第二章 2.3 有理数的乘方 讲义 2024-2025学年人教版七年级数学上册

人教版七年级上册数学第二章2.3有理数的乘方 2.3.1、有理数的乘方 ★【知识点梳理】 1.a的n次方： 一般地，n个相同的乘数a相乘，记作an,读作“a的n次方”。 2.乘方 求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在an中，a叫作底数，n叫作指数。 注意：“-5的平方”应写成（-5）2，而不要写成-52 “2/3的立方“应写成（2/3）3，而不要写成2/33 3.一个数可以看作这个数本身的1次方。例如51=5。 4.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 5.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 注意：n为奇数时（-1）n=-1，n为偶数时（-1）n=1 n为正整数时，0 n=0 1n=1 6.有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时，应注意以下运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【例1】．表示（        ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积 【例2】.表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ；表示的意义是 ，底数是 ，指数是 ． 【例3】．下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例4】．计算： ． 【例5】．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【例6】．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【例7】．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【例8】．若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 【例9】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【例10】．计算 (1) (2) 【例11】．计算：． 【例12】．计算： (1)； (2)． 【例13】．计算：． 【例14】．计算：． 【例15】．对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求 ． 【例16】．定义一种新运算“”，规则为：例：，则 ． 【例17】．如图是一个数值转换机．若输入数，则输出数是 ． 【例18】．观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【例19】．阅读材料：求的值． 解：设将等式两边同时乘以2， 得：， 将两式作差，得：， 即， 即， 仿照此法计算： ． 运用上面的运算方法计算： ． 【例20】．观察下列各式的计算结果： ； ； ； ； … （1）用你发现的规律填写下列式子的结果： × ． （2）用你发现的规律计算： ． 【例21】．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 试卷第2页，共3页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 【综合练习题】 1．下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．化简，，，这四个数中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．计算： ． 4．计算： 5．在中，底数是 指数是 ．立方等于它本身的数是 ． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 6．计算： 7．计算 ． 8．计算： ﹣1﹣（﹣3）2×﹣[22+（1﹣×）]÷（﹣2）3 9．计算 10． 11．（2）． 12．用表示一种运算，它的含义是：，如果，那么 ． 13．已知与互为相反数，求a、b的值． 14．（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 15．按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ． 16．观察下列各式: 1+2=22-1 1+2+22=23-1, 1+2+22+23=24-1, ... (1)请直接写出1+2+22+23+24= 1+2+22+23+24+25=_ ; (2)根据(①)的规律,猜想1+2 +22 +...+2n=_ ， 并给出证明； (3)设250=a,根据(2)中的结论，化简250+ 251+ 252+...+ 299+ 2100(用含a的式子表示). 2.3.2科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。 注意：a的符号应与原数的符号相同，例如将-37000进行科学记数时，a为-3.7而不是3.7。 【例1】．用科学记数法表示下列各数： (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 【例2】．2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例3】．从国家统计局网站获悉，2024年1—2月份，全国规模以上工业企业实现利润总额9140.6亿元，同比增长，9140.6亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例4】．某种病毒的最大直径为，则将还原为原数时，原数中“0”的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例5】．写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； 【综合练习题】 1．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省万斤，这些粮食可供万人吃一年．万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．2022年2月19日记者从水利部获悉，目前黄河五大水库总蓄水量达到327.96亿立方米，将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．一个整数用科学记数法表示为，那么原数中“0”的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)太阳和地球的距离大约是千米； (2)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 5．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 6．下面用科学记数法表示的数，原来是什么数？地球上的海洋面积约为3.6×108平方千米． 2.3.3近似数 1.近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 2.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都叫做这个数的有效数字。 【例1】．用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)0.4605（精确到0.01）； (2)3.955（精确到十分位）； (3)132.5667（精确到千分位）； (4)86.4（精确到个位）； (5)1.820648（精确到小数点后第四位）； (6)4.6298（精确到千分位）． 【例2】．下列各数精确到什么位？有几个有效数字？请分别指出来． (1)． (2)． (3)． (4)万． 【例3】．用四舍五入法得到的近似数，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【例4】．下列说法正确的有（　　） ①近似数7.4与7.40是一样的 ②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0 ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0 ④由四舍五入法得到的近似数精确到千分位，有3个有效数字 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【综合练习题】 1．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 2．下面各数是由四舍五入得到的近似数，它们分别精确到哪位？有几个有效数字？ （1）1.23精确到 位；有 个有效数字； （2）0.04060精确到 位；有 个有效数字； （3）2000精确到 位；有 个有效数字． 22．9.9784精确到个位是 ，保留一位小数是 ，精确到百分位是 ，保留三位小数是 ． 试卷第2页，共2页 11 学科网（北京）股份有限公司 3．用四舍五入按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 4．用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 5．用四舍五入法按要求对取近似值，其中错误的是（    ） A．精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 6．近似数6.16万精确到（    ）． A．百分位 B．千分位 C．百位 D．万位 7．一个数按“四舍五入”法则保留一位小数是，这个数可能是（　　） A． B． C． D． 8．一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 试卷第2页，共3页 试卷第12页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$