12 函数零点问题-遇见最美的数学系列——题型篇（一）

函数零点问题 函数的零点问题是函数应用中相当重要的内容.零点的概念是在分析了众多图象 的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，画出函数图象能找到 所有可能存在的零点，所以在函数图像章节特意强调了必须掌握的常用函数图 像，但也并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以还会经常使用导数根据 函数的单调性和极值进行判断， 一、判断函数零点所在区间—零点存在性定理： 【使用条件】判断函数零点存在于某区间的选择题。 【方法总结】如果函数y=f(x)在区间[a,b]的图象是连续不断一条曲线，并且有f(@): f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 【母题探究】 函数fx)=e-x零点所在的区间为0 A.(-1,-12) B.(-12,0) C.(12,1) D.(1,2) 【母题解析】 解：函数f(x)在定义域上是连续的， f)=->0,f2)=3-<0, 所以函数f()=e-:x零点所在的区间为(1,2)， 故选：D 二、零点个数一解方程法： 【使用条件】求函数零点的个数 【方法总结】如果函数y=f(x)解析式相对简单，能够直接求出方程f(x)=0的根或判断出 根的个数，则可直接通过解方程判断零点个数。 【对应真题】2019新课标：2018新课标山 【母题探究】 方程9-3x*2+8=0的非零实数解有() A.2个 B.0个 C.3个 D.1个 1母题解析】 解：令3x=t,可得t2-9t+8=0,解得t=1或t=8, 所以x=0或x=310g32. 所以方程9*-3x+2+8=0的非要实数解为310g32. 故选：D. 三、零点个数一一零点存在性定理： 【使用条件】已知函数单调性判断零点个数， 【方法总结】利用定理不仪要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0, 还必须结合函数的图象与性质（单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点· 【母题探究】 函数f(x)=-x3+12x+6,xE[-号，3)的零点个数是 1母题解析】 解：由f(x)=-x3+12x+6,得f'(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2), 当xE-},2)时，f"6x)>0,fx单调递增。 当xe[2,3)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以当x=2时f(x)取得最大值f(2)=-22+12×2+6=22>0, 而f(-)=>0f3)=15>0, 函数f()=-x3+12x+6,x∈，3)的零点个数是0， 四、零点个数—图像法： 【使用条件】判断要点个数， 【方法总结】将函数变形为F(x)=fx)一g(x),画函数f(x)与g(x)的图象，看其有几个不司 的交点，就有几个不同的要点， 【对应真题】2017江苏；2015天津；2015湖北：2015江苏 【母题探究】 -x2-2x+1,xs0 已知f(x)= 则函数g(x)=f(x)一e-*的琴点个数为() -2x+1,x>0 A.1 B.2 C.3 D.4 【母题解析】 解：函数g(ax)的季点个数即函数y=f(x)和y=e*图象交点的个数， 作出函数y=f(ax)和y=ex的草图， 62 v-fr 数形结合易得函数y=f(x)和y=ex图象共有2个交点， 所以函数g(x)有2个零点。 故选：B, 五、根据零点个数确定参数范围一解方程法： 【使用条件】根据零点个数确定参数范围 【方法总结】直接解方程∫(x)=0,根据该方程的解，得出符合零点个数要求的参数值满足的 不等式解得参数范围」 【对应真题】2020上海；2018上海；2017上海；2016天津；2016浙江 【母题探究】 若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根，则实数a的取值范围是() A.(0,1) B.(0,+o) C.(1,+∞) D.(-m,0) 【母题解析】 解：若关于x的方程ax2一2ax+1=0有两个不同的正根， a>0 则}x=-2=1>0,解得a>1, △=(-2a)2-4a>0 所以a的取值范围为(1，+∞)： 故迭：C. 六、根据零点个数确定参数范围—图像法： 【使用条件】已知零点个数求参数】 【方法总结】将函数变形为F(x)=f(x)一g(x),画函数f(x)与g(x)的图象，看其交点的横坐 标有几个不同的值，就有几个不同的琴点，据此得出参数值满足的不等式解得参数范围 【对应真题】2020天津；2019天津：2019新课标；2018新课标1；2018浙江；2017新课标 Ⅲ；2017上海；2016山东；2016天津；2015安徽 【母题探究】 已知函数f(x) 月，x21 若关于x的方程f(x)二k有两个不同实根，则k的取值范围 x3,x<1 是」 【母题解析] 解：作出f(x)的函数图象如图所示： :f(x)=k有两个不同解， ∴y=k与函数∫(x)有两个不同的交点， ∴0<k<1, 故答案为：(0,1). 64 七、根据季点个数确定参数范围零点存在性定理： 【使用条件】已知零点个数求参数 【方法总结】研究函数的单阔性和极值点等，利用函数零点的存在性定理得出参数满足的不等 式解得参数范围，经常在压轴题中考察 1对应真题】2019上海；2018天津 1母题探究】 已知函数f(x)=x3-6x2+9x十a在xER上有三个零点，则实数a的取值范围是 【母题解析】 解：函数f(x)=x2-6x2+9x+a在xeR上有三个零点， ∴函数f(x)=x3-6x2+9x+a的极大值与极小值异号. fx)=3x2-12x+9 ∴f'(x)=0时，x=1或x=3 则当x<1或x>3时，函数为单调增函数，当1<x<3时，函数为单调减函数， 当x=1时，函数取得极大值，当x=3时，函数取得极小值 :f1)×f3)=(4+a)×a<0 -4<a<0 ∴实数a的取值范围是：(-4,0) 故答案为：(-4,0). 构造函数 函数是整个高中数学的中轴线，它也是帮你解决问题的有力工具，本节我们要分 享的是通过构造函数来解决问题，构造函数在导数当中应用颇为广泛，之后会单 65