第1章 直线与方程（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与方程（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测） 知识点一、直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．k＝(x1≠x2)． (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． 注意点： (1)当直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式． (2)当直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关． 知识点二、直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (3)直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)． 注意点： (1)用倾斜角可表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度． (2)由直线上一点及它的倾斜角，可确定该直线的位置． 知识点三、倾斜角和斜率的应用 1．设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝tan α. 注意点： 正切函数在[0，π)上不单调． 知识点四、直线的点斜式方程 我们把方程y－y1＝k(x－x1)称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点五、直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距． 2．方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 知识点六、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝叫作直线的两点式方程． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 知识点七、直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点八：直线的一般式方程 方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 知识点九：两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条不重合直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 判断两条不重合的直线是否平行的方法 知识点十、求与已知直线平行的直线方程 与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程． 知识点十一、直线平行的应用 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． 知识点十二、两条直线垂直关系的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 知识点十三、求与已知直线垂直的直线方程 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程． 知识点十四、两直线垂直的综合问题 解决与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点十五、判断直线的交点及由交点求参数 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 注意点： (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 知识点十六、过两直线交点的直线系方程 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 知识点十七、两条直线的交点坐标 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足其他直线． 知识点十八、两点之间的距离公式 1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1|. 【解题策略】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 知识点十九、坐标法的应用 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 【解题策略】 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 知识点二十、点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 【解题策略】 1、两点到直线的距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 2、求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 3、解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 知识点二十一、两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 【解题策略】 1、求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 2、对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可． 3、应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 1、 方程思想 【例题1】（22-23高二下·上海徐汇·期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直设出直线方程为，代入已知点坐标求得参数即得． 【详解】由题意设直线方程为， 代入点坐标得，解得， ∴直线方程为． 故选：D． 【变式2】（高二上·辽宁大连·阶段练习）过点作一直线，使它与两已知直线和分别交于两点，若线段被点平分，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】首先设，，根据题意得到，解方程得到，再利用斜截式即可得到答案. 【详解】设，， 因为线段被点平分，所以， 所以，，. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线l经过点． (1)若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程； (2)若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）设A，B的坐标分别设为，根据题意结合中点坐标公式求点A的坐标，再利用直线的两点式方程运算求解. 【详解】（1）①直线l的斜率不存在时，直线方程为，符合条件； ②直线l的斜率存在时，设直线方程为，即， 由原点到直线l的距离为2得，解， 故直线l的方程为，即； 综上，所求直线l的方程为或． （2）设直线l夹在直线之间的线段为AB（A在上，B在上）， 设A，B的坐标分别设为， 因为AB被点P平分，则，即， 又因为A在上，B在上，即，所以， 解得，，即A的坐标是， 又因为直线过点， 所以直线l的方程是，即 2、 函数思想 【例题2】（23-24高二上·辽宁葫芦岛）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值. 【详解】过定点，也过定点，如图所示， 在的方程中，令，则， 在的方程中，令，则， 则点，， ． 由二次函数性质可得，当时，S取得最小值． 故选：C. 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）已知，直线和与坐标轴围成一个四边形，则当 时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为 . 【答案】 /0.5 /3.75 【分析】由已知条件可得直线和都过定点，与y轴交于点，与轴交于点，从而可表示出四边形的面积，配方后可得答案 【详解】直线，则过定点． 直线，由和得也过定点． 因为与y轴交于点，与轴交于点， 所以， 所以当时，S取最小值. 故答案为：，    【变式2】（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知，，点在直线上移动，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据点点在直线上，所以可设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数求最值即可. 【详解】解：因为点在直线上，所以可设点的坐标为，其中， 所以， 故当时，取得最小值9. 故答案为：9. 【变式3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知，，动点在直线上． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助线段和的几何意义求解即可； （2）设点坐标为，写出的表达式，将代入消元，转化为二次函数的最值问题，即可求解. 【详解】（1）设关于直线：对称点坐标为， 则，得，即， ， 所以的最小值为． （2）设点坐标为， 则 因为点在直线上， 所以， 所以， ， 所以的最小值为． 3、 数形结合思想 【例题3】（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，再确定出使的位置.然后求出值即可 【详解】由直线，和围成,如图所示， 点在内（含边界）运动，   在轴上运动，作点关于轴的对称点，则， 的最小值为到直线的距离，即. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可. 【详解】 如图，设关于直线对称的点为， 则得即， 易知， 当三点共线时， 取得最小值， 最小值为. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用所求表达式的几何意义，转化求解对称点的坐标，利用距离公式求解最小值即可．. 【详解】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大， 所以的最大值为． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得重心的坐标；设，关于直线的对称点分别设为，表示出的坐标，根据光线反射原理可知共线，结合重心坐标即可求得点的坐标； （2）根据对称知识可知的周长即为，利用两点间距离公式可求得答案. 【详解】（1）如图所示： 以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即； 设，关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故点的坐标为. （2）由（1）可得，所以即为，即为， 由题意可知， 故的周长为. 4、 转化与化归思想 【例题4】（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，可知定点， 又 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为2. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】当，直接求解出到直线的距离，当时，先求解出点坐标，然后表示出到直线的距离，结合基本不等式求解出距离的最大值，由此可知结果. 【详解】当时，，所以交点，所以； 当时，由解得，所以， 所以到的距离， 若，则，当且仅当时取等号， 若，则，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，所以的最大值为， 综上可知，点P到直线的距离的最大值为， 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【分析】由直线垂直的条件求得关系，再由基本不等式得最大值． 【详解】由题意，即， 由基本不等式得，所以，当且仅当，即时等号成立． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点在直线上，求的最小值． 【答案】3 【分析】的最小值是原点到直线的距离，利用公式计算即可. 【详解】算式的几何意义是点到原点的距离， 点在直线上，的最小值是原点到直线的距离， 即的最小值为 考点 距离问题 【例题1】（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 【变式1】（全国·高考真题）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出对称点，得出关系. 【详解】设为直线关于x轴对称的直线方程上任意一点，则 关于x轴对称的点在直线上， 即有，满足直线方程， 即，     化简得，. 故选：C. 【变式2】（上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 . 【答案】4 【分析】画出到直线距离为1的点的轨迹和到直线距离为2的点的轨迹，交点即为“距离坐标”是的点. 【详解】 作直线，与直线平行，且与直线的距离为1，作直线，与直线平行，且与直线的距离为2， 由图可得，，，，有4个交点，即“距离坐标”是的点个数为4. 故答案为：4. 【变式3】（全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 【答案】(1) (2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论； （2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论． 【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值． 则点的坐标是 （2）解：记 至三镇的最远距离为 由解得，记， 于是 当，即时， 因为在，上是增函数，而在，上是减函数． 所以时，函数取得最小值．点的坐标是 当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值． 则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 一、单选题 1．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，求出的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题知，因为两直线平行， 所以， 所以两直线方程分别为和， 即和， 所以两直线距离为. 故选：B 2．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，且两直线之间的距离为 . 故选：D 3．（23-24高二上·河南·期中）已知直线过点和，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为直线经过两点(2,3)和(-2,1)，则直线方程为，化简得， 则坐标原点到直线的距离为. 故选：C 【分析】由两点式可以写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据平面上两点间的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点与点之间的距离为5， 可得， 整理得，即，解得或． 故选：C. 5．（20-21高二上·安徽蚌埠·期中）已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点公式，求得的中点坐标，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设的中点为，由中点坐标公式得，所以， 所以． 故选：A. 6．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 7．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设所求直线方程为，结合两平行直线间的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为竹签所在的直线方程为， 设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 由两平行直线间的距离公式，可得，解得， 所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为. 故选：D. 8．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系下任意两点间的距离公式，分别求出 即可判断. 【详解】根据两点间的距离公式， 得， ， ，所以，且|， 故是等腰非等边三角形. 答案：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知直线l：，则（    ） A．直线l的倾斜角可以为 B．直线l的倾斜角可以为0 C．直线l恒过 D．原点到直线l距离的最大值为5 【答案】AC 【分析】根据直线方程判断直线倾斜角可知A、B正误；由确定定点判断C；根据原点与所成直线与直线l垂直时，原点到直线l距离的最大判断D. 【详解】A：当，则直线，此时倾斜角为，对； B：无论为何值，直线的斜率不可能为0，故倾斜角不可能为0，错； C：由恒过，对； D：原点与所成直线与直线l垂直时，原点到直线l距离最大为，错. 故选：AC 10．（21-22高二·全国·课后作业）若两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），则它们之间的距离d可能等于（    ） A．14 B．5 C．12 D．13 【答案】BCD 【分析】由题意可知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，求得，即可得出答案. 【详解】因为两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12）， 易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大， 即，所以， 故距离d可能等于5，12，13. 故选：BCD． 11．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知中，，，，则关于下列说法中正确的有（   ） A．某一边上的中线所在直线的方程为 B．某一条角平分线所在直线的方程为 C．某一边上的高所在直线的方程为 D．某一条中位线所在直线的方程为 【答案】AD 【分析】求出边上的中线所在直线的方程可判断A；由A知，只能为的角平分线，由点到直线的距离可判断B；求出直线的高所在直线的方程可判断C；求出线段的中点为，线段的中点，即直线方程可判断D. 【详解】对于A，线段的中点为，又， 所以边上的中线所在直线的方程为，故A正确； 对于B，由A知，只能为的角平分线，假设为的角平分线， 在上任取一点， 直线的方程为：，即。 直线的方程为：，即， 则到直线的距离为：， 则到直线的距离为：， 因为，故B错误； 对于C，因为，，， 而直线的高所在直线的方程为：，故C错误； 对于D，线段的中点为，线段的中点为， 线段的中点为，， 直线的方程为：，即，所以D正确； 故选：AD. 三、填空题 12．（23-24高二上·北京石景山·期末）直线与直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线， 则与之间的距离. 故答案为： 13．（23-24高二上·全国·课后作业）若，点是AB的垂直平分线上一点，则 . 【答案】 【分析】因为点是AB的垂直平分线上一点，所以，再由两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为，点是AB的垂直平分线上一点， 所以，所以 解得：. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 四、解答题 15．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知三个顶点分别为，，． (1)求的面积； (2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）求出直线AB的方程、点C到直线AB的距离、，由可得答案； （2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得可得答案. 【详解】（1），，， 直线AB的斜率， 直线AB的方程为， 点C到直线AB的距离， ， ； （2）由题知，直线AB的斜率， 直线AC的方程为， 设，则， ∵点M，N分别在直线AB，AC上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为， 即． 16．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求，两点间的距离； （2）已知点，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算可得； （2）设，利用两点间的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，，所以. （2）设，则，解得或， 所以或 17．（23-24高二上·江苏·课后作业）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程. 【答案】或，或. 【分析】设，然后根据题意列方程组可求出，再求出直线的斜率，从而可求出直线PM的方程. 【详解】设，由题意，解得或， 所以或， 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即； 当时，直线PM的斜率， 因此直线PM方程为，即. 18．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 19．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线，． (1)若，求实数的值； (2)若，求之间的距离． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可； （2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离. 【详解】（1）由，则，即， 所以，可得或. （2）由，则，可得，故或， 当，则，，此时满足平行，且之间的距离为； 当，则，，此时两线重合，舍； 综上，时之间的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测） 知识点一、直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．k＝(x1≠x2)． (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． 注意点： (1)当直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式． (2)当直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关． 知识点二、直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (3)直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)． 注意点： (1)用倾斜角可表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度． (2)由直线上一点及它的倾斜角，可确定该直线的位置． 知识点三、倾斜角和斜率的应用 1．设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝tan α. 注意点： 正切函数在[0，π)上不单调． 知识点四、直线的点斜式方程 我们把方程y－y1＝k(x－x1)称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点五、直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距． 2．方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 知识点六、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝叫作直线的两点式方程． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 知识点七、直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点八：直线的一般式方程 方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 知识点九：两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条不重合直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 判断两条不重合的直线是否平行的方法 知识点十、求与已知直线平行的直线方程 与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程． 知识点十一、直线平行的应用 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． 知识点十二、两条直线垂直关系的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 知识点十三、求与已知直线垂直的直线方程 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程． 知识点十四、两直线垂直的综合问题 解决与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点十五、判断直线的交点及由交点求参数 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 注意点： (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 知识点十六、过两直线交点的直线系方程 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 知识点十七、两条直线的交点坐标 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足其他直线． 知识点十八、两点之间的距离公式 1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1|. 【解题策略】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 知识点十九、坐标法的应用 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 【解题策略】 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 知识点二十、点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 【解题策略】 1、两点到直线的距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法． 2、求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 3、解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． 知识点二十一、两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 【解题策略】 1、求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 2、对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可． 3、应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 1、 方程思想 【例题1】（22-23高二下·上海徐汇·期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（高二上·辽宁大连·阶段练习）过点作一直线，使它与两已知直线和分别交于两点，若线段被点平分，则直线的方程是 . 【变式3】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线l经过点． (1)若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程； (2)若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 2、 函数思想 【例题2】（23-24高二上·辽宁葫芦岛）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）已知，直线和与坐标轴围成一个四边形，则当 时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为 . 【变式2】（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知，，点在直线上移动，则的最小值为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知，，动点在直线上． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 3、 数形结合思想 【例题3】（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【变式3】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 4、 转化与化归思想 【例题4】（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1】（23-24高二上·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 【变式2】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点在直线上，求的最小值． 考点 距离问题 【例题1】（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（全国·高考真题）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 . 【变式3】（全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 一、单选题 1．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南·期中）已知直线过点和，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．3 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．1或 5．（20-21高二上·安徽蚌埠·期中）已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 7．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题 9．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知直线l：，则（    ） A．直线l的倾斜角可以为 B．直线l的倾斜角可以为0 C．直线l恒过 D．原点到直线l距离的最大值为5 10．（21-22高二·全国·课后作业）若两平行线分别经过点A（5，0），B（0，12），则它们之间的距离d可能等于（    ） A．14 B．5 C．12 D．13 11．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知中，，，，则关于下列说法中正确的有（   ） A．某一边上的中线所在直线的方程为 B．某一条角平分线所在直线的方程为 C．某一边上的高所在直线的方程为 D．某一条中位线所在直线的方程为 三、填空题 12．（23-24高二上·北京石景山·期末）直线与直线之间的距离为 . 13．（23-24高二上·全国·课后作业）若，点是AB的垂直平分线上一点，则 . 14．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知三个顶点分别为，，． (1)求的面积； (2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程． 16．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求，两点间的距离； （2）已知点，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标． 17．（23-24高二上·江苏·课后作业）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程. 18．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 19．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线，． (1)若，求实数的值； (2)若，求之间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$