期末复习第四章图形的相似梳理卷 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九上期末专题总复习——第四章《图形的相似》 【知识梳理】 考点1.成比例线段： 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 注：四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关！ 判断四条线段是否是成比例线段的方法：先从小到大进行排序（较小，小，大，较大），再计算是否相等. 【课堂练习】 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12 2.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　） A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，， 【知识梳理】 考点2.比例的基本性质：如果，那么；如果（a,b,c,d都不为0），那么. 比例的其他性质：（参数法：设k） 1　 等比性质：如果，那么. 2　 合分比性质：如果，那么. 【课堂练习】 1．已知，，且b+d≠0，下列各式正确的是（　　） A．3c＝4d B． C． D． 2．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．若（3b+d﹣2f≠0），则的值是（　　） A．1 B． C．3 D．无法确定 4．若2x＝5y，则的值是 　 　． 5．如果a：b＝3：2，那么＝　 　． 6．已知非零实数a，b，c满足＝＝，则的值为 　 　． 7．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值为 　 　． 【知识梳理】 考点3.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 【课堂练习】 1．如图，已知AB∥CD∥EF，若，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 2．如图，l1∥l2∥l3，DE＝6，EF＝7，AB＝5，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．6 3．如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且，CD与AE交于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝2．若AE＝6，则EC的值为 　 　． 6．如图，已知AB∥CD∥EF，，则＝　 　． 7． 如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且，CE交AB于点F．若AF＝6cm，则 AB＝　 　cm． 【知识梳理】 考点4.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形. 相似三角形：三角分别相等、三边成比例的两个三角形. 考点5.三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似;AA 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;SAS 三边成比例的两个三角形相似;SSS 考点6.黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC,BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比(). 注：；. 一条线段上一般有2个黄金分割点（分类讨论）；两个黄金分割点之间的距离= 【课堂练习】 1．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（　　） A．30° B．35° C．80° D．100° 2．如图，已知∠DAB＝∠EAC，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ABC的是（　　） A．∠E＝∠C B．∠D＝∠B C．＝ D．＝ 3．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 4．如果点C是线段AB的黄金分割点（且BC＞AC），那么下列结论错误的为（　　） A．＝ B．BC是AC和AB的比例中项 C．＝ D．＝ 5．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段BP的长为（　　） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（　　） A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B．两个矩形一定相似 C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形 7．下列命题中，是真命题的是（　　） A．一条线段上只有一个黄金分割点 B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似 C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 D．若2x＝3y，则＝ 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒． （1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【知识梳理】 考点7.相似三角形的性质：相似三角形中对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比； 即相似三角形中对应线段的比都等于相似比. 相似三角形（多边形）的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 【课堂练习】 1．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了4cm，则复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（　　） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍 2．已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（　　） A． B．6 C．9 D．18 3．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 4．如图，M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，当AN＝　 　时，△ABC∽△AMN． 5．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差是12cm，那么小三角形的周长为　 　． 6．已知两个相似三角形的周长比为2：5，若它们的面积和为58m2．则两个三角形的面积分别为：　 　． 7．如果两个相似三角形的对应边之比是3：7，其中一个三角形的一条角平分线长为2，则另一个三角形对应角平分线的长为　 　． 【知识梳理】 考点8.利用相似三角形测高 1　 利用太阳光（平行投影） 2　 利用平面镜 3　 利用标杆 构造相似三角形常用的方法有“三线”：平行线、作垂线、作延长线 【课堂练习】 1．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 2．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度． 3．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） （1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子； （2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； （3）计算路灯A的高度． 4．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 【知识梳理】 考点9.位似图形：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P’所在的直线都经过同一点O，且有OP’=kOP(k不等于0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心,k就是这个相似多边形的相似比. 注：位似一定相似，相似不一定位似； 考点10.位似图形的性质： 1　 位似图形对应点的连线或延长线交于一点 2　 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 3　 位似图形对应线段平行，且对应线段之比相等； 4　 位似图形对应角相等. 考点11.位似图形的坐标变换规律： 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k不等于0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点O，相似比为. 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k(k>0)，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.即若原图形中一点的坐标为，则其对应点的坐标为或. 答案解析 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：A、∵3×7≠4×6，∴四条线段不成比例； B、∵5×8≠6×7，∴四条线段不成比例； C、∵8×8≠4×6，∴四条线段不成比例； D、∵15×8＝10×12，∴四条线段成比例； 故选：D． 【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　） A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，， 【考点】比例线段．版权所有 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】D 【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案． 【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意， B.1×4≠2×3，故不符合题意， C.≠2×3，故不符合题意， D.，故符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 2．已知，，且b+d≠0，下列各式正确的是（　　） A．3c＝4d B． C． D． 【分析】利用比例的性质对各选项进行判断． 【解答】解：∵＝， ∴4c＝3d，所以A选项不符合题意； ∵，且b+d≠0， ∴＝，所以B选项符合题意； ∵＝，， ∴＝ ∴＝＝，所以C选项不符合题意； ∵＝， ∴＝＝﹣，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 3．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先把化成+1，再把代入进行计算，即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴＝+1＝+1＝． 故选：D． 【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是化成+1． 5．若（3b+d﹣2f≠0），则的值是（　　） A．1 B． C．3 D．无法确定 【分析】利用比例的性质得到a＝3b，c＝3d，e＝3f，再把它们代入中进行分式的运算即可． 【解答】解：∵（3b+d﹣2f≠0）， ∴a＝3b，c＝3d，e＝3f， ∴＝＝＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握常用的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 15:11:11；用户：黄启蒙；邮箱：13691744518；学号：301938971．若2x＝5y，则的值是 　　． 【分析】利用设k法进行计算即可解答． 【解答】解：∵2x＝5y， ∴＝， ∴设x＝5k，y＝2k， ∴＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 2．如果a：b＝3：2，那么＝　5　． 【分析】利用设k法进行计算即可解答． 【解答】解：∵a：b＝3：2， ∴设a＝3k，b＝2k， ∴＝＝＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键． 3．已知非零实数a，b，c满足＝＝，则的值为 　1　． 【分析】设＝＝＝k，根据内项之积等于外项之积得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，再把它们分别代入所求的代数式中，然后进行分式的化简即可． 【解答】解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k， 所以＝＝＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 4．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值为 　2或﹣1　． 【分析】分两种情况：当a+b+c≠0时，当a+b+c＝0时，进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当a+b+c≠0时，根据等比性质可得： k＝ ＝ ＝2； 当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c， ∴k＝＝＝﹣1， 综上所述：k的值为2或﹣1， 故答案为：2或﹣1． 【点评】本题考查了比例的性质，分两种情况进行计算是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 15:17:28；用户：黄启蒙；邮箱：13691744518；学号：301938971．如图，已知AB∥CD∥EF，若，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴＝， ∵＝， ∴＝． 故选：A． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 2．如图，l1∥l2∥l3，DE＝6，EF＝7，AB＝5，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．6 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∵DE＝6，EF＝7，AB＝5， ∴＝， 解得：BC＝， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴＝， ∵AC＝CG， ∴＝＝， 故A正确，不符合题意； ∵CD∥EF， ∴＝， ∵DE＝3DG， ∴EG＝2DG， ∴＝＝， 故B正确，不符合题意． ∵CD∥EF， ∴＝ ∵BG＝2DG，BE＝4DG， ∴DE＝3DG， ∴＝＝， 故C正确，不符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴＝， ∵AG＝FG， ∴BG＝EG， ∴BE＝2BG， ∵＝＝， ∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴＝， 故D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且，CD与AE交于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DH∥BC交AE于H，可得DH为△ABE的中位线，可得DH＝BE，设BE＝3x，则CE＝2x，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DH∥BC交AE于H， ∵D是AB边的中点， ∴点H是AE的中点， ∴DH是△ABE的中位线， ∴DH＝BE， 设BE＝3x，则CE＝2x，DH＝x， ∵DH∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点D作DH∥BC，构造三角形的中位线是解题的关键． 二．填空题（共3小题） 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝2．若AE＝6，则EC的值为 　3　． 【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出＝，代入＝2及AE＝6，即可求出EC的值． 【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC， ∴＝，即＝， ∴EC＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 6．如图，已知AB∥CD∥EF，，则＝　　． 【分析】经过平行线分线段成比例定理列出比例式，求出，根据比例的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，＝， ∴＝＝， ∴＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 7．如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且，CE交AB于点F．若AF＝6cm，则AB＝　30　cm． 【分析】过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到＝＝，进而得出BF＝4AF＝24cm，可得AB的长度． 【解答】解：如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G， ∵AE＝AD，AG∥BC， ∴△AEG∽△DEC， ∴＝＝， 又∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2CD， ∴＝， ∵AG∥BC， ∴△AFG∽△BFC， ∴， ∴BF＝4AF＝24cm， ∴AB＝AF+BF＝30cm， 故答案为：30． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，过A作AG∥BC，构造相似三角形是解决此题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 15:23:01；用户：黄启蒙；邮箱：13691744518；学号：30193897 1．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（　　） A．30° B．35° C．80° D．100° 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题． 【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°， 又∵△ABC∽△DEF， ∴∠F＝∠C＝80°， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理． 2．下列说法正确的是（　　） A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B．两个矩形一定相似 C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形 【分析】根据相似图形的定义一一判断即可． 【解答】解：A、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，因为100°只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意； B、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意； C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意； D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型． 3．如图，已知∠DAB＝∠EAC，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ABC的是（　　） A．∠E＝∠C B．∠D＝∠B C．＝ D．＝ 【分析】求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC， A．∠E＝∠C，∠DAE＝∠BAC，符合相似三角形的判定定理，能推出△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意； B．∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC，符合相似三角形的判定定理，能推出△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意； C．＝，∠DAE＝∠BAC，符合相似三角形的判定定理，能推出△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意； D．＝，∠DAE＝∠BAC，不符合相似三角形的判定定理，不能推出△ADE∽△ABC，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：①如果一个三角形的两角和另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，②如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且这两边的夹角也相等那么这两个三角形相似． 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．一条线段上只有一个黄金分割点 B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似 C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 D．若2x＝3y，则＝ 【分析】根据黄金分割的定义对A选项进行判断；根据相似多边形的定义对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理对C选项进行判断；根据比例的性质对D选项进行判断． 【解答】解：A．一条线段上有两个黄金分割点，所以A选项不符合题意； B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似，所以B选项符合题意； C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以C选项不符合题意； D．若2x＝3y，则＝，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5．下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】根据位似图形的概念判断即可． 【解答】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故本小题说法错误； ②位似图形一定有位似中心，本小题说法正确； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，本小题说法正确； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断． 【解答】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°， 而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°， 再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③， 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键． 7．如果点C是线段AB的黄金分割点（且BC＞AC），那么下列结论错误的为（　　） A．＝ B．BC是AC和AB的比例中项 C．＝ D．＝ 【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可． 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（且BC＞AC）， ∴BC是AC和AB的比例中项，＝＝， ∴＝＝， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 8．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段BP的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】点P是线段AB的黄金分割点，则BP2＝AP•AB，即BP＝AB，再代入求值即可． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP）， ∴BP＝AB， ∵AB＝4， ∴BP＝×4， ∴BP＝2﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割知识点，理解黄金分割的几何含义并熟记其比值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 二．解答题（共1小题） 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒． （1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出t值，如图2，当∠APQ＝90°时，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出其t值； （2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，当△BQP∽△BAC时，根据相似三角形的性质可以求出t的值． 【解答】解：（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB， ∴． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB＝＝＝10（cm）． ∵BP＝t，AQ＝t， ∴PA＝10﹣t， ∴， ∴t＝， 如图2，当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB， ∴， ∴， t＝． 综上所述，t＝或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似； （2）如图3，当△BPQ∽△BAC时， ． ∵BQ＝14﹣t，BP＝t， ∴， ∴t＝， 当△BQP∽△BAC时， ∴， ∴t＝（舍去）， ∴t＝时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时证明三角形相似是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 15:50:08；用户：黄启蒙；邮箱：13691744518；学号：30193897 1．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了4cm，则复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（　　） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍 【分析】复印前后的三角形按照比例放大与缩小，因此它们是相似三角形，本题按照相似三角形的性质求解． 【解答】解：由题意可知，相似三角形的边长之比＝相似比＝2：（4+2）＝1：3， 所以周长之比＝1：3． 所以复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的3倍． 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 2．已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（　　） A． B．6 C．9 D．18 【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，， ∴＝（）2＝， ∵△ABC的面积为4， ∴△A1B1C1的面积为9， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 3．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【分析】根据相似三角形的性质判断即可． 【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2， ∴，A正确； ∴，B错误； ∴，C错误； ∴OA：OC＝3：2，D错误； 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 4．如图，M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，当AN＝　　时，△ABC∽△AMN． 【分析】根据相似三角形的性质，得＝，代入数据得出AN的长即可． 【解答】解：∵△ABC∽△AMN， ∴＝， ∵M是AC的中点，AB＝8，AC＝10， ∴AM＝MC＝5， ∴＝， 解得AN＝， 故当AN＝时，△ABC∽△AMN． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 5．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差是12cm，那么小三角形的周长为　18cm　． 【分析】根据题意求出两个三角形的相似比，再根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm， ∴两个三角形的相似比为5：3， 设大三角形的周长为5x，则小三角形的周长为3x， 由题意得，5x﹣3x＝12， 解得，x＝6， 则3x＝18， 故答案为：18cm． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的相似比即对应边的比，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 6．已知两个相似三角形的周长比为2：5，若它们的面积和为58m2．则两个三角形的面积分别为：　8m2；50m2　． 【分析】根据相似三角形的性质求出两个三角形的相似比、面积比，根据题意列方程计算即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：5， ∴这两个相似三角形的相似比为2：5， ∴两个相似三角形的面积比为4：25， 设两个三角形的面积分别为4x、25x， 由题意得，4x+25x＝58， 解得，x＝2， 则4x＝8，25x＝50， 则两个三角形的面积分别为8、50， 故答案为：8m2；50m2． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 7．如果两个相似三角形的对应边之比是3：7，其中一个三角形的一条角平分线长为2，则另一个三角形对应角平分线的长为　或　． 【分析】由相似三角形的对应边之比，则可得其对应角平分线的比，由于题中并没说明是哪个三角形的角平分线是10，所以应分两种情况，即可能是小三角形的角平分线，也可能是大三角形的角平分线，进而求解即可． 【解答】解：∵相似三角形的对应边之比为3：7， ∴它们的对应角平分线的比为3：7， ∵其中一个三角形的一条角平分线为2，而这条角平分线可能是小三角形的，也可能是大三角形的， ∴另一个三角形对应的角平分线可能为，也可能是． 故答案为或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，即相似三角形的对应边之比等于其对应角平分线的比． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 16:06:03；用户：黄启蒙；邮箱：13691744518；学号：30193897 1．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB的长，最后由线段的差可得结论． 解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论． 【解答】解：解法一：∵AD∥EG， ∴∠ADO＝∠EGF， ∵∠AOD＝∠EFG＝90°， ∴△AOD∽△EFG， ∴＝，即＝， ∴AO＝15， 同理得△BOC∽△AOD， ∴＝，即＝， ∴BO＝12， ∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）； 解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M， ∵△EGF∽△MDC， ∴＝，即＝， ∴CM＝3， 即AB＝CM＝3（米）， 答：旗杆的高AB是3米． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型． 2．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度． 【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合求得大树的高． 【解答】解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米． 由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°， ∴△CND∽△ANB， ∴． 同理，△EMF∽△AMB， ∴． ∵EF＝CD， ∴，即． 解得x＝6.6， ∵， ∴． 解得AB＝9.6． 答：大树AB的高度为9.6米． 【点评】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 3．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） （1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子； （2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； （3）计算路灯A的高度． 【分析】（1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）易得Rt△CEP∽Rt△CBD，利用对应边成比例可得QD长； （3）易得Rt△DFQ∽Rt△DAC，利用对应边成比例可得AC长，也就是路灯A的高度． 【解答】解：（1）线段CP为王琳在站在P处路灯B下的影子； （2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD， ∴， ∴， 解得：QD＝1.5米； （3）∵Rt△DFQ∽Rt△DAC， ∴， ∴， 解得：AC＝12米． 答：路灯A的高度为12米． 【点评】用到的知识点为：两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例． 4．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 【分析】根据相似三角形的性质列比例式，解方程即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA， ∴＝， ∵DC＝HG， ∴， ∴， ∴CA＝40（米）， ∴＝， ∴AB≈68.7米， 答：古塔的高度AB约为68.7米． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 16:30:50；用户：黄启蒙；邮箱：13691744518；学号：301938 学科网（北京）股份有限公司 $$