第10讲 代数式（5考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第10讲 代数式 课程标准 学习目标 1 理解代数式的概念； 2 能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示； 3 能解释代数式的实际意义。 1. 掌握代数式的定义、书写规范和求值方法； 2. 能够运用代数式解决实际问题和进行数学推理。 知识点一、代数式 1.代数式的定义：用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式. 带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式. 知识点二、代数式的书写要求 （1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； （4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； （5）除法运算要用分数线； （6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 知识点三、列代数式 1. 把问题中的数量关系用代数式表示出来，及列代数式. 2. 列代数式常用的方法： （1） 抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、“倍”等； （2） 在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式. 知识点四、代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 描述一个代数式的意义的三种途径： （1） 从代数式本身出发来描述字母之间的数量关系； （2） 联系生活实际赋予字母一定的实际意义； （3） 联系几何背景赋予字母一定的几何意义. 知识点五、代数式的值 1. 代数式的值的定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 2. 求代数式的值的步骤 （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 题型01 列代数式 1．用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（　　） A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2 2．“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以0.8（x﹣15）元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去15元 B．在原价的基础上打0.8折后再减去15元 C．在原价的基础上减去15元后再打8折 D．在原价的基础上减去15元后再打0.8折 3．某工厂计划生产n个零件，原计划每天生产a个零件，实际每天比原计划多生产b个零件，则实际生产所用的天数比原计划少（　　） A．天 B．天 C．天 D．天 4．一件工作甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是 　　． 题型02 整体代入求代数式的值 1．已知代数式x﹣2y的值是3，则代数式2x+y的值是（　　） A． B． C． D． 2．若a2﹣4a﹣4＝0，则﹣2a2+8a﹣8的值为（　　） A．﹣12 B．﹣16 C．﹣18 D．18 3．已知x2+2x＝2，则多项式2x2+4x﹣3的值为　　． 题型03 程序框图求代数式的值 1．根据如图所示的程序计算，若输入的x值为5时，输出的值为﹣3，则输入值为﹣1时，输出值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 2．如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣1，则最后输出的结果是 　　． 3．如图所示的运算程序中，若输入的n值为﹣2，则输出的结果为 　　． 4．定义如下运算程序，则输入a＝4，b＝﹣2时，输出的结果为 　　． 题型04 列代数式解决实际问题 1．如图，将一张长方形硬纸板切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长宽分别是mcm，ncm的相同的小长方形，且m＞n． （1）用含m，n的代数式表示这张长方形硬纸板的总面积S； （2）用含m，n的代数式表示这张长方形硬纸板的切痕总长L； （3）若切痕总长为78cm，每块小长方形的面积为30cm2，求阴影部分的面积． 2．一商店在某一时间以每件a元（a＞0）的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%． （1）当a＝60时，分析卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ （2）小安发现：不论a为何值，这样卖两件衣服总的都是亏损．请判断“小安发现”是否正确？ 3．观察、探究、应用． （1）在图1～4中，下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积： ①　 　． ②　 　． ③　 　． ④　 　． （2）通过拼图，你发现图1﹣3的面积与图4面积之间有什么关系？请用数学式子表达为 　　（用含字母a、b的等式表示）． （3）利用（2）的结论计算： ①172+2×17×3+32； ②1992+398+1的值． 题型05 与代数式的值有关的探究型问题 1．已知最外圈的小正方形个数分别为：32﹣1＝8，52﹣32＝16，72﹣52＝24． （1）照这样的规律，接下来第4个和第6个图形最外圈的小正方形个数分别是：　　、　　；第n个图形最外圈的小正方形个数是：　　； （2）写出第n个等式：　 　﹣　 　＝　 　，并证明其正确性； （3）利用（2）中的规律计算：8+16+24+⋯+200． 2．观察下列等式： 第1个等式：32﹣12＝8×1； 第2个等式：52﹣32＝8×2； 第3个等式：72﹣52＝8×3； 第4个等式：92﹣72＝8×4； … 解答下列问题： （1）按规律填空：132﹣112＝8×　　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并加以证明． 3．找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力．观察如图所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①1＝12； ②1+3＝22； ③1+3+5＝32； ④　 　； ⑤1+3+5+7+9＝52； … （2）请写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算11+13+15+17…+47+49． 4．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式：， 第3个等式：． 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明． 1．已知a﹣2b＝1，则代数式2a﹣4b+3的值是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 2．一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A．4 B．2a C．2a+4 D．4a+4 3．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 4．数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b 5．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2023次输出的结果是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 6．若x+2y＝5，则3x+6y﹣1的值是 　 　． 7．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 　 　天完成任务． 8．按照如图所示的程序计算，当输入n的值为﹣3时，则输出的结果是 　 　． 9．已知一个长为6a，宽为2a的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是 　 　．（用含a的代数式表示） 10．将整数1，2，3，…，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，…．则第20次转弯的是 　 　． 11．计算图中阴影部分的面积（用字母a，b表示）． 12．观察下列等式：①32﹣12＝8；②52﹣32＝16；③72﹣52＝24；④92﹣72＝32；… 根据上述规律，解答下列问题： （1）填空：用含n（n是正整数）的等式表示这一规律的第ⓝ个等式是 　 　； （2）证明你的第（1）问结论是正确的． 13．甲、乙两张长方形纸片，边长如图1所示，其中m＞0，面积分别为S甲和S乙． （1）判断S甲和S乙的大小关系，并说明理由； （2）将甲、乙两张纸片按图2方式放置，没有重叠的部分用阴影表示，甲纸片阴影部分的面积为S甲阴，乙纸片阴影部分的面积为S乙阴，若S甲阴﹣S乙阴＝4m，求m的值． 14．如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝3，求S的值． 15．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x的值．请补充以下解答过程（直接填空）： ①当两个字母a，b中有2个正、0个负时，x＝　 　； ②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x＝　 　； ③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝　 　； 综上，当a，b均不为零，求x的值为 　 　． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①a，b，c均不为零，求x的值． ②若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式的值． 16．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠， 超过500元部分给予七折优惠 （1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 　 　元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 　 　元； （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 　 　元，当x大于或等于500元时，他实际付款 　 　元（用含x的代数式表示并化简）； （3）如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？ 17．【知识回顾】 如图1：若数轴上的两点M、N，点M表示的数是m，点N表示的数是n，且n＞m，则点M、点N的距离表示为n﹣m，即线段MN＝n﹣m． 例如：若数轴上的点M表示的数是﹣2，点N表示的数是4，则线段MN＝4﹣（﹣2）＝6． 【简单应用】 （1）如图2，数轴上的A、B两点，且点A在点B左侧，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为t，且AB＝5，则t＝　 　； 【尝试运用】 如图3，数轴上的点M表示的数为﹣2，点N表示的数为4，点T是MN的中点． （2）点T表示的数为 　 　； （3）数轴上的点S表示的数为﹣8，则点M是 　 　的中点； （4）若点P、点Q在数轴上，点P是NQ的中点，且NP＝3MT，则点Q表示的数为 　 　； 【问题创新】 如图4，点A是CB的中点． （5）点C表示的数为 　 　（用含t的代数式表示）； （6）点D为数轴上异于点A的一点，B、C、D三点中恰有一点是另外两点连线的中点，则D表示的数为 　 　（用含t的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 代数式 课程标准 学习目标 1 理解代数式的概念； 2 能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示； 3 能解释代数式的实际意义。 1. 掌握代数式的定义、书写规范和求值方法； 2. 能够运用代数式解决实际问题和进行数学推理。 知识点一、代数式 1.代数式的定义：用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式. 带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式. 知识点二、代数式的书写要求 （1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； （4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； （5）除法运算要用分数线； （6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 知识点三、列代数式 1. 把问题中的数量关系用代数式表示出来，及列代数式. 2. 列代数式常用的方法： （1） 抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、“倍”等； （2） 在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式. 知识点四、代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 描述一个代数式的意义的三种途径： （1） 从代数式本身出发来描述字母之间的数量关系； （2） 联系生活实际赋予字母一定的实际意义； （3） 联系几何背景赋予字母一定的几何意义. 知识点五、代数式的值 1. 代数式的值的定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 2. 求代数式的值的步骤 （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 题型01 列代数式 1．用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（　　） A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2 【分析】先求倍数，然后求差，再求平方． 【解答】解：依题意得：（2a﹣b）2． 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 2．“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以0.8（x﹣15）元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去15元 B．在原价的基础上打0.8折后再减去15元 C．在原价的基础上减去15元后再打8折 D．在原价的基础上减去15元后再打0.8折 【分析】根据式子得到先减去15元，再打折即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， 0.8（x﹣15）元表示：在原价的基础上减去15元后再打8折． 故选：C． 【点评】本题考查代数式的含义，关键是根据题意找到关系式． 3．某工厂计划生产n个零件，原计划每天生产a个零件，实际每天比原计划多生产b个零件，则实际生产所用的天数比原计划少（　　） A．天 B．天 C．天 D．天 【分析】生产n个零件提前的天数＝原计划生产n个零件需要的天数﹣实际生产n个零件需要的天数，把相关数值代入即可． 【解答】解：∵原计划生产n个零件需要的天数为，实际生产n个零件需要的天数为， ∴生产m个零件提前的天数为（）天． 故选：D． 【点评】此题主要考查了列代数式；得到生产n个零件提前的天数的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：工作时间＝工作总量÷工作效率． 4．一件工作甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是 　　． 【分析】直接利用总工作量为1，进而表示出甲、乙每小时完成的总工作量进而得出答案． 【解答】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出完成的工作量份数是解题关键． 题型02 整体代入求代数式的值 1．已知代数式x﹣2y的值是3，则代数式2x+y的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】原式后两项提取变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x﹣2y＝3， ∴原式＝2（x﹣2y）＝2， 故选：D． 【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．若a2﹣4a﹣4＝0，则﹣2a2+8a﹣8的值为（　　） A．﹣12 B．﹣16 C．﹣18 D．18 【分析】将a2﹣4a﹣4＝0变形为a2﹣4a＝4，整体代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵a2﹣4a﹣4＝0， ∴a2﹣4a＝4， ∴﹣2a2+8a﹣8＝﹣2（a2﹣4a）﹣8＝﹣2×4﹣8＝﹣16． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的化简求值，整体代入是解答本题的关键． 3．已知x2+2x＝2，则多项式2x2+4x﹣3的值为　　． 【分析】先变形，再整体代入求出即可． 【解答】解：∵x2+2x＝2， ∴2x2+4x﹣3＝2（x2+2x）﹣3＝2×2﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键． 题型03 程序框图求代数式的值 1．根据如图所示的程序计算，若输入的x值为5时，输出的值为﹣3，则输入值为﹣1时，输出值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 【分析】先根据输入5输出﹣3确定b的值，再输入﹣1计算即可． 【解答】解：∵输入的x值为5时，输出的值为﹣3， ∴3． 解得b＝1． 当输入值为﹣1时， y＝﹣2×（﹣1）+1＝2+1＝3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的运算，确定b的值是解决本题的关键． 2．如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣1，则最后输出的结果是 　　． 【分析】把x＝﹣1代入计算程序中计算得到结果，判断与﹣5大小即可确定出最后输出结果． 【解答】解：把x＝﹣1代入计算程序中得：（﹣1）×4﹣（﹣1）＝﹣4+1＝﹣3＞﹣5， 把x＝﹣3代入计算程序中得：（﹣3）×4﹣（﹣1）＝﹣12+1＝﹣11＜﹣5， 则最后输出的结果是﹣11， 故答案为：﹣11． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．如图所示的运算程序中，若输入的n值为﹣2，则输出的结果为 　　． 【分析】根据运算程序计算，若结果大于3，则符合题意，否则就输入程序重新计算即可． 【解答】解：若输入的n值为﹣2， 则（﹣2+1）2﹣5＝1﹣5＝﹣4＜3； 若输入的n值为﹣4， 则（﹣4+1）2﹣5＝9﹣5＝4＞3， 所以输出的结果为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是关键程序正确列出计算式． 4．定义如下运算程序，则输入a＝4，b＝﹣2时，输出的结果为 　　． 【分析】由程序框图将a＝4，b＝﹣2代入a+b计算可得答案． 【解答】解：∵a＝4，b＝﹣2，a＞b， ∴输出结果为代入a+b＝4+（﹣2）＝2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型04 列代数式解决实际问题 1．如图，将一张长方形硬纸板切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长宽分别是mcm，ncm的相同的小长方形，且m＞n． （1）用含m，n的代数式表示这张长方形硬纸板的总面积S； （2）用含m，n的代数式表示这张长方形硬纸板的切痕总长L； （3）若切痕总长为78cm，每块小长方形的面积为30cm2，求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据长方形的长为（2m+n） cm，宽为（m+2n） cm，可计算面积； （2）根据图形的特点可计算折痕长度； （3）根据整体代入法进行计算． 【解答】解：（1）∵大长方形的长为（2m+n） cm，宽为（m+2n） cm， ∴长方形硬纸板的总面积S＝（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2； （2）根据题意可知， 长方形硬纸板的切痕总长L＝2（m+2n）+2（2m+n） ＝2m+4n+4m+2n ＝（6m+6n）（cm）； （3）每块小长方形的面积为30cm2，即mn＝30， 切痕总长为78cm，即6m+6n＝78，整理得，m+n＝13， ∵（m+n）2＝169，整理得， m2+n2+2mn＝169， m2+n2＝169﹣2mn＝169﹣2×30＝109， ∴阴影部分的面积＝2m2+2n2＝2×109＝218（cm2）． 【点评】本题考查了列代数式，掌握题意，列出代数式是关键． 2．一商店在某一时间以每件a元（a＞0）的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%． （1）当a＝60时，分析卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ （2）小安发现：不论a为何值，这样卖两件衣服总的都是亏损．请判断“小安发现”是否正确？ 【分析】（1）本题关键是根据已知条件，求出这两件衣服的成本价格．然后再根据卖价都是a元，算出两件衣服的总利润为﹣8，所以亏损． （2）由（1）知两件衣服的成本价格分别为：，，然后在都以a元价格卖出即可算出总利润为0恒成立．所以“小安发现”是正确的 【解答】解（1）设两件衣服每件的成本价格分别是x元，y元 依题意列方程：x×（1+25%）＝a y×（1﹣25%）＝a 解得：x，y 当a＝60时，x＝48，y＝80 60﹣48+60﹣80＝﹣8＜0 ∴当a＝60时，卖出这两件衣服总的是亏损． （2）正确．理由如下 aa0 故小安的发现是正确的． 【点评】本题是典型的利润问题，搞清楚这两件衣服的成本价格是解决本题的关键． 3．观察、探究、应用． （1）在图1～4中，下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积： ①　 　． ②　 　． ③　 　． ④　 　． （2）通过拼图，你发现图1﹣3的面积与图4面积之间有什么关系？请用数学式子表达为 　　（用含字母a、b的等式表示）． （3）利用（2）的结论计算： ①172+2×17×3+32； ②1992+398+1的值． 【分析】（1）利用长方形及正方形的面积公式求解即可； （2）利用拼图可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2； （3）利用完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）图1的面积是a2，图2的面积是2ab，图3的面积是b2，图4的面积是（a+b）2， 故答案为：①a2；②2ab；③b2；④（a+b）2； （2）用数学式子表示为（a+b）2＝a2+2ab+b2． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （3）①172+2×17×3+32＝（17+3）2＝202＝400； ②1992+398+1＝（199+1）2＝2002＝40000． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是正确的得出完全平方公式． 题型05 与代数式的值有关的探究型问题 1．已知最外圈的小正方形个数分别为：32﹣1＝8，52﹣32＝16，72﹣52＝24． （1）照这样的规律，接下来第4个和第6个图形最外圈的小正方形个数分别是：　　、　　；第n个图形最外圈的小正方形个数是：　　； （2）写出第n个等式：　 　﹣　 　＝　 　，并证明其正确性； （3）利用（2）中的规律计算：8+16+24+⋯+200． 【分析】（1）根据第1个图形外圈的小正方形个数是1×8；第2个图形外圈的小正方形个数是2×8，第3个图形外圈的小正方形个数是3×8，则可得第4个和第6个图形最外圈的小正方形个数； （2）根据32﹣12＝（1×2+1）2﹣（1×2﹣1）2＝1×8；52﹣32＝（2×2+1）2﹣（2×2﹣1）2＝16＝2×8，72﹣52＝（3×2+1）2﹣（3×2﹣1）2＝24＝3×8，以此类推，第n个图形外圈的小正方形个数是（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；利用平方差公式得（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，由此可得出答案； （3）根据8+16+24+…+200＝1×8+2×8+3×8+…+25×8＝8×（1+2+3+…+25），然后再计算即可． 【解答】解：（1）第1个图形外圈的小正方形个数是：32﹣1＝1×8， 第2个图形外圈的小正方形个数是：52﹣32＝16＝2×8， 第3个图形外圈的小正方形个数是：72﹣52＝24＝3×8， ∴第4个图形外圈的小正方形个数是：4×8＝32，第6个图形外圈的小正方形个数是：6×8＝48， 以此类推，第n个图形外圈的小正方形个数是：8n． 故答案为：32；48；8n． （2）第1个图形外圈的小正方形个数是：32﹣12＝（1×2+1）2﹣（1×2﹣1）2＝1×8， 第2个图形外圈的小正方形个数是：52﹣32＝（2×2+1）2﹣（2×2﹣1）2＝16＝2×8， 第3个图形外圈的小正方形个数是：72﹣52＝（3×2+1）2﹣（3×2﹣1）2＝24＝3×8， …，以此类推，第n个图形外圈的小正方形个数是：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， 证明如下： ∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝4n×2 ＝8n， ∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， 故答案为：（2n+1）；（2n﹣1）2；8n． （3）8+16+24+…+200 ＝1×8+2×8+3×8+…+25×8 ＝8×（1+2+3+…+25） ＝8（1+25）×25 ＝4×26×25 ＝2600． 【点评】此题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳总结出规律，然后根据总结出的规律来解决问题，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，哪些部分没有发生变化． 2．观察下列等式： 第1个等式：32﹣12＝8×1； 第2个等式：52﹣32＝8×2； 第3个等式：72﹣52＝8×3； 第4个等式：92﹣72＝8×4； … 解答下列问题： （1）按规律填空：132﹣112＝8×　　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并加以证明． 【分析】（1）根据题目中的等式特点猜想、求解； （2）根据题目中的等式特点猜想、证明． 【解答】解：（1）第1个等式：32﹣12＝8×1； 第2个等式：52﹣32＝8×2； 第3个等式：72﹣52＝8×3； 第4个等式：92﹣72＝8×4， 可得，第5个等式：112﹣92＝8×5； 第6个等式：132﹣112＝8×6， 故答案为：6； （2）由题意可猜想得， 第n个等式为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， 证明：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝[（2n+1）+（2n﹣1）]•[（2n+1）﹣（2n﹣1）] ＝4n•2 ＝8n， ∴第n个等式为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n． 【点评】此题考查了算式变化类规律问题的解决能力，关键是能准确根据题意猜想、归纳和证明． 3．找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力．观察如图所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①1＝12； ②1+3＝22； ③1+3+5＝32； ④　 　； ⑤1+3+5+7+9＝52； … （2）请写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算11+13+15+17…+47+49． 【分析】（1）由规律可得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，由此可得到答案； （2）由小问1可知第n个等式为从1开始连续n个奇数的和，由此可知答案； （3）首先将原式改写成（1+3+5+⋅⋅⋅+47+49）﹣（1+3+5+7+9），然后利用（2）中的结论即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知，第四项为1+3+5+7＝42， 故答案为：1+3+5+7＝42； （2）由图形知：1＝2×1﹣1＝12； 1+3＝1+（2×2﹣1）＝22， 1+3+5＝1+3+（2×3﹣1）＝32 …… 以此类推可知，第n个等式为， 故答案为：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2； （3）11+13+15+⋅⋅⋅+47+49 ＝（1+3+5+7…+47+49）﹣（1+3+5+7+9） ＝（1+3+5+7+•••+25×2﹣1）﹣（1+3+5+7+5×2﹣1） ＝252﹣52 ＝625﹣25 ＝600． 【点评】本题考查了数字之间的规律，仔细观察图形、发现其中规律是本题的解题关键． 4．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式：， 第3个等式：． 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明． 【分析】（1）根据前4个等式，写出第5个等式即可； （2）第n个等式：1；证明等式左边＝等式右边即可． 【解答】解：（1）第5个等式：1， 故答案为：1． （2）第n个等式：1； 证明： ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是数式的变化规律，列代数式，从题目中找出等式的变化规律是解题的关键． 1．已知a﹣2b＝1，则代数式2a﹣4b+3的值是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【分析】已知a﹣2b的值，将原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a﹣2b＝1， ∴原式＝2（a﹣2b）+3＝2+3＝5． 故选：D． 【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A．4 B．2a C．2a+4 D．4a+4 【分析】一个正方形的边长是a，若边长增加2，则边长变为（a+2），根据正方形的面积公式和作差法求得答案． 【解答】解：根据题意，得（a+2）2﹣a2＝4a+4． 故选：D． 【点评】本题考查了列代数式．解题的关键是掌握正方形的面积公式． 3．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【分析】根据图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【解答】解：由图可得， 图中阴影部分的面积为：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，故选项A符合题意， x（x+3）+2×3＝x（x+3）+6，故选项B不符合题意， 3（x+2）+x2，故选项C不符合题意， （x+3）（x+2）﹣2x，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 4．数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b 【分析】数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，再根据整式的加减乘法运算的计算法则即可求解． 【解答】解：数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，AM＝a+b﹣a＝b，原点在A，M之间，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|， 则a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0， 故运算结果一定是正数的是a+b． 故选：A． 【点评】考查了列代数式，数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|． 5．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2023次输出的结果是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【分析】根据输出结果呈现循环，找出循环规律得出结果即可． 【解答】解：由题知，从第次输出开始，输出的结果按4，2，1，4，2，1的顺序出现循环， 2023÷3＝674余1， ∴第2023次输出结果为4， 故选：B． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，得出输出结果的循环规律是解题的关键． 6．若x+2y＝5，则3x+6y﹣1的值是 　14　． 【分析】将3x+6y﹣1转化为3（x+2y）﹣1再整体代入计算即可． 【解答】解：∵x+2y＝5， ∴3x+6y﹣1＝3（x+2y）﹣1＝3×5﹣1＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了代数式求值，整体代入是解答本题的关键． 7．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 　　天完成任务． 【分析】根据总棵数÷每天植树的棵数，分别算出需要的天数；再相减化简求出结果． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据等量关系式来列代数式解答． 8．按照如图所示的程序计算，当输入n的值为﹣3时，则输出的结果是 　132　． 【分析】根据题意列式计算后直至计算结果大于29即可． 【解答】解：当输入n的值为﹣3时， 则（﹣3）2﹣（﹣3）＝9+3＝12＜29，返回继续运算； 122﹣12＝144﹣12＝132＞29，输出结果； 故答案为：132． 【点评】本题考查代数式求值及有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 9．已知一个长为6a，宽为2a的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是 　2a　．（用含a的代数式表示） 【分析】根据题意和题目中的图形，可以得到图2中小长方形的长和宽，从而可以得到阴影部分正方形的边长． 【解答】解：由图可得， 图2中每个小长方形的长为3a，宽为a， 则阴影部分正方形的边长是：3a﹣a＝2a， 故答案为：2a． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，得到小长方形的长和宽，利用数形结合的思想解答． 10．将整数1，2，3，…，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，…．则第20次转弯的是 　111　． 【分析】第一次转弯2＝1+1．第二次转弯3＝1+1+1，第三次转弯5＝1+1+1+2，第四次转弯7＝1+1+1+2+2，第五次转弯10＝1+1+1+2+2+3，第六次转弯13＝1+1+1+2+2+3+3，…，据此可求第20次转弯． 【解答】解：第一次转弯2＝1+1， 第二次转弯3＝1+1+1， 第三次转弯5＝1+1+1+2， 第四次转弯7＝1+1+1+2+2， 第五次转弯10＝1+1+1+2+2+3， 第六次转弯13＝1+1+1+2+2+3+3， …， 第20次转弯： 1+1+1+2+2+3+3+…+10+10＝1+2（1+2+3+…+10）＝111． 故答案为：111． 【点评】本题考查了数字的变化规律，解答的关键是根据数字找到相应的变化规律． 11．计算图中阴影部分的面积（用字母a，b表示）． 【分析】根据长方形的面积公式，分别表示出大长方形的面积和小长方形的面积；再相减化简即可． 【解答】解：（3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（a+b） ＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣2ab﹣2b2﹣a2﹣ab ＝5a2+4ab． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据长方形面积公式来用字母表示出图形阴影部分的面积． 12．观察下列等式：①32﹣12＝8；②52﹣32＝16；③72﹣52＝24；④92﹣72＝32；… 根据上述规律，解答下列问题： （1）填空：用含n（n是正整数）的等式表示这一规律的第ⓝ个等式是 　（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n　； （2）证明你的第（1）问结论是正确的． 【分析】（1）根据上述等式，即可得出一般规律，即第ⓝ个等式是：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n； （2）证明等式左边＝等式右边即可． 【解答】解：（1）第ⓝ个等式是：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， 故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n． （2）证明：等式左边＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1 ＝8n ＝等式右边， ∴等式成立． 【点评】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 13．甲、乙两张长方形纸片，边长如图1所示，其中m＞0，面积分别为S甲和S乙． （1）判断S甲和S乙的大小关系，并说明理由； （2）将甲、乙两张纸片按图2方式放置，没有重叠的部分用阴影表示，甲纸片阴影部分的面积为S甲阴，乙纸片阴影部分的面积为S乙阴，若S甲阴﹣S乙阴＝4m，求m的值． 【分析】（1）运用长方形面积公式，用代数式表示出两个长方形的面积，再相减计算，最后根据m＞0来判断出两个长方形的大小； （2）根据题意得到，S甲阴﹣S乙阴就是两个长方形的面积差，再建立含有m的等式，即可求出结果． 【解答】解：（1）（m+4）（m+9）＝m2+13m+36， （m+5）（m+7）＝m2+12m+35， ∴m2+13m+36﹣（m2+12m+35）＝m+1， ∵m＞0， ∴m+1＞0， 则S甲＞S乙． （2）根据题意得到m+1＝4m， 即m． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据图形的面积公式和数量关系来解答． 14．如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝3，求S的值． 【分析】根据图形可知：阴影部分的面积可用长方形的面积减去两个直角三角形的面积． 【解答】解：（1）由图形可知：S＝4×84×84（4﹣x） ＝16﹣8+2x ＝（8+2x）cm2． 另解：大三角形面积为：4×8＝16cm2， 小直角三角形的面积为：（8﹣4）×（4﹣x）＝（8﹣2x）cm2， ∴S＝8×4﹣16﹣（8﹣2x）＝（8+2x）cm2． （2）将x＝3代入上式，S＝8+2×3＝14cm2． 【点评】本题考查列代数式求值，涉及长方形的面积公式，三角形面积公式，代数式求值等问题． 15．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x的值．请补充以下解答过程（直接填空）： ①当两个字母a，b中有2个正、0个负时，x＝　2　； ②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x＝　0　； ③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝　﹣2　； 综上，当a，b均不为零，求x的值为 　2或0或﹣2　． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①a，b，c均不为零，求x的值． ②若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式的值． 【分析】（1）先化简绝对值，再求和； （2）仿照（1），先分类讨论，再求解． 【解答】解：（1）①当两个字母a，b中有2个正、0个负时，则a＞0，b＞0． ∴x． ②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，假设a＞0，b＜0， ∴x． ③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，则a＜0，b＜0． ∴x． 综上：当a，b均不为零，求x的值为2或0或﹣2． 故答案为：2；0；﹣2；2或0或﹣2． （2）①当a，b，c均不为零， 若a、b、c中有3个正数，则：x1+1+1＝3； 若a、b、c中有2个正数，假设a＞0，b＞0，则：x1+1﹣1＝1； 若a、b、c中有1个正数，假设a＞0，则：x1﹣1﹣1＝﹣1； 若a、b、c中有0个正数，则：x1﹣1﹣1＝﹣3； ②∵a，b，c均不为零，且a+b+c＝0， ∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a， ∴， 由①得：原式的值为：±1或者±3． 【点评】本题考查了代数式的求值，分类讨论是看解题的关键． 16．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠， 超过500元部分给予七折优惠 （1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 　470　元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 　160或200　元； （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 　0.8x　元，当x大于或等于500元时，他实际付款 　（0.7x+50）　元（用含x的代数式表示并化简）； （3）如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【分析】（1）利用优惠方案列式运算即可； （2）利用优惠方案列式运算即可； （3）利用优惠方案列式，再将a值代入运算即可． 【解答】解：（1）500×0.8+（600﹣500）×0.7 ＝400+100×0.7 ＝400+70 ＝470（元）； 实际付款160元，有两种可能： 一是一次性购物160元，没有优惠； 二是一次性购物x元（x≥200），则有八折优惠，实际付款160元， 则建立等式：x×0.8＝160， 解得：x＝200． 所以，王老师一次性购物可能是160或200元． 故答案为：470；160或200； （2）当x小于500元但不小于200时，实际付款x×0.8＝0.8x； 当x大于或等于500元时， 实际付款：500×0.8+（x﹣500）×0.7 ＝400+（0.7x﹣350） ＝400+0.7x﹣350 ＝（0.7x+50）元； 故答案为：0.8x；（0.7x+50）； （3）因为第一天购物原价为a元（200＜a＜300）， 则第二天购物原价为（900﹣a）元， 易知：（900﹣a）＞500， 第一天购物优惠后实际付款 a×0.8＝0.8a（元）， 第二天购物优惠后实际付款： 500×0.8+[（900﹣a）﹣500]×0.7 ＝400+[900﹣a﹣500]×0.7 ＝400+（400﹣a）×0.7 ＝400+280﹣0.7a ＝（680﹣0.7a）元， 则一共付款 0.8a+680﹣0.7a ＝（0.1a+680）元， 当a＝250元时， 实际一共付款：680+0.1×250＝680+25＝705（元）， 一共节省900﹣705＝195（元）． 【点评】本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握要正确列代数式，只有分清数量之间的关系，表示超出的部分是解题关键． 17．【知识回顾】 如图1：若数轴上的两点M、N，点M表示的数是m，点N表示的数是n，且n＞m，则点M、点N的距离表示为n﹣m，即线段MN＝n﹣m． 例如：若数轴上的点M表示的数是﹣2，点N表示的数是4，则线段MN＝4﹣（﹣2）＝6． 【简单应用】 （1）如图2，数轴上的A、B两点，且点A在点B左侧，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为t，且AB＝5，则t＝　2　； 【尝试运用】 如图3，数轴上的点M表示的数为﹣2，点N表示的数为4，点T是MN的中点． （2）点T表示的数为 　1　； （3）数轴上的点S表示的数为﹣8，则点M是 　SN　的中点； （4）若点P、点Q在数轴上，点P是NQ的中点，且NP＝3MT，则点Q表示的数为 　﹣14或22　； 【问题创新】 如图4，点A是CB的中点． （5）点C表示的数为 　﹣6﹣t　（用含t的代数式表示）； （6）点D为数轴上异于点A的一点，B、C、D三点中恰有一点是另外两点连线的中点，则D表示的数为 　3t+6或﹣12﹣3t或﹣3　（用含t的代数式表示）． 【分析】（1）根据距离的求法得t﹣（﹣3）＝5，解得t＝2． （2）根据线段中点的求法得：（﹣2+4）＝1． （3）经过检验，（﹣8+4）＝﹣2，得到M是SN的中点． （4）由MT＝1﹣（﹣2）＝3，得NP＝3MT＝3×3＝9，再分情况讨论：当P在N的左边，或当P在N的右边，即可求得． （5）根据点A是CB的中点，设C表示的数为：y，再根据线段中点的求法可得：﹣3（y+t），即可求出点C表示的数． （6）设D表示的数为：d，然后分三种情况讨论：B是CD的中点，C是BD的中点时，D是BC的中点，然后列式计算即可． 【解答】解：（1）∵AB＝5， ∴t﹣（﹣3）＝5， ∴t＝2． 故答案为：2． （2）点T表示的数为：（﹣2+4）＝1． 故答案为：1． （3）∵（﹣8+4）＝﹣2， ∴M是SN的中点． 故答案为：SN． （4）∵MT＝1﹣（﹣2）＝3， ∴NP＝3MT＝3×3＝9， 当P在N的左边时， P表示的数为：4﹣9＝﹣5， ∵点P是NQ的中点， 设Q表示的数为：x， ∴﹣5（x+4）， ∴x＝﹣14． 当P在N的右边时， P表示的数为：4+9＝13， ∵点P是NQ的中点， 设Q表示的数为：x， ∴13（x+4）， ∴x＝22． 综上所述，点Q表示的数为：﹣14或22． （5）∵点A是CB的中点， 设C表示的数为：y， ∴﹣3（y+t）， ∴y＝﹣6﹣t． 故点C表示的数为：﹣6﹣t． （6）设D表示的数为：d， 当B是CD的中点时， t（﹣6﹣t+d）， ∴d＝3t+6． 当C是BD的中点时， ﹣6﹣t（d+t）， ∴d＝﹣12﹣3t． 当D是BC的中点时， d（﹣6﹣t+t）＝﹣3． 综上所述，D表示的数为3t+6或﹣12﹣3t或﹣3． 【点评】本题考查了数轴的知识，求线段距离，以及求线段中点的方法，是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$