专题10 二次函数与一元二次方程（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题10 二次函数与一元二次方程 目录 【题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标】 1 【题型二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 2 【题型三 图像法确定一元二次方程的近似根】 2 【题型四 图像法解一元二次不等式】 3 【题型五 利用不等式求自变量或函数值的范围】 4 【题型六 根据交点确定不等式的解集】 5 【题型七 抛物线与x轴的交点问题】 6 【题型八 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 7 【题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标】 例题：（22-23九年级上·广东湛江·期末）抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）抛物线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ． 【题型二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 例题：（23-24九年级上·河南安阳·期中）抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京西城·期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 【题型三 图像法确定一元二次方程的近似根】 例题：（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（   ） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西九江·期中）在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值． … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 【题型四 图像法解一元二次不等式】 例题：（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【题型五 利用不等式求自变量或函数值的范围】 例题：（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．    【题型六 根据交点确定不等式的解集】 例题：（2024·河南信阳·模拟预测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·三模）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（    ） A． B．或 C． D． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【题型七 抛物线与x轴的交点问题】 例题：（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是 ． 【题型八 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 例题：（24-25九年级上·全国·课前预习）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如表所示 x y 则方程的根的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【变式训练】 1．（2024·河南商丘·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1），要先作函数 的图象，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是，，所以方程的实数根约为 ， ． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定为（　　） A．0 B．6 C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 3．（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在、之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23九年级上·四川绵阳·开学考试）已知关于x的函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． ， B． ， C． ， D． 二、填空题 6．（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知二次函数与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 7．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）二次函数（为常数）与轴的只有一个交点，则 ． 8．（22-23九年级上·广西防城港·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 9．（22-23九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数，图象上部分点的坐标的对应值如下表所示，则方程的根是 ． x … 0 6 … y … 0.52 0.52 … 10．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）抛物线（）的图像如图所示，抛物线经过点，则下列结论：①；②；③；④（为一切实数）；⑤．正确的是 （填写序号）．    三、解答题 11．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象与轴相交于点，并经过点，它的对称轴是直线，如图为函数图象的一部分． (1)求二次函数的解析式，写出函数图象的顶点坐标； (2)在原题图上，画出函数图象的其余部分； (3)利用图象写出方程的解； (4)利用图象写出不等式的解集． 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线经过点，．    (1)求抛物线的表达式及与x轴的交点坐标． (2)利用函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 14．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 15．（22-23九年级上·山东临沂·期末）抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标． (2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？ (3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数与一元二次方程 目录 【题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标】 1 【题型二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 2 【题型三 图像法确定一元二次方程的近似根】 4 【题型四 图像法解一元二次不等式】 6 【题型五 利用不等式求自变量或函数值的范围】 7 【题型六 根据交点确定不等式的解集】 10 【题型七 抛物线与x轴的交点问题】 12 【题型八 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 15 【题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标】 例题：（22-23九年级上·广东湛江·期末）抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的交点问题，根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，解出两根即可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标， 解方程得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，令，即可求解． 【详解】解：当时， ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是， 故选：A． 2．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）抛物线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】主要考查了二次函数图象与（x轴）y轴的交点坐标特点：（x轴）y轴上的点的（纵坐标）横坐标为0．求此类问题可令函数的，求出（x值）y值即是与y轴的交点（横坐标）纵坐标．令，可求抛物线与x轴的交点坐标；令，可求抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，，解得或， 即与x轴的交点坐标为； 当时，， 即与y轴交点的坐标为． 故答案为：①，② 【题型二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 例题：（23-24九年级上·河南安阳·期中）抛物线与直线的两个交点的横坐标为（    ） A．0，4 B．1，5 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与抛物线的交点问题，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解答此题的关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标为， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京西城·期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程中各项的系数已知，再解方程即可． 【详解】解：由题意可知点，，在二次函数的图象上， 则， 解得：， 所以一元二次方程可化为：， 解得：，， 故选：C． 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 【答案】 3 0或6 【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵当的函数值为0， ∴， 解得， 当的函数值为9， ∴， 解得，， 故答案为：3；0或6． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键． 【题型三 图像法确定一元二次方程的近似根】 例题：（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，找到相近的函数值分别为正值、负值对应的自变量即可求解． 【详解】解：∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是 故选：C 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（   ） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解．根据表格可知，方程的根，而当时，更接近于0，据此分析可得近似解． 【详解】解：， 整理得：， 当时，，当时，， 则方程的根， 而当时，更接近于0， ∴原方程的一个近似解为1.4． 故选：B 2．（23-24九年级上·江西九江·期中）在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值． … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位小数）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程之间的关系，根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知， 当时，，当时，， 则关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四 图像法解一元二次不等式】 例题：（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查图象法解不等式，先根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点的坐标是， ∴与轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：一元二次不等式的解集是或； 故选A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故选：C 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 【题型五 利用不等式求自变量或函数值的范围】 例题：（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 首先根据二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后根据平移的性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标为和，再根据抛物线的开口方向即可求得当时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据图象中的数据得到当横坐标时的纵坐标范围即可． 【详解】解：由图象可知， 当时，函数值的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【题型六 根据交点确定不等式的解集】 例题：（2024·河南信阳·模拟预测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·三模）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】 解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故选：D． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或 故答案为：或 【题型七 抛物线与x轴的交点问题】 例题：（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，解题的关键是熟知函数的性质并会观察图象．由对称轴和点A得到图象与轴的另一个交点坐标，从而判断选项；由开口方向和与轴的交点得到和的正负，从而判断选项B；由对称轴为直线判断选项C；由图象与轴的交点个数判断选项D． 【详解】解：函数图象过点，对称轴是直线， 图象与轴的另一个交点为，即当时，， ，故选项A正确； 开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， ，， ，故选项B错误； 对称轴为直线， ， ，故选项C错误； 函数图象与轴有两个交点， ，即，故选项D错误． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．①由抛物线的开口方向，可得的符号；②抛物线与轴交点的位置、对称轴、的符号即可确定、的符号，即得的符号；③由抛物线与轴有两个交点判断即可；④由对称轴，，可得． 【详解】解：①由开口向下，可得，故①正确； ②又由抛物线与轴交于正半轴，可得，然后由对称轴在轴左侧，得到与同号，则可得，，故②错误； ③由抛物线与轴有两个交点，可得，故③正确； ④抛物线对称轴，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 2．（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解决该题目时，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的符号是解题的关键．①利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴位置得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；②利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；③把A点坐标代入解析式可对③进行判断；④设A、B两点的横坐标为、，则，，利用根与系数的关系可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴， 所以①错误； ②∵抛物线与x轴有2个交点， ∴ ∴ 所以②错误； ③∵， ∴， 把代入得， ∴， 所以③正确； ④设，， 则， ∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴和是方程的两根， ∴， ∴， 所以④正确． 故答案为：③④． 【题型八 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 例题：（24-25九年级上·全国·课前预习）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如表所示 x y 则方程的根的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题考查图象法求一元二次方程的近似根，解题关键在于根据题意画出函数图象． 利用表格中数据得出二次函数图象的大体位置，再结合一元二次方程的性质得出即可． 【详解】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示： 即图象与x轴交点个数为2个，即方程的根的个数是2． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·河南商丘·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， ， ，①正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两个根是，；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y的值随x增大而增大； ∴当时，y的值随x增大而增大； 故③正确， 综上可知，正确的有①②③． 故选:A． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1），要先作函数 的图象，如图所示，它与轴的交点的横坐标大约是，，所以方程的实数根约为 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解．根据函数图象得到它与轴的交点的横坐标大约是，，即可求解． 【详解】解：利用函数图象求方程的实数根（精确到0.1），要先作函数的图象， ∵它与轴的交点的横坐标大约是，， ∴方程的实数根为，． 故答案为：；； 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定为（　　） A．0 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点． 抛物线的顶点在x轴上，则表示抛物线与x轴只有一个交点．只有一个解． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴只有一个解． ． ． 即． 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于抛物线， 当时，即， ∵ ∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点， 故选：C． 3．（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在、之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴可判断①；根据两个点离对对称轴的远近可判断②；根据抛物线的顶点坐标和开口方向可判断③；根据直线与抛物线的交点个数可判断④，进而可得答案． 【详解】解：由图象知抛物线的开口向下，则， ∵抛物线的顶点坐标， ∴抛物线的对称轴为直线，则， ∴，故①正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，且， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标， ∴当时，二次函数有最大值， ∴对于任意实数m，，即， 故③正确； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标， ∴直线与抛物线有且只有一个交点， 则直线与抛物线有两个交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④正确， 综上，结论正确的有3个， 故选：C． 4．（22-23九年级上·四川绵阳·开学考试）已知关于x的函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，，函数关系式为：， 当时，， ∴函数与x轴的交点为：，满足题意， 当时，函数为二次函数，则：， 解得：且， 综上：时，函数图象与x轴有交点． 故选：B． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． ， B． ， C． ， D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求二次函数图像与轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图像的对称性和二次函数与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键． 依据题意，根据函数的图像可得，二次函数的对称轴是直线，又图像与轴的一个交点坐标为，结合对称性可得图像与x轴的另一个交点坐标为，即，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，根据函数的图像可得，二次函数的对称轴是直线， 又图像与轴的一个交点坐标为， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即． ∴关于的一元二次方程的解为，． 故选：B． 二、填空题 6．（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知二次函数与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，利用根的判别式得出不等式是解答的关键．先根据二次函数图象与x轴有交点得到相应方程有实数根，进而利用根的判别式得到关于m的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， ∴方程有实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 7．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）二次函数（为常数）与轴的只有一个交点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则， 依题意，， 解得：． 故答案为：． 8．（22-23九年级上·广西防城港·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键． 根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据、关于对称轴对称，可得点坐标． 【详解】解：令，得到， ， ，得函数图象的对称轴是直线， 设点坐标为，由、关于对称轴， 得， 解得， 即点坐标为， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数，图象上部分点的坐标的对应值如下表所示，则方程的根是 ． x … 0 6 … y … 0.52 0.52 … 【答案】或 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，依据题意，对函数，结合表格可得，从而二次函数为，又方程的根可以看作是的根，即二次函数的函数值为时对应的自变量x的值即为所求． 【详解】解：由题意得，． ∴二次函数为． 又当时，函数值相同． ∴对称轴是直线． 又的根可以看作是的根，即二次函数的函数值为． 由时，， ∴方程的一个根是． ∴另一个根为． 综上，方程方程的根是或． 故答案为：或． 10．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）抛物线（）的图像如图所示，抛物线经过点，则下列结论：①；②；③；④（为一切实数）；⑤．正确的是 （填写序号）．    【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像与系数的关系是解题关键．由抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点位置，确定的正负，即可判断结论①；抛物线的对称轴为，即可判断结论②；由抛物线与轴的一个交点以及对称轴，得到另一个交点，把代入即可判断结论③；根据抛物线的最大值判断结论④；由抛物线与轴有两个交点得到，即可判断结论⑤． 【详解】解：∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线对称轴为， ∴， ∴异号， ∴， 又∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴，故结论②错误； ∵抛物线经过点，且对称轴为， ∴抛物线经过点， ∴， 将代入，可得，故结论③错误； ∵该抛物线在时取最大值， ∴， ∴，故结论④错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故结论⑤正确． 故答案为：①⑤． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答． （2）运用数形结合思想，即可作答． （3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：依题意，结合图象，当或时，． （3）解：∵二次函数解析式为． ∴， ∴当时，y有最小值； 当时，； 当时，y的取值范围为． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象与轴相交于点，并经过点，它的对称轴是直线，如图为函数图象的一部分． (1)求二次函数的解析式，写出函数图象的顶点坐标； (2)在原题图上，画出函数图象的其余部分； (3)利用图象写出方程的解； (4)利用图象写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程的关系： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据题意，补全图形，即可； （3）直接观察图象，即可求解； （4）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点，并经过点，它的对称轴是直线， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：画出函数图象的其余部分，如图： （3）解：观察图象得：二次函数图象与x轴交点为， ∴方程的解为； （4）解：观察图象得：当或时，函数图象位于x轴的上方， ∴不等式的解集为或． 13．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线经过点，．    (1)求抛物线的表达式及与x轴的交点坐标． (2)利用函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标，求二次函数函数值的取值范围： （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为0时自变量的值即可得到答案； （2）先将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质求出其最值以最值所对应的自变量的值，再结合图象即可作答． 【详解】（1）解：把，代入中，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 在中，当时，解得或 ∴抛物线与x轴的交点坐标为 （2）解：∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 图象如下，    ∴结合图象可知：当时，y的取值范围：． 14．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合： （1）根据二次函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可得到答案； （3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，解得或， ∴， 把代入中得：，解得； （2）解：由（1）可得， 联立，解得或， ∴； （3）解：由函数图象可知，当或时，． 15．（22-23九年级上·山东临沂·期末）抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标． (2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？ (3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大． 【答案】(1)，x轴的交点坐标为， (2)当或时，抛物线在x轴下方 (3)当时，y随着x的增大而增大 【分析】考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键． （1）把已知点的坐标代入中可求出m，从而得到抛物线解析式为，通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标； （2）利用抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围； （3）先求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：将 代入，可得， ， 令，即，解得， x轴的交点坐标为，； （2）根据的图像，如下图： 如图可知， 当或时，抛物线在x轴下方； （3）， 抛物线开口朝下， 抛物线对称轴为， 根据二次函数的性质可知， 当时，y随着x的增大而增大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$