第06讲 全称量词命题与存在量词命题（6种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

第06讲 全称量词命题与存在量词命题（6种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点2：存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 知识点3：全称量词命题和存在量词命题的否定 一、全称量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 二、存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 题型1：全称量词命题、存在量词命题的理解 【例题1-1】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角，都有． 【例题1-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【例题1-3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列命题与“，”表述意义不一致的是（    ） A．有一个实数x令成立 B．有些实数x令成立 C．任何一个实数x都令成立 D．至少有一个实数x令成立 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 【变式1-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 . 【变式1-3】．（22-23高一上·广东江门·期中）请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题： . 题型2：全称量词命题、存在量词命题的真假 【例题2-1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．所有能被3整除的数都是奇数 C．， D．， 【例题2-2】（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【变式2-2】（22-23高一上·浙江宁波·期中）下列三个命题中，真命题的个数是 个 ①，②，③为方程的根 【变式2-3】（21-22高一·全国·课后作业）指出下列命题中的存在量词或全称量词，并判断真假. (1)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除； (2)对任意的实数，方程都有唯一实数解. 题型3：根据命题的真假求参数的取值范围 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知“”是真命题，“”是假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·山东东营·阶段练习）“”是真命题，则m的范围是 【变式3】（22-23高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 题型4：存在量词命题的否定 【例题4】（23-24高一上·上海·期末）存在，使得的否定形式是（    ） A．存在，使得 B．不存在，使得 C．对任意的 D．对任意的 【变式1】（23-24高一上·北京·阶段练习）命题“，”的否定形式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）“至少存在一个不满足性质p”的否定形式为 . 【变式3】（22-23高一上·河南三门峡·阶段练习）命题“存在实数x，使”的否定形式正确的是 ①∃x∈R，都有. ②不存在实数x，使. ③对任意实数x，都有. ④，都有. 题型5：全称量词命题的否定 【例题5】（22-23高一上·吉林·期末）命题“对任意，都有”的否定（    ） A．对任意，都有 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 【变式1】（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24高一上·北京东城·期中）命题：“，”的否定形式为 ． 【变式3】（22-23高一上·广东江门·期中）已知命题，写出命题的否定 题型6：命题否定的应用 【例题6】（2021高一·全国·专题练习）命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题的否定是真命题的为（    ） A．：每一个合数都是偶数 B．：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．：全等三角形的周长相等 D．：所有的无理数都是实数 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题p：，，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知命题：R，使为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 易错点1：不能正确理解全称量词与存在量词的概念致错 【例题1】（21-22高一上·广东广州·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．有一个偶数是素数 B．一元二次方程不总有实数根 C．每个四边形的内角和都是 D．有些三角形是直角三角形 【变式1】（23-24高一上·河北·阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆； (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数，使成立． 【变式3】（23-24高一·江苏·假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 易错点2：忽视否定的范围而致错 【例题1】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（22-23高一上·广东深圳·阶段练习）若命题“，使”为假命题，则下列命题一定为真的是（    ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 【变式2】（23-24高一上·湖南常德·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）命题，若是真命题，则实数的取值范围是 ． 一、单选题 1．（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）设命题，则命题的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·全国·课后作业）“关于x的不等式有解”等价于（    ） A．∃ ，使得成立 B．∃，使得 成立 C．∀，成立 D．∀，成立 4．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 5．（2022高一上·全国·专题练习）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C．任意一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是无理数 6．（22-23高一上·安徽滁州·阶段练习）已知命题；命题，则下列说法正确的是（    ） A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题 B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题 C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题 D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题 7．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 8．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知命题.若为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题的否定是假命题的是（    ） A．等圆的面积相等，周长相等 B．， C．任意两个等边三角形都是相似的 D．有些梯形的对角线相等 11．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对下列命题的否定说法正确的是（    ） A．p：能被2整除的数是偶数；¬p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；¬p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；¬p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N，2n≤100；¬p：∀n∈N，2n>100 三、填空题 12．（21-22高一下·河北沧州·开学考试）若命题“”是真命题，则的取值范围是 . 13．（23-24高一上·北京·期末）若，则为 ． 14．（22-23高一上·广东清远·期中）已知命题：“，”，命题：，，若的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等； (4)：有些实数的绝对值是正数． 17．（22-23高一上·江西宜春·阶段练习）已知，设，成立；成立.如果假真时，求的取值范围. 18．（23-24高一上·广东梅州·期中） 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 全称量词命题与存在量词命题（6种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点2：存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 知识点3：全称量词命题和存在量词命题的否定 一、全称量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 二、存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 题型1：全称量词命题、存在量词命题的理解 【例题1-1】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角，都有． 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念逐个分析判断. 【详解】（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于”，故为全称量词命题． （2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题． （3）含有全称量词“任意”，故是全称量词命题． 【例题1-2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【答案】(1)，既能被整除，又能被整除； (2)，不是平行四边形． 【分析】根据存在量词命题的表示形式即可得解. 【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”, 所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除； （2）原命题表述为：，不是平行四边形. 【例题1-3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列命题与“，”表述意义不一致的是（    ） A．有一个实数x令成立 B．有些实数x令成立 C．任何一个实数x都令成立 D．至少有一个实数x令成立 【答案】C 【分析】利用特称量词的概念判定选项即可. 【详解】“，”即存在实数，满足其平方大于3，显然并不是任意实数，存在即可. 故选:C 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 【答案】B 【分析】根据全称量词的定义即可求解. 【详解】“任意”是全称量词，平行四边形和矩形，是指任何一个平行四边形和矩形，故是全称量词，“存在”是存在量词， 故选：B 【变式1-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数，其中，全称量词命题的个数为 . 【答案】2 【分析】根据全称量词和存在量词即可求解. 【详解】①和④是全称量词命题，②和③是存在量词命题., 故答案为：2 【变式1-3】．（22-23高一上·广东江门·期中）请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题： . 【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方 【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方， 故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方 题型2：全称量词命题、存在量词命题的真假 【例题2-1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．所有能被3整除的数都是奇数 C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词和存在量词，即可结合选项求解. 【详解】对于A，取，则，A是存在量词命题，且为真命题， 对于B， “所有”是全称量词，故B是全称命题， 对于C，由于，所以选项C为假命题， 对于D，，是全称量词命题， 故选：A 【例题2-2】（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，为真命题，故A错误； 对于B，因为，所以，则，为真命题，故B错误； 对于C，当时，，为假命题，故C正确； 对于D，由，得，为真命题，故D错误. 故选：C. 【变式2-1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【分析】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 【变式2-2】（22-23高一上·浙江宁波·期中）下列三个命题中，真命题的个数是 个 ①，②，③为方程的根 【答案】2 【分析】对于①，配方后判断，对于②③举例判断即可. 【详解】对于①，因为，故①正确； 对于②，当时，，故②错误， 对于③，是方程的根，且，故③正确， 所以真命题的个数是2个， 故答案为：2 【变式2-3】（21-22高一·全国·课后作业）指出下列命题中的存在量词或全称量词，并判断真假. (1)至少有一个整数，它既能被整除，又能被整除； (2)对任意的实数，方程都有唯一实数解. 【答案】(1)“至少”是存在量词，真命题 (2)“任意”是全称量词，假命题 【分析】根据全称量词和存在量词定义可确定命题中的量词，通过具体例子可判断出命题的真假. 【详解】（1）“至少”为存在量词； ，等整数都能被和整除，原命题为真命题. （2）“任意”为全称量词； 当时，方程有无数解，原命题为假命题. 题型3：根据命题的真假求参数的取值范围 【例题3】（24-25高一上·全国·课后作业）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据命题的否定得到“，”为真命题，再对选项一一分析即可. 【详解】“，”为假命题，则其命题的否定“，”为真命题. 对A，，则，满足“，”； ，则满足“，”，故A正确； 对B，，则其不满足“，”，故B错误； 对C，，举例，此时，不满足“，”，C错误； 对D，，举例，此时，不满足“，”，D错误. 故选：A . 【变式1】．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知“”是真命题，“”是假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定命题的真假判断集合M的元素性质，即可得答案. 【详解】由“”是真命题，“”是假命题， 故集合M中必有负数，且元素都小于3，集合M可以是、. 故选：AB 【变式2】（22-23高一上·山东东营·阶段练习）“”是真命题，则m的范围是 【答案】 【分析】由题知，由x的取值范围得到1-x的取值范围，进而根据全称命题的意义即可得答案； 【详解】对于命题：对任意，不等式恒成立， 而，有， ∴，∴命题为真时，实数m的取值范围是. 故答案为: 【变式3】（22-23高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将题给条件转化为，分类讨论并列不等式组即可求得实数m的取值范围；（2）将题给条件转化为，列不等式组即可求得实数m的取值范围 【详解】（1）因为命题，是真命题，所以． 当时，满足，此时，解得； 当时，由，可得，解得． 综上，实数m的取值范围为． （2）因为，是真命题，所以， 所以，则即，所以， 要使，仍需满足，即． 综上，实数m的取值范围为． 题型4：存在量词命题的否定 【例题4】（23-24高一上·上海·期末）存在，使得的否定形式是（    ） A．存在，使得 B．不存在，使得 C．对任意的 D．对任意的 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【详解】“存在，使得”的否定形式是“对任意的”. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·北京·阶段练习）命题“，”的否定形式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得 命题“，”的否定形式是，. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）“至少存在一个不满足性质p”的否定形式为 . 【答案】所有的满足性质p 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题， 故“至少存在一个不满足性质p”的否定形式为：所有的满足性质p. 故答案为：所有的满足性质p 【变式3】（22-23高一上·河南三门峡·阶段练习）命题“存在实数x，使”的否定形式正确的是 ①∃x∈R，都有. ②不存在实数x，使. ③对任意实数x，都有. ④，都有. 【答案】③④ 【分析】根据特称命题的否定即可判断. 【详解】由特称命题的否定形式可知： 命题“存在实数x，使”的否定形式为“对任意实数x，都有”，③④正确. 故答案为：③④ 题型5：全称量词命题的否定 【例题5】（22-23高一上·吉林·期末）命题“对任意，都有”的否定（    ） A．对任意，都有 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定判断. 【详解】命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”. 故选：C. 【变式1】（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）已知命题，，则命题的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】借助全称命题的否定进行判断即可. 【详解】命题，的否定为，， 故选：B. 【变式2】（23-24高一上·北京东城·期中）命题：“，”的否定形式为 ． 【答案】， 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题的否定形式为，. 故答案为：，. 【变式3】（22-23高一上·广东江门·期中）已知命题，写出命题的否定 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，解答即可. 【详解】命题，则. 故答案为：. 题型6：命题否定的应用 【例题6】（2021高一·全国·专题练习）命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意知命题的否定是真命题，结合二次函数性质求解参数范围即可. 【详解】命题“存在，使” 是假命题， 命题的否定：“，有”是真命题． 由，解得， 由已知m的取值范围是，所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题的否定是真命题的为（    ） A．：每一个合数都是偶数 B．：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．：全等三角形的周长相等 D．：所有的无理数都是实数 【答案】A 【分析】由命题否定的定义及其真假性即可逐一判断. 【详解】对于A，存在一个合数9，它不是偶数，故A正确； 对于B，因为：两条平行线被第三条直线所截内错角相等是真命题，故它的否定是假命题，故B错误； 对于C，因为：全等三角形的周长相等是真命题，故它的否定是假命题，故C错误； 对于D，因为：所有的无理数都是实数是真命题，故它的否定是假命题，故D错误. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题p：，，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由恒成立即可求解. 【详解】由于p：，为真命题， 所以对任意的成立，故， 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知命题：R，使为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由条件可得关于的方程无解，然后分两种情况讨论即可； （2）首先由为非空集合可得，然后由条件是的充分不必要条件,分析集合大小，建立不等式求解. 【详解】（1）因为命题，R，使为假命题， 所以关于的方程无解， 当时，有解，故时不成立， 当时，解得或， 所以 （2）因为为非空集合， 所以即 因为若是的充分不必要条件， 所以, 所以或 即或 综上，实数的取值范围为或 易错点1：不能正确理解全称量词与存在量词的概念致错 【例题1】（21-22高一上·广东广州·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．有一个偶数是素数 B．一元二次方程不总有实数根 C．每个四边形的内角和都是 D．有些三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可得到答案. 【详解】根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知，A,B,D是存在量词命题，C是全称量词命题. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·河北·阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 【答案】A 【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案. 【详解】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假， A是真命题，符合题意； 对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意； 对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意， 故选：A. 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆； (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数，使成立． 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)存在量词命题 【分析】（1）（2）（3）根据全称量词命题和存在量词命题的定义分析判断. 【详解】（1）可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． （2）可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． （3）可以改写为“，使成立”，是存在量词命题． 【变式3】（23-24高一·江苏·假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题 易错点2：忽视否定的范围而致错 【例题1】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由全称命题的否定是特称命题可判断. 【详解】解不等式可得或， 命题“”的否定为“”. 故选：B. 【变式1】（22-23高一上·广东深圳·阶段练习）若命题“，使”为假命题，则下列命题一定为真的是（    ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 【答案】C 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，使”为假命题， 所以其否定为真命题， 即，都有为真命题， 故选：C 【变式2】（23-24高一上·湖南常德·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】命题“”的否定方法是特称变全称，否定结论， 即为为. 故选：A 【变式3】（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）命题，若是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由特称命题的否定得，转化为最值问题求解， 【详解】由题意得为，，得， 故答案为： 一、单选题 1．（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据命题是假命题可知，列不等式，解不等式即可. 【详解】命题“存在，使得等式成立”是假命题， 即命题“存在，使得等式成立”是假命题， 即， 所以，或，解得或， 即实数的取值范围是或， 故选：A. 2．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）设命题，则命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得. 【详解】命题为存在量词命题，其否定为. 故选：D. 3．（21-22高一上·全国·课后作业）“关于x的不等式有解”等价于（    ） A．∃ ，使得成立 B．∃，使得 成立 C．∀，成立 D．∀，成立 【答案】A 【分析】根据存在性量词的命题即可求解. 【详解】“关于x的不等式有解”等价于“∃，使得成立”， 故选:A． 4．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断. 【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 故选:B. 5．（2022高一上·全国·专题练习）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C．任意一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是无理数 【答案】A 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数， 故选：A 6．（22-23高一上·安徽滁州·阶段练习）已知命题；命题，则下列说法正确的是（    ） A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题 B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题 C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题 D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题 【答案】C 【分析】含有存在量词的命题是存在量词命题，其真假性为“有真即真，全假为假”；含有全称量词的命题是全称量词命题，其真假性为“有假即假，全真为真”；据此解答即可. 【详解】对于命题，是存在量词命题，取，则，故为真命题； 对于命题，是全称量词命题，当时，，故为假命题； 所以为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题. 故选：C． 7．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【答案】D 【分析】由定义选择全称量词命题，再判断真假. 【详解】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题， 菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误， 对任意，，都有， 即，D选项正确. 故选：D 8．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知命题.若为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意为真命题，再根据一次函数恒成立性质求解即可. 【详解】由题意为真命题，故，恒成立，故，即. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【答案】ACD 【分析】根据全称量词及存在性量词的概念求解. 【详解】根据全称量词命题的概念，选项ACD都是全称量词命题，选项B是存在量词命题. 故选：ACD 10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题的否定是假命题的是（    ） A．等圆的面积相等，周长相等 B．， C．任意两个等边三角形都是相似的 D．有些梯形的对角线相等 【答案】ACD 【分析】由命题及其否定之间的真假性关系即可逐一判断求解. 【详解】对于A，因为命题“等圆的面积相等，周长相等”是真命题，故其否定是假命题，故A符合题意； 对于B，因为，，故命题“，”的否定：“，”是真命题，故B不符合题意； 对于C，因为命题“任意两个等边三角形都是相似的”是真命题，故其否定是假命题，故C符合题意； 对于D，“有些梯形（比如等腰梯形）的对角线相等”是真命题，故其否定是假命题，故D符合题意. 故选：ACD. 11．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对下列命题的否定说法正确的是（    ） A．p：能被2整除的数是偶数；¬p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；¬p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；¬p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N，2n≤100；¬p：∀n∈N，2n>100 【答案】ABD 【分析】根据含有一个量词的否定逐选项判断即可. 【详解】根据含有一个量词的否定，可判断ABD正确， 对于C，“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. 故选：ABD. 三、填空题 12．（21-22高一下·河北沧州·开学考试）若命题“”是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式恒成立求解即可. 【详解】对于任意恒成立，即大于3的数恒大于. 故答案为：. 13．（23-24高一上·北京·期末）若，则为 ． 【答案】 【分析】全称命题的否定，将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】若，则为“”． 故答案为：． 14．（22-23高一上·广东清远·期中）已知命题：“，”，命题：，，若的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用全称量词命题为真命题求出a的范围，再利用存在量词命题为真命题求出a的范围，即可求解作答． 【详解】由，，得，由的否定是假命题，得是真命题，于是得； ，，即方程有实根，则，解得， 又是真命题，则； 因此，由是真命题，也是真命题，可得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 【答案】(1)全称量词命题，理由见解析 (2)存在量词命题，理由见解析 (3)全称量词命题，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （2）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （3）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断． 【详解】（1）因为“一切”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． （2）因为“至少存在一对”是存在量词，所以该命题为存在量词命题． （3）因为“所有”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等； (4)：有些实数的绝对值是正数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】先求出命题的否定，再判断真假即可. 【详解】（1）因为，所以． 显然当时，，所以命题为假命题，的否定为真命题． （2）因为：不论取何实数，关于的方程必有实数根，所以：存在实数，关于的方程没有实数根． 当时，方程有实根；当时，方程的判别式，故命题为真命题，命题的否定为假命题． （3）因为：有的平行四边形的对角线相等，所以：所有平行四边形的对角线都不相等．命题是真命题，命题的否定是假命题． （4）因为：有些实数的绝对值是正数，所以：所有实数的绝对值都不是正数．命题为真命题，命题的否定是假命题． 17．（22-23高一上·江西宜春·阶段练习）已知，设，成立；成立.如果假真时，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据命题 为真时，得到的范围，进而根据假真，即可求解范围. 【详解】当命题为真时，即，成立， 即恒成立，， 又， 可得， 当命题为真时，即：成立， 由于函数在上单调递增，故 即， 当假真时， 所以. 18．（23-24高一上·广东梅州·期中） 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由全称量词命题的否定的定义即可写出. （2）将问题等价转换为和均有实数根，从而均有，由此即可求解. 【详解】（1）因为命题: 所以：. （2）命题为假命题，    ：为真命题， 即有实数根， ，               又命题q为真命题， 有实数根， ，                             m的取值范围是. 19．（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； （2）由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示，    故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$