第二章 有理数的运算 训练提升课件 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

第二章 有理数的运算 2.1.1 有理数的加法 第1课时 有理数的加法法则 1 知识点1 理解有理数的加法法则 1.计算： （1）___，__ ___ ____. （2）________,___ __ ___. （3） ___. - - - - 2 0 2 知识点2 利用有理数的加法法则进行计算 2.（2023·青海）计算 的结果是( ) C A. B. 5 C. D. 1 3 3.（2023·温州）如图，比数轴上点 表示的数大3的数是( ) D A. B. 0 C. 1 D. 2 4 4.下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 5 5.如果两个数的和为正数，那么这两个数( ) D A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一个是正数，一个是负数 D. 至少有一个是正数 6 6.【数学文化】中国人最早使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负 术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数， 斜放表示负数.根据刘徽的这种表示方法，观察图1，可推算图2所得的 数值为_____. 7 7.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . 8 （4） . 解：原式 . （5） . 解：原式 . 9 （6） . 解：原式 . 知识点3 有理数加法的应用 8.温度从上升 后是( ) C A. B. C. D. 11 9.已知A地的海拔为，B地比A地高，则B地的海拔为_____ . 12 10.已知, 是有理数，那么下列说法中，一定正确的是( ) D A. 如果,，那么 B. 如果,，那么 C. 如果,，那么 D. 如果,，且,那么 13 11.大于且小于 的所有负整数的和为( ) B A. B. C. D. 14 12.如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，且 .若 ，两点的距离为8个单位长度，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 4 D. 15 13.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 16 14.根据题意列式计算： （1）比的相反数大 的数. 解： . （2）15的相反数与 的绝对值的和. 解： . 17 15.下表是某水库一周内的水位变化情况，“ ”表示水位比前一天上升， “-”表示水位比前一天下降，该水库的警戒水位是32米，已知上周周日 的水位是30米. 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化/米 0 （1）小亮认为本周内周五的水位变化值为“ ”，所以这一天的水位 最低，并且最低值为29米；小丽认为周五的水位变化值为“ ”表示本 周内周五的水位下降量最大，并不表示周五的水位最低.则______ （填“小亮”或“小丽”）的想法正确. 小丽 18 （2）本周哪一天该水库的水位最高？最高水位是否达到警戒水位？ 解：周一的水位是 （米）， 周二的水位是 （米）， 周三的水位是 （米）， 周四的水位是 （米）， 周五的水位是 （米）， 周六的水位是 （米）， 周日的水位是 （米）， 19 , 周四的水位最高，最高水位是31.5米. ， 最高水位没有达到警戒水位. 16.【分类讨论思想】 （1）已知， . ①当，同号时，求 的值. 解：，，且， 同号， ，或， . 则或 . 21 ②当，异号时，求 的值. 解：，，且， 异号， ，或， . 则或 . 22 （2）已知，，且，则 的值为______. （3）已知，，则 _________. 4或2 或 23 $$第二章 有理数的运算 2.1.1 有理数的加法 第2课时 有理数的加法运算律 1 知识点1 有理数的加法运算律 1.（1）加法交换律： ______. 例：______ . （2）加法结合律： ___________. 例：［_______ _______］. 2 2.小磊解题时，将式子 先变成 再计算结果，则小磊运用了( ) B A. 加法交换律 B. 加法交换律和加法结合律 C. 加法结合律 D. 无法判断 3 3.下列变形中，运用运算律正确的是( ) D A. B. C. D. 4 4.计算 的结果是( ) C A. 50 B. C. D. 104 5 5.若，互为相反数，则 ____. 6 6.运用加法的运算律计算下列各题： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 7 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 8 知识点2 有理数加法运算律的应用 7.一架直升机从海拔1 000米的高原上起飞，第一次上升了1 500米， 第二次上升了 米，第三次上升了2 100米，第四次上升了 米，此时这架直升机的海拔是_______米. 1 700 9 8.某病人每天下午需要测量血压，该病人上周日收缩压为 ， 下表是该病人这周每天与前一天相比，收缩压的变化情况，则本周五 的收缩压是_____ . 时间 周一 周二 周三 周四 周五 收缩压增减/ 130 10 9.（教材P35习题 变式）某公司2024年前四个月盈亏的情况如下 （记盈余为正）万元、万元、万元、 万 元.求2024年前四个月该公司总的盈亏情况. 解： （万元）. 答：2024年前四个月该公司共盈余65万元. 11 10.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 12 11.数轴上 与2.2之间的所有整数的和是____. 13 12.有一组数：1，，3，，5，， ，99， ，则这100个 数的和为_____. 14 13.用适当的方法计算： （1） . 解：原式 . 15 （2） . 解：原式 . 14.（教材P36习题 变式）用简便方法计算：某产粮专业户出售余粮 10袋，每袋质量如下（单位： ）. 199，201，197，203，200，195，197，199，202，196. 17 （1）如果每袋余粮以 为标准，求这10袋余粮总计超过多少千 克或者不足多少千克. 解：以为标准，超过的数记作正数，不足 的数记 作负数，则这10袋余粮对应的数分别为，，，，0， ， ，，， . . 答：这10袋余粮总计不足 . 18 （2）这10袋余粮一共多少千克？ 解： . 答：这10袋余粮一共 . 19 15.【阅读理解问题】阅读下列材料： 计算： . 解：原式 _________ ________ .________ 上面这种方法叫拆项法. 20 回答下列问题： （1）请补全以上计算过程. 解：; ; 21 （2）类比上面的方法计算： . 解：原式 . 22 $$第二章 有理数的运算 2.1.2 有理数的减法 第1课时 有理数的减法法则 1 知识点1 理解有理数的减法法则 1.在下列横线上填上适当的数. （1）___ ____. （2）______ ____. （3）____ ____. 2 3.5 3.5 2 知识点2 利用有理数的减法法则进行计算 2.（2023·陕西）计算： ( ) B A. 2 B. C. 8 D. 3 3.（2022·河北）与 相等的是( ) A A. B. C. D. 4 4.在，2，，3这四个数中，比 小1的数是( ) B A. 3 B. C. D. 2 5 5.下列运算中，错误的是( ) C A. B. C. D. 6 6.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 7 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 8 （5） . 解：原式 . （6） . 解：原式 . 9 知识点3 有理数减法的应用 7.（2023·赤峰松山区期末）赤峰市某天的最高气温是 ，最低气 温是 ，则赤峰市这一天的温差是( ) D A. B. C. D. 10 8.七年级（4）班开展了“环保知识”抢答比赛活动，一共分了五个小组， 规定答对一题加50分，答错一题扣10分，活动结束时，记分员公布了 各个小组的得分情况如下： 小组 1组 2组 3组 4组 5组 得分/分 100 150 350 解：由表格信息知：第一名得了350分，第四名得了 分，第五名 得了 分. （1）第一名超出第五名多少分？ [答案] （分）. 答：第一名超出第五名750分. 11 （2）第四名超出第五名多少分？ [答案] （分）. 答：第四名超出第五名300分. 12 知识点4 利用减法求数轴上两点间的距离 9.若数轴上表示和3的两点分别是点和点，则点和点 之间的距 离是( ) D A. B. C. 2 D. 4 13 10.下列说法正确的是( ) B A. 两个数之差一定小于被减数 B. 减去一个负数，差一定大于被减数 C. 0减去任何数，差都是负数 D. 减去一个正数，差一定大于被减数 14 11.【数形结合思想】，， 三个数在数轴上的位置如图所示，则下 列结论中，错误的是( ) C A. B. C. D. 15 12.【分类讨论思想】已知，，则 的值为_______. 2或 16 13.（本课时变式）若，，且，则 _________. 或 17 14.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 18 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 19 15.如图， 为一个泳池内的水平面.某跳水运动员 （看作一个点）从点处起跳，点，， 为他三次跳 水后落入水中的位置，已知点与点 的高度差是 ，点与点的高度差是 .以水面为基准， 解：依题意，得点的高度为 ， 点的高度为 . 点比点高 ， 点比点低 . 在水面上方记为正，下方记为负，点表示的是，点 表示的 是，则点比点高多少？点比点 低多少？ 20 16.已知，两点在数轴上表示的数分别为， . （1）对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 ， 两点间的距离 __ ___ ____ ___ ____ ___ 2 6 10 2 10 0 21 （2）若，两点间的距离记为，试问与， 有何等量关系？并 用文字描述出来. 解： .数轴上两点之间的距离，等于这两点在数轴上对应 的数的差的绝对值. （3）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，则， 两点间 的距离可表示为_____；如果，求 的值. 解：; 当时， , 或 . 22 $$第二章 有理数的运算 2.1.2 有理数的减法 第2课时 有理数的加减混合运算 1 知识点1 加减混合运算统一成加法运算 1.把 统一为加法运算，正确的是( ) B A. B. C. D. 2 2.把 写成省略括号和加号的形式为( ) A A. B. C. D. 3 3.下列式子与“负1、负3、正6、负8的和”不相等的是( ) B A. B. C. D. 4 知识点2 有理数的加减混合运算 4.请指出下面计算从哪一步开始出错( ) ① ② ③ . ④ B A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5 5.计算： （1） . 解：原式 . 6 （2） . 解：原式 . 6.用适当的方法计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 8 （3） . 解：原式 . 9 知识点3 有理数加减混合运算的应用 7.某地一天中午12时的气温是，过气温下降了，过 气温 又下降了，则第二天0时的气温是____ . 10 8.已知某银行办理了7笔业务：取款8.5万元，存款6万元，取款7万元， 存款10万元，存款16万元，取款9.5万元，取款3万元，则办理完7笔业 务后这个银行的现金是增加了还是减少了？增加或减少了多少 （记存款为正）？ 解:由题意，得 （万元）. 答：办理完7笔业务后这个银行的现金增加了，增加了4万元. 11 9.按如图所示的程序运算，若依次输入， ，则输出的结果依次是 ___，___. 1 0 12 10.能与 相加得0的是( ) C A. B. C. D. 13 11.【阅读理解问题】数学活动中，王老师给同学们出了一道题：规定 一种新运算“★”，对于任意有理数和，有★ .请根据 新运算，计算（2★3）★2的值是( ) B A. 0 B. C. D. 1 14 12.墨尔本与北京的时差（墨尔本与北京同一时刻的时数之差）是 小时，班机从墨尔本飞到北京需用12小时.若乘坐从墨尔本 （当地时间）起飞的航班，到达北京机场时，北京时间是( ) B A. 15:00 B. 17:00 C. 20:00 D. 23:00 15 13.计算： （1） . 解：原式 . 16 （2） . 解：原式 . 17 14.某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日 上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表 （以计划量为标准，超出的车辆数记为正数，不足的车辆数记为负 数）: 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产量增减/辆 18 （1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆自行车？ 解：根据题意，星期五生产量最多，星期日生产量最少， （辆）. 答：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆自行车. 19 （2）本周共生产多少辆自行车？ 解： （辆）. 答：本周共生产688辆自行车. 20 15.【运算能力】观察下列式子： ； ； ； ． （1）根据上面式子的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式 （不要计算出结果）： ① _______. ② ______. 21 （2）计算：| |． 解：原式 . 22 23 $$第二章 有理数的运算 2.2.1 有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法法则 1 知识点1 理解有理数的乘法法则 1.计算： （1）（3×___） ____. （2）__（___×___） ______. （3）___（___×__） ____. （4） ___. 5 15 - 7 8 4 0 2 2.下列运算结果为负数的是( ) D A. B. C. D. 3 3.有理数,,在数轴上的对应点的位置如图所示，请用“ ”“ ”或“ ”填空. （1）___0,___0, ___0. （2） ___0. （3） ___0. （4） ___0. 4 知识点2 利用有理数的乘法法则进行计算 4.（2023·山西）计算 的结果为( ) A A. 3 B. C. D. 5 5.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 6 （5） . 解：原式 . （6） . 解：原式 . 7 知识点3 倒数 6.因为 __，所以3的倒数是__；因为 ______ ，所以 的倒数是____. 8 7.（2023·达州） 的倒数为( ) D A. 2 023 B. C. D. 9 8.一个数的倒数是它本身的数是( ) C A. 1 B. C. D. 0 10 9. 的相反数的倒数是__. 11 10.写出下列各数的倒数： 8,,,,, . 解：它们的倒数分别为，，，，4， . 12 知识点4 有理数的乘法的应用 11.甲水库的水位每天升高，乙水库的水位每天下降 ，4天后， 甲、乙水库的水位总的变化量各是多少？ 解：记水位升高为正，水位下降为负. , . 答：4天后，甲水库的水位上升了，乙水库的水位下降了 . 13 12.若，互为相反数，，互为倒数，则 的值是____. 14 13.如图，现有4张写着不同数字的卡片.若从中取出2张卡片，使这2张 卡片上的数字相乘所得的积最小，则这个最小值为______. 15 14.【推理能力】小明在学习“倒数”一节的相关知识时发现：若 ， 则 .于是，他归纳出关于倒数的一个结论：对于任意两个非零有理 数，，若，则 .有同学认为小明归纳的结论是错误的，理 由是正数的倒数______负数的倒数（填“大于”或“小于”），请举例说 明：_____________________________. 大于 ,（答案不唯一） 16 15.下列说法正确的有( ) ①一个数同1相乘，仍得这个数； ②一个数同 相乘，得这个数的相反数； ③一个数同0相乘，得0； ④互为相反数的两数的积是1； ⑤若两个数的乘积为0，则这两个数至少一个为0. C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 17 16.（2023·杭州）已知数轴上的点，分别表示数， ，其中 ，.若，数在数轴上用点 表示，则点 ，， 在数轴上的位置可能是( ) B A. B. C. D. 18 17.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 19 18.已知， . 20 （1）若，求 的值. 解：， . ， . ，， 异号. ，或， . 当，时， ; 当，时， . 的值是 . 21 （2）若，求 的值. 解：，，且 , ，或, . 的值是 . 22 $$第二章 有理数的运算 2.2.1 有理数的乘法 第2课时 有理数乘法的运算律及多个有理数相乘 1 知识点1 有理数的乘法运算律 1.在 中，运用了( ) D A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 分配律 D. 乘法交换律和乘法结合律 2 2.计算 ，最简便的方法是( ) B A. B. C. D. 3 3.运用运算律进行简便运算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 4 （3） . 解：原式 . 5 知识点2 多个有理数相乘 4.几个不是0的有理数相乘，积的符号( ) C A. 由乘数的个数决定 B. 由正的乘数的个数决定 C. 由负的乘数的个数决定 D. 由负的乘数的大小决定 6 5.下列各式计算结果的符号为负的是( ) C A. B. C. D. 7 6.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 8 （3） . 解：原式 . 易错点 利用分配律计算时，漏乘或弄错符号 7.计算： . 解：原式 . 10 8.若四个有理数相乘，积为负数，则负的乘数的个数是( ) D A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 11 9.【数形结合思想】有理数，，， 在数轴上的对应点的位置如图 所示，则___0，___0（填“ ”或“ ”）. 12 10.绝对值小于6的所有负整数的积是_______. 13 11.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 14 （3） . 解：原式 . 15 12.【新定义问题】定义一种新的运算“*”，规定有理数 . 如： . （1）求 的值. 解： . 16 （2）求 的值. 解： . 17 13.【注重学习过程】同学们学习了有理数的乘法之后，老师出了两道 例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 例1 . 例2 . 任务一：例1、例2都用到的运算律是________. 任务二：请参照上述例1、例2，用运算律简便计算下列式子. 分配律 18 （1） . 解：原式 . 19 （2） . 解：原式 . 20 $$第二章 有理数的运算 2.2.2 有理数的除法 第1课时 有理数的除法法则 1 知识点1 理解有理数的除法法则 1.计算 时，将除法转化为乘法正确的是( ) B A. B. C. D. 2 2.（2023·常德）下面算法正确的是( ) D A. B. C. D. 3 3.若两个数的商为正数，则这两个数( ) C A. 都为正数 B. 都为负数 C. 同号 D. 异号 4 4.已知，则 的值为_________. 5 知识点2 利用有理数的除法法则进行计算 5.计算 的结果是( ) C A. B. 2 C. 18 D. 6 6.已知算式（ ） ，则括号内的数为( ) D A. B. C. D. 7 7.化简： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 8 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 9 8.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 10 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 11 （5） . 解：原式 . （6） . 解：原式 . 12 9.下列说法正确的是( ) C A. 0除以任何数都等于0 B. 1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C. 一个不等于0的有理数除以它的相反数等于 D. 两数相除，商一定小于被除数 13 10.下列各式中计算正确的有( ) ； ； ； . A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14 11.有理数,在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值是( ) B A. 负数 B. 正数 C. 0 D. 正数或0 15 12.【分类讨论思想】已知,，且，则 的值为____. 16 13.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 17 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 18 14.如果对有理数,定义运算“ ”如下： ，如：.求 的值. 解：原式 . 19 15.李明有5张写着不同数字的卡片： 请按要求抽出卡片，回答下列问题： （1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数的乘积最大，如何抽取？最 大值是多少？ 20 解：抽取的2张卡片上数的乘积要最大，则要抽取 符号相同且绝对值最大的数. ， 抽取和 相乘时，乘积最大，最大值为 . 21 （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数相除的 商最小，如何抽取？最小值是多少？ 解：抽取的2张卡片上数相除的商要最小，则要抽取符号不同，且分母 绝对值最小的数，分子绝对值最大的数. ， 抽取和相除时，商最小，最小值为 . 22 $$第二章 有理数的运算 2.2.2 有理数的除法 第2课时 有理数的乘除及加减乘除混合运算 1 知识点1 有理数的乘除混合运算 1.计算 的结果是( ) A A. B. 18 C. D. 2 2 2.下列运算正确的是( ) C A. B. C. D. 3 3.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 4 知识点2 有理数的加减乘除混合运算 4.（2022·随州）计算： ___. 0 5 5.计算下列各式，值最小的是( ) A A. B. C. D. 6 6.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 7 知识点3 利用计算器进行有理数的加减乘除混合运算 7.用计算器计算（结果保留两位小数）： （1） ______. （2） _____. 61.67 0.94 8 知识点4 有理数混合运算的实际应用 8.（2022·镇江）“五月天山雪，无花只有寒.”反映出地形对气温的影 响.海拔每上升，气温约下降.有一座海拔为 的山， 在这座山上海拔为处测得气温是 ，则此时山顶的气温约为 _______. 9 易错点 误将分配律用于有理数的除法 9.计算： . 小明的计算过程如下： 解：原式 . 小明的计算过程正确吗？如果不正确，请说明理由，并写出正确的计 算过程. 10 解：小明的计算过程不正确，理由：除法没有分配律. 正确的计算过程如下： 原式 . 11 10.按如图所示的程序运算，当输入的数为1 924时，输出的结果为 ( ) D A. 2 025 B. 1 924 C. 2 023 D. 2 024 12 11.已知，，为非零有理数.若，则 ( ) D A. B. C. 0 D. 1 13 12.计算： （1） . 解：原式 . 14 （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . 16 13.有20袋大米，以每袋25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正 数、负数表示.记录如下表： 与标准质量的差/千克 0 0.5 1.5 2.5 袋数/袋 1 2 3 5 4 3 2 （1）20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？ 解： （千克）. 答：最重的一袋比最轻的一袋重4.5千克. 17 （2）与标准质量比较，20袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？ 解： （千克）. 答：与标准质量比较，20袋大米总计超过3.5千克. 18 （3）若每千克大米的售价为6元，则这20袋大米可卖多少元？ 解： （元）. 答：这20袋大米可卖3 021元. 19 14.【开放性问题】有一种“二十四点”的扑克牌游戏，其游戏规则如下： 一副扑克牌去掉大王、小王，剩下的每张牌对应一个 之间 （包括1和13）的整数，任取4张扑克牌，得到4个对应的整数，将这4 个整数进行加减乘除运算（每张扑克牌对应的数用且只用一次），使 其结果等于24. 20 例如：对1，2，3，4可作运算 ［注：与 视为相同］. 现有4个数：3，4， ，10，请运用上述的规则写出3种不同的算式， 使其结果都等于24. 解：答案不唯一，如： ， . 21 $$第二章 有理数的运算 2.3.1 乘方 第1课时 乘方 1 知识点1 有理数乘方的意义 1.（1）把 写成乘方的形式是_______. （2）把 写成几个相同乘数的积的形式是__________________. 2 2. 表示的意义是( ) B A. 乘8 B. 8个 相乘的积 C. 9个8相乘的积的相反数 D. 8个9相乘的积的相反数 3 3.对于 ，下列叙述正确的是( ) C A. 表示3个4相乘的积的相反数 B. 底数是 ，指数是4 C. 表示4个3相乘的积的相反数 D. 表示4个 相乘的积 4 4.【数学文化】《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木， 木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝 上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢…….文中的 鸟巢共有( ) C A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5 5.填表： 乘方 底数 ___ ____ __ ___ 指数 ___ ___ ___ ___ 6 2 5 4 2 7 6 知识点2 有理数的乘方运算 6.计算： __. 7 7.计算： _____. 8 8.下列有理数的乘方中，结果为正数的是( ) D A. B. C. D. 9 9.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . 10 （4） . 解：原式 . 知识点3 用计算器计算有理数的乘方 10.用计算器计算： （1） ________. （2） _______. 97.336 12 易错点 底数是带分数时，未化为假分数而出错 11.老师出了一道计算题，计算： . 嘉嘉的计算过程如下： 解：原式 （第一步） （第二步） .（第三步） （1）请问嘉嘉的计算过程是从第几步开始出错的？ 解：嘉嘉的计算过程是从第一步开始出错的. 13 （2）请把正确的计算过程写出来. 解：原式 . 14 12.下列各对数中，数值相等的是( ) C A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 15 13.【易错】计算： ( ) B A. B. C. D. 16 14.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在 一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了 许多根细面条，如图所示.这样捏合到第8次后可拉出______根细面条. 17 15.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 18 16.【运算能力】阅读材料： 求 的值. 解：设 .① 将等式两边同乘2，得 .② ，得 . . 19 请仿照上述方法计算： （1） . 解：设 ，① 将等式两边同乘5，得 .② ，得，解得 . . 20 （2） . 解：设 ，① 将等式两边同乘3，得 ，得，解得 . . 21 非负性的应用 【方法指导】 （1）任意数的绝对值和任意数的偶次方（ 为正整数）是 常见的非负数. （2）如果几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0.如： ①若,则， . ②若,则， . 1.若，则 的值为___. 9 23 2.（2023·西藏改编）已知， 都是有理数，若 ，则 的值是____. 24 3.已知与互为相反数，则 ___. 5 25 4.若，则___. 5 26 $$第二章 有理数的运算 2.3.1 乘方 第2课时 有理数的混合运算 1 知识点1 有理数的混合运算 1.下面是小明在作业本上记录的计算题，请补充完整. （1）计算： . 解：原式 __________________（先算______） ________________（再算______） ____（最后算加减）. 乘方 乘法 12 2 （2）计算： . 解：原式 ___________________（先算________里面的） _______（再算________里面的） _____（最后算加减）. 小括号 中括号 3 2.（2023·杭州）计算： ( ) D A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 4 3.下列式子中，运算结果最小的是( ) D A. B. C. D. 5 4.计算： ( ) D A. B. C. 6 D. 42 6 5.计算： （1） . 解：原式 . （2）（2022·广西） . 解：原式 . 7 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 8 6.在“-”“×”两个运算符号中选一个填入“”的“ ”中， 并计算. 解：添加运算符号“-”： . 添加运算符号“×”： . 9 知识点2 有理数的规律探究 7.【推理能力】观察下列数据，按规律在横线上填上适当的数：1， ，，， ，_____. 10 8.【推理能力】已知，，， 的个位上的数是6， 的个位上的数是2，的个位上的数是 则 的个位上的数 是___. 6 11 易错点 有理数混合运算的运算顺序出错 9.计算： . 解：原式 . 12 10.（2023·内蒙古）定义新运算“ ”，规定： ，则 的运算结果为( ) D A. B. C. 5 D. 3 13 11.如图，这是一个简单的数值运算程序.当输入的值为 时，输出的 数值为___. 2 14 12.【创新意识】（2023·资阳）计算机的二进制数据是用0和1两个数 码来表示的数，进位规则是“逢二进一”.二进制数和十进制数可以互换， 例如：二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为 （非零数的零次幂等于1）.依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为____. 73 15 13.计算： （1） . 解：原式 . 16 （2） . 解：原式 . （3） 解：原式 . 18 14.已知，，都是有理数，,,，且 , ，求式子 的值. 解：由题意，得,, . , , ,, . 原式 . 19 15.【推理能力】（教材P53例4变式）观察下面三行数： 2，，8，, ；① ，2，，8, ；② 3，，9，, .③ （1）第①行的数按如下规律排列： ，______，____，_____， . 20 （2）第②③行的数与第①行的数分别有什么关系？ 解：第②行的数是由第①行相应的数除以 得到的； 第③行的数是由第①行相应的数加1得到的. （3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和. 解： . 21 $$第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘方 2.3.2 科学计数法 1 计算： （1） . 解：原式 . （2）（2022·柳州） . 解：原式 . 2 （3）（2023·广西） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 3 （5） . 解：原式 . 4 （6） . 解：原式 . （7） . 解：原式 . 6 （8） . 解：原式 . （9） . 解：原式 . 7 （10） . 解：原式 . 8 第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘方 2.3.2 科学记数法 9 知识点1 用科学记数法表示绝对值较大的数 1.（2022·衡阳）将数据339 000万用科学记数法表示为 的形 式，则 的值是( ) B A. 0.339 B. 3.39 C. 33.9 D. 339 10 2.（2023·广东）2023年5月28日，我国自主研发的 国产大飞机 商业首航取得圆满成功 可储存约186 000升燃油，将数据 186 000用科学记数法表示为( ) B A. B. C. D. 11 3.（2023·河南）2022年河南省出版了4.59亿册图书，为贯彻落实党的 二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰 富的图书资源.数据4.59亿用科学记数法表示为( ) C A. B. C. D. 12 4.袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努 力，目前我国杂交水稻每年增产的粮食可以养活8 000万人.将数据 8 000万用科学记数法表示为，则 的值为___. 7 13 知识点2 还原用科学记数法表示的数 5.中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空 母舰，该舰的满载排水量为 .这个用科学记数法表示的数 据的原数为( ) B A. 6 750 B. 67 500 C. 675 000 D. 6 750 000 14 6.一个整数用科学记数法表示为 ，则原数中0的个数为 ( ) B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 15 7.下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上. （1） _______. （2） _________. （3） _________. （4） _________. 3 618 216 000 16 8.某地大力推进农村卫生改革，已经累计投资 元资金.数 据 可以表示为( ) B A. 10.12亿 B. 1.012亿 C. 101.2亿 D. 1 012亿 17 9.已知光速为，光经过 传播的距离用科 学记数法表示为，则 的值可能为( ) C A. 5 B. 6 C. 5或6 D. 5或6或7 18 10.比较下列两数的大小： （1）___ . （2）___ . 19 11.某市计划修建一个长为，宽为 的长方形市民休 闲广场，则该广场的面积为____________ （结果用科学记数法表示）. 20 12.勤俭节约是中华民族千百年来的传统美德，居民朋友们应该秉承良 好传统，积极践行文明健康、绿色环保的生活方式.若某小区有1 000 户人家，每家每户一天节约 电，求这个小区一年（365天） 大约可以节约多少千瓦时电（用科学记数法表示）. 解： . 答：这个小区一年（365天）大约可以节约 电. 21 $$第二章 有理数的运算 2.3 有理数的乘方 2.3.3 近似数 1 知识点1 准确数与近似数 1.判断下列各题中的数据哪些是准确数，哪些是近似数. （1）七年级有350名同学. （2）池塘中大约有10 000尾鱼. （3）三角形有3个内角. （4）取 的值为3.14. 其中________是准确数，______________是近似数. 350，3 ， 2 知识点2 精确度与取近似数 2.“ ”是精确到________或者说精确到____. 十分位 0.1 3 3.自然常数“”是自然界中经常用到的常数之一， ，精确 到千分位为______. 2.718 4 4.用四舍五入法取近似数为 ，那么这个数值( ) A A. 精确到百分位 B. 精确到十分位 C. 精确到个位 D. 精确到百位 5 5.对 用四舍五入法取近似数，精确到0.001的结果是( ) D A. 0.08 B. 0.081 C. D. 0.080 6 6.按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1） （精确到百分位）. 解：2.72. （2）（精确到 ）. 解：21.3. （3） （精确到个位）. 解：562. 7 （4）（精确到 ）. 解：0.461. （5） （精确到千位）. 解： . 8 易错点 取近似数时忽略末尾的0 7. 精确到千分位的近似数是( ) D A. 0.139 B. 0.130 C. 0.14 D. 0.140 9 8.某种鲸鱼的质量约为 .关于这个近似数，下列说法正确 的是( ) C A. 精确到百分位 B. 精确到千分位 C. 精确到千位 D. 精确到万位 10 9.如果是的近似数，那么我们把叫做 的真值.若用四舍五入法得到 的近似数是75，则下列各数不可能是其真值的是( ) D A. 75.01 B. 75.49 C. 74.99 D. 74.49 11 10.下列说法正确的是( ) C A. 近似数5.20与5.2的精确度一样 B. 近似数 与2 000的意义完全一样 C. 精确到万分位 D. 0.35万与 的精确度不同 12 11.西周的城邑（都城）为正方形规制，《周礼》规定：天子城邑为九 里之城，公爵城邑可为七里之城，侯伯爵城邑可为五里之城 （若按1周尺约 计算，一里为1 800周尺，则九里之城的边长约 为 ）.根据上面的信息，推算出侯伯爵城邑的面积约为____ （精确到十分位）. 3.2 13 12.【真实问题情境】甲、乙两个学生的身高都约是 ，但 甲说他比乙高 ，你认为甲说的有可能吗？若有可能，请举例说明. 解：有可能，例如：甲的身高为，乙的身高为 . 14 $$第二章 有理数的运算 小专题2 有理数的加减运算技巧 1 方法1 归类——同号相加，同分母相加 【例1】 计算： （1） . 解：原式 . 2 （2） . 解：原式 . 3 方法2 凑整——将易通分或能“凑0”、能“凑整”的数相结合 【例2】 计算： （1） . 解：原式 . 4 （2） . 解：原式 . 5 方法3 分解——将一个数拆分成两个数的和或差 【例3】 计算： . 解：原式 . 6 【易错提示】将一个负的带分数拆分成一个负整数和一个负分数 的和的形式. 方法4 裂项相消法 【例4】 观察下列各式：； ； ；…… 根据规律解答下列各题: （1） __-___. （2）计算： ____. 8 （3）计算： . 解：原式 . 9 方法5 组合——找出规律，重新组合，简化运算 【例5】 计算： . 解：原式 . 10 计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： （1） . 解：原式 . 11 （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . 12 （4） . 解：原式 . 13 （5） . 解：原式 . （6） . 解：原式 . 14 （7） . 解：原式 . （8） . 解：原式 . 15 （9） . 解：原式 . 16 $$第二章 有理数的运算 小专题3 运用乘法运算律进行简便计算 1 方法1 将能约分或积为整数的数结合计算 【例1】 计算： （1） . 解：原式 . 2 （2） . 解：原式 . 3 方法2 运用分配律简化运算 【例2】 计算： （1） . 解：原式 . 4 （2） . 解：原式 . 5 方法3 将一个数拆分成多个数之和，再运用分配律简化运算 【例3】 计算： （1） . 解：原式 . 6 （2） . 解：原式 . 7 方法4 倒数法——将被除数与除数颠倒位置 【例4】 【注重学习过程】阅读下列材料： 计算： . 解：原式的倒数为 . 8 故原式 . 请仿照上述方法计算： . 解：原式的倒数为 .故原式 . 计算： （1） . 解：解法一：原式 . 解法二：原式 . 10 （2） . 解：原式 . 11 （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 13 （5） . 解：原式 . （6） . 解：原式 . 15 （7） . 解：原式的倒数为 . 故原式 . 16 （8） . 解：原式 . 17 （9） . 解：原式 . 18 $$第二章有理数的运算 小专题4有理数的混合运算 计算： (1)-0.75×(-》÷(-) 解：原式=-×(-)×() 1 =- (2) (2022·柳州)3×(-1)+22+-4. 解：原式=-3+4+4 =5. (3)(2023·广西)(-1)×(-4)+22÷(7-5). 解：原式=(-1)×(-4)+4÷2 =4+2 =6. (4)(-5)×33+2×33+(-6)×33 解：原式=[(-5)+2+(-6]×3号 =(-9)×9 =-30. (5)(-62×[-+(-)-（-6)]. 解：原式=36×（号+） =36×()+36×()+36×日 =-9-8+14 =-3. (6)-1)4×1-8到+(-2)3×(). 解：原式=1×8-8× =8-2 =6. (7)4+16÷(-2)3×|-3-1. 解：原式=4+16÷(-8)×4 =4+-2)×4 =4+(-8) =-4. (8)(-5)3×（-)+32÷(-22)×(-1): 解：原式=(-125)×(（-)+32÷(-4)×（-) =75+(-8)×() =75+10 =85. (9)-12024+8÷(-2)2--4|×5. 解：原式=-1+8÷4-4×5 =-1+2-20 =-19. (10)(-2)2-(1-)÷2号×[6+(-3)31. 解：原式=4-÷号×(6-27刀 =4-号×号×(-21) =4+3 =7.第二章 有理数的运算 小专题5 有理数中的规律探究 1 类型1 一列数中的规律 1.观察下列各数的排列规律：0，，8，， ，照这样排列，第 8个数应是( ) C A. 55 B. C. D. 65 2 2.（2022·西藏）按一定规律排列的一组数据：，，， ， ，， ，则按此规律排列的第10个数是( ) A A. B. C. D. 3 3.【数学文化】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时， 发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13， ，根据这组数的规律， 则第10个数是____. 55 4 类型2 有理数运算中的规律 4.观察下列等式：；； ； . 根据此规律，计算 的结果为_______________. （或784） 5 5.观察下列等式：；； ；……猜测 的个位数字是____. 6 6.如图，刘老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看 到图片后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么 他输入的密码是( ) 账号： 密码 B A. B. C. D. 7 7.观察下列图形中的数字排列规律， 在第⑧个图中， 的值是( ) D A. B. C. 126 D. 382 8 8.观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； 第5个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： 9 （1）写出第6个等式：________________. （2）用规律简便运算： . 解：原式 . 10 类型3 数轴上的规律 9.等边三角形在数轴上的位置如图所示，点， 对应的数分别为0 和.若将三角形 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点所对应的数为 连续翻转2 024次后，数2 024对应的 点为( ) C A. 点 B. 点 C. 点 D. 都可以 11 $$第二章 有理数的运算 章末复习（二） 有理数的运算 1 01 考点针对练 考点1 有理数的加法与减法 1.以下是4个城市某一天的温度范围，则其中温差最小的城市是( ) C A. 哈尔滨 B. 沈阳 C. 呼和浩特 D. 银川 2 2.（2023·长沙雨花区月考）下列算式正确的是( ) C A. B. C. D. 3 3.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 4 考点2 有理数的乘法与除法 4.计算： （1） __. （2） _____. 5 5.计算 的结果为( ) C A. B. 32 C. D. 64 6 6.若两个数的和是正数，商是负数，则这两个数的积是( ) B A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 以上三种结论都有可能 7 7.定义：是一个有理数，若大于或等于0，则；若 小 于0，则.这里称为的衍生数，则 的值为 ( ) C A. 3.5 B. 2.5 C. 1.5 D. 0.5 8 考点3 有理数的乘方及混合运算 8.数学课上，李老师让同学们说出一句话，使其结果为，例如： 的倒数.下列为四位同学的说法，其中不满足题意的是( ) 甲：1的相反数.乙： . 丙：最小的负整数.丁： . C A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9 9.（2023·德州德城区期中）根据如图所 示的程序计算，若输入 的值为1，则输出 的值为( ) C A. B. 2 C. 4 D. 6 10 10.（2023·滨州博兴县期末）若 ，则 的值为( ) D A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11 11.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 12 考点4 科学记数法与近似数 12.全国各地旅游业强势复苏，据长沙市文旅广电局报道，截至2023年 5月3日 ，橘子洲景区“五一”假期累计接待游客约398 000人次. 其中数据398 000用科学记数法表示为( ) B A. B. C. D. 13 13.北京大兴国际机场旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的 绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放量约2.2万吨，相当于种植119万 棵树.其中2.2万精确到( ) B A. 万位 B. 千位 C. 十分位 D. 百分位 14 考点5 有理数运算的应用 14.（2023·日照岚山区期末）岚山多岛海以其优美的海岸线，宽广的 金沙滩吸引了众多游客慕名而来.下表是某社会实践小组统计的2023年 8月1日日七天内每天旅游人数变化情况（“ ”表示人数比前一天多， “-”表示比前一天少）. 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 已知7月31日的游客人数为0.3万人，根据上表，可求出8月1日的游客 人数是 （万人）. 15 结合以上信息解决下列问题： （1）8月4日的游客人数为___万人. （2）8月1日 日中，游客人数最多的一天比最少的一天多____万人. 1 1.6 16 （3）如果每1万人带来的经济收入约为300万元，那么8月1日 日的 旅游总收入约为多少万元？ 解：1日：2.1万人； 2日： （万人）; 3日: （万人）; 4日： （万人）; 5日: （万人）; 6日： （万人）; 17 7日： （万人）. 8月1日 日的游客总人数为 （万人）. （万元）. 答：8月1日 日的旅游总收入约为2 610万元. 02 新课标·新情境·新题型 15.【数学文化】（2023·德州德城区月 考）中国人最先使用负数，魏晋时期的 数学家刘徽在其著作《九章算术注》中， 用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工 B A. B. C. D. 具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）.如图1表示的是 ，根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是( ) 19 16.小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新 改成了“幻圆”游戏.现在将，2，，4， ，6， ，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外 两圆上的4个数字的和都相等.如图，老师已经帮助同 学们完成了部分填空，则 的值为( ) A A. 或 B. 或1 C. 或 D. 1或 20 17.【传统文化】干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年 方法，干支是天干和地支的总称.干支纪年法的组合方式是天干在前， 地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年 为一个循环.我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号.天干的 计算方法：年份减3，再除以10所得的余数；地支的计算方法：年份减 3，再除以12所得的余数.以2022年为例： ， ，故 天干为9，地支为3，对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年. 21 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 / / 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请依据上述规律推断，2024年为农历______年. 甲辰 22 $$