精品解析：贵州省部分校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷

贵州省高三年级入学考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求得，再根据集合的交集运算定义求解即可． 【详解】由题可知，， 所以， 故选：A． 2. 若向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量夹角公式，数量积及模的坐标计算公式求解即可． 【详解】由题可知，， 故选：C． 3. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理得到展开式通项，再求解即可. 【详解】由二项式定理得的展开式的通项为， 化简得， 令，解得， 所以项的系数为，故B正确. 故选：B 5. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，结合导数求解即可. 【详解】因为有三个零点， 所以有三个根，所以和有三个交点， 而，令，， 令，， 所以在上分别单调递增，在上单调递减， 所以极小值为，极大值为， 当时，，时，， 所以，故B正确. 故选：B 6. 如图所示，为测量一座古塔的高度，工作人员从塔底同一水平面的处测得塔顶C的仰角为，然后从处出发朝古塔方向走了60米到达处，在处测得塔顶C的仰角为，把塔顶正下方的一点记为点，则该古塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式结合锐角三角函数定义求解即可. 【详解】由题意得，，，， 所以，且设， 而， 由锐角三角函数的定义得， 解得，故C正确. 故选：C 7. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解． 【详解】设，由题可知，， 则，所以，即，解得， 所以，则， 所以， 故选：B． 8. 已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】令可判断①；令，求出可得的图象关于对称，再由图象平移规律可判断②；根据可判断③；令求出，再令可判断④. 【详解】对于①，令，则，所以，故错误； 对于②，令，则， 所以的图象关于对称，所以的图象关于点对称，故正确； 对于③，因为，若，则，故正确； 对于④，令，则，可得， 令，则，故错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若z为纯虚数，则 B. 若z在复平面内对应的点位于第一象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数，若z为纯虚数，得，即可判断A；若z在复平面内对应的点位于第一象限，则，得到，即可判断B；若，则，则，即可判断C；若，则，解得，即可判断D. 【详解】由， 若z为纯虚数，即且，则，故A错误； 若z在复平面内对应的点位于第一象限，则，得，即，故B正确； 若，则，则，故C正确； 若，则，解得，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合给定条件判断A，利用函数平移的性质结合正弦函数的性质判断B，利用对称中心的求法求解对称中心判断C，举反例判断D即可. 【详解】因为， 所以， 所以，而将的图象平移后能与 函数的图象完全重合，所以，解得，故A错误， 此时，向右平移个单位长度后， 设得到的新函数为，， 由正弦函数性质得是奇函数，故B正确， 令，解得， 当时，，所以的图象关于点对称，故C正确， 由题意得，，， 所以在上不单调，故D错误. 故选：BC 11. 已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ） A. 点F的坐标为 B. 的最小值为 C. 存在两个P点，使得 D. 若为正三角形，则圆M与直线PQ相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，准线与圆相切，可知，即可确定焦点为F坐标，即可判断选项；对B，转化为，根据将军饮马理论可判断选项； 对C，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对D，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断. 【详解】对A，准线与圆相切， 可知，可得，所以，故A正确； 对B，根据可得， 可确定最小值为，故B错误； 对C，若，则，做中垂线， 根据题意知，设为中点，则可得， 直线斜率为，根据点斜式可确定为， 与抛物线联立得， ， 所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确； 对D，根据为正三角形，所以，则， 且，所以可得，和圆与轴交点为， ，所以可知圆M与直线PQ相交，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：合理利用抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】分段函数求值，由内到外，分别代入对应解析式即可得解. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知一组样本数据1，2，m，6的极差为6，若，则______，这组数据的方差为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由极差为6，可得,求出平均数，再由方差计算公式，即可求出方差. 【详解】因为一组样本数据1，2，m，6的极差为6，且， 所以,解得，则， 所以方差为. 故答案为：，. 14. 在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，利用余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆的半径为，结合立体图形，设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，在中和直角梯形中，由等量关系建立方程组，解出，即可得到三棱锥外接球的表面积. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 所以，设的外接圆的半径为， 则由正弦定理得，解得 结合图形分析： 因为D为AC的中点，平面ABC，且， 在中，，， 又，则圆心到点的距离为， 另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为， 则中，，即， 直角梯形中，，即， 解得，，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 【答案】（1） （2）的增区间为，，减区间为；的极小值为 【解析】 【分析】（1）由切点为，求出切线斜率，写出切线的点斜式方程，得到切线方程的横纵截距，即可求得切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）由导数的正负，解出的定义域内的范围，即可求出的单调区间，由的单调情况，可以得到的极小值． 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令得，令得， 故所求三角形的面积为． 【小问2详解】 因为，， 令得或， 令得或，令得， 又函数的定义域为， 所以的增区间为，，减区间为， 所以的极小值为． 16. 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束． （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）求的分布列及期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望为【解析】 【分析】（1）根据甲先得分的情况进行分类讨论，由此求得甲获胜的概率. （2）根据的取值进行分类讨论，由相互独立事件概率计算公式计算出分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 情况1：在接下来的比赛中，甲连赢局，则甲获胜， 概率为； 情况2：在接下来的比赛中，甲赢局，乙赢局， 概率为. 所以甲获得这次比赛胜利的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， 时，在接下来的比赛中，乙连赢局， 所以，则， 所以的分布列为： 数学期望. 17. 在三棱锥中，，，，为线段的中点． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 作面，， 如图，以中点为原点建立如下空间直角坐标系， 所以，因为， 所以，是等边三角形，设， 因为为线段的中点，所以，， 故，所以，， 得到， 因为，所以， 而，， 所以， 解得，所以，， 所以，设，因为是等边三角形， 所以，故，而，， 所以，解得，所以， 因为，所以， ，故， 由两点间距离公式得，解得， 所以，故， 而，可得，故得证. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用两平面夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上问得， ，设面的法向量为， 所以，故得到， 令，解得，，所以， 而，， 设面的法向量为， 所以，故得到， 令，解得，，所以， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点． （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AE与AF的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2） 设，，因为直线过定点，显然直线l不垂直于轴，则设直线， 联立方程组，消去x得， 由，得， 则，， 因为A为双曲线C的左顶点，所以， 直线AE的斜率，直线AF的斜率， 所以 ， 即直线AE与AF的斜率之积为定值． 【解析】 【分析】（1）由实轴长为6，得，由离心率为，得，再由得，即可得到双曲线C的方程； （2）设，，直线，直线与双曲线联立方程得，根据韦达定理得，，根据斜率公式得，最后代入化简计算即可得证. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为6，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，解得， 由，得，则C的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于设出直线l的方程，然后直曲联立，利用韦达定理，代入的表达式，化简即可得到定值. 19. 若n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”． （1）设数列是项数为7的“对称数列”，，若成等差数列，且，试写出所有可能的数列． （2）已知递增数列的前n项和为，且． ①求的通项公式； ②组合数具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记，求． 【答案】（1）答案见解 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质及已知条件求解即可； （2）由及为递增数列，利用求解即可；通过构造，根据导数计算出，再根据错位相减计算即可． 【小问1详解】 因为成等差数列，所以， 又，所以，则， ①当时，， 则所以可能数列为：；；；； ①当时， 由，解得，， 当时，由，且，，所以不合题意舍去； 所以可能数列为：；；；；；；；；；；；． 综上，所有可能的数列为：；；；；；；；；；；；；；；；． 【小问2详解】 ①当时，，则； 当，， 所以， 因为为递增数列，且，所以时，， 所以，即， 所以为首项为，公差为的等差数列， ； ② ， 设， 两边求导得，， 令，则， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以． 【点睛】关键点睛：通过构造计算；通过错位相减法求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省高三年级入学考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 4. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，为测量一座古塔的高度，工作人员从塔底同一水平面的处测得塔顶C的仰角为，然后从处出发朝古塔方向走了60米到达处，在处测得塔顶C的仰角为，把塔顶正下方的一点记为点，则该古塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若z为纯虚数，则 B. 若z在复平面内对应的点位于第一象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 11. 已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ） A. 点F的坐标为 B. 的最小值为 C. 存在两个P点，使得 D. 若为正三角形，则圆M与直线PQ相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 已知一组样本数据1，2，m，6的极差为6，若，则______，这组数据的方差为______． 14. 在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 16. 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束． （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）求的分布列及期望． 17. 在三棱锥中，，，，为线段的中点． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点． （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AE与AF的斜率之积为定值． 19. 若n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”． （1）设数列是项数为7的“对称数列”，，若成等差数列，且，试写出所有可能的数列． （2）已知递增数列的前n项和为，且． ①求的通项公式； ②组合数具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $