第四章指数函数与对数函数的实际应用专项训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数函数、对数函数的实际应用专项训练 指数函数、对数函数的实际应用专项训练 1．（23-24高一上·广东广州二中·期末）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少总共需要花的时间为（    ） A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时 2．（23-24高一上·广东江门·期末）中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：）.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车声强是高速列车声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强I（单位：）表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级（单位：dB）与声强Ⅰ的函数关系式为．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ） A．6倍 B．倍 C．5倍 D．倍 4．（23-24高一上·广东广州三校联考·期末·多选）吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.6 0.7 0.8 设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·广东佛山高明区·期末·多选）在声学中，音量被定义为，其中是音量（单位为），是基准声压，为，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是（    ） A．音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到 B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍 6．（23-24高一上·广东汕头潮阳区·期末·多选）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系为，则以下叙述正确的有（    ） A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番 B．第5个月时，浮萍面积会超过30 C．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值 D．浮萍每月增加的面积都相等 7．（23-24高一上·广东广州广雅中学·期末·多选）空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这些曲线对应的函数表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（    ） A．若，则为偶函数 B．若，则函数的最小值为2 C．若，则函数的零点为0和 D．若为奇函数，且使成立，则a的最小值为 8．（23-24高一下·广东省六校联考·期末）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，并记作． (1)当时，求环境综合污染指数的值域； (2)求的解析式； (3)规定当时为综合污染指数超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数超标． 9．（23-24高一上·广东肇庆·期末）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知绿色科技产品A在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），每件的销售价格为10元，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示： x 5 6 12 18 24 28 30 45 46 52 58 56 52 50 (1)给出下列三个函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域. (2)若绿色科技产品B在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，求这30天内（包括第30天）绿色科技产品的日销售收入不少于绿色科技产品的总天数. 10．（23-24高一上·广东汕头潮阳区·期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是℃，环境温度是℃，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃． (1)求k的值； (2)经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：，） 11．（23-24高一上·广东广州二中·期末）为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．己知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（为常数），如图所示． 据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)药物释放完毕后，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 12．（23-24高一上·广东深圳南山区·期末）已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表： （天） 2 4 10 20 （万件） 12 11 10.4 10.2 (1)请确定的解析式，并说明理由； (2)若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$指数函数、对数函数的实际应用专项训练 指数函数、对数函数的实际应用专项训练 1．（23-24高一上·广东广州二中·期末）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少总共需要花的时间为（    ） A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时 【答案】C 【详解】因为在前5个小时消除了的污染物，所以， 解得，所以， 设污染物减少所用的时间为t， 所以， 所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东江门·期末）中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录，虽比发达国家起步晚了40多年，但中国高铁建设突飞猛进，截至2023年初，运营里程增加到4.2万公里，连续十多年稳居世界第一，中国高铁不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：）.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级是，则普通列车声强是高速列车声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【详解】设普通列车、高速列车声强分别为，声强级分别为， 由题意，，， 两式相减可得，， 即，所以， 即普通列车声强是高速列车声强的倍. 故选：B 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强I（单位：）表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级（单位：dB）与声强Ⅰ的函数关系式为．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ） A．6倍 B．倍 C．5倍 D．倍 【答案】D 【详解】设普通列车和高速列车的声强分别为，， 由得，则， 所以. 故选：D． 4．（23-24高一上·广东广州三校联考·期末·多选）吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 0.6 0.7 0.8 设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得，则，，， ，，，即，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，， ， ， ， 所以，则有， 又，则，D选项正确； 故选：BCD 5．（23-24高三上·广东佛山高明区·期末·多选）在声学中，音量被定义为，其中是音量（单位为），是基准声压，为，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是（    ） A．音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到 B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍 【答案】AD 【详解】对于A，30～100Hz的低频对应的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB， 所以对比高频更容易被听到，故A正确； 对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误； 对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，，令，此时，故C错误； 对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令，此时， 所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确． 故选：AD. 6．（23-24高一上·广东汕头潮阳区·期末·多选）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系为，则以下叙述正确的有（    ） A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番 B．第5个月时，浮萍面积会超过30 C．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值 D．浮萍每月增加的面积都相等 【答案】AB 【详解】由图可知点在函数图象上，所以，即，所以， 所以，故正确； 当时，即，所以正确； 设，，时浮萍面积分别为，，， 所以，，， 所以，所以错误； 第个月比第个月增加，第个月比第个月增加，且， 实际上面积增长的速度越来越快，故错误. 故选：. 7．（23-24高一上·广东广州广雅中学·期末·多选）空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这些曲线对应的函数表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（    ） A．若，则为偶函数 B．若，则函数的最小值为2 C．若，则函数的零点为0和 D．若为奇函数，且使成立，则a的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，若，定义域为全体实数，关于原点对称， 且此时，即为偶函数，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，令， 解得或，即或，所以函数的零点为0和，故C正确； 对于D，若为奇函数，则，即，经检验符合题意， 由题意不等式在上有解， 而在上有， 所以在上有解， 不妨设，则， 所以关于在上面有解， 由基本不等式得，等号成立当且仅当即时等号成立， 综上所述，a的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高一下·广东省六校联考·期末）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，并记作． (1)当时，求环境综合污染指数的值域； (2)求的解析式； (3)规定当时为综合污染指数超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数超标． 【答案】(1) (2) (3)当时，综合污染指数超标． 【详解】（1）当时，， ①当时，； ②当时，， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以． 综上所述，． （2）当时，， 令，则， 所以， 于是，在时是单调递减函数，在时是单调递增函数， 所以， 因为，，解，得， 所以当时，； 当时，， 即． （3）由，得①无解，②，解得， 综上，． 所以当时，综合污染指数超标． 9．（23-24高一上·广东肇庆·期末）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知绿色科技产品A在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），每件的销售价格为10元，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示： x 5 6 12 18 24 28 30 45 46 52 58 56 52 50 (1)给出下列三个函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域. (2)若绿色科技产品B在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，求这30天内（包括第30天）绿色科技产品的日销售收入不少于绿色科技产品的总天数. 【答案】(1)，定义域为 (2)16天 【详解】（1）由表格中的数据知，当时间增加时，先增后减， 而①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，所以选择模型②：. 由，可得，解得，所以. 由解得 所以，定义域为. （2）由（1）得， 设绿色产品的日销售收入为（单位：元）， 则， 当，时，， 解得，所以，； 当，时，， 解得，所以，. 所以这30天内（包括第30天）绿色科技产品的日销售收入不少于绿色科技产品的总天数为16天. 10．（23-24高一上·广东汕头潮阳区·期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是℃，环境温度是℃，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃． (1)求k的值； (2)经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：，） 【答案】(1) (2)2.7分钟 【详解】（1）依题意，，． 则 化简得，， ， 即：．（写也正确） （2）由（1）得 令， 即．得， ； 得． 所以刚泡好的茶水大约需要放置2.7分钟才能达到最佳饮用口感． 11．（23-24高一上·广东广州二中·期末）为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．己知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（为常数），如图所示． 据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)药物释放完毕后，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 【答案】(1); (2). 【详解】（1）结合图象，当时，由药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，故可设直线为， 因为在在上，所以，解得， 所以当时，此时的函数关系为； 当时，y与t的函数关系式为， 由图可知经过，所以，解得， 所以当时，y与t的函数关系式为. 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为. （2）药物释放完毕后，要使空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下， 只需，解得. 所以从药物释放开始,至少需要经过小时,学生才能回到教室. 12．（23-24高一上·广东深圳南山区·期末）已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表： （天） 2 4 10 20 （万件） 12 11 10.4 10.2 (1)请确定的解析式，并说明理由； (2)若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值. 【答案】(1)，理由见解析 (2)，最小值为484万元. 【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由题表可知，随着增大时，销售量逐渐减少，若，则当时，非单调递减函数，不符合题意. 对于，根据题意，将点代入可得 解得，此时， 易知点均在的图象上， . （2）， 由（1）知， 即， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，为单调递减函数， 的最小值为， 综上可知，的最小值为484万元. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$