1.4 两条直线的交点（3种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

1.4 两条直线的交点（3种题型基础练+能力提升练） 一．两条直线的交点坐标（共7小题） 1．（2022•连云区校级开学）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据已知条件，联立两个直线，求出交点，再结合交点在第一象限，即可求解． 【解答】解：将直线联立，解得， 直线与直线的交点在第一象限， ，解得， 故实数的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题． 2．（2022秋•大丰区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作轴于点，推出为等边三角形，依次求出，的长度，即可求解． 【解答】解：过点作轴于点， 四边形为菱形，， ，为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题． 3．（2022秋•滨海县期中）设点，，则下列的值满足直线与线段有交点的是　　 A． B． C．3 D．4 【分析】直线恒过定点，斜率为，先求出，，再结合图象，即可求解． 【解答】解：直线恒过定点，斜率为， 又，， ，， 直线与线段有交点， 或，即或， 故，3，4符合题意，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题． 4．（2022秋•沭阳县期中）已知直线与相交于点，则　　． 【分析】将交点代入直线方程求参数、，即可得结果． 【解答】解：因为直线与相交于点， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查两条直线的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题． 5．（2022秋•涟水县校级月考）直线经过原点，且经过直线和的交点，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】联立已知直线求出交点坐标，再根据直线过原点，即可求出直线的方程． 【解答】解：联立方程，解得， 直线过点， 又直线经过原点， 直线的方程为，即， 故选：． 【点评】本题主要考查了两直线的交点坐标，考查了直线的一般方程，是基础题． 6．（2023秋•双城区校级期中）三直线，，相交于一点，则的值是　　． 【分析】根据三条直线交于一点，所给的三条直线有两条是已知的，先求出这两条直线的交点坐标，根据这个点在直线上，代入求出字母系数． 【解答】解：三直线，，相交于一点 先求，的交点， ①，② ②①得，， 交点的坐标是 交点在直线上， ， 故答案为： 【点评】本题考查两条直线的交点坐标，解题的关键是先做出两条直线的交点的坐标，而第三条直线过这个点，本题是一个基础题． 7．（2022秋•阜宁县校级期中）过两条直线与的交点，且斜率为的直线的方程为 　　． 【分析】联立直线方程得交点坐标，再结合点斜式公式，即可求解． 【解答】解：，解得， 直线的斜率为， 故的方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题． 二．过两条直线交点的直线系方程（共5小题） 8．（2021秋•鼓楼区校级期末）经过直线与直线的交点，且平行于直线的直线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，设要求直线的方程为，求出直线与直线的交点，代入要求直线的方程，求出的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，要求直线平行于直线，设要求直线的方程为， 联立，解可得，即两条直线交点的坐标为， 要求直线的方程为，解可得， 即要求直线的方程为， 故选：． 【点评】本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，涉及两条直线交点的计算，属于基础题． 9．（2021秋•海安市校级月考）已知直线和直线都过点，则过点，和点，的直线方程是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知代入点，然后可得点，，，都满足方程，由此即可求解． 【解答】解：因为直线和直线都过点， 则， 即点，，，都满足方程， 所以过点，和点，的直线方程是， 故选：． 【点评】本题考查了过两个交点的直线方程的应用，考查了学生的理解转化能力，属于基础题． 10．（2021秋•滨湖区期中）已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】令直线的参数的系数等于零，求得定点的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得的最小值． 【解答】解：直线，即，令参数的系数， 求得，，故直线过定点， 点在直线上，， ， 故当时，取得最小值为， 故选：． 【点评】本题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题． 11．（2023秋•江宁区期末）已知直线，，则　　 A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【分析】由题意，利用相交直线系方程，两直线平行垂直的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：，即， 它经过直线和直线的交点，故正确； 当时，直线即，而直线， 它们的斜率之积不等于，故两直线不垂直，故错误； 当时，直线即，而直线， 它们的斜率相等且它们不重合，故它们平行，故正确； 当时，由于直线的经过定点， 故两直线，之间的距离，即点到直线的距离， 为，故正确， 故选：． 【点评】本题主要考查相交直线系方程，两直线平行垂直的性质，属于基础题． 12．（2022•连云区校级开学）无论实数取何值，直线都恒过定点，则该定点的坐标为 　　． 【分析】由题意可得，，令，即可求解． 【解答】解：直线， ， 令，解得， 故该定点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的定点，属于基础题． 三．恒过定点的直线（共5小题） 13．（2023秋•通州区期中）对于直线，下列说法正确的是　　 A．的斜率一定存在 B．恒过定点 C．时，的倾斜角为 D．时，不经过第二象限 【分析】根据已知条件，结合直线的性质，依次判断． 【解答】解：对于，直线方程中的系数不为0，故的斜率一定存在，故正确； 对于，直线，即， 故恒过定点，故正确； 对于，当时，直线的斜率为，直线的倾斜角为，故错误； 对于，当时，直线， 直线过一、三、四象限，不过第二象限，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题． 14．（2023秋•京口区校级期中）已知直线，则直线过定点为 　　． 【分析】直线的方程中先分离参数，再令参数的系数等于零，求得、的值，可得它经过的定点坐标． 【解答】解：若，直线，即， 令，， 解得，， 可得直线恒过定点， 故答案为：． 【点评】本题考查了直线系的应用，属于基础题． 15．（2023秋•如皋市月考）直线与直线相交于点，对任意实数，直线，分别恒过定点，，则的最大值为　　 A．4 B．8 C． D． 【分析】首先求点，的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解． 【解答】解：直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4． 故选：． 【点评】本题考查了直线过定点问题，涉及到基本不等式的应用，属于基础题． 16．（2023秋•江阴市校级月考）下列说法正确的是　　 A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．过点且垂直于直线的直线方程为 【分析】，直线必过定点； ，线在轴上的截距为； ，求得直线的斜率为，即可； ，利用点斜式写方程，即可． 【解答】解：对于，直线必过定点，故正确； 对于，直线在轴上的截距为，故正确； 对于，直线的斜率为，其倾斜角为，故错误； 对于，过点且垂直于直线的直线方程为：，即，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了直线方程，直线的倾斜角、截距，属于基础题． 17．（2023•高邮市开学）已知直线的方程为：． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可． （2）设出直线的方程，分别令、求出相对于的值、值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果． 【解答】解：（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 所以设直线的方程为， 令，则；令，则， 所以， 当且仅当，即时，三角形面积最小， 此时的方程为． 【点评】本题主要考查了恒过定点的直线方程的应用，还考查了直线的交点坐标的求解，属于中档题． 一．选择题（共3小题） 1．（2022秋•广陵区校级月考）下列说法中错误的是　　 A．平面上任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程，不同时为表示 B．当时，方程，不同时为表示的直线过原点 C．当，，时，方程表示的直线与轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化 【分析】根据直线方程表示不同直线的充要条件即可做出判断． 【解答】解：因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角， 当时，直线的斜率存在，其方程可写成，它可变形为，与比较，得，，； 当时，直线的斜率不存在，其方程可写成，与比较，得，，，显然，不同时为0，故正确； 当时，方程，不同时为即， 显然有，即直线过原点，故正确； 当，，时，方程可化为， 它表示的直线与轴平行，故正确； 当直线平行于坐标轴时一般式不能化为两点式或点斜式，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题． 2．（2023秋•常熟市校级月考）设，动直线过定点，动直线过定点，若为与的交点，则的最大值为　　 A．10 B．20 C． D． 【分析】根据直线和的方程得到，，然后根据得到点为以为直径的圆上的点，即，最后利用不等式求最值即可． 【解答】解：直线的方程可整理为，令，解得，所以， 直线的方程可整理为，令，解得，所以， 因为，所以，所以点为以为直径的圆上的点， ，所以， 所以，当且仅当时等号成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线垂直关系的应用，还考查了直线交点坐标的求解，两点间的距离公式的应用及基本不等式的应用，属于中档题． 3．（2022秋•云龙区校级月考）直线与直线的交点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】直接联立二元一次方程组求解． 【解答】解：联立，解得． 直线与直线的交点坐标是． 故选：． 【点评】本题考查两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，是基础题． 二．多选题（共4小题） 4．（2022秋•连云港月考）下列说法正确的是　　 A．直线必过定点 B．过，，，两点的直线方程为 C．直线的倾斜角为 D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 【分析】对于，根据直线过定点的求法即可判断； 对于，利用两点式方程判断； 对于，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断； 对于，求出三角形的面积即可判断． 【解答】解：对于，因为直线可以化为：，令，则，解得，，所以直线过定点，故正确； 对于，当，时，过，，，两点的直线方程为，故不正确； 对于，直线的斜率，所以倾斜角为，故不正确； 对于，直线与两坐标轴的交点分别为，，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题． 5．（2022•南京开学）下列说法中，正确的有　　 A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．点到直线的距离为1 【分析】由直线系方程求出直线所过定点坐标判断；求出直线在轴上的截距判断；由直线方程得斜率，进一步得到倾斜角判断；求出点到直线的距离判断． 【解答】解：直线即直线，必过定点，故错误； 直线在轴上的截距为，故正确； 直线的斜率为，倾斜角为，故正确； 点到直线的距离为1，故正确． 故选：． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线及其有关概念，是基础题． 6．（2023秋•阜宁县校级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中，则下列结论正确的是　　 A．直线恒过定点，且定点坐标为 B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C．若直线过第一、三象限，则 D．若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 【分析】求出直线的方程，分离参数可求得直线过的定点，判断；根据直线的方程求出其在坐标轴上的截距，令二者相等求得的值，判断；根据直线所过象限确定直线的斜率正负，即可求得的范围，判断；根据题意判断直线和直线垂直，即可列式求得，判断． 【解答】解：对，当时，，直线的方程为， 即，所以， 令，解得，直线恒过定点， 当时，，，直线的方程为也过点， 所以直线恒过定点，且定点坐标为，故正确； 对，直线在两坐标轴上的截距相等， 当时，直线的方程为不合题意； 故，此时直线的方程， 令，则，令，则， 令，即， 即，即， 解得或，故错误； 对，若直线过第一、三象限，则直线的斜率一定存在且为正数， 即，即， 所以，故正确； 对于，若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆， 即该四边形对角互补， 而直线恒过定点，故需满足直线， 则，即， 所以，故正确． 故选：． 【点评】本题考查直线方程的应用，属于中档题． 7．（2022秋•沭阳县期中）下列有关直线的说法中正确的是　　 A．直线的斜率为 B．在轴上的截距为 C．直线过定点 D．直线过定点 【分析】对，分类、讨论，判断直线的斜率； 对，令求截距； 对，，由即可知定点，从而判断、． 【解答】解：对：当时，直线斜率为；当时，直线为，此时斜率不存在，错误； 对：令，可得，故在轴上的截距为，正确； ，即直线恒过，错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查直线方程的性质，直线过定点问题，属基础题． 三．填空题（共3小题） 8．（2022秋•大丰区校级月考）已知，其中、是实常数，则直线必过一定点　　． 【分析】由的关系式变形代入直线方程变形可得，由直线系的知识解方程组可得答案． 【解答】解：， 直线可化为， 变形可得， 由可得， 直线必过定点 故答案为： 【点评】本题考查直线横过定点问题，属基础题． 9．（2023秋•靖江市校级期中）已知直线恒过点，点在直线上，则的最小值为 　　． 【分析】直接利用定点直线系求出点的坐标，进一步利用点到直线的距离公式求出结果． 【解答】解：直线恒过点， 故，故，解得， 故； 所以点到直线的距离， 即的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：恒过定点的直线，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 10．（2022秋•广陵区校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 　，　． 【分析】动直线经过定点，动直线定点，由此能求出的取值范围． 【解答】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点， ，． 由基本不等式可得， 即，可得． 故答案为：，． 【点评】本题考查动点到两个定点的距离之和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线、基本不等式性质的合理运用，属中档题． 四．解答题（共10小题） 11．（2022秋•江宁区校级月考）已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程． 【分析】（1）直线，即，列出方程组，即可求解． （2）根据已知条件，推出斜率与截距的不等式组，即可求解． （3）根据直线的方程，分别求出直线在轴，轴上的截距，再结合三角形的面积公式，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】证明：（1）直线，即， 联立，解得， 故直线过定点； （2）解：直线，即， 直线不经过第四象限， ，解得， 故的取值范围是，； （3）解：如图 直线交轴负半轴于，交轴正半轴于， 则， 直线中，令，解得，令，解得， ， 当且仅当，即时等号成立． 的最小值为4，此时的直线方程为． 【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题． 12．（2021秋•宝应县期中）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）求点的坐标． 【分析】（1）由已知求得所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式求直线的方程； （2）直接联立方程组求点的坐标． 【解答】解：（1）由边上的高所在直线方程为得，则． 又，直线的方程为， 即； （2）边上的中线过点，则联立直线方程组， 解得：， 即点坐标为． 【点评】本题考查直线方程的求法，考查方程组的解法，是基础题． 13．（2021秋•张家港市期中）已知直线． （1）求证：直线经过定点，并求出定点； （2）经过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被平分，求直线的方程． 【分析】设出与两点的坐标，因为为线段的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把的坐标代入直线，把的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出的坐标，然后由和的坐标，利用两点式即可写出直线的方程． 【解答】解：（1）证明：将直线的方程改写为， 令，且， 两式联立，解得，， 所以直线过定点； （2）如图， 设直线夹在直线，之间的部分是，且被平分， 设点，的坐标分别是，，，， 则有，， 又，两点分别在直线，上， 所以，， 由以上四个式子解得，， 即，， 所以直线的方程为． 【点评】此题考查学生会根据两点的坐标写出直线的方程，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道中档题． 14．（2021秋•天宁区校级月考）已知直线的方程为． （1）证明：无论为何值，直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线与、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在直线使得的面积为9．若存在，求出直线的方程；若不存，请说明理由． 【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得、的值，可得直线经过定点的坐标． （2）求出、的坐标，根据的面积为9，求出的值，可得结论． 【解答】（1）证明：直线的方程为， 即， 令，可得，求得，， 可得该直线一定经过和的交点． （2）若直线与、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点， 则，、，且，， ，或． 则的面积为， 即，即， ，或． 故存在直线满足条件，且满足条件的直线的方程为，或． 【点评】本题主要考查直线经过定点问题，直线在坐标轴上的截距，属于中档题． 15．（2021秋•江宁区校级月考）已知直线方程为，． （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程． 【分析】（1）先把直线的方程中分离参数，再利用得系数等于零，求得、的值，可得定点的坐标． （2）当直线不经过原点时，先分别求得直线在轴，轴上的截距，再根据它们相等，求出的值，可得直线的方程；当直线经过原点时，求出的值，可得直线的方程，综合可得结论． 【解答】解：（1）对于直线方程为，，即， 该直线一定经过直线和直线的交点， 故定点． （2）对于直线方程为，当直线不经过原点时，令，可得， 再令，可得， 由于，求得，故直线的方程． 当直线经过原点时，，求得，故直线的方程． 故要求的直线的方程为或． 【点评】本题主要考查直线经过定点问题，求直线的方程，属于中档题． 16．（2023秋•海陵区校级月考）已知直线的方程为． （1）求直线过的定点的坐标； （2）直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于点，，当面积最小时，求直线的方程； 【分析】（1）将直线的方程变形，列出方程组即可求解； （2）利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：（1）由题意，直线的方程可化为， 联立方程组，解得， 所以直线过的定点． （2）设直线，则，， 由 （1）知，直线过的定点，可得， 因为，， 所以，解得， 当且仅当且即，时，等号成立， 所以面积为， 此时对应的直线方程为，即． 【点评】本题主要考查直线方程，同时也涉及了基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题． 17．（2022春•姑苏区校级月考）已知直线． （1）求经过的定点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． ①的面积为，求的最小值和此时直线的方程； ②当取最小值时，求直线的方程． 【分析】（1）分离，得到关于，的方程组，解出即可； （2）①求出，的坐标，得到，结合基本不等式的性质求出三角形的最小值，求出，的值，从而求出直线方程即可； ②求出的解析式，结合函数的单调性求出其最小值，得到直线的倾斜角，求出直线方程即可． 【解答】解：（1）直线， 令，解得：， 故直线过定点； （2）①结合题意，，，， 故直线的方程为， 由（1）知直线过定点，代入方程可得， 故，当且仅当时“”成立， 故，的面积的最小值是4，此时，解得：，； 即此时直线的方程为：； ②设，则，， ， 令，则，， 故，，， ， 在，上单调递增， 故当时，取最大值， 此时取最小值，此时，，， 即直线的倾斜角为，，即直线方程为， 【点评】本题考查了求直线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查基本不等式的性质，是中档题． 18．（2021秋•东海县期中）已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若直线被两平行直线与所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值． 【分析】（1）利用参数分类进行求解即可． （2）利用平行直线的性质，设直线，分别与直线交于，两点，求出的中点坐标，代入直线进行求解即可． 【解答】（1）证明：由已知，即， 令，解得：，， 所以直线恒过定点． 解：（2）设到直线，距离相等的直线为， 则，得，即或， 得（不成立）或， 即到直线，距离相等的直线为， 线段的中点恰好在直线上， 线段的中点也在直线上， 由，得，故为的中点， 将点代入直线的方程得：， 解得 【点评】本题主要考查直线过定点问题，利用直线方程的性质联立方程组是解决本题的关键，是中档题． 19．（2022秋•南京月考）已知直线． （1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点； （2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程． 【分析】（1）．令即可得出． （2）由题知直线的斜率，设直线，求出与坐标轴的交点、三角形面积、基本不等式的性质即可得出． 【解答】（1）证明：． 则 所以无论为何实数，直线恒过一定点． （2）解：由题知直线的斜率，设直线， 令，． ， ，． ，， 即． 【点评】本题考查了三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线方程、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（2022秋•淮安期中）过点作直线，使它被两直线，所截得的线段恰好被所平分，求此直线方程． 【分析】设所求的方程与已知的直线，分别交于、两点，因为在直线直线上，可设，因为为线段的中点，利用中点坐标公式即可表示出点的坐标，把的坐标代入直线的解析式中，即可求出的值，得到与两点的坐标，根据两点坐标写出所求直线的方程即可． 【解答】解：设所求直线与已知直线，分别交于、两点． 点在直线上， 故可设．又是的中点， 由中点坐标公式得． 点在直线上， ，解得． ，， 故所求直线方程为：． 【点评】此题考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值，会求两直线的交点坐标，是一道综合题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 两条直线的交点（3种题型基础练+能力提升练） 一．两条直线的交点坐标（共7小题） 1．（2022•连云区校级开学）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2022秋•大丰区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•滨海县期中）设点，，则下列的值满足直线与线段有交点的是　　 A． B． C．3 D．4 4．（2022秋•沭阳县期中）已知直线与相交于点，则　　． 5．（2022秋•涟水县校级月考）直线经过原点，且经过直线和的交点，则直线的方程为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•双城区校级期中）三直线，，相交于一点，则的值是　　． 7．（2022秋•阜宁县校级期中）过两条直线与的交点，且斜率为的直线的方程为 　　． 二．过两条直线交点的直线系方程（共5小题） 8．（2021秋•鼓楼区校级期末）经过直线与直线的交点，且平行于直线的直线方程为　　 A． B． C． D． 9．（2021秋•海安市校级月考）已知直线和直线都过点，则过点，和点，的直线方程是　　 A． B． C． D． 10．（2021秋•滨湖区期中）已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•江宁区期末）已知直线，，则　　 A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 12．（2022•连云区校级开学）无论实数取何值，直线都恒过定点，则该定点的坐标为 　　． 三．恒过定点的直线（共5小题） 13．（2023秋•通州区期中）对于直线，下列说法正确的是　　 A．的斜率一定存在 B．恒过定点 C．时，的倾斜角为 D．时，不经过第二象限 14．（2023秋•京口区校级期中）已知直线，则直线过定点为 　　． 15．（2023秋•如皋市月考）直线与直线相交于点，对任意实数，直线，分别恒过定点，，则的最大值为　　 A．4 B．8 C． D． 16．（2023秋•江阴市校级月考）下列说法正确的是　　 A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．过点且垂直于直线的直线方程为 17．（2023•高邮市开学）已知直线的方程为：． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 一．选择题（共3小题） 1．（2022秋•广陵区校级月考）下列说法中错误的是　　 A．平面上任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程，不同时为表示 B．当时，方程，不同时为表示的直线过原点 C．当，，时，方程表示的直线与轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化 2．（2023秋•常熟市校级月考）设，动直线过定点，动直线过定点，若为与的交点，则的最大值为　　 A．10 B．20 C． D． 3．（2022秋•云龙区校级月考）直线与直线的交点坐标是　　 A． B． C． D． 二．多选题（共4小题） 4．（2022秋•连云港月考）下列说法正确的是　　 A．直线必过定点 B．过，，，两点的直线方程为 C．直线的倾斜角为 D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 5．（2022•南京开学）下列说法中，正确的有　　 A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．点到直线的距离为1 6．（2023秋•阜宁县校级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中，则下列结论正确的是　　 A．直线恒过定点，且定点坐标为 B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C．若直线过第一、三象限，则 D．若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 7．（2022秋•沭阳县期中）下列有关直线的说法中正确的是　　 A．直线的斜率为 B．在轴上的截距为 C．直线过定点 D．直线过定点 三．填空题（共3小题） 8．（2022秋•大丰区校级月考）已知，其中、是实常数，则直线必过一定点　 　． 9．（2023秋•靖江市校级期中）已知直线恒过点，点在直线上，则的最小值为 　　． 10．（2022秋•广陵区校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 　　． 四．解答题（共10小题） 11．（2022秋•江宁区校级月考）已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程． 12．（2021秋•宝应县期中）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）求点的坐标． 13．（2021秋•张家港市期中）已知直线． （1）求证：直线经过定点，并求出定点； （2）经过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被平分，求直线的方程． 14．（2021秋•天宁区校级月考）已知直线的方程为． （1）证明：无论为何值，直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线与、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在直线使得的面积为9．若存在，求出直线的方程；若不存，请说明理由． 15．（2021秋•江宁区校级月考）已知直线方程为，． （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程． 16．（2023秋•海陵区校级月考）已知直线的方程为． （1）求直线过的定点的坐标； （2）直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于点，，当面积最小时，求直线的方程； 17．（2022春•姑苏区校级月考）已知直线． （1）求经过的定点坐标； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． ①的面积为，求的最小值和此时直线的方程； ②当取最小值时，求直线的方程． 18．（2021秋•东海县期中）已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若直线被两平行直线与所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值． 19．（2022秋•南京月考）已知直线． （1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点； （2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程． 20．（2022秋•淮安期中）过点作直线，使它被两直线，所截得的线段恰好被所平分，求此直线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$