精品解析：山西省大同市广灵县2022-2023学年八年级上学期期末模拟数学试题

广灵县2022-2023学年八年级（上）数学期末模拟测试 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共 30分．下列各题，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列图案中，是轴对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000023米．用科学记数法表示0.000000023为（　　） A. 23×10﹣10 B. 2.3×10﹣10 C. 2.3×10﹣9 D. 2.3×10﹣8 3. 下列计算正确的是（　　） A. x•x3=x4 B. x4+x4=x8 C. （x2）3=x5 D. x﹣1=﹣x 4. 若实数a，b满足a2－4a＋4+(b－4)2=0，且a，b恰好是等腰△ABC两条边的长，则△ABC周长为（ ） A. 8 B. 8或10 C. 12 D. 10 5. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( ) A. AC＝AD B. AC＝BC C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 6. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线AH交DC于点M．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ΔABD的周长为13cm，则ΔABC的周长是（ ） A. 13cm B. 16cm C. 19cm D. 22cm 9. 如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝44°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝44°；②AF＝AC；③∠EFB＝44°；④AD＝AC，正确的个数为（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）（用含a，b的代数式表示）． A ab B. 2ab C. a2﹣ab D. b2+ab 二．填空题（共5题，总计15分） 11. 分式和的最简公分母是____________． 12. 如果代数式2a2＋3a＋1的值等于6，那么代数式6a2＋9a－5＝________． 13. 一个多边形的每一个内角都是120°，则此多边形从一个顶点出发可以引__________条对角线． 14. 如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则_____． 15. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠到折痕上，折痕为，点在上的对应点为，则______°． 三．解答题（共8题，总计75分） 16. 分解因式： （1）4m3n﹣mn3 （2）（x﹣1）（x﹣3）+1． 17. 解下列分式方程： （1） （2） 18. 如图，的三个顶点的坐标分别是，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）分别写出三点关于轴对称的点的坐标； （3）求的面积． 19. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数 20. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点P，于Q． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 21. 已知，其中， （1）判断A与B的大小； （2）阅读下面对B分解因式的方法：．请解决下列两个问题： ①仿照上述方法分解因式：； ②指出A与C哪个大，并说明理由． 22. 黄商超市用2500元购进某种品牌苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金购进该品牌苹果，但这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的3倍． （1）试销时该品牌苹果的进货价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克4元的定价出售，当售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在这两次苹果销售中共获利多少元？ 23. 数学课上，刘老师出示了如下框中题目： 如图，在等边中，E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，且，试确定AE与DB的大小关系，并说明理由． 小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解．刘老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”．两人茅塞顿开，于是进行了如下解答，请你根据他们提供的思路完成下面相应内容： （1）特殊情况·探索结论 当点E为线段AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE________DB．（选填“>”，“<”或“=”） （2）特例启发·解答题目 当E为线段AB上除中点外任意一点时，其余条件不变，如图2，（1）中线段AE与DB的大小关系会发生改变吗？若不会，请证明；若改变，请说明理由． （3）拓展结论·设计新题 经过以上的解答，小聪和小明发现如果把刘老师的题目稍加改变，就会得到这样一道题目：在等边中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且．若的边长为1，，求CD的长． 请你根据（1）（2）的探究过程，尝试解决两人改编的此问题，直接写出CD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广灵县2022-2023学年八年级（上）数学期末模拟测试 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共 30分．下列各题，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列图案中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A选项不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意． B选项不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意． C选项是轴对称图形，符合题意． D选项不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解答本题的关键是熟知并掌握轴对称图形的概念，并利用概念找出对称轴． 2. 我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000023米．用科学记数法表示0.000000023为（　　） A. 23×10﹣10 B. 2.3×10﹣10 C. 2.3×10﹣9 D. 2.3×10﹣8 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0．000000023＝2.3×10﹣8． 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. x•x3=x4 B. x4+x4=x8 C. （x2）3=x5 D. x﹣1=﹣x 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方以及负整数指数幂的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. x•x3=x4，正确； B. x4+x4=2x4，原式错误； C.（x2）3=x6，原式错误； D x－1=，原式错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 若实数a，b满足a2－4a＋4+(b－4)2=0，且a，b恰好是等腰△ABC两条边的长，则△ABC周长为（ ） A. 8 B. 8或10 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求a、b的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可． 【详解】解：∵a2－4a＋4+(b－4)2=0， ∴(a－2)2+(b－4)2=0， ∴a−2＝0，b−4＝0， 解得：a＝2，b＝4， 当a＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理； 当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a，b的值，再根据a或b作为腰，分类求解． 5. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( ) A. AC＝AD B. AC＝BC C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 【答案】A 【解析】 【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD. 【详解】解： 需要添加条件为：BC= BD或AC= AD,理由为: 若添加的条件为：BC= BD 在Rt△ABC与Rt△ABD中,   ∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL) ; 若添加的条件为：AC=AD 在Rt△ABC与Rt△ABD中, ∴Rt△ABC≌Rt△ABD( HL). 故选：A. 【点睛】本题考查了利用HL公理判定直角三角形全等，熟练运用HL公理是解题的关键 6. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出∠3的度数，即可求∠ 1． 【详解】解：如图所示， ∵ ， ∴ =30°， ∵直尺两边平行 ∴∠3=30°， ∴∠1=45°-∠3 =45°-30° =15°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 7. 如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线AH交DC于点M．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的尺规作图可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由题意可知，平分， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键． 8. 如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ΔABD的周长为13cm，则ΔABC的周长是（ ） A. 13cm B. 16cm C. 19cm D. 22cm 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AC=2AE=6cm， 又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm， ∴AB+BD+CD=13cm， 即AB+BC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 9. 如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝44°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝44°；②AF＝AC；③∠EFB＝44°；④AD＝AC，正确的个数为（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，由全等三角形的性质依次判断可求解． 【详解】解：在△ABC和△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确， ∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF， ∴∠EAB＝∠FAC＝44°，故①正确， ∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB， ∴∠EFB＝∠FAC＝44°，故③正确， 无法证明AD＝AC，故④错误， 综上，①②③正确， 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据SAS证明△ABC≌△AEF是解题的关键． 10. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）（用含a，b的代数式表示）． A. ab B. 2ab C. a2﹣ab D. b2+ab 【答案】A 【解析】 【详解】解：设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为a﹣2x=2x+b， 可得x=，大正方形边长为=， 则阴影部分面积为（）2﹣4（）2==ab， 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二．填空题（共5题，总计15分） 11. 分式和的最简公分母是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的确定方法，求最简公分母时,将各分母分解因式,将所有的表达式都化成积的形式,系数取最小公倍数，取各式所有分母因式的最高次幂的积,确定最简公分母 【详解】3和4的最小公倍数是12，x的最高次幂是2，y的最高次幂是3，是两者的最简公分母. 故答案为： 【点睛】本题考查了最简公分母，解决本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法步骤. 12. 如果代数式2a2＋3a＋1的值等于6，那么代数式6a2＋9a－5＝________． 【答案】10 【解析】 【详解】由题意列出关系式，求出2a2+3a的值，将所求式子变形后，把2a2+3a的值代入计算即可求出值． 解：∵2a2+3a+1=6，即2a2+3a=5， ∴6a2+9a+5 =3（2a2+3a）+5 =20． 故答案为20． 13. 一个多边形的每一个内角都是120°，则此多边形从一个顶点出发可以引__________条对角线． 【答案】3 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为360°求得多边形的边数，然后根据n边形从一个顶点出发可以引（n-3）条对角线即可求得答案． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是120°， ∴这个多边形的每个外角都是60° ∴该多边形的边数为：360°÷60°=6， ∴从这个多边形的一个顶点出发可以画对角线条数为：6﹣3=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查多边形的外角和与对角线，解此题的关键在于熟练掌握多边形的外角和，多边形从一个顶点出发引对角线条数公式． 14. 如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则_____． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，翻折的性质，直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐互余求出，在中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】解：，， ， 是翻折得到， ， 在中，， 即， ． 故答案为：． 15. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠到折痕上，折痕为，点在上的对应点为，则______°． 【答案】75． 【解析】 【分析】由将正方形纸片对折，折痕为MN，可得MA=MD= ，由折叠得AB=AH由四边形ABCD是正方形得AD=AB，可推出AH=AD=2AM，可求∠AHM=30°，利用平行线性质可求∠BAH=30°，在△AHB中，AH=AB由内角和可求∠ABH=即可． 【详解】解:∵正方形纸片对折，折痕为MN， ∴MN是AD的垂直平分线 ， ∴MA=MD= ， ∵把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H， ∴AB=AH， ∵四边形ABCD是正方形 ， ∴AD=AB， ∴AH=AD=2AM， ∵∠AMH=90°，AM=， ∴∠AHM=30°， ∵MN∥AB， ∴∠BAH=30°， 在△AHB中，AH=AB， ∴∠ABH=． 故答案为：75． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，涉及垂直平分线，正方形性质，等腰三角形性质，三角形内角和，关键是30°角所对直角边等于斜边一半逆用求角度． 三．解答题（共8题，总计75分） 16. 分解因式： （1）4m3n﹣mn3 （2）（x﹣1）（x﹣3）+1． 【答案】（1）mn（2m+n）（2m﹣n） （2）（x﹣2）2 【解析】 【分析】（1）先提取公因式mn，再利用平方差公式分解可得； （2）先化简原整式，再利用完全平方公式计算可得． 【小问1详解】 解：原式=mn（4m2﹣n2）=mn（2m+n）（2m﹣n）； 【小问2详解】 解：原式=x2﹣4x+3+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 17. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）方程无解． 【解析】 【分析】（1）首先去分母，方程两边同时乘以，然后再移项、合并同类项得，再系数化1，最后验根，即可得到答案； （2）首先去分母，方程两边同时乘以，然后再移项、合并同类项得，再系数化1，最后验根，即可得到答案； 【详解】（1）， 两边同时乘以得：， 移项、合并同类项得：， 系数化1得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）， 两边同时乘以得：， 移项、合并同类项得：， 系数化1得：， 检验，当时，， ∴是增根，分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解答本题的关键是掌握解分式方程的方法，并注意验根． 18. 如图，的三个顶点的坐标分别是，． （1）在图中画出关于轴对称； （2）分别写出三点关于轴对称的点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—轴对称变换、坐标与图形、三角形面积、矩形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）关于x轴对称的点的特征是：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，先画出点关于x轴对称的点，再依次连接即可解题； （2）关于y轴对称的点的特征是：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，据此解题； （3）由及三角形面积公式解题即可． 【小问1详解】 解：（1）如图，即是所作的图形； 【小问2详解】 解：，， 点A，B，C三点关于y轴对称的点，，的坐标为： 、、； 【小问3详解】 解：如图， ． 19. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数 【答案】∠P=25° 【解析】 【分析】延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数． 【详解】解：延长ED，BC相交于点G． 在四边形ABGE中， ∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°， ∴∠P=∠FCD-∠CDP=（∠DCB-∠CDG） =∠G=×50°=25°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键． 20. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点P，于Q． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，由（2）知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21. 已知，其中， （1）判断A与B的大小； （2）阅读下面对B分解因式的方法：．请解决下列两个问题： ①仿照上述方法分解因式：； ②指出A与C哪个大，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①②当 ，，当时，，当时，，理由见解析． 【解析】 【分析】(1)由可得； (2)①根据，再利用平方差公式分解可得； ②由，再分类讨论可得． 【详解】(1)∵ ， ∴． (2)① ， ② ， ∵， ∴， 从而当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法、十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，注意整体思想的运用是解题的关键． 22. 黄商超市用2500元购进某种品牌苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金购进该品牌苹果，但这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的3倍． （1）试销时该品牌苹果的进货价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克4元的定价出售，当售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在这两次苹果销售中共获利多少元？ 【答案】（1）2.5；（2）6300 【解析】 【详解】（1）设试销时苹果价格为x元/千克， 则，解得：x=2.5， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：试销时该品牌苹果的进货价是每千克2.5元； （2）第一次购进水果千克，第二次购进水果3000千克， 获利为：（元）， 答：超市在这两次苹果销售中共获利6300元． 23. 数学课上，刘老师出示了如下框中的题目： 如图，在等边中，E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，且，试确定AE与DB的大小关系，并说明理由． 小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解．刘老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”．两人茅塞顿开，于是进行了如下解答，请你根据他们提供的思路完成下面相应内容： （1）特殊情况·探索结论 当点E为线段AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE________DB．（选填“>”，“<”或“=”） （2）特例启发·解答题目 当E为线段AB上除中点外的任意一点时，其余条件不变，如图2，（1）中线段AE与DB的大小关系会发生改变吗？若不会，请证明；若改变，请说明理由． （3）拓展结论·设计新题 经过以上的解答，小聪和小明发现如果把刘老师的题目稍加改变，就会得到这样一道题目：在等边中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且．若的边长为1，，求CD的长． 请你根据（1）（2）的探究过程，尝试解决两人改编的此问题，直接写出CD的长． 【答案】（1）= （2）不会改变，仍有．见解析 （3）3或1 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案； （2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案； （3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可． 【小问1详解】 解：∵△ABC为等边三角形，E为AB的中点， ∴∠BCE=30°，∠ABC=60°，AE=BE， ∵DE=CE， ∴∠D=∠BCE=30°， ∵∠ABC=∠D+∠BED， ∴∠BED=30°， ∴∠D=∠BED， ∴DB=BE=AE； 故答案为：= 【小问2详解】 解：不会改变，仍有．证明如下： 如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F． ∵是等边三角形， ∴，． ∵EF∥BC， ∴，． ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，若点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上， ∵△ABC等边三角形， ∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°， ∵AE=2， ∴AB=BC=BE=1， ∵∠ABC=∠BEC+∠BCE， ∴∠BEC=∠BCE=30°， ∴∠ACE=90°， ∴△ACE是直角三角形， ∵DE=CE， ∴∠D=∠BCE=30°， ∵∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，即△DEB是直角三角形． ∴BD=2BE=2 ∴CD=BD+BC=1+2=3； 如图，若点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上，过点E作EM⊥BD于点M， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠BEM=30°， ∴BE=2BM， ∵AE=2， ∴BE=3， ∴， ∴CM=BM-BC=0.5， ∵CE=DE， ∴CD=2CM=1； 如图，若点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠CBE=120°， ∵AE=2， ∴AB=BC=BE=1， ∵∠ABC=∠BEC+∠BCE， ∴∠BEC=∠BCE=30°， ∴∠ECD=∠BEC+∠CBE=150°， ∵CE=DE， ∴∠D=∠ECD=150°，不符合三角形内角和定理，，舍去； 如图，若点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上，则∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB， ∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，且∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠EDC<∠DCE， ∴DE≠CE，不合题意，舍去； 综上所述，CD的长为3或1． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$