8.3.1列联表与独立性检验课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.3.1 分类变量与列联表 8.3列联表与独立性检验 讲课人：邢启强 ‹#› 回顾旧知 2.残差平方和： 3.最小二乘法 将 称为Y 关于x 的经验回归方程， 4.判断模型拟合的效果:残差分析 R2越大，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好R2越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差. 1.线性回归模型y＝bx＋a＋e含有随机误差e，其中x为解释变量，y响应变量 残差:yi-是随机误差的估计值 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 讲课人：邢启强 ‹#› 问题: 你认为吸烟与患肺癌有关系吗？ 怎样用数学知识说明呢？ 新课学习 讲课人：邢启强 ‹#› 前面两节所讨论的变量,如人的身高、树的胸径、树的高度、短跑100m世界纪录和创纪录的时间等,都是数值变量,数值变量的取值为实数.其大小和运算都有实际含义. 在现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或互相影响的问题。 例如：就读不同学校是否对学生的成绩有影响，不同班级学生用于体育锻炼的时间是都存在区别，吸烟是否会增加患肺癌的风险等。本节将要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这类问题的方案。 分类变量的取值可以用实数表示,这些数值只作为编号使用,并没有通常的大小和运算意义 举例： 学生所在的班级可以用1,2,3等表示, 男性、女性可以用1,0表示 本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题. 在讨论上述问题时,为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量. 讲课人：邢启强 ‹#› 练习．下列变量中不属于分类变量的是(　　) A．性别 B．吸烟 C．宗教信仰 D．国籍 解析　“吸烟”不是分类变量，“是否吸烟”才是分类变量． 讲课人：邢启强 ‹#› 5 问题1：为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻。你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 比较经常锻炼的学生在女生和男中的比率. 男生经常锻炼的比率比女生高出15.4个百分点，所以该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面有差异，而且男生更经常锻炼。 解法一： 由频率估计概率 讲课人：邢启强 ‹#› 问题1：为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻。你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗? 解法二： 对于Ω中的每一名学生，分别令 性别对体育锻炼的经常性没有影响： 性别对体育锻炼的经常性有影响： 为了清楚起见,我们用表格整理数据。 借助条件概率 讲课人：邢启强 ‹#› 性别 锻炼 合计 不经常（Y=0） 经常（Y=1） 女生（X=0） 192 331 523 男生（X=1） 128 473 601 合计 320 804 1124 可以做出判断，在该校的学生中，性别对体育锻炼有影响，即该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异,而且男生更经常锻炼. 讲课人：邢启强 ‹#› 2×2列联表的概念 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 分类变量X和Y的抽样数据的2✖2列联表： 用途：可以清晰的给出成对分类变量数据的交叉分类频数。 在实践中,由于保存原始数据的成本较高,人们经常按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存,我们将下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表(contingency table). 以上表为例,它包含了X和Y的如下信息: 最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1} 中样本点的个数; 最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1} 中样本点的个数; 中间的四个格中的数是表格的核心部分,给出了 事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中样本点的个数; 右下角格中的数是样本空间中样本点的总数。 讲课人：邢启强 ‹#› 在上面问题的两种解答中，使用了学校全部学生的调查数据，利用这些数据能够完全确定解答问题所需的比率和条件概率. 然而，对于大多数实际问题，我们无法获得所关心的全部对象的数据，因此无法准确计算出有关的比率或条件概率. 利用随机抽样获得一定数量的样本数据，再利用随机事件发生的频率稳定于概率的原理对问题答案作出推断。 反思 讲课人：邢启强 ‹#› 例1:为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀.试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异. 解：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合.考虑以Ω为样本空间的古典概型.对于Ω中每一名学生，定义分类变量X和Y如下： 学校 数学成绩 合计 不优秀（Y=0） 优秀（Y=1） 甲校（X=0） 33 10 43 乙校（X=1） 38 7 45 合计 71 17 88 因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为 乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为 讲课人：邢启强 ‹#› 解： 我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果： 通过比较发现，两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，甲校的频率明显高于乙校的频率.依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率。因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高。 例1:为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀.试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异. 因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为 讲课人：邢启强 ‹#› 问题2：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？ 答：有可能。 “两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的.有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大.因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算. 独立性检验方法 讲课人：邢启强 ‹#› 解:作列联表如下： 单位：人 考前心情 性格 合计 内向 外向 紧张 332 213 545 不紧张 94 381 475 合计 426 594 1020 讲课人：邢启强 ‹#› 14 解 相应的等高堆积条形图如图所示，图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从等高堆积条形图可以看出考前心情紧张与性格类别有关联． 讲课人：邢启强 ‹#› 15 图形分析法 等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显，就判断两个分类变量之间有关系．这与通过列联表判断变量之间是否有关本质上是一样的． 讲课人：邢启强 ‹#› 16 概念辨析 1．分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念． ( ) 提示　分类变量中的变量是指一定范围内的两种现象或性质，与函数中的变量不是同一概念． 2．列联表中的数据是两个分类变量的频数． ( ) 3．列联表、频率分析法、等高条形图都可初步分析两分类变量是否有关系． ( ) × √ √ 讲课人：邢启强 ‹#› 1.下面是一个2×2列联表: X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a 21 73 X=1 8 25 33 合计 b 46   则表中a,b处的值分别为(　　) A.94,96 B.52,50 C.52,60 D.54,52 C 解析 ∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60. 课堂练习 讲课人：邢启强 ‹#› 2．(多选现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图： 根据这两幅图中的信息，下列统计结论不正确的是(　　) A．样本中的女生数量多于男生数量 B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量 C．样本中的男生偏爱两理一文 D．样本中的女生偏爱两文一理 讲课人：邢启强 ‹#› 19 3．(2023·山东临沂莒南、沂水高二期中)某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生(其中男生60名，女生40名)，并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为________． 解析　由等高堆积条形图可知，这100名学生中经常锻炼的人数为60×0.8＋40×0.5＝68. 68 讲课人：邢启强 ‹#› 20 题型二　等高堆积条形图 　某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出列联表和等高堆积条形图，并利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关联． $$