47 双曲线-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

:a-c<lPFl<a+c $-2< PFl- V$ 又P不在坐标轴上, .10M1>0 二.则1OM|的取值范围是(0,2). 双曲线 双曲线的定义: 【使用条件】判断动点轨迹. 【方法总结】利用双曲线的定义判断轨迹方程:动点到两定点的距离之差为定值,且小于两 定点之间的距离。 1母题探究】 已知动国M与圆C:(x+4)②+y}=2外切,与圆C:(x-4)}+y=2内切,求动圆圆心M的 轨方程. 【母题解析] 解: 设动圆园心M(x,y),半径为r 2 ·M与圆C:(+4)}+y=2外切,与圆C(x-4)}+y=2内切 '|MCl=r+v②.MC=r-2 .lMC|-MC=228 由双曲线的定义,可得a=y2.c=4:则b=c^2-a2=14 .点M的轨迹是以点C.C.为焦点的双曲线的一支 二、双曲线的第三定义: 【使用条件]判断动点轨迹 【方法总结】双曲线上的点与双曲线两顶点(事实上过原点的直线与双曲线的两交点都可 以)连线的斜率之积是定值,定值为(或e-1). 1母题探究] (2015·新课标II)已知A.B为双曲线F的左,右顶点,点M在E上,AABM为等腰三角形。 角为120,则E的离心率为() A.5 B.2 C.3 D.v2 【母题解析] 解:设A为左顶点,B为右顶点,M是E右支上的一点 “△ABM为等腰三角形,顶角为120{* '.乙ABM=120{*,MA的倾斜角是30{$MB的倾斜角是60{ '.由双曲线的第三定义得,k.kr=e^{②}-1=tan30{·tan60=1 '.离心率e-v② {2 三、双曲线的方程: 【使用条件】求双曲线的方程 【方法总结】 (1)焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程有两种情形,可设方程为mx②}土ny2}-1不必考虑 焦点位置,求出方程; (2)与双曲线-1共焦点的双曲线可设其方程为1. 【母题探究】 A.2-1 B.*-x*=1C.--y2=1 D.x2-y2-8 【母题解析】 将点(31)代入得,_-1. 解得k=-4或k=6(舍). 则双曲线的方程为-2-1. 四、双曲线的第二定义: [使用条件1与双曲线焦半径相关的计算. [方法总结] (1)第二定义:平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e=(e>1)的点的集 合,其中定点F为双曲线的一个焦点,定直线称为双曲线的准线(准线方程是x三土.焦点 2 在x轴上). (2)双曲线-=1的左焦点Fi(-c, 0),有焦点P(c,0),M(xo,yo)为双曲线右支上 一点,M(x’.y)为双曲线左支上-点,有焦半径{MFl=a+ex。(左),lMFl=-a ex。(右)lM'Fi=-a-ex'(左)lM'Fl=a-ex'(右); 【母题探究】 已知点P是双曲线E: 的面积为20,则下列说法正确的是() ①点P的横坐标为20. ②△FPe的周长为g ③△F.PF,的内切圆半径为1; ④△F.PF的内切圆圈心横坐标为4 B.②④ C.①②③ A.②③④ D.①② [母题解析】 设△F.PF的内心为1,连接IP,1F。,1F 双曲线E: 不妨设P(m,n),m>0,n> 由△FPF的面积为20,可得1FFl=cn=5n=20.即n=4 20 由P(2{}.4). 且F(-5.0),P(5.0). 由1PP1+1PE=2em-50. 则△FPFP的周长为0+10-0.故②正确:; 设F.PF的内切圆半径为r. 可得{},40,解得r={},故③不正确. 设内切圆与x轴的切点是点H.PF、PF,与内切国的切点分别为M、N ·由双曲线的定义可得PF-lPF|=2a=8 由圆的切线长定理知,PM|= PNI,故IMF-INF=8 即HF1-|HF|=8 设内切圆的圆心横坐标为x,则点H的横坐标为x 故(x+5)-(5-x)=8,'.x=4.所以④正确 故选:B. 五、焦点三角形: I使用条件1双曲线焦点三角形的面积 [方法总结】乙PMF。=6,则SAp,M= 【母题探究】 (2020+新课标I)设F,F.是双曲线C:x2-2-1的两个焦点,0为坐标原点,点P在C上且 [0P|=2,则△PF.F的面积为() 2 A.} C.} B.3 D. 2 【母题解析】 解:由题意可得a=1.b=3.c=2 '10Pl=2. .0P =1F '.△PFF,为直角三角形 .PF. 1PF. Ningsir 故选:B. 六、渐近线: 【使用条件】与双曲线渐近线有关的问题。 【方法总结】 (1)求双曲线的渐近线:焦点在x轴上的渐近线的方程为y三士x.焦点在y轴上的渐近线 的方程为y=士x: (2)具有相同渐进线的双曲线方程:与双曲线一=一1有公共渐近线的双曲线可设其方程 #为_(2(): (3)焦点到渐近线的距离d三b,垂足为("{});: (5)求离心率:设渐近线的斜率为k,则e*}三k+1 (6)顶点到渐近线的距离d--. {2 (8)过右焦点的直线与双曲线的位置关系:当k=-或k=一(非渐近线)时,直线与双曲 线只有一个交点在右支,当k>或k<--时,直线与右支有两个交点,当--<k<时。 直线与双曲线的左右两支分别有一个交点: 【母题探究】 (1)设直线y=2x-4与双曲线C:x2-=1的一条渐近线平行,则C的离心率为() A.3 B.5 C.3 D.5 (2)(2021·甲卷)点(3,0)到双曲线--1的一条渐近线的距离为() A. B. C. D.& 【母题解析】 解: (1)因为直线y=2x-4与双曲线C:x2--1的一条渐近线平行,则渐近线的斜率为 2. 所以e2=k241=5. 所以e=5. (2)法一:已知右焦点为(5,0). 则右焦点到渐近线的距离为3 又点(③,)在x轴上. 则点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离d=x3=2 法二:渐进线的方程为3x士4y=0. 点(3,0)在x轴上,到两条渐近线的距离相同 所以只求到直线3x+4v=0的距离即可 则点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离d-13×2+4xo+o0} 32+4 离心率 一、离心率: 【方法总结] (1)直接求出a和c,离心率e-: (2)利用圆和双曲线的定义.。三25(或直接利用第二定义); (3)构造a.c的齐次式,解出e: (4)利用正弦定理边角互化 (5)双曲线中有已知渐近线时的两种求法见双曲线部分内容 【母题探究] 90%.离心率为__. 乙PFF,三2a,则圆的离心率为 [母题解析]