11 利用导数求切线方程&利用导数求单调性-遇见最美的数学系列——基础题型思维导图

【利用导数求切线方程】 导数几 函数《x)在点为处的导数了(x)的几何意义是 何意义 曲线y=x)在点(x,x))处的切线斜率# “在”曲线上一点处的切线,该点为切点 在型 (1)求斜率:求该点处的导数值:k=/(x。) (2)求切线:点斜式对应的直线方程:yf(x)/(x)(xx) “过”曲线上一点的切线,该点未必是切点 回我础 应先设切点,求切点坐标 (1)设点:设切点的坐标(x,)。) (2)求导:求导函数/(x。) 过型 [()-y-y (3)列试: x-X。求x。 。=/(x) (4)点斜式:yy=f(x)(x-x) 已知切点A(xo。ff(xo)求斜率k.即求该点处 己知 的导数值:k=f(xo) 切线 求参 已知斜率k,求切点A(x1,f(xì)),即解方程f(x1)-k 数 ①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上; ③切点在曲线上 【利用导数求单调性】 ①确定函数的定义域D ②求导函数/(x) 单调区间 ③解不等式/(x)>0或f(x)<0.解集为P ④求D与P的交集即为增区间或减区间 注意:多个单调区间只能用“和”或”,”连接 方法一:分离参变量(分离参数法) 求导f(x)→单调函数f(x)>0(或f(x)<0)离参; 恒成立 [大于等于新函数最大值 I小于等于新函数最小值 参数与新函数的最值关系 存在性 [大于新函数的是小值 小于新函数的最大值 单调 函数 注意:最值用单调性(参考单调性求法章节)或基本不等式求解 求参 数 函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 方法二:利用集合间的包含关系处理 y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子 方法三:二次函数型(无法分离参变量) 二次函数在区间D上大于(等干)零恒成立,讨论的标准 是二次函数的围像的对称轴与区间D的相对位置,一般分 对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论 思路:导函数f(x)-0在该区间D上有解(或有零点) 非单调 函数求 f(x)-0解xxED一解不等式 参数 函数恰好有三个不同的单调区间---导函数有两个零点 函数有两个不同的单调区间-导函数有一个零点