专题06 锐角三角函数（4大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（辽宁专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题06 锐角三角函数 考点01 特殊角的函数值 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）在下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 3．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 考点02 母子型模型 4．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 5．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）    6．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟． (1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米； (2)请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：） 7．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7） 8．（2022·辽宁·中考真题）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）． (1)求斜坡BC的长； (2)求这棵大树CD的高度（结果取整数）． （参考数据：sin≈，cos≈，tan≈，≈1.73） 考点03 背靠背模型 9．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．    10．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．    (1)求两楼之间的距离． (2)求大厦的高度． （结果精确到．参考数据：，，） 11．（2023·辽宁·中考真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．    (1)求两楼之间的距离（结果保留根号）； (2)求大厦的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 12．（2023·辽宁营口·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）    13．（2022·辽宁·中考真题）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）． 14．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：） 考点04 直角三角形+矩形模型 15．（2023·辽宁鞍山·中考真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．(结果精确到．参考数据：)    16．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）    17．（2023·辽宁·中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）    (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到） （参考数据：） 18．（2023·辽宁大连·中考真题）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）    19．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 20．（2022·辽宁鞍山·中考真题）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 21．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）    22．（2022·辽宁锦州·中考真题）某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下： 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部P的仰角 从D处测得路灯顶部P的仰角 测角仪到地面的距离 两次测量时测角仪之间的水平距离 计算路灯顶部到地面的距离约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；） 23．（2022·辽宁营口·中考真题）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题06 锐角三角函数 考点01 特殊角的函数值 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）在下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的混合运算法则、分母有理化及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：A、，正确，本选项符合题意； B、，原计算错误，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项不符合题意； D、，原计算错误，本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分母有理化及有理数的混合运算、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算． 3．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键． 考点02 母子型模型 4．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； （2）解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 5．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）    【答案】的长约为 【分析】延长交于点，过点B作，垂足为G，可得，，从而，，设，则，分别在直角和直角中求出的长，最后利用平角定义可得，从而在中，求出的长，再利用线段的和差关系计算即可解答 ． 【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，垂足为G，    由题意得：，， ，， 设， ， 则， 在中，， 在中，， ， 解得：， , ， ， 在中，， ， ， ， 的长约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是解决问题的关键． 6．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟． (1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米； (2)请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】(1)300 (2)白塔的高度约为米． 【分析】（1）由路程等于速度乘以时间即可得到答案； （2）由题意可得： 而 再求解 再利用 再解方程即可． 【详解】（1）解：∵索速车运行的速度是1米/秒，索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟， ∴（米） 故答案为：300 （2）解：由题意可得： 而米 ∴ ∴（米） 所以白塔的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练的利用三角函数建立方程是解本题的关键． 7．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7） 【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m 【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解． 【详解】解：延长DF交AB于点G， 由题意得： DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°， 设AG＝xm， 在Rt△AFG中，∠AFG＝45°， ∴FGx（m）， ∴DG＝DF+FG＝（x+8）m， 在Rt△ADG中，∠ADG＝30°， ∴tan30°， ∴x＝44， 经检验：x＝44是原方程的根， ∴AB＝AG+BG≈12（m）， ∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2022·辽宁·中考真题）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）． (1)求斜坡BC的长； (2)求这棵大树CD的高度（结果取整数）． （参考数据：sin≈，cos≈，tan≈，≈1.73） 【答案】(1)斜坡BC的长为30米 (2)这棵大树CD的高度约为20米 【分析】（1）根据题意可得：，AB=30米，根据三角形的外角性质可求出，从而得出AB=BC=30米，即可得出答案． （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，AB＝30米， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴AB＝BC＝30米， ∴斜坡BC的长为30米； （2）解：在中，，BC＝30米， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴DE=BEtan(米)， ∴DC＝DE﹣CE＝（米）， ∴这棵大树CD的高度约为20米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用． 考点03 背靠背模型 9．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．    【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为 【分析】过点B作于点D，则，进而得出，，根据，得出，即可求解． 【详解】解：过点B作于点D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 10．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．    (1)求两楼之间的距离． (2)求大厦的高度． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1)两楼之间的距离约为 (2)大厦的高度为 【分析】（1）过点A作于点E，易得，根据，即可求解： （2）易证四边形为矩形，则，根据等腰直角三角形的性质得出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点E， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， 答：两楼之间的距离约为．    （2）解：根据题意可得：， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：大厦的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步骤． 11．（2023·辽宁·中考真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．    (1)求两楼之间的距离（结果保留根号）； (2)求大厦的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)92米 【分析】 （1）作于点E，利用三角函数解即可； （2）先证四边形是矩形，再利用三角函数解求出，进而可求． 【详解】（1）解：如图，作于点E，则，    由题意知，，， 故， 即两楼之间的距离为米； （2）解：由题意知， 四边形是矩形， ，， 中，， ， ， 即大厦的高度为92米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12．（2023·辽宁营口·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）    【答案】甲组同学比乙组同学大约多走米的路程 【分析】过B点作于点D，根据题意有：，，，进而可得，，，结合直角三角形的知识可得（米），（米），（米），即有（米），问题随之得解． 【详解】如图，过B点作于点D，    根据题意有：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵（米）， ∴（米）， ∵在中，，（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 即（米）， 答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及方位角的知识，正确理解方位角，是解答本题的关键． 13．（2022·辽宁·中考真题）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）． 【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里． 【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过B作BD⊥AC于D， 由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°， 在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)， ∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)， ∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)， 答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】货轮距离A港口约141海里 【分析】过点B作于点H，分别解直角三角形求出AH、HC即可得到答案． 【详解】解：过点B作于点H， 根据题意得，， 在中，， ∵， ， ∴（海里） （海里） 在中， ∵ ∴（海里）． ∴（海里） 答：货轮距离A港口约141海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 考点04 直角三角形+矩形模型 15．（2023·辽宁鞍山·中考真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．(结果精确到．参考数据：)    【答案】遮阳棚的宽度约为 【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，   ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，， ， 遮阳棚的宽度约为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）    【答案】 【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，    ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：展板最高点A到地面的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键． 17．（2023·辽宁·中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）    (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到） （参考数据：） 【答案】(1)登山缆车上升的高度； (2)从山底A处到达山顶处大约需要. 【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴从山底A处到达山顶处大约需要： ， 答：从山底A处到达山顶处大约需要. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键． 18．（2023·辽宁大连·中考真题）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）    【答案】楼的高度为 【分析】延长交于点，依题意可得，在，根据，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，    ∵， ∴ 在中，，， ∵， ∴ ∴， 答：楼的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 19．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)9m (2)24m 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案． （2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，，， ． ． 答：，两点的高度差为． （2）过点作于， 由题意可得，， 设， 在中，， 解得， 在中，，， ， 解得， ． 答：居民楼的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 20．（2022·辽宁鞍山·中考真题）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米． 【分析】设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设AC与GE相交于点H， 由题意得： AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°， 设CH＝x米， ∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米， 在Rt△CHF中，∠FCH＝45°， ∴FH＝CH•tan45°＝x（米）， ∵GF＝8米， ∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米， 在Rt△AHG中，∠GAH＝37°， ∴tan37°＝， 解得：x＝4， 经检验：x＝4是原方程的根， ∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米）， ∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）    【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里 【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答． 【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，    由题意得： EF=BC=33.2海里，AG∥DC， ∴∠GAD=∠ADC=53°， 在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里， ∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里）， ∴AE=AF+EF=64（海里）， 在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里）， ∴货船与A港口之间的距离约为80海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22．（2022·辽宁锦州·中考真题）某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下： 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部P的仰角 从D处测得路灯顶部P的仰角 测角仪到地面的距离 两次测量时测角仪之间的水平距离 计算路灯顶部到地面的距离约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；） 【答案】3.5米 【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案． 【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE， ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形， 同理：四边形CDFE是矩形； ∴，， 在直角△PDF中，有， 在直角△PAF中，有， ∴， 即， ∴， 解得：； ∴； ∴（米）； ∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度． 23．（2022·辽宁营口·中考真题）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：） 【答案】大楼的高度为92米 【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可． 【详解】 过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F， 四边形BENF为矩形， 设， 在中， 斜坡的坡度，即， 在中， 在中， 解得， 所以，大楼的高度为92米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$