（小升初高频易错）乘法原理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

乘法原理 第一部分【知识考点归纳】 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法…不管前面n﹣1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2…×mn种不同的方法． 关键问题：确定工作的完成步骤． 基本特征：每一步只能完成任务的一部分． 第二部分【经典例题分析】 【典例1】有蓝色旗面，黄色旗面，红色旗面。这些旗的模样、大小都相同。现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号？ 【答案】188种 【分析】按挂旗的面数来分类考虑，第一类：挂一面旗；第二类：挂两面旗；第三类：挂三面旗；第四类：挂四面旗；第五类：挂五面旗；当旗的数量多于2面时，需要考虑顺序。 【详解】第一类：从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示种不同信号； 第二类：按颜色分成：红黄（种）；红蓝（种）；黄蓝（种）；黄黄（种）；蓝蓝（种）；共种； 第三类：按颜色分类：红蓝蓝（种）；红黄黄（种）；红黄蓝（种）；黄黄蓝（种）；黄蓝蓝（种）；蓝蓝蓝（种）；共种； 第四类：按颜色分类：红黄黄蓝（或种）；红黄蓝蓝（或种）；红蓝蓝蓝（种）；黄黄蓝蓝（种）；黄蓝蓝蓝（种），共种； 第五类：按颜色分类：红黄黄蓝蓝（种）；红黄 蓝蓝蓝（种）；黄黄蓝蓝蓝（种），共种； 第六类：红黄黄蓝蓝蓝（种）。 根据加法原理，共可以表示种不同的信号。 答：利用这些旗能表示60种不同信号。 【名师点评】本题将加法原理与组合相结合，加法分类，类类相加。 【典例2】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐。而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同的排队方法？ 【答案】2520种 【分析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关系，先从8人中选出2人，再从余下的6人中选出2人，再从余下的4人中选出2人，余下的2人随之确定。 【详解】排队方法总数为： （种） 答：一共有2520种不同的排队方法。 【名师点评】本题将组合问题与乘法原理相结合，相当于把整个过程分成4步，求出每一步的方法数，步步相乘。 【典例3】国际象棋棋盘是8×8的方格网，下棋的双方各有16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？ 【答案】3136种 【分析】分成两步，先确定一方的“车”的位置，在确定另一方的“车”的位置，相乘即为两个“车”位置的所有情况。 【详解】对于如果只有一只“车”的情况，它可以有64种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车”，那么它不能在原来那个“车”的同行或同列出现，他只能出现在其他七行七列，所以它只有7×7＝49中摆放，所以这两个“车”的摆放位置有64×49＝3136种方法。 答：这两个“车”位置有3136种情况。 【名师点评】本题利用的是乘法原理进行计数，当一件事情分多个步骤完成时，每一步的方法数相乘即为总的方法数。 【典例4】有A，B，C，D，E五块地（如图所示），每块上分别种上苹果、桃子、梨和山楂树．要求：相邻的两块地不能种相同的果树．问：一共有多少种不同的种法？ 【答案】48种 【分析】先排C有4种方法，那么A有3种方法，B有2种方法，D有2种方法，E有1种方法，然后根据乘法原理解答即可． 本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法． 【详解】根据分析可得，4×3×2×2×1=48（种） 答：一共有48种不同的种法． 【典例5】一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 【答案】①11种   ②24种 【分析】先弄清楚用加法原理还是乘法原理，先看有几大类，再看分几步．本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理． ①从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法．所以是加法原理的问题． ②要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题． 【详解】①从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法． ②从两个口袋中各取一个小球共有3×8=24（种）不同的取法． 答：从两个口袋任取一球有11种不同的取法，从两个口袋各取一球有24种不同的取法． 第三部分【高频考题巩固】 1．如图，一只小虫，从直线AB上一点C出发，沿图中的线爬行，每小段线段长1厘米。小虫爬过若干小段后仍回到直线AB上，但不一定回到C点。如果小虫一共爬过3厘米，那么小虫爬行路线有多少种？ 2．有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？ 3．“数学”这个词的英文单词是“MATH”。用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样。这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？ 4．在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。问：这只甲虫最多有几种不同走法？ 5．在图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过。问：这只甲虫最多有几种不同走法？ 6．如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过。问：他最多有几种不同走法？ 7．把6个同样大的小球按每边3个摆成正三角形（如图1），从正前方看，①和⑤重叠在一起，能看到5个球（如图2）。在主视图不变的前提下，最多能取走1个球，共有2种取法，取走①或⑤。当有10个小球时（如图3），最多能取走几个球？取走最多的球时，共有多少种取法？ 8．10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？ 9．一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数，例如：532吃掉311，123吃掉123，但726与267相互都不被吃掉。问：能吃掉678的三位数共有多少个？ 10．从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？ 11．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？ 12．有5张卡，分别写有数字2，3，4，5，6，如果允许6可以作9用，那么从中任意取出3张卡片，并排放在一起。问： （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个不同的三位偶数？ 13．如下图所示，从A地去B地有5种走法，从B地去C地有3种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？ 14．从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？ 15．文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选1人做领唱，有多少种选法？ 16．北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？ 17．小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配。问：共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）？ 18．四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种。） 19．某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？ 20．用6种不同的颜色来涂正方体的六个面，使得不同的面涂上不同的颜色一共有多少种涂色的方法？（将正方体任意旋转之后仍然不同的涂色方法才被认为是相同的） 21．北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种） 22．用红、黄、蓝三种颜色对一个正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有五种颜色去染又有多少种？（注：正方体不能翻转和旋转） 23．用数字0，1，2，3，4可以组成多少个： （1）三位数？ （2）没有重复数字的三位数？ 24．如图，一张地图上有五个国家，，，，，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ 25．如果一个三位数满足，，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数。 26．用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？ 27．用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ 28．某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法？ 29．如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法？ 30．在1000到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？ 31．邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 32．在图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过。问：这只甲虫最多有几种不同走法？ 33．自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同。这样的数共有多少个？ 34．3个3口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种。） 35．按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？ 爸爸 乘 飞机 去 北京 妈妈 火车 拉萨 我 汽车 台北 36．用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？ 37．有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点。随意掷这三个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？ 38．在这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？ 39．从6名运动员中选出4人参加接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种： （1）甲不能跑第一棒和第四棒； （2）甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒 40．有两个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点。随意掷这两个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？ 41．从7，8，9，，76，77这71个数中，选取两个不同的数，使其和为3的倍数的选法总数是多少？ 42．如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给下图中A、B、C、D染色，使相邻的区域颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？ 43．从自然数1～40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？ 44．用四种颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。问：共有多少种不同的染色方法？ 45．五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？ 46．如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？ 47．从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车。问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？ 48．从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？ 49．红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？ 50．某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号。一共可以表示出多少种不同的信号？ 51．商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有3种水果糖：苹果味、梨味、橙味。小明想买一些糖送给他的小朋友。 （1）如果小明只买一种糖，他有几种选法？ （2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各种，他有几种选法？ 52．用A、B、C、D、E、F六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案？（旋转算不同的方法） 53．从、、、、、、这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）。 54．一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停。在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？ 55．王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京。他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图。那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第四部分【答案详解点评】 1．48种 【分析】小虫第一步有6种爬法，即点C周围的6个点，这6个点分成两类，D和E， 若第一步到D，再爬2厘米回到直线AB有8种爬法； 若第一步到E，再爬2厘米回到直线AB也有8种爬法。 所以小虫第一步有6种选择，第二步有8种选择，根据乘法原理，可知小虫爬行路线有（6×8）种路线可以选择。 【详解】8×6＝48（种） 答：小虫爬行路线有48种。 【名师点评】解答本题的关键是对步骤进行分类，以及分析每个步骤的选择，然后根据乘法原理进行解答。 2．种 【分析】可以分成6步，写第一个字有6种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字相同就行了，都有5种选择，步步相乘即可。 【详解】根据乘法原理： （ 种） 答：有18750种不同的方法。 【名师点评】本题考查的是乘法原理的计数问题，每一步的方法数相乘，得到总的方法数。 3．种 【分析】染色过程分四步依次完成：第1步，对字母M染色，此时有5种颜色可以选择；第2步，对字母A染色，由于字母M已经用过一种颜色，所以对字母A染色只有4种颜色可以选择；第3步，对字母T染色，由于字母M和A已经用去了2种颜色，所以对字母T染色只剩3种颜色；第4步，对字母H染色，由于字母M、A和T已经用去了3种颜色，所以对字母H染色只有2种颜色可以选择。 【详解】根据乘法原理： 共可以得到种不同的染色方式。 答：一共可以染出120种不同搭配方式。 【名师点评】本题考查的是计数问题，乘法原理是求解计数问题最基础、最常用的方法之一。 4．种 【分析】把整个过程分成3步，第一步，从A到C，第二步，从C到D，第三步，从D到B，求出每一步的方法数，步步相乘，得到总的方法数。 【详解】第一步，从A到C，有三种方法； 第二步，从C到D，有三种方法； 第三步，从D到B，有三种方法； 根据乘法原理：种走法。 答：只甲虫最多有27种不同走法。 【名师点评】本题考查的是乘法原理的计数问题，简单说就是乘法分步，步步相乘。 5．种 【分析】可以分成两步，先从A到C，再从C到B，每一步都有四种走法，那么步步相乘即可。 【详解】根据乘法原理： （种） 答：这只甲虫最多有16种不同走法。 【名师点评】从图中可以看成，从A到C和从C到B的图是完全一样的，那么方法数也是相同的，可以进行类比。 6．6种 【分析】分成两步，先从家到中间结点，再从中间结点到学校，第一步有2种走法，第二步3种走法，步步相乘即可。 【详解】根据乘法原理，一共有3×2＝6种走法。 答：一共有6种走法。 【名师点评】本题考查的是计数中的乘法原理，每一步的方法数相乘，即为总的方法数。 7．3个；8种 【分析】如图3，从正面看能看到7个球，①和⑤重叠，②和⑧重合，③和⑨重合。所以最多能取走三个球，分别在①和⑤选一个，②和⑧选一个，③和⑨选一个。利用乘法原理，完成一件事可以分成n个步骤，如果第一步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法……第n步有N种不同的方法，那么完成这件事情一共有（A×B×……×N）种不同的方法。乘法原理是一种常用的计数原理，它的基本原则是分步相乘。则①和⑤选一个有两种选法，②和⑧选一个有两种选法，③和⑨选一个有两种选法。即有8种。 【详解】2×2×2＝8（种） 答：最多能取走3个球，共有8种取法。 8．种 【分析】分成两步，先选出相邻的两个人，再从剩下的8人中选出不与他们相邻的人，求出每一步的方法数，步步相乘即可。 【详解】两人相邻的情况有10种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩6个人可选，10×6＝60（种）共有60种不同的选法。 答：共有100种不同选法。 【名师点评】本题考查的是乘法原理的计数问题，乘法分步，步步相乘。 9．24个 【分析】能吃掉678的三位数要求百位数不小于6，十位数不小于7，个位不小于8；百位可以取6、7、8、9，十位可以取7、8、9，个位可以取8、9。 【详解】百位数不小于6，有4种；十位数不小于7，有3种；个位不小于8，有2种；由乘法原理，能吃掉678的三位数共有种。 答：能吃掉678的三位数共有 24个。 【名师点评】本题考查的是乘法原理的计数问题，首先要求出各个数位上的取法有哪些。 10．120种 【分析】分成3步，第一步选出学习先进集体共有6种方法，第二步从剩下班级中选出体育先进集体共有5种方法，第三步选出卫生先进集体只剩有4种评选方法。 【详解】根据乘法原理： 6×5×4＝120（种） 答：一共有120种评选方法。 【名师点评】本题也可以按照排列问题来考虑，相当于是从6个元素中选出3个元素的排列问题。 11．种 【分析】第一人落座有4个位置可选，第一人落座后，坐在他的左面的有3种情况，而每种情况另1人的左邻又有2种，根据乘法原理求解，但由于只考虑左邻的情况，不考虑具体坐在哪一面，所以会有重复计算的情况。 【详解】4×3×2＝24（种） 但由于是圆桌，只考虑相邻情况，不考虑具体坐在哪一面，所以只有： 24÷4＝6（种） 答：共有6种不同的入座方法。 【名师点评】本题考查的是环形情况下的排列问题，其与直线型的排列问题是不一样的。 12．（1）个；（2）个 【分析】（1）先考虑6只能当6的情况最后总的个数只要在这个基础上乘2就可以了，分三步取出卡片： 第一步确定百位，有5种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他4个数字都可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择。（2）三位偶数，个位可以是2、4、6，当个位是2、4时，6可以当作6或9用，当个位是6时，就只能当6来用。 【详解】（1）根据乘法原理，考虑6可以当作9，可以组成（个）不同的三位数。 答：可以组成120个不同的三位数。 （2）根据乘法原理，6只是6时，可以组成（个）不同的三位偶数。 这时候算所求的三位偶数并不是简单乘2就可以的，因为如果个位是6的话变成9就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是6一共有（个）不同的三位偶数，所以，可以组成（个）不同的三位偶数。 答：可以组成60个不同的三位偶数。 【名师点评】本题考查的是乘法原理的计数问题，对于组多位数的问题，尤其注意首位和个位的特殊要求。 13．15种 【分析】从A地经B地去C地分为两步，由A地去B地是第一步，再由B地去C地为第二步，完成第一步有5种方法，而每种方法的第二步又有3种方法，步步相乘即可。 【详解】根据乘法原理： 5×3＝15（种） 答：从A地经 B地去C地有15种方法。 【名师点评】本题考查的是乘法原理的计数问题，每一步的方法数相乘，得到总的方法数。 14．种 【分析】分三步，分别挑选第一人，第二人，第三人，分别有20，19，18种挑选法，步步相乘即可。 【详解】根据乘法原理： （种） 答：一共有6840种排法。 【名师点评】本题也可以按照排列问题来考虑，相当于是从20个元素中选出3个的排列问题。 15．种 【分析】完成这件事需要两步：一步是从女生中选1人，有4种选法；另一步是从男生中选1人，有3种选法，步步相乘即可。 【详解】由乘法原理，选出1男1女的方法有种。 答：有12种选法 【名师点评】当完成一件事需要多个步骤时，每一步的方法数相乘，即为总的方法数。 16．44种 【分析】算上北京、广州京广线上一共有12个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站。 【详解】算上北京、广州，一共四个大站，每个大站和其余11个站之间都要设卧铺票； 4×11＝44（种） 答：要准备44种不同的卧铺车票。 【名师点评】相当于把问题分成两步，先确定起点站，再确定终点站，然后步步相乘即可。 17．2880种 【分析】小丸子搭配服装分四步。第一步选帽子，由于帽子不是必须的，不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，所以有6种选法；第二步选上衣，有10种选法；第三步选裤子，有8种选法；第四步选皮鞋，有6种选法；步步相乘即可。 【详解】第一步选帽子有种选法； 一共有种选法； 答：一共可以组成2880种不同搭配。 【名师点评】也可以分成戴帽子和不戴帽子两种情况进行分析，两种的方法数相加，即为总数。 18．96种 【分析】可以定义一个特殊角度：先将四对夫妇编号，然后规定对于每一种排法1号夫妇面南坐是它的特殊角度，那么如果两种排法都转到特殊角度后，还不完全一样，那么这两种排法就无论如何也不能通过旋转得到相同的排法，所以只要求出特殊角度下的不同排法数。 【详解】第一步先将4对夫妻的整体位置安排好，当然1号夫妻已经排好了，安排另3对夫妻一共有种排法； 如图所示： 对于以上每一种排法，夫妻之间都可以交换位置，所以一共有种排法。 答：一共有96种安排座位的方法。 【名师点评】本题中，可以通过旋转重合的算一种排法，所以求解问题的关键是确定怎样才是不重复计算的。 19．30种 【解析】不同的车票上起点站可以有6种，相同的起点站又可以配5种不同的终点站，根据乘法原理求解即可。 【详解】6×5＝30（种） 答：要为这条路线准备30种不同的车票。 【名师点评】由于方向不同，任意两个站点之间都要设两种车票，也就是。 20．30种 【分析】既然不同的面涂上不同的颜色，那么正方体6个面不同的涂色方法共有720种，然后再考虑因为旋转而重复的情况，把这些情况去掉即可。 【详解】正方体6个面不同的涂色方法共有种； 固定一个底面共有6种不同的选法，选择一个与底面相邻的面有4种不同的选法。所以一个正方体的放置有种不同的位置。 即在旋转的时候可以重复24次。所以可以染色的不同方法共有（种）。 答：一共有30种涂色的方法。 【名师点评】也可以先涂正方体的一个面有6种方法，然后把这个面的对面涂上颜色不同的颜色，有15种涂法，再选择两种颜色，只有相邻和相对两种选法。如果相邻剩下两种颜色也相邻，如果相对剩下两种颜色也相对所以共有15×2＝30种。 21．56种 【分析】京沪线上中间六个站，连北京、上海两站一共有8个站，不同的车票上起点站可以有8种，相同的起点站又可以配7种不同的终点站，相当于分成两步，第一步8种方法，第二步7种方法，步步相乘即可。 【详解】6＋2＝8（个） 8×7＝56（种） 答：车站应该准备56种不同的车票。 【名师点评】由于车票需要考虑顺序，所以相当于从8个元素里面选出2个元素的排列问题。 22．6种，96种；780种 【分析】如果一共只有三种颜色供染色，那么正方体的相对表面只能涂上一种颜色；如果有四种颜色，那么染色方法可分为两类，一类是从四种颜色中选取三种对正方体进行染色，另一种是四种颜色都染上，用这种染色方法，就允许有一组相对表面可以染上不同的颜色；如果有5种颜色，可以分成只用其中的三种、四种颜色，或5种颜色都用。 【详解】只有三种颜色，那么正方体的相对表面只能涂上一种颜色，一共有上下、左右、前后一共三组对立面，所以染色的方法有种方法。 四种颜色，那么染色方法可分为两类，一类是从四种颜色中选取三种对正方体进行染色，一共有种。另一种是四种颜色都染上，用这种染色方法，就允许有一组相对表面可以染上不同的颜色，选取这组相对表面并染上不同颜色一共有种方法，用其余两种颜色去染其他四个面只有2种方法，共种，所以一共有种方法。 5种颜色，那么用其中3种颜色的染色方法有种。用其中4种颜色并拿去染色有种，如果5种颜色都用，就有只有一组相对的表面染上相同的颜色，选取这组相对表面有3种方法，染色的方法有种，一共有种染色方法，用5种颜色对正方体进行染色的方法就一共有种染色方法。 答：三种颜色有6种方法，四种颜色有96种方法，5种颜色有780种方法。 【名师点评】本题考查的是立体几何的染色问题，对于正方体，每个面都与另外的四个面相邻，与另一个面相对。 23．（1）个；（2）个 【分析】（1）组成三位数可分三步完成，第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0，所以只有4种选择。第二步确定十位，所有数字都可以，有5种选择；第三步确定个位，也是5种选择。 （2）也分三步完成，第一步，百位上有4种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择。 【详解】（1）（个 ） 答：可以组成100个三位数。 （2）（ 个） 答：可以组成48个无重复数字的三位数。 【名师点评】本题考查的是乘法原理的计数问题，在组多位数的时候，注意数位不能为0。 24．96种 【分析】先确定染色顺序，可以按照A、B、C、D、E的顺序进行染色，找出每一步染色的方法，步步相乘即可。 【详解】第一步，给国上色，可以任选颜色，有四种选择； 第二步，给国上色，国不能使用国的颜色，有三种选择； 第三步，给国上色，国与，两国相邻，所以不能使用，国的颜色，只有两种选择； 第四步，给国上色，国与，两国相邻，因此也只有两种选择； 第五步，给国上色，国与，两国相邻，有两种选择。 共有种着色方法。 答：这幅地图有96种着色方法。 【名师点评】本题考查的是计数中的染色问题，也可以考虑从其它块开始染色。 25．285个 【分析】中间的数字B最小，从B入手分析，分别考虑当B取0、1、2、3、4、5、6、7、8时，A和C各自有多少种搭配方式，最后把每一种的数量相加，得到总数。 【详解】当为时，、可以为1~9中的任何一个，此时有种； 当为时，、可以为2～9中的任何一个，此时有种； ……； 当为时，有种； 所以共有（个） 答：有“凹数”285个。 【名师点评】本题考查的是计数问题，首先要明白题目定义的“凹数”是什么，然后应用加乘原理求解。 26．69个 【分析】分为一位数、两位数、三位数分别考虑，求出每一类的数量，然后相加得到总数。 【详解】一位数时，0和一位数共有5个； 二位数时，个； 三位数时，个； 由加法原理，一共可以组成个小于1000的没有重复数字的自然数。 答：可以组成69个小于1000的没有重复数字的自然数。 【名师点评】本题考查的是加乘原理计数问题，加法分类，类类相加，乘法分步，步步相乘。 27．6种 【分析】涂三块毫无疑问是分成三步。第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了。 【详解】根据乘法原理： （种） 答：共有6种不同的涂法。 【名师点评】本题考查的是染色问题，这里A、B、C的接触面是一样多的，所以可以从任意一块开始染色。 28．4860种 【分析】如图，为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图，然后按照A、B、C、D、E、F、G的染色顺序进行染色。 【详解】如图所示： 第1步：先染区域，有5种颜色可供选择； 第2步：再染区域，由于不能与同色，所以区域的染色方式有4种； 第3步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第4步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第5步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第6步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种； 第7步：染区域，由于不能与、同色，所以区域的染色方式有3种。 根据分步计数的乘法原理，共有种不同的染色方法。 答：共有4860种不同的染色方法。 【名师点评】本题考查的是计数中的染色问题，染色的时候一般从接触面最多的一块开始。 29．180种 【分析】为了按要求给地图上的这四个国家染色，先要确定染色的顺序，可以按照A、B、C、D的顺序依次染色。 【详解】第一步：给染色，有种颜色可选。 第二步：给染色，由于不能与同色，所以有种颜色可选。 第三步：给染色，由于不能与、同色，所以有种颜色可选。 第四步：给染色，由于不能与、同色，但可以与同色，所以有种颜色可选。 根据分步计数的乘法原理，用种颜色给地图染色共有种不同的染色方法。 答：有180种不同染色方法。 【名师点评】本题考查的是染色问题，求解此类问题，大多采用乘法原理求解。 30．432个 【分析】因为1000到1999这1000个自然数中，百位数字都是1，那么分成两类考虑，1与百位、十位、个位上的一个1相同，或者百位、十位、个位上有除1以外的两个数字相同，分别求出这两种的个数，相加得到总数。 【详解】若相同的数是1，则另一个1可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9个和8个数可选，有个；若相同的数是2，有3×8＝24个；同理，相同的数是0，3，4，5，6，7，8，9时，各有24个，所以，符合题意的数共有个。 答：有432个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数。 【名师点评】本题考查的是加乘原理的计数问题，求解问题时可以用来比的方法求解。 31．种 【分析】邮递员由A村去B村是第一步，再由B村去C村为第二步，完成第一步有3种方法，而每种方法的第二步又有2种方法，步步相乘即可。 【详解】根据乘法原理，从A村经B村去C村，共有3×2＝6种方法。 答：共有6种不同的走法。 【名师点评】本题考查的是计数中的乘法原理，这里情况比较少，也可以画树状图进行枚举。 32．9种 【分析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；第二步，从C点到D点，有1种走法；第三步，从D点到B点，一共也有3种走法，步步相乘即可。 【详解】根据乘法原理： 一共有3×1×3＝9种走法。 答：一共有9种走法。 【名师点评】本题考查的是乘法原理，当完成一件事需要多个步骤时，每一步的方法数相乘，得到总的方法数。 33．432个 【分析】千位是8，分成两个相同的数字是8和两个相同的数字不是8进行分析，求出每一类的个数，相加得到总数。 【详解】两个相同的数字是8时，另一个8有3个位置可选，其余两个位置有种填法，有个数； 两个相同的数字不是8时，相同的数字有9种选法，不同的数字有8种选法，并有3个位置可放，有个数。 由加法原理，共有个数。 答：这样的数共有432个。 【名师点评】本题主要考查的是加乘原理，分类讨论是求解计数问题常用的方法。 34．432种 【分析】既然要求一家人不可以被拆开，也就是把每个家庭的3个人看成是一个整体，家庭内部是有顺序的，三个家庭之间也是要考虑顺序的。 【详解】每个家庭有种排法； 3个家庭有种排法； 然后将每个家庭看作一个整体，对3个整体进行排序（固定第一个位置为某一个整体），由于通过旋转可以重合的算同一种，只有2种排法； 总共有种排法； 答：一共有432种排法。 【名师点评】本题考查的是环形情况下的排列问题，注意其余直线型排列问题的不同之处。 35．27个 【分析】造一个句子必须包含三个部分，即人、交通工具、目的地；相当于分成3步，先选人，再选交通工具，最后选地点，每一步的方法数相乘，即为所求。 【详解】人、交通工具、目的地各自有3种选法； 根据乘法原理：3×3×3＝27（个） 答：可以造出27个不同的句子。 【名师点评】本题实质上考查的是计数中的乘法原理，乘法分步，步步相乘。 36．105种 【分析】我们来看正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）；按照所选的颜色的种类分为四类，求出每一类的数量，相加得到总数。 【详解】如图所示： 按使用了的颜色种数分类： 第一类：用了4种颜色。第一步，选4种颜色，相当于选1种不用，有5种选法。第二步，如果取定4种颜色涂于4个面上，有2种方法。这一类有（种）涂法； 第二类：用了3种颜色。第一步，选3种颜色，相当于选2种不用，有（种）选法； 第二步，取定3种颜色如红、橙、黄3色，涂于4个面上，有6种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄3色）。这一类有（种）涂法； 第三类：用了2种颜色。第一步，选2种颜色，有（种）选法；第二步，取定2种颜色如红、橙2色，涂于4个面上，有3种方法，如下图④⑤⑥。这一类有（种）涂法； 第四类：用了一种颜色。第一步选1种颜色有5种方法；第二步，取定1种颜色涂于4个面上，只有1种方法。这一类有（种）涂法。根据加法原理，共有（种）不同的涂色方式。 答：共有105种不同涂色方式。 【名师点评】本题考查的是立体几何的染色问题，用乘法原理求解的时候如果有多种情况，需要进行分类讨论。 37．种 【解析】要使三个点数之和为偶数，有两种情况，三个点数都为偶数，或者一个点数为偶数另外两个点数为奇数。每次掷的三个骰子的情况可能是奇奇偶、奇偶奇、偶奇奇、偶偶偶，求出每种情况的个数，相加即可。 【详解】每个骰子每掷一次，三种可能是奇数，三种可能是偶数； （种） 答：向上一面点数之和为偶数的情形有108种。 【名师点评】本题考查了计数问题与奇偶性的问题，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数。 38．种 【分析】三个不同的数和为3的倍数有四种情况：三个数同余1，三个数同余2，三个数都被3整除，余1余2余0的数各有1个，先确定1~10这10个自然数除以3的因数，然后再考虑如何进行组合。 【详解】除以3余0的有3、6、9三个数； 除以3余1的有1、4、7、10四个数； 除以3余2的有2、5、8三个数； 三个数除以3同余1，可以取1、4、7，1、4、10，1、7、10，4、7、10，4种情况； 三个数除以3同余2，只能取2、5、8，1种情况； 三个数都被3整除，只能取3、6、9，1种情况； 余1余2余0的数各有1个，根据乘法原理，4×3×3＝36种情况； 4＋1＋1＋36＝42（种） 答：和是3的倍数有42种不同的取法。 【名师点评】本题考查的是数论中的计数问题，需要用到余数的性质来求解问题。 39．（1）240种；（2）252种 【分析】（1）先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下的四人中随意选择2个人跑第二、第三棒。 （2）先不考虑甲、乙的特殊要求，从6名队员中随意选择4人参赛，有360种选择。考虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应60种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应60种选择，但是从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的 种方案，所以，一共有12种不同参赛方案，应该加上。 【详解】（1）先确定第一棒和第四棒，剩下的四人中随意选择2个人跑第二、第三棒，有种，由乘法原理，共有种参赛方案。 （2）先不考虑甲、乙的特殊要求，有种选择。 若甲跑第一棒，对应种选择； 考虑若乙跑第二棒，也对应种选择； 从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的种方案； 所以，一共有种不同参赛方案。 【名师点评】本题考查的是排列组合问题，对于有特殊要求的元素，需要优先考虑。 40．种 【分析】要使两个骰子的点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同就可以了，可以是两个偶数或者两个奇数。 【详解】可以分为两步： 第一步第一个骰子随意掷有6种可能的点数； 第二步当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数只能是与第一个骰子的点数相同奇偶性的3种可能的点数。 根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有（种） 答：向上一面点数之和为偶数的情形有18种。 【名师点评】也可以这样理解，随意掷两个骰子，总共有36种不同的情形，因为两个骰子点数之和为奇数与偶数的可能性是一样的，所以各有18种情况。 41．829个 【分析】两个数和为3的倍数情况有两种：两个被3整除的数和是3的倍数，一个被3除余1的数和一个被3除余2的数相加也能被3整除；先求出这71个数中除以3余0、余1、余2的数的个数，然后考虑求解问题。 【详解】这71个数中被3整除，被3除余1，被3除余2的数分别有23、24、24个； 选取两个数只要是符合之前所说的两种情况就可以了，选取两个被3整除的数的方法有种； 从被3除余1和被3除余2的数中各取1个的方法共有种； 所以一共有种选取方法。 答：和为3的倍数的选法总数是829个。 【名师点评】本题考查的是数论中的计数问题，余数的性质是求解问题的关键。 42．48种 【分析】先确定ABCD每一块的接触面的个数，从接触面最多的开始，根据接触面的多少进行染色。 【详解】按照B、C、A、D的顺序进行染色； （种） 答：有48种染色方法。 【名师点评】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，必要的情况下需要分类讨论。 43．种 【分析】2个数的和能被4整除，可以根据被4除的余数分为三类：两个余0的数，一个余1、一个余3，两个余2的数，分别求出每种情况的个数，相加即可。 【详解】第一类：余数分别为0，0。 1～40中能被4整除的数共有（个），10个中选2个，有（种）取法； 第二类：余数分别为1，3。 1～40中被4除余1，余3的数也分别都有10个，有（种）取法； 第三类：余数分别为2，2。 同第一类，有45种取法。 根据加法原理，共有（种）取法。 答：有190种取法。 【名师点评】本题考查的是数论中的计数问题，需要用到余数的可加性来求解问题。 44．72种 【分析】总共5块，而与另外的4块相接，接触面最多，从而开始染色，根据接触面的多少进行染色。 【详解】第一步给“而”上色，有4种选择； 然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选； 当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有种； 当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选（与“学”相同），不同的涂法有种。 所以，根据加法原理，共有种不同的涂法。 答：共有72种不同的染色方法。 【名师点评】本题考查的是计数中的染色问题，求解此类问题的方法是乘法原理。 45．125种 【分析】取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类，求出每一类的数量，相加得到总数。 【详解】（1）一种颜色： 5种可能； （2）两种颜色： （3）三种颜色： 所以，一共可以表示种不同的信号； 答：共可以表示125种不同的信号。 【名师点评】由于每个位置都有五种颜色不同的信号旗可以选，所以即为总共的方法数。 46．17种 【分析】从甲地到丙地有两种方法，第一类，从甲地经过乙地到丙地，第二类，从甲地经过丁地到丙地，两种的方法数相加，得到总数。 【详解】第一类，走法一共有种方法； 第二类，一共有种方法； 根据加法原理，一共有种走法。 答：从甲地到丙地共有17种不同走法。 【名师点评】本题是加乘原理的综合应用，当完成一件事有多种方法时，需要分类，类类相加。 47．20种 【分析】分成3类，第一类，从北京转道上海到广州，第二类，从北京转道武汉到广州，第三类从北京直接去广州，三种的方法数相加，得到总共的方法数。 【详解】从北京转道上海到广州： 种方法； 从北京转道武汉到广州： 种方法； 从北京直接去广州有2种方法； 所以一共有种方法； 答：从北京到广州一共有20种交通方式供选择。 【名师点评】本题考查的是计数问题，加乘原理是求解计数问题最常用的方法。 48．9种 【分析】分为两类，经过王明家到张老师家，从学而思学校直接去张老师家，两种情况的方法数相加，得到总数。 【详解】根据乘法原理，经过王明家到张老师家的走法一共有种方法； 从学而思学校直接去张老师家一共有3条路可走； 根据加法原理，一共有种走法。 答：从学而思学校到张老师家共有9种走法。 【名师点评】本题考查的是基础的加乘原理计数问题，加法分类，类类相加，乘法分步，步步相乘。 49．46种 【分析】取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类，求出每一类的数量，相加得到总数；总共的数量减去白棋打头的信号，得到白旗不打头的情况。 【详解】第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能； 第二类，两种颜色：（种） 第三类，三种颜色：（种） 所以，根据加法原理，一共可以表示（种）不同的信号。 白棋打头的信号，后两面旗有种情况。所以白棋不打头的信号有种。 答：共可以表示62种不同的信号；如果白旗不能打头有46种。 【名师点评】本题的关键是求出一共可能出现的情况，然后减去白旗打头的情况，即可求出结果。 50．40种 【分析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑，求出每一类的数量，相加得到总数。 【详解】如图所示： 第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法； 第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法。根据乘法原理，共有种表示法； 第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法。根据乘法原理，共有种表示法。 根据加法原理，一共可以表示出种不同的信号。 答：一共可以表示出40种不同的信号。 【名师点评】本题主要考查的是应用加乘原理求解计数问题，必要的情况下需要分类讨论。 51．（1）种；（2）种 【分析】（1）如果小明只买一种糖，分成2类，买巧克力糖或水果糖，各自的方法数相加即可； （2）如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，步步相乘。 【详解】（1）（种） 答：他有5种选法。 （2）（种） 答：他有6种选法。 【名师点评】本题考查的是加乘原理求解计数问题，当完成一件事需要多个步骤时，需要分步，步步相乘。 52．488160种 【分析】先考虑第一个圆盘，既然每个调色盘里的六种颜色不能相同，那么每个区域分别有654321种涂色方法，相乘得到总的涂色方法；再考虑第二个圆盘，相当于是第一个圆盘的涂色方法减去重复的情况，然后两个圆盘的图色方法相乘，得到不同的染色方案。 【详解】先选中一个调色盘； （种） 此盘共有720种涂色方法； 再看另一个调色盘； 相邻四种颜色重复的分为4个重复、5个重复和6个重复三种情况，但由于5个重复就必然6个重复，因此只要分4种和6种即可。 4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复只有1种，每种情况经旋转可变出6种。 （种） 678×720＝488160（种） 答：共有488160种不同的染色方案。 【名师点评】本题考查的是复杂的计数问题，综合应用了乘法原理来求解问题。 53．个 【分析】可以按照三位数不含有0，含有一个0，含有两个0进行分类，求出每一类的个数，相加得到总数。 【详解】若三位数不含有，有（个） 若含有一个，有（个） 若含有两个，有个； （个） 答：共可组成105个不同的三位数。 【名师点评】本题考查的是乘法原理，乘法原理是求解这类组多位数问题的常用方法，注意0的特殊性。 54．91种 【分析】每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下，有6种情况，三个人一共有63种情况，减去都不去12楼的情况，得到至少有一个要上12楼的情况。 【详解】每个人都可以在第7、8、9、10、11、12层下，有6种情况； （种） 其中，都不到12楼的话，每个人可以在第7、8、9、 10、11层下，有5种情况； （种） （种） 答：他们到各层的可能情况共有91种。 【名师点评】本题考查的是计数问题，当从正面考虑问题不方便时，尝试着从反面考虑问题。 55．8种 【分析】从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，第二类不经过武汉，直接去南京，两种的方法数相加，得到总数。 【详解】第一类： （种） 第二类：有2种走法； 根据加法原理，从重庆到南京一共有种不同走法。 答：从重庆到南京一共有8种不同走法。 【名师点评】本题考查的是加乘原理的计数问题，加法分类，类类相加，乘法分步，步步相乘。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$