6.3.3 余角和补角 课件 2024-2025学年人教版七年级数学上册

6.3 角 6.3.3 余角和补角 R·七年级上册 学习目标 1.认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质. 2.通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 复习导入 O A C B 你能说说图中角的和差关系吗？ ∠AOC=∠AOB+_______ ∠AOB=∠AOC-_______ ∠BOC=∠AOC-_______ ∠BOC ∠BOC ∠AOB 推进新课 知识点一 余角和补角的概念 探究1：图中∠A与∠B有怎样的数量关系？ ∠A+∠B=90° A B C A B C 探究2：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角. 1.∠1与∠2有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° 2.∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4=180° 余角的概念 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余. ∠1和∠2互为余角 ∠1+∠2=90° （∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1 ） 补角的概念 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补. ∠3和∠4互为补角 ∠3+∠4=180° （∠3=180°-∠4或∠4=180°-∠3 ） 注意： (1)余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关,且它们是成对出现的,单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角. (2)若两个角互余,则这两个角一定都是锐角;若两个角互补，则这两个角可能都是直角,也可能是一个锐角、一个钝角. 知识点二 余角、补角的性质 思考1：如图，∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？ 解：因为∠1与∠2互为余角， 所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠1与∠3互为余角， 所以∠3＝ 90°-∠1， 根据等式的性质，∠2=∠3. 同角的余角相等 思考2：已知：∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：因为∠1与∠2互为余角， 所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠3与∠4互为余角， 所以∠4＝ 90°-∠3， 因为∠1=∠3 根据等式的性质，∠2=∠4. 等角的余角相等 思考3：如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？ 解：因为∠1与∠2互为补角， 所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠1与∠3互为补角， 所以∠3＝ 180°-∠1， 根据等式的性质，∠2=∠3. 同角的补角相等 2 解：因为∠1与∠2互为补角， 所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠3与∠4互为补角， 所以∠4＝ 180°-∠3， 因为∠1=∠3 根据等式的性质，∠2=∠4. 思考4：已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 等角的补角相等 归纳： 类型 性质 数学语言 余角 补角 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 ①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， 那么∠2＝∠3； ②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4 ①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 那么∠2＝∠3； ②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4 例4 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 分析： 找90° 点A，O，B在同一直线上 平角180° 角平分线 两个角互为余角 解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OC分别平分∠AOC和∠BOC，所以 所以，∠COD和∠COE互为余角. 同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角. 随堂演练 1.∠1与∠2互为补角，且∠1>∠2，则∠2 的余角是（ ） A.∠1+∠2 B.∠1-∠2 C.∠1-90° D.90°-∠1 C 2.如图，O为直线 AB 上一点，OD 平分∠AOC，∠DOE=90°. （1）图中共有_____对互补的角； （2）若∠AOD=50°，求∠BOC 的度数. 5 （2）解：因为OD平分∠AOC，∠AOD=50° 所以∠AOC=2∠AOD=100°， 所以∠BOC=180-∠AOC=80°. 3.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 【选自教材P177 练习 第1题】 解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、80°和 100°. 【选自教材P177 练习 第2题】 4. 一个角是70°39'，求它的余角和补角. 解：它的余角是 19°21′，补角是 109°21′. 5. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？ 解：设∠α= x.则 3x=180°-x，解得 x=45°.所以∠α是 45° 【选自教材P177 练习 第3题】 6.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 解：先将其一边 OA 反向延长为 OC，便可测出∠BOC 的度数，而∠AOB与∠BOC互为补角，故∠AOB=180°-∠BOC C 【选自教材P177 练习 第4题】 互为余角 互为补角 两角间的关系 性质 课堂小结 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° 布置作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 Lavf58.20.100 $$