专题01与直线有关的四种对称问题-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

专题01与直线有关的四种对称问题 题型01点关于点对称 【典例分析】 【例1-1】（高二上·北京西城·期中）点关于原点的对称点为，则为（    ）． A． B． C． D． 【例1-2】（高二上·广东揭阳·期末）点和点关于点的对称点都在直线的同侧，则的取值范围是 ． 【例1-3】（高二·全国·课后作业）已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是 . 【变式演练】 【变式1-1】（高一·全国·单元测试）已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B． C． D． 【变式1-2】（2022高二·江苏·专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ． 【变式1-3】（21-22高二上·全国·课后作业）点关于点对称，则 ． 题型02点关于线对称 【典例分析】 【例2-1】（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【例2-2】（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【例2-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【变式2-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 题型03线关于点对称 【典例分析】 【例3-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【例3-2】（22-23高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 【例3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式3-2】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是 ． 【变式3-3】（21-22高二上·吉林松原·阶段练习）已知直线：，点A．求： (1)点A关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点A的对称直线的方程． 题型04线关于线对称 【典例分析】 【例4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【例4-3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线．求此直线分别关于坐标轴、坐标原点及直线、对称的直线的方程． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 【变式4-2】（22-23高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 【变式4-3】（22-23高二·全国·课堂例题）求直线关于直线对称的直线的方程． 一、单选题 1．（22-23高二上·全国·期中）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（    ） A． B． 0 C． D． 2．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）点关于直线对称的点为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列说法中正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．点关于直线的对称点为 10．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 11．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）（多选）光线自点射入，经直线l：反射后经过点，同时还经过点（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 13．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为 . 14．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线的方程为. （1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程 ； （2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程 . 四、解答题 15．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直线，求满足下列条件的直线的方程． (1)与直线关于轴对称； (2)过点，且与平行． 16．（22-23高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 17．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 18．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知的顶点所在直线方程为，角平分线所在直线的方程为，求 (1)点的坐标； (2)求直线方程. 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01与直线有关的四种对称问题 题型01点关于点对称 【典例分析】 【例1-1】（高二上·北京西城·期中）点关于原点的对称点为，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ． 【例1-2】（高二上·广东揭阳·期末）点和点关于点的对称点都在直线的同侧，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得关于的对称点，根据题意列出不等式，即可求解. 【详解】设点的坐标为，且， 因为关于点对称，可得 ，解得，即， 因为在直线的同侧，可得， 即，解得或. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【例1-3】（高二·全国·课后作业）已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是 . 【答案】 【分析】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可. 【详解】根据中点坐标公式，得，且． 解得，，所以点P的坐标为， 则点到原点的距离． 故答案为： 【变式演练】 【变式1-1】（高一·全国·单元测试）已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点关于点对称，所以有，解得．所以点到原点的距离为，故选D 【变式1-2】（2022高二·江苏·专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标公式求解即可 【详解】设点关于点对称的点为， 则点为的中点． 解得． 点关于点对称的点的坐标为． 故答案为：． 【变式1-3】（21-22高二上·全国·课后作业）点关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可. 【详解】由已知得，解得，即， 故答案为： 题型02点关于线对称 【典例分析】 【例2-1】（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B 【例2-2】（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【分析】 求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 【例2-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程. 【详解】设直线l的的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设过点且与直线平行的直线为，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为 题型03线关于点对称 【典例分析】 【例3-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【例3-2】（22-23高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 【例3-3】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 【答案】． 【分析】解法一设，得到对称点坐标，再代入直线即可得到答案；解法二在直线上取两特殊点，得到其关于的对称点，则得到直线l方程；解法三根据对称特点设l的方程为，代入一个具体的对称点坐标即可得到答案. 【详解】解法一:设直线l上任意一点M的坐标为， 则此点关于点的对称点为， 且在直线上， 所以， 即． 所以所求直线l的方程为． 解法二：在直线上取两点， 则点关于点的对称点为，即 点关于点的对称点为， ，所以直线的方程为 化简得， 即所求直线l的方程为． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线平行， 则可设l的方程为． 在直线上取一点， 则点关于点的对称点在直线上， 所以，所以， 所以所求直线l的方程为 【变式演练】 【变式3-1】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 【变式3-2】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是 ． 【答案】 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于的对称点，再代入直线方程即可得到答案. 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即， 故答案为：. 【变式3-3】（21-22高二上·吉林松原·阶段练习）已知直线：，点A．求： (1)点A关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点A的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解；（2）根据相关点法分析运算. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 故. （2）在直线上任取一点，设关于点A的对称点为， 则，可得， 由于在直线：上，则，即， 故直线关于点A的对称直线的方程为 题型04线关于线对称 【典例分析】 【例4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【详解】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A 【例4-2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【答案】 【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上；在直线上取一点，求得其关于直线对称的点的坐标，该点也在对称直线上；由直线两点式可整理得到结果. 【详解】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 【例4-3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线．求此直线分别关于坐标轴、坐标原点及直线、对称的直线的方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据直线关于直线对称的变换规则计算可得. 【详解】直线， 在原方程中用代即得到直线关于轴对称的直线方程， 故直线关于轴对称得到； 在原方程中用代即得到直线关于轴对称的直线方程， 故直线关于轴对称得到； 在原方程中用代、用代即得到直线关于原点对称的直线方程， 故直线关于原点对称得到； 在原方程中以代，以代即得到直线关于直线对称的直线方程， 故直线关于直线对称的直线方程为； 在原方程中以代，以代即得到直线关于直线对称， 故直线关于直线对称的直线方程为，即 【变式演练】 【变式4-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线和直线也关于直线对称 ， 所以或， 对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，所以B正确， 对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误， 对于D，当时，，所以D正确. 故选：C 【变式4-2】（22-23高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】 在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】 设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 【变式4-3】（22-23高二·全国·课堂例题）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】联立方程组求得两直线的交点，再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，得出方程组，求得点点的坐标为，进而求得直线的方程. 【详解】联立方程组，解得所以直线与相交，且交点为， 可得点也在直线上． 再在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即点的坐标为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故直线的方程为. 一、单选题 1．（22-23高二上·全国·期中）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（    ） A． B． 0 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线关于x轴对称的特征求解即可． 【详解】设关于轴对称的直线上的任意一点， 则关于轴的对称点在直线上， 故，即即为所求． 故选：A． 2．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得. 【详解】直线的斜率为2，与x轴交于点， 则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点， 所以，所求方程为，即. 故选：D 3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解. 【详解】设点关于对称的点为，则，解得， 故选：B 4．（21-22高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 5．（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点关系可得，根据斜率关系可得，解方程组求解，即可． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 6．（22-23高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直. 【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则， 即点A坐标为. 故选：C 7．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）点关于直线对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点为，根据垂直和中点得到方程组，解得答案. 【详解】设点关于直线对称的点为. 则，解得. 故选：B. 8．（23-24高二上·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用光线反射定理结合点关于直线的对称点即可求得光线所经过的路程. 【详解】直线的方程为，点关于y轴的对称点为， 设点E关于直线的对称点为， 则，解之得，则 设点射出的光线交y轴于点C，交直线于点D， 则光线所经过的路程为 故选：C 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列说法中正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．点关于直线的对称点为 【答案】AD 【分析】对于AB，根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解；对于C，求出直线与坐标轴的交点坐标，从而求出三角形面积，对于D，设关于直线对称的点为，得到，再解方程即可判断. 【详解】对于A：任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角为时斜率不存在，故A正确； 对于B：直线的倾斜角为，时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B错误； 对于C：直线，令，，令，， 故与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C错误； 对于D：设关于直线对称的点为， 则，即关于直线对称的点为，故D正确.； 故选：AD 10．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 【答案】BCD 【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标即可判断A；分两种情况判断B；分直线经过原点和不经过原点两种情况求解，从而判断C；由直线的方程的两点式方程的限制条件可判断D. 【详解】对于A，直线与轴和轴的交点分别为，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确； 对于B，三条直线不能构成三角形，分两种情况： ①三条直线相交于一点，即为原点，此时有，所以； ②直线与或平行， 则或，所以或， 所以满足题意的的实数的取值集合为，故B错误； 对于C，当直线过原点时，其方程为； 当直线不过原点时，设其方程为，又直线过点， 所以，解得，此时直线方程为，即， 综上，所求直线方程为或，故C错误； 对于D，由直线的两点式方程可知， 当或时，此方程无意义， 即直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，故D错误. 故选：BCD 11．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）（多选）光线自点射入，经直线l：反射后经过点，同时还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】计算点关于直线的对称点为，代入数据计算得到答案． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即反射光线过， 斜率为， 所以反射光线所在直线方程为， 当时，； 当时，． 故过点，. 故选：BD． 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知，直线和关于直线对称，故把l的方程中的x 和y交换位置即得直线l的方程． 【详解】由题意可得直线l与直线关于直线对称， 由于直线上的任意一点关于直线的对称点为， 因为已知直线，则的方程是，即， 故答案为：. 13．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知直线，，一条光线从点射出，经反射后，射到上，再经反射后，回到，则该光线经过的路程长度为 . 【答案】 【分析】分别求出关于对称的点，关于对称的点，求出即可求解. 【详解】如图，设关于对称的点为， 由得即. 设关于对称的点为，由 得即. 易得该光线经过的路程长度为. 故答案为：. 14．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线的方程为. （1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程 ； （2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程 . 【答案】 . 【分析】根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程. 【详解】因为直线和直线关于点对称， 在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上， 将点代入直线可得， 所以直线的方程为； 设直线与直线的交点为， 所以，解得，则， 在直线上取点，设关于直线对称的点为， 则① 因为与的中点坐标为， 所以② 由①②可得，所以 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线经过点和点， 所以直线的两点式方程为， 整理得直线的一般式方程为. 故答案为: ;. 四、解答题 15．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直线，求满足下列条件的直线的方程． (1)与直线关于轴对称； (2)过点，且与平行． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由对称方法求出直线方程作答. （2）利用平行关系设出直线方程，再求出待定系数作答. 【详解】（1）设与直线关于轴对称的直线上任意点坐标为，则点在直线上，即有， 所以直线的方程为. （2）设与直线平行的直线的方程为， 于是，解得， 所以直线的方程为.    16．（22-23高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 17．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用两点式求斜率，再由直线垂直得，应用点斜式写出直线l的方程； （2）由直线平行设直线的方程为，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线的方程． 【详解】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即． （2）设直线的方程为， 由点到直线l和直线的距离相等， 所以，解得， 所以直线的方程为． 18．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知的顶点所在直线方程为，角平分线所在直线的方程为，求 (1)点的坐标； (2)求直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程即可求解交点坐标， （2）根据点关于线的对称，求解关于直线的对称点为，即可由两点求解直线方程. 【详解】（1）联立两直线方程，所以 （2）设点关于直线的对称点为， 则，解得， 由于是角的角平分线，故在直线上， 故直线方程为，即 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 【答案】 【分析】先求点B,再使得点A到直线的距离最大，则直线与过点AB的直线垂直得出斜率即可求出直线. 【详解】设点，则解得 所以点关于直线l：对称的点的坐标为． 若直线l₁过点B，且使得点A到直线的距离最大， 当为到的距离时为距离最大，其他情况距离为以为斜边的直角边， 则直线与过点AB的直线垂直，所以， 则直线的方程为，即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$