§4.6 利用相似三角形测高 讲义 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

§4.6 利用相似三角形测高 讲义（知识梳理+例题巩固+强化训练）2024-2025学年北师大版数学九年级上册 知识模块1 知识回顾 1、相似三角形的判定是什么： 知识点1：平行投影 知识点 1 平行投影 在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影.如物体在阳光下的影称为平行投影. 注意：物体所处的位置、方向及时间影响该物体的平行投影： 1.不同时刻、同一地点、同一物体影子的长度不同 2.同一时刻、同一地点、不同物体影子的长度与他们的物体长度成正比 知识点 2 中心投影 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，例如：探照灯、手电筒、路灯、 台灯的光线可以看成是由同一点发出，以他们的光源所形成的投影就属于中心投影 注意：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影 1. 同一物体相对同一光源的距离近时的影子比远时的影子短 2. 光源的方向或物体的位置改变，则物体影子的方向也发生改变，但光源、物体的影子 始终分居物体的两侧 知识点 3： 测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【典型例题1 利用平面镜测高】 1.为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测 量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F  处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上． （1）直接写出 ； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度． 【典型例题2 影子测量的方法】 2.如图，小明从路灯下向前走了 5 米，发现自己在地面上的影子长 DE 是 2 米，如果小 明的身高为 1.6 米，那么路灯离地面的高度 AB 是 米． 【典型例题3 手臂测量的方法】 3.大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点．如图，小华拿着一部长为的手机（图中）站在广场上离大雁塔的点处（即），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到手机的距离为，，，图中所有的点都在同一平面内，求大雁塔的高度．（精确到） 【典型例题4 标杆测量方法】 4. 学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图．如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，，，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度． 【典型例题5 投影方法】 5.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 米，则树高为多少？ 1.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间， 两人适当调整自己的位置，当楼的顶部 M 、颖颖的头顶 B及亮亮的眼睛 A恰在一条 直线上时，两人分别标定自己的位置 C 、D．然后测出两人之间的距离 C D =1．25 m ，颖 颖与楼之间的距离 D N =30 m (C 、D 、N在同一条直线上)，颖颖的身高 B D =1．6 m ， 亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 A C = 0．8 m ．你能根据以上测量的数据帮助他们 求出住宅楼的高度吗? 2.小亮同学想利用影长测量学校旗杆 AB 的高度，如图，他在某一时刻立 1 米长的标杆测 得其影长为 1.2 米，同时旗杆的投影一部分在地面上 BD 处，另一部分在某一建筑的墙上 CD 处，分别测得其长度为 9.6 米和 2 米，求旗杆 AB 的高度． 3.如图，路灯(点 P )距地面 8米，身高 1.6米的小明从距路灯的底部(点 O )20 米的点 A ,沿 A O所在的直线行走 14 米到点 B时，身影的长度是变长了还是变短了? 变长或变短了多少米? 4.如图，电线杆上有一盏路灯 O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一 侧，AB、CD、EF 是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是 2 m，已知 AB、CD 在灯 光下的影长分别为 BM=1.6 m，DN=0.6m． （1）请画出路灯 O 的位置和标杆 EF 在路灯灯光下的影子； （2）求标杆 EF 的影长． 5.如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，树的顶端在水中的倒影距自己远，淇淇的身高为，则树高为（    ） A． B． C． D． 6.阅读下列材料，回答问题． 任务：测量一棵树的高度，该树的底端可到达，顶部不可到达，如图． 工具：一把皮尺，自制的直角三角形纸板． 测量过程：小明站在点处，调整自己的位置，使得三角尺斜边与地面平行，且边与点在同一直线上． 小亮和小颖用皮尺测量，，，点与点之间的距离．求树高．用含，，，的代数式表示) 7.九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3 m，标杆与旗杆的水平距离BD=12 m，人的眼睛离地面的高度EF=1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF=2 m，求旗杆的高AB． 8.光污染是继废气、废水、废渣和噪声等污染之后的一种新的环境污染源，主要包括白亮污染、人工白昼污染和彩光污染，如图，小明家正对面的高楼外墙上安装着一幅巨型广告宣传牌AB，小明想要测量窗外的广告宣传牌AB的高度，他发现晚上家里熄灯后对面楼上的广告宣传牌从A处发出的光恰好从窗户的最高点C处射进房间落在地板上F处，从窗户的最低点D处射进房间向落在地板上E处（B、O、E、F在同一直线E），小明测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求广告宣传牌AB的高度． 9..承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度． 10.小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．）经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度． 11.学完测高的知识后，学校数学社团的同学对公园里的一棵古树进行了实地测量．如图，先把长为1.8米的标杆垂直立于地面上的点处，当树的最高点、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，接着沿斜坡从走到点处，此时测得树的最高点处仰角，到地面的距离为9米，为12米，求古树的高度．    12.如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在D处和F处树立标杆和，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 13.如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（    ） A．86 B．84 C．80 D．78 14.汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高． 15.如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长． （2）求灯泡到地面的高度AG． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$