期末复习第一章 特殊平行四边形讲义 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九上期末专题总复习——第一章《特殊平行四边形》 【知识梳理】 考点1.平行四边形的性质： 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相平分，将平行四边形分成四个面积相等的三角形； 平行四边形是中心对称图形； 考点2.平行四边形的判定： 1　 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 2　 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 3　 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4　 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 考点3.菱形的性质： 边：对边平行，四边相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：对角线互相垂直平分，且平分一组对角，将菱形分成四个全等的直角三角形； 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形； 菱形的面积公式：对角线乘积的一半； 考点4.菱形的判定： 1　 四边相等的四边形是菱形； 2　 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 3　 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 4　 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【课堂练习】 1．菱形具有而一般的平行四边形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．如图菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的周长为（　　） A． B．16 C． D．8 3．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的面积是（　　） A．24 B．48 C． D．12 4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于（　　） A．2.4 B．4.8 C．5 D．4 5．在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（　　） A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量四个内角是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．∠AOB＝∠BOC B．∠ABO＝∠OBC C．AB＝BC D．AC＝BD 7．在菱形ABCD中，周长为20，对角线AC＝6，那么这个菱形的面积是 　 　． 8．菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的边长是 　 　cm． 9．如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　 　． 11．如图，菱形ABCD的周长为26，对角线AC、BD交于点O，过A作AE⊥BC交CB延长线于点E，连接OE，BD的长为5，则OE＝　 　． 12．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝　 　． 13．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝，BD＝2，则△AOE的面积为 　 　． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB． （1）求证：四边形ABEO是菱形． （2）若AC＝4，BD＝8，求四边形ABEO的面积． 15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点D，C作AC，BD的平行线交于点E． （1）判断四边形DOCE的形状，并说明理由； （2）连接OE，若AC＝6cm，BD＝8cm，求线段OE的长． 九上期末专题总复习——第一章《特殊平行四边形》 【知识梳理】 考点6.矩形的性质： 边：对边平行且相等； 角：四个角为直角； 对角线：对角线相等且互相平分；将矩形成四个面积相等的等腰三角形； 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形 考点7.矩形的判定： 1　 三个角为直角的四边形是矩形； 2　 一个角是直角的平行四边形是矩形； 3　 对角线互相平分且相等的四边形是矩形； 4　 对角线相等的平行四边形是矩形； 考点8.直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（分成两个等腰三角形）. 【课堂练习】 1．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，则∠ACB的度数为（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 2．如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（　　） A． BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO 3．粤绣凝聚着历代艺人的天才与智慧，从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色，在“针尖上的画意——广绣精品与岭南绘画展”中，师傅要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　） A．测量四边形画框的两个角是否为90° B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D．测量四边形画框的四边是否相等 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，OE＝CE，则BC的长为（　　） A． cm B．6cm C．cm D．cm 5．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　） A． （2+，0） B．（ 2+1，0） C．（ 2﹣1，0） D．（2，0） 6．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若∠ACB＝30°，AB＝10，则MN的长为（　　） A．5 B．5 C．5 D．4 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BF于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（　　） A． B． C．2 D．3 8．如图，AD为Rt△ABC斜边的中线，∠ADE＝90°，BE＝4，AC＝3，则△ADE的面积为 　 　． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．则PE+PF＝　 　． 10．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝　 　°． 11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，OE交DC于点F． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AD＝6，求OF的长． 九上期末专题总复习——第一章《特殊平行四边形》 【知识梳理】 考点9.正方形的性质：菱形+矩形的一切性质 考点10.正方形的判定： 1　 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 2　 一组邻边相等的矩形是正方形； 3　 对角线互相垂直的矩形是正方形； 4　 一个角是直角的菱形是正方形； 5　 对角线相等的菱形是正方形。 【课堂练习】 1．下列说法： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形； 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（　　） A． B． C．2﹣ D． 3．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论： ①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④OF2+OE2＝EF2． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 【知识梳理】 考点11.“手拉手模型”经典结论 手拉手相似：利用SAS构造相似，并利用8字模型找到角度关系。 【课堂练习】 1.如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．给出下列结论：①CE＝BG；②EC⊥BG；③FG2+BF2＝2BD2+BC2；④BC2+GE2＝2AC2+2AB2．其中正确的是（　　） A． ②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题： （1）若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE、CA，则BP与CE有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． （类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究： （2）若四边形ABCD是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，其中∠APE＝90°，AP＝PE． ①如图2，当点P在对角线BD上时，小组发现点E恰好在射线CD上，求BP与CE之间的数量关系（过程只用说明点E在线段CD上的情况即可）； ②如图3，当P是对角线BD的延长线上一动点时，小组发现点E恰好在射线CD上，连接BE，若BE＝6，AB＝2，求△BPE的面积． 【知识梳理】 考点12.“半角模型”15个结论 在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N。则有如下结论。 第1个结论：BE+DF=EF 第2个结论：S△ABE+S△ADF=S△AEF 第3个结论：AH是△AEF中EF边上的高，则AH=AD 第4个结论：EA和FA是△CEF的2个外角平分线 第5个结论：△CEF的周长=2倍的正方形边长=2AB 第6个结论：BM 2+DN 2=MN 2 第7个结论：存在多组三角形相似 第8个结论： 第9个结论：△AEF的面积=2倍△AMN的面积 第10个结论：∠ANE=90°(∠AMF=90°) ( M N ) 重新探讨“第4个结论：EA和FA是△CEF的2个外角平分线。” 如图，如果∠AEB=∠AEF，则连接AF，必有∠EAF=45°。 所以，如果正方形中有一个如AE一样的角平分线，也是半角模型。 若你已经学完了“圆”这个单元，可由结论10得出图中四点共圆。 ( M N ) ( M N ) ( M N ) ( M N ) A、B、E、N A、M、F、D C、E、N、F C、E、M、F 【课堂练习】 1. 在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论，其中正确的有（　　）个． （1）CG＝FG（2）∠EAG＝45°（3）S△EFC＝（4）CF＝GE A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知，如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论： ①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，中正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 3.如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论： ①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上结论中，正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4． 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE＝AF时，；④BE+DF＝EF；⑤若点F是DC的中点，则CE＝CB，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（1）【探索发现】 如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为　 　． （2）【类比延伸】 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点， ∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN的周长． 6．（1）正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上（不与端点重合），∠EAF＝45°，EF与AC交于点G ①如图（i），若AC平分∠EAF，直接写出线段EF，BE，DF之间等量关系； ②如图（ⅱ），若AC不平分∠EAF，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 （2）如图（ⅲ），矩形ABCD，AB＝4，AD＝8．点M、N分别在边CD、BC上，AN＝2，∠MAN＝45°，求AM的长度． 九上期末专题总复习——第一章《特殊平行四边形》答案解析 菱形 3．菱形具有而一般的平行四边形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：A．对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故A不符合题意； B．两组对角分别相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故B不符合题意； C．对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故C符合题意； D．对角线相等是菱形和一般平行四边形都不具有的性质，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 4．如图菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的周长为（　　） A． B．16 C． D．8 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，可证△ABC是等边三角形，可得AB＝AC＝4，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝4＝AD＝CD， ∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC的等边三角形是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于（　　） A．2.4 B．4.8 C．5 D．4 【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可． 【解答】解：如图，设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝8，DB＝6， ∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°， 由勾股定理得：AB＝＝5， ∵S菱形ABCD＝×AC•BD＝AB•DH， ∴×8×6＝5DH， ∴DH＝4.8， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键． 6．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　） A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm 【分析】先由菱形的性质和勾股定理求出边长，再根据菱形面积的两种计算方法，即可求出菱形的高． 【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝AC＝4cn，OB＝BD＝3cn，AC⊥BD， ∴AB＝＝＝5（cm）， ∵菱形ABCD的面积＝AB•DE＝AC•BD＝×8×6＝24（cm2）， ∴DE＝＝4.8（cm）； 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出边长是解决问题的关键． 7．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的面积是（　　） A．24 B．48 C． D．12 【分析】根据菱形的性质得出面积＝，代入求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AC＝6，BD＝4， ∴菱形ABCD的面积为， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，能知道菱形的面积等于对角线积的一半是解此题的关键． 8．在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（　　） A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量四个内角是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 【分析】由菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、测量一组对边是否平等且相等，能判定是否为平行四边形，故选项A不符合题意； B、测量四个内角是否相等，能判定是否为矩形，故选项B不符合题意； C、测量两条对角线是否互相垂直，不能判定是否为平行四边形，更不能判定为菱形，故选项C不符合题意； D、测量四条边是否相等，能判定是否为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．∠AOB＝∠BOC B．∠ABO＝∠OBC C．AB＝BC D．AC＝BD 【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠AOB＝∠BOC，∠AOB+∠BOC＝180°， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图所示： ∵∠ABO＝∠OBC， ∴OE＝OF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∴△AOB的面积＝△COB的面积， 又∵△AOB的面积＝AB×OE，△COB的面积＝BC×OF， ∴AB×OE＝BC×OF， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵平行四边形ABCD中，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵平行四边形ABCD中，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 1．在菱形ABCD中，周长为20，对角线AC＝6，那么这个菱形的面积是 　24　． 【分析】作出图形，根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长AB，再根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，然后利用勾股定理列式求出OB，然后求出BD，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【解答】解：如图，∵菱形ABCD的周长为20， ∴菱形的边长AB＝20÷4＝5，AC⊥BD， ∵对角线AC的长为6， ∴OA＝6÷2＝3， 由勾股定理得，OB＝＝＝4， ∴BD＝2OB＝2×4＝8， ∴菱形的面积＝AC•BD＝×6×8＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的周长，菱形的对角线互相垂直平分的性质，熟记性质是解题的关键． 2．菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的边长是 　5　cm． 【分析】由菱形对角线互相垂直平分，可得AC⊥BD，BO＝4cm，AO＝3cm，然后由勾股定理求得边长，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝×6＝3（cm），AO＝OC＝AC＝×8＝4（cm）， ∴AB＝＝5（cm）， 故答案为：5． 【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　3　． 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，求出AC，根据S菱形ABCD＝24求出BD，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC， ∵OA＝4， ∴AC＝2OA＝8， ∵S菱形ABCD＝24， ∴×8×BD＝24， 解得：BD＝6， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， ∵DO＝BO， ∴OH＝BD＝×6＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半． 4．如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　AE＝AF（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【分析】证△AOF≌△OCE（AAS），得OF＝OE，再证四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是：AE＝AF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC， ∵O是AC的中点， ∴OA＝OC， 在△AOF和△OCE中， ， ∴△AOF≌△OCE（AAS）， ∴OF＝OE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AE＝AF， ∴平行四边形AECF是菱形， 故答案为：AE＝AF（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 5．如图，菱形ABCD的周长为26，对角线AC、BD交于点O，过A作AE⊥BC交CB延长线于点E，连接OE，BD的长为5，则OE＝　6　． 【分析】由菱形的性质可得BD⊥AC，AB＝BC＝，BO＝DO＝，AO＝CO，由勾股定理可求CO的长，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为26， ∴BD⊥AC，AB＝BC＝，BO＝DO＝，AO＝CO， ∴CO＝＝6， ∵AE⊥BC，AO＝CO， ∴OE＝AC＝AO＝CO＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝　20°　． 【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题． 【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA， ∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°， ∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD， ∴∠BAC＝∠BCA＝35°， ∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°， ∴∠FAB＝55°， ∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°， 故答案为：20°． 【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 二．解答题（共3小题） 7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝，BD＝2，则△AOE的面积为 　　． 【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝∠DCA，再证∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得BC＝AB＝，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，再由勾股定理得OA＝3，然后由菱形面积求出CE＝，进而由勾股定理得BE＝，则AE＝AB+BE＝，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝∠DCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OA＝＝＝3， ∴AC＝2OA＝6， ∵CE⊥AE， ∴S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD， 即CE＝×6×2， 解得：CE＝， ∴BE＝＝＝， ∴AE＝AB+BE＝， ∵OA＝OC， ∴S△AOE＝S△ACE＝×AE•CE＝×××＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB． （1）求证：四边形ABEO是菱形． （2）若AC＝4，BD＝8，求四边形ABEO的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABEO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AC＝2AO，推出AO＝AB，得到四边形ABEO是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到AO＝AC＝2，OB＝BD＝4，连接AE交BO于M，根据勾股定理得到AM，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE∥AC，OE∥AB， ∴四边形ABEO是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO， ∵AC＝2AB， ∴AO＝AB， ∴四边形ABEO是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC＝2，OB＝BD＝4， 连接AE交BO于M， 由（1）知，四边形ABEO是菱形， ∴AE、OB互相垂直平分， ∴OM＝BO＝2， ∴AM＝＝＝4， ∴AE＝8， ∴四边形ABEO的面积＝AE•OB＝×8×4＝16． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点D，C作AC，BD的平行线交于点E． （1）判断四边形DOCE的形状，并说明理由； （2）连接OE，若AC＝6cm，BD＝8cm，求线段OE的长． 【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，根据菱形的性质求出∠DOC＝90°，再根据矩形的判定得出即可； （2）根据菱形的性质求出OD和OC，根据勾股定理求出DC，根据矩形的性质得出即可． 【解答】解：（1）四边形DOCE是矩形． 理由：∵过点D、C分别作AC、BD的平行线，相交于点E， ∴DE∥OC，DO∥CE， ∴四边形DOCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 即∠DOC＝90°， ∴四边形DOCE是矩形； （2）∵四边形DOCE是矩形， ∴OE＝DC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC＝AC，OD＝OB＝BD， ∵AC＝6cm，BD＝8cm， ∴OC＝3cm，OD＝4cm， 在Rt△DOC中，由勾股定理得：DC＝＝＝5（cm）， ∴OE＝DC＝5cm． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识点，能求出四边形DOCE是矩形是解此题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书 学号：30193897矩形 矩形 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，OE＝CE，则BC的长为（　　） A．cm B．6cm C．cm D．cm 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝3cm， ∴OA＝OD＝OC， ∵DE⊥AC，OE＝CE， ∴∠DEA＝90°，OD＝CD， ∴OC＝OD＝CD＝3cm， ∴BD＝2OD＝6cm， ∴BC＝＝3（cm）， 故选：A． 2．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，则∠ACB的度数为（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝BD＝AC＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OBC+∠OCB＝60°， ∴∠OCB＝30°，即∠ACB＝30°， 故选：A． 3．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　） A．（2+，0） B．（ 2+1，0） C．（ 2﹣1，0） D．（2，0） 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝2， 由题意可知：AM＝AC＝2， ∵OA＝|﹣1|＝1， ∴OM＝AM﹣OA＝2﹣1， ∴点M的坐标为（2﹣1，0）， 故选：C． 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BF于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝3，OA＝OB＝OC＝OD， ∵DF垂直平分OC， ∴OD＝OC， ∴△OCD是等边三角形， 设CD＝x，则AC＝2x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得可知：AD2+CD2＝AC2，即32+x2＝（2x）2， 解得x＝， ∴CD＝，AC＝2， ∴AB＝， ∵△OCD是等边三角形，DF⊥OC， ∴∠CDE＝∠CDO＝30°， 设CF＝y，则DF＝2y， 在Rt△CDF中，由勾股定理可知：CF2+CD2＝DF2，即， 解得y＝1， ∴CF＝1，BF＝2， 在Rt△ABF中，由勾股定理可知：AB2+BF2＝AF2，即， ∴AF＝， 故选：B． 5．如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（　　） A．BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO 【解答】解：需要添加的条件是AO＝DO，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝OD， ∵AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； 故选：D． 6．粤绣凝聚着历代艺人的天才与智慧，从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色，在“针尖上的画意——广绣精品与岭南绘画展”中，师傅要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（　　） A．测量四边形画框的两个角是否为90° B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D．测量四边形画框的四边是否相等 【解答】解：A、四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意； B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意； C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，可以判定为平行四边形，不可以判定是否为矩形，故选项C不符合题意； D、测量四边形画框的四边是否相等，可以判定为菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 7．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若∠ACB＝30°，AB＝10，则MN的长为（　　） A．5 B．5 C．5 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD， ∴AO＝BO，∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝30°+30°＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OB＝AB＝10， ∵M、N分别为BC、OC的中点， ∴MN是△BOC的中位线， ∴MN＝OB＝5， 故选：B． 二．填空题（共3小题） 8．如图，AD为Rt△ABC斜边的中线，∠ADE＝90°，BE＝4，AC＝3，则△ADE的面积为 　　． 【解答】解：延长ED到点F，使得DF＝ED，连接CF，AF，如图所示： ∵AD为Rt△ABC斜边的中线， ∴AD＝BD＝CD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（SAS）， ∴∠DCF＝∠B，CF＝BE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝90°， ∵BE＝4，AC＝3， ∴CF＝4， 根据勾股定理，得AF＝5， ∵∠ADE＝90°，DE＝FD， ∴AD垂直平分线段EF， ∴AE＝AF＝5， ∴AB＝4+5＝9， ∴△ABC的面积＝＝， ∴△ABD的面积＝＝， ∵AE：AB＝5：9， ∴△AED的面积＝＝， 故答案为：． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．则PE+PF＝　　． 【解答】解：连接OP，如图所示， ∵矩形ABCD的两边AB＝5，AD＝12， ∴S矩形ABCD＝AB•AD＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝13， ∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝， ∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝（PE+PF）＝15， ∴PE+PF＝， 故答案为：． 10．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝　40　°． 【解答】解：∵MN是AC的垂直平分线， ∴EC＝EA， ∴∠ECA＝∠EAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠D＝90°， ∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°， 故答案为：40． 三．解答题（共1小题） 11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，OE交DC于点F． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AD＝6，求OF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝AC，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵DE＝AC， ∴OC＝DE， ∵DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：由（1）可知，OA＝DE， ∵DE∥AC， ∴四边形OADE是平行四边形， ∴OE＝AD＝6， ∵四边形OCED是矩形， ∴OF＝OE＝3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/11/28 17:27:07；用户：黄启蒙；邮箱：13691744518；学号：30193897 学科网（北京）股份有限公司 $$