44 立体几何中的最值问题-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

因为E,F分别为AB,BC的中点，正方形ABCD的边长为1， 所以EF=是△PEF在EF边上的高为 PE2-1EF2= 所以5.8x号×爱=晋 8 Vo-PEF=Vp-DEF =3PD.SaDEF= d==而， S△FEF 立体几何中的最值问题 一、“蚂蚁爬行”的最值问题： 【使用条件】在空间几何体不同面上运动的距离最值 【方法总结】降维打击，将三维立体图形展开成二维平面图形处理. 【对应真题】2018全国卷：2006江西；2005江西 【母题探究】 (20!8~新课标)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，圆柱表面上的点M在正视 图上的对应点为A,圆柱表商上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为() A.217 B.2W5 C.3 D.2 214 【母题解析】 解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图： M B 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路 径的长度：v4+16=25. 故选：B. 二、 体积最值一设变量： 【使用条件】最常见的求体积的最值问题。 【方法总结】设变量，转化为函数最值问题， 【对应真题】2022新高考；2022乙卷：2018全国卷；2010全国卷 【母题探究】 (2022,乙卷)已知球0的半径为1，四棱锥的顶点为0，底面的四个顶点均在球0的球面上，则 当该四棱锥的体积最大时，其高为() A月 B月 c. D. 【母题解析】 解：对于圆内接四边形，如离所示， 215 5E形AcD=AC·BD·sin8, 当AC,BD为圆的真径，且AC⊥BD时，即四边形ABCD为正方形四边形面积最大， “.当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设四棱锥的高为九，底面所在圆的半径为r, 则r=VT-h, ∴该四棱锥的体积V=×2×(1-h)×h=(1-h), 求导得V=子22， 所以当=时体积最大， 三、动点轨迹问题： 【使用条件】涉及到动点的运动轨迹时， 【方法总结】动点的运动轨迹问题的处理思路： (1)通过已知条件找到与动点相关的定值，比如动点到某定点的距离为定值： (2)建立坐标系，求出动点的轨迹方程， 【对应真题】2020新高考 216 【母题探究】 (2020山东)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.以D,为球心，V5 为半径的球面与侧面8CC:B1的交线长为 【母题解析】 解 法一；因为球面与侧面BCC,B1的交线不确定， 所以设P为交线上的一点， A 如图，取C1B1的中点为M,连接MD1,MP,因为∠B1C:D1=60°， 剥MD1=V3,MD1⊥MP, 剿MP=V5-3=VZ, 所以P在以M为圆心，半径为V2的圈上运动，如下图所示， 易求得弧所对的圆心角90°， 所以交线长为×2红×2=号x 法二：由题意直四棱柱ABCD-A,B1C,D的楼长均为2，∠BAD=60°.可知：D,B,=2,上下 217 底面是菱形，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(x,y,0),D,(1,2,V3), D 60 则PD12=(x-1)2+y-2)2+3=5, 即P点在以(1,2)为圆心，半径为v2的圆上运动 剩下的部分与法一相同. 四、动点最值问题： 【使用条件】涉及到动点的距离最值问题。 【方法总结】动点的最值问题的处理思路： (1)将空间问题转化为平面问题求最值； (2）建立空间直角坐标系，通过坐标运算。 【母题探究】 (2015福建)如图，AB是圆0的直径，点C是圆0上异于A,B的点，P0垂直于圆0所在的平 面，且P0=0B=1,若BC=v2,点E在线段PB上，求CE+OE的最小值. 218 【母题解析】 解 法-：在△P0B中，P0=0B=1,∠P0B=90°， 所以PB=V2, 同理PC=瓦，所以PB=PC=BC, 在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面，如图所示， 当0，E,C共线时，CE+OE取得最小值 又因为0P=0B,C'P=C'B, 所以0C垂直平分PB,即E为PB中点. 从而0C'=0B+EC'=三+5=23 2 2 亦即CE+0B的最小值为：2+6 2 法二：因为0C=0B=1,BC=2, 所以LB0C= 以0为原点，0B为x轴，0C为y轴，0P为z轴建立空间直角坐标系， 则B1,0,0,P(0,0,.c(0,1,0 因为E在线段PB上，则E(x,0,1-x), 则CB+0E=Vx2+(1-x)2+√x2+(1-x)2+1=V2x2-2x+1+2x2-2x+2, 当x=时，两个二次函数均取得最小值， 219 所以cE+0E=号+9-83 2 Ning sir 88 Mathemotician 220