的取值范围相同，即，，三个函数中的，，的取值范围相同． （4）已知函数的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围； （5）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为，求的取值范围（值域），此范围就是的定义域． 一、求函数定义域的一般原则 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； 3、零次幂的底数不能为零，即中； 4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 【注】定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而用并集符号“∪”连接． 二、复合函数的定义域求解 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 三、求函数值的三种类型及解法 1、已知函数解析式求函数值：可分别将自变量的值代入解析式，即可求出相应的函数值．当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解． 2、已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制． 3、抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略． 四、函数值域的求法 1、观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 2、配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域； 3、换元法：对含有根号的函数，可以同归对函数的解析式进行适当还原，将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本初等函数的值域求函数的值域，但要注意新元的取值范围； 4、分离常数法：先将形如的函数分离常数，变形过程为，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域； 5、判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围，常用语“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围； 6、基本不等式法：分子、分母期中一个为一次、一个为二次函数结构以及两个变量（如，）的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值（值域）． 五、已知函数的值域求参数问题的解题思路 1、注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； 2、根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 题型一 对函数概念的理解 【例1】（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）（多选）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（    ）个 A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·河南开封·期中）（多选）集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·浙江湖州·月考）（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型二 求简单函数的定义域 【例2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·山西临汾·月考）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·福建莆田·月考）函数的定义域是 ． 题型三 求抽象函数的定义域 【例3】（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式3-1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【变式3-4】（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四 函数定义域的逆向问题 【例4】（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【变式4-1】（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【变式4-2】（23-24高一上·上海·月考）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【变式4-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）若函数的定义域为，则实数的取值集合是 .（用区间表示） 题型五 判断两个函数是否相等 【例5】（24-25高一上·山东济宁·月考）在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·河南·月考）下列四个函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·安徽阜阳·月考）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 题型六 简单函数的求值与求参 【例6】（23-24高一上·广东韶关·月考）若，的值为 . 【变式6-1】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）若函数满足，则 ． 【变式6-3】（23-24高一上·四川南充·月考）已知函数（且）． (1)求的值； (2)求证：是定值； 【变式6-4】（23-24高一上·浙江·月考）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 题型七 求简单函数的值域 【例7】（23-24高一上·湖北·月考）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【变式7-1】（23-24高一上·四川内江·月考）函数的值域为 ． 【变式7-2】（23-24高一上·河北·月考）时，的值域为 . 【变式7-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）求下列函数的值域： (1) (2) 题型八 函数值域的逆向问题 【例8】（23-24高一上·山西大同·月考）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 【变式8-1】（23-24高一上·上海·期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【变式8-2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 函数的概念 知识点 1 函数的概念 1、函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 知识点2 函数的三要素与函数相等 1、定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； 2、对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． 3、值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 知识点3 区间与无穷大 1、区间 （1）区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定： 满足不等式的实数的集合叫作闭区间，表示为； 满足不等式的实数的集合叫作开区间，表示为； 满足不等式或的实数的集合叫作半开半闭区间，表示为，； 这里的实数叫做相应区间的端点. （2）几何表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、无穷大 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足，，，的实数的集合，用区间表示为，，， 定义 符号 数轴表示 知识点4 抽象函数与复合函数 1、抽象函数的定义：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2、复合函数的定义 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，那么当⊆时，称函数为与在上的复合函数，其中叫作中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数． 【注】由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的真子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域． 3、抽象函数或复合函数的定义域 （1）函数的定义域是指的取值所组成的集合； （2）函数的定义域是指的取值范围，而不是的取值范围． （3）同一对应法则下，括号内的取值范围相同，即，，三个函数中的，，的取值范围相同． （4）已知函数的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围（值域）为，求的取值范围； （5）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为，求的取值范围（值域），此范围就是的定义域． 一、求函数定义域的一般原则 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中； 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，； 3、零次幂的底数不能为零，即中； 4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 【注】定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而用并集符号“∪”连接． 二、复合函数的定义域求解 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域． 三、求函数值的三种类型及解法 1、已知函数解析式求函数值：可分别将自变量的值代入解析式，即可求出相应的函数值．当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解． 2、已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制． 3、抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略． 四、函数值域的求法 1、观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 2、配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域； 3、换元法：对含有根号的函数，可以同归对函数的解析式进行适当还原，将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本初等函数的值域求函数的值域，但要注意新元的取值范围； 4、分离常数法：先将形如的函数分离常数，变形过程为，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域； 5、判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围，常用语“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围； 6、基本不等式法：分子、分母期中一个为一次、一个为二次函数结构以及两个变量（如，）的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值（值域）． 五、已知函数的值域求参数问题的解题思路 1、注意调整思维方向，根据值域的含义，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题； 2、根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围． 题型一 对函数概念的理解 【例1】（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）（多选）对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，集合A中有一部分x值没有与之对应的y值，A不能构成函数； 对于BC，存在垂直于的直线与图形有两个交点，BC不能构成函数； 对于D，给定图形符合函数的定义，D能构成函数.故选：ABC 【变式1-1】（23-24高一上·河南开封·期中）（多选）集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数， 选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数.故选：AC. 【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能； 对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能； 对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能； 对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能.故选：C 【变式1-3】（23-24高一上·浙江湖州·月考）（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AC 【解析】对于A中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中没有元素与之对应， 所以不是函数关系，不符合题意； 对于C中，集合，，可得为多对一对应， 所以是函数关系，符合题意； 对于D中，集合，， 可得集合中的一个元素，在集合中有两个元素与之对应， 所以不是函数关系，不符合题意.故选：AC. 题型二 求简单函数的定义域 【例2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为.故选：A 【变式2-1】（23-24高一下·山西临汾·月考）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为.故选；B. 【变式2-2】（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，则，解得或， 即函数的定义域为.故选：C 【变式2-3】（23-24高一上·福建莆田·月考）函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，则，即，解得， 所以函数的定义域为. 题型三 求抽象函数的定义域 【例3】（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】依题意，函数的定义域为， 所以函数有意义应满足，解得， 所以的定义域为. 【变式3-1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数：因为，则， 所以的定义域为.故选：B. 【变式3-2】（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，即，所以， 所以函数的定义域为， 由，得，所以函数的定义域为.故选：B. 【变式3-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为.故选：A 【变式3-4】（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的定义域为， 对于函数，则，解得， 因此，函数的定义域为.故选：A. 题型四 函数定义域的逆向问题 【例4】（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得对任意恒成立， 所以，解得， 所以实数取值范围是. 【变式4-1】（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得在上恒成立，， 即，. 【变式4-2】（23-24高一上·上海·月考）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 【变式4-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）若函数的定义域为，则实数的取值集合是 .（用区间表示） 【答案】 【解析】若函数的定义域为，则对任意实数恒成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，若， 则需满足，解得：； 综上所述：.即. 题型五 判断两个函数是否相等 【例5】（24-25高一上·山东济宁·月考）在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，()，与()的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 【变式5-1】（23-24高一上·河南·月考）下列四个函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合； 对于B，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同， 不是同一个函数，故选项C不符合； 对于D，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数，故选项D符合. 故选：D. 【变式5-2】（23-24高一上·安徽阜阳·月考）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；故选：D. 【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是.故选：D 题型六 简单函数的求值与求参 【例6】（23-24高一上·广东韶关·月考）若，的值为 . 【答案】 【解析】因为， 则. 【变式6-1】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于.故选：C 【变式6-2】（23-24高一上·河北石家庄·月考）若函数满足，则 ． 【答案】/ 【解析】， 取，，取，，解得. 【变式6-3】（23-24高一上·四川南充·月考）已知函数（且）． (1)求的值； (2)求证：是定值； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由可知， 代入计算可得； （2）证明：， （且） 【变式6-4】（23-24高一上·浙江·月考）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以. 题型七 求简单函数的值域 【例7】（23-24高一上·湖北·月考）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域满足，得， ，当，得，， 所以，且，所以， 所以，，所以. 【变式7-1】（23-24高一上·四川内江·月考）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】设，则，， 所以， 因为，在上单调递减， 所以，所以函数的值域为． 【变式7-2】（23-24高一上·河北·月考）时，的值域为 . 【答案】 【解析】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 【变式7-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）求下列函数的值域： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），故. 当且仅当时“”成立，值域为. （2）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 题型八 函数值域的逆向问题 【例8】（23-24高一上·山西大同·月考）若函数的定义域和值域都为，则的值是 ． 【答案】 【解析】由题意知为一次函数，则，所以. 【变式8-1】（23-24高一上·上海·期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】时，不合题意， 因此且，∴， 【变式8-2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，.故选：C. 【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是，故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$