新课预习衔接：数学广角——优化 （讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

数学广角——优化 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【数字问题知识点归纳】 1．数字问题的主要题型： 数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少． 2．核心知识 （1）数字的拆分 是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等． （2）数字的排列与位数关系 解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解． 【排队论问题知识点归纳】 1．排队论问题解决方法： 要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起． 【烙饼问题知识点归纳】 1．烙饼问题公式： 总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间 当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为4，每一锅的只数为3时，根据公式，4×2÷3×1约＝3分 2．深层意义： 烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题． 【沏茶问题知识点归纳】 【田忌赛马问题知识点归纳】 1．田忌赛马： 田忌赛马说的是田忌和别人赛马的故事，大概如下：用自己的劣等马对决对手的优等马用自己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这个故事告诉我们一个道理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性． 2．深层意义： 通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养应用意识，提高解决实际问题的能力．只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用． 3．应用举例： 一位镇长想起了田忌赛马的故事．不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优势，以长击短，因此取胜．联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招． 第三部分 典型例题 例题1：三年级师生一共150人去革命烈士纪念馆参观。大客车：限坐40人，每辆车租金200元，面包车：限坐30人，每辆租金180元。如果每辆车都坐满，怎样租车才能正好一次把全体师生都运到？先有序列表，再算一算都坐满的方案中，哪个方案最省钱？ 租车方案 大客车40人/辆 面包车30人/辆 总人数 正好坐满没空位的方案打“√” 【答案】租5辆面包车或租3辆大客车和1辆面包车都能正好一次把全体师生都运到；租3辆大客车和1辆面包车最省钱 【分析】面包车每车限坐30人，150人都乘面包车，需要150÷30＝5（辆），然后减少面包车，增加大客车，依次列举解答；再根据表中正好坐满没空位的方案中，计算出哪种方案最省钱即可。 【详解】①全租面包车，需要150÷30＝5（辆），可以坐：30×5＝150（人） ②租4辆面包车，租1辆大客车，可以坐： 30×4＋40 ＝120＋40 ＝160（人） ③租3辆面包车，租2辆大客车，可以坐： 30×3＋40×2 ＝90＋80 ＝170（人） ④租2辆面包车，租3辆大客车，可以坐： 30×2＋40×3 ＝60＋120 ＝180（人） ⑤租1辆面包车，租3辆大客车，可以坐： 30＋40×3 ＝30＋120 ＝150（人） ⑥全租大客车，需要150÷40＝3（辆）……30（人），3＋1＝4（辆），可以坐：40×4＝160（人） 填表如下： 租车方案 大客车40人/辆 面包车30人/辆 总人数 正好坐满没空位的方案打“√” ① 0 5 150 √ ② 1 4 160 ③ 2 3 170 ④ 3 2 180 ⑤ 3 1 150 √ ⑥ 4 0 160 根据表格中的数据可得：方案①和方案⑤正好坐满没空位。 方案①花费：180×5＝900（元） 方案⑤花费：200×3＋180 ＝600＋180 ＝780（元） 780＜900 所以，租3辆大客车和1辆面包车最省钱。 答：租5辆面包车或租3辆大客车和1辆面包车都能正好一次把全体师生都运到；租3辆大客车和1辆面包车最省钱。 【点睛】本题主要考查最优化问题，关键根据题目要求，选出合适的租车方法并算出最省钱方案。 例题2：有一个93人的旅游团，其中男47人，女46人，住到一个旅馆里。旅馆里有可住11人，7人，4人的三种房间，经过服务员的安排，这个旅游团的男、女分别住在不同的房间里，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。服务员最少用了多少个房间？ 【答案】11间 【分析】根据题意，要想用的房间最少，则男女都优先入住11人的，看剩下的人数是否可以住7人的，如果7人的没法住满则少住一间11人的多住一间7人的，如果还有剩余则用同样的方式减少11人间，增加7人间，直到正好全部住满，据此分析即可。 【详解】47÷11＝4（间）……3（人） 剩下的3人不能住满任意房间，则住3间11人的。 47－3×11＝47－33＝14（人），14÷7＝2（间） 男生住3间11人的，2间7人的用的房间最少。 男生房间数：3＋2＝5（间） 女生比男生少1人，则先假设女生住2间11人的。 46－2×11＝46－22＝24（人） 24÷4＝6（间） 2＋6＝8（间） 假设女生住1间11人的。 46－11＝35（人） 35÷7＝5（间） 1＋5＝6（间） 6＜8 女生住1间11人的，5间7人的用的房间最少。 5＋6＝11（间） 答：服务员最少用了11个房间。 【点睛】本题考查了解决问题的策略，学会寻找解决问题的最佳方法，培养了应用意识和解决实际问题的能力，完成本题要注意是求最少动用了多少房间，因此安排时应多安排11人间，反复研究各种策略，在所有的可能策略中，选择一个最优策略。 例题3：明明在早上起床之后有这样几件事情需要完成：穿衣服5分钟，洗漱5分钟，梳头1分钟，烧开水5分钟，听广播6分钟，吃早饭8分钟，请问：明明完成所有的事情最短需要多长时间？ 【答案】18分钟 【分析】根据题干，烧开水的5分钟内，洗漱5分钟，由此可节约5分钟；吃早饭的8分钟内，可以梳头听广播，再加上穿衣服的时间即可解答问题。 【详解】先起床穿衣，需要5分钟；再烧开水，烧开水的5分钟内，可以洗漱；吃早饭的时间内可以梳头1分钟，听广播6分钟，计算所见如下： 共需要5＋5＋8 ＝10＋8 ＝18（分钟） 答：她完成上面的事情最少需要多长30分钟． 【点睛】此题属于合理安排时间问题，本着既节约时间又不使每道工序相互矛盾即可解答。 第四部分 高频真题 1．有30张卡片。两人轮流从中取，每次至少取1张，最多取3张，谁取到最后一张谁就输。让你先取，你有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？ 2．妈妈用面包机烤面包，每个盘子最多能放2片面包，面包的两面都要烤，每烤一面要用3分钟。 （1）要烤7片面包至少用多少分钟？ （2）要烤8片面包至少用多少分钟？ 3．两人轮流从54张扑克牌中取牌，每次至少取1张，最多取4张． (1)谁取到最后一张扑克牌谁就胜．你有必胜的策略吗？怎样取才能确保获胜？　 (2)谁取到最后一张扑克牌谁就输．你有必胜的策略吗？怎样取才能确保获胜？ 4．爸爸开车和妈妈一起从家外出办事。爸爸要去办公室取资料，妈妈要去商场购物。 上面是他们的行走路线和所用时间。他们办完这些事回到家，至少需要多长时间？ 5．科技馆有下面两种价格方案。3位老师带27名学生参观科技馆，选哪种方案合算。 方案一 方案二 成人票每人20元 学生票每人10元 团体30人以上（包括30人） 每人12元 6．王老师带领本班43名学生去玉溪聂耳公园划船游玩。每条大船可坐6人，租金60元。每条小船可坐4人，租金48元。杨丽、赵宁两位同学分别设计出了一种租船方案，这两个租船方案都恰好能使王老师和本班的43名同学全部坐下，没有空位。杨丽、赵宁两位同学设计的具体租船方案如下： 杨丽设计的租船方案是：租4条大船和5条小船。 赵宁设计的租船方案是：租6条大船和2条小船。 请问：选择谁的租船方案租船最省钱？ 7．可可烤面包片，烤一片面包片需要4分钟（正面2分钟，反面2分钟），一次最多能烤2片，可可烤7片面包片至少需要多少分钟？ 8．小强早上从起床到吃完早饭需要做完下面这些事：起床需要5分钟，整理床铺需要2分钟，刷牙需要2分钟，洗脸需要1分钟，热牛奶需要3分钟，烤面包需要2分钟，吃早饭需要8分钟。他如何安排才能最快完成这些事情？ 9．体育用品商店进行促销活动，19元买一件运动衫，29元买两件，体育老师带了200元钱，最多可以买多少件？ 10．一位农民带一只狗、一只羊、一筐青菜要过河．如果主人不在，狗会咬羊、羊会吃青菜．可是这位农民每次只能带一样东西过河，你能帮他想办法怎样过河才能让羊、狗、青菜不会有事？ 11．妈妈处理好鱼，让小明帮助烧鱼。他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅、煎烧的各道工序一共花了20分钟（如下图），请你设计一个方案，使花费的时间最少。 12．排序并填表． 红旗小学四（一）班和四（二）班比赛100米短跑，规定三盘两胜为胜． （一）班跑得快的是小张、小明、小兰．分别为9.2秒、9.5秒、9.9秒； （二）班跑得快的是为小刚、小强、小红，分别为9.3秒、9.5秒、9.7秒．如果（二）班要胜（一）班（二）班应该如何派出选手？ 13．李明一行23人背包旅行，夜晚住宿好客青年旅社，下面是旅社房间报价。他们怎样住宿最省钱？ 14．一个平底锅每次可以同时烙4张饼，每张饼要烙2面，每面需要3分钟． (1)烙熟4张饼至少需要多少分钟？说一说怎样烙． (2)烙熟6张饼至少需要多少分钟？在下表中表示烙饼的过程．(把6张饼分别编号①②③④⑤⑥) 烙饼方法 时间(分钟) 第一次 第二次 第三次 (3)你还能照样子提出什么问题？并解答． 15．爸爸出差了，妈妈生病了，明明放学回家后帮妈妈做家务，明明是按照以下顺序做的：扫地（5分钟）→淘米（1分钟）→洗菜（9分钟）→打开炉子（1分钟）→煮饭（18分钟）→炒菜（7分钟）一共花了41分钟，妈妈平时没有用这么长时间，请你帮明明设计一个花费时间最少的做家务顺序。 16．一个旅行团有62人，中午用餐时，大桌最多能坐10人每桌280元，小桌最多能坐6人每桌180元。怎样订餐最省钱？最少要多少钱？ 17．从龙南县城租车运62吨货物去信丰县城，已知大车每次可运10吨，运费200元，小车每次可运4吨，运费95元。要使总费用最少，应租大车、小车各多少辆？共需运费多少元？ 18．小红想给客人烧水沏茶，洗水壶要2分钟；烧开水要12分钟，买茶叶要5分钟，洗茶杯要1分钟，沏茶要1分钟，要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟？ 19．小强和小杰两家是好邻居，两家（4个大人，2个儿童）共同到游乐园游玩。已知成人票为每人80元，学生票为每人40元，团体（6人及以上）票为每人60元。请问：如何购票最省钱？ 20．英才小学四年级160名师生到森林公园春游，怎样租车最省钱？      大客车限乘45人租金360元    小客车限乘35人租金315元 21．某动物园门票价为：①成人每人120元，儿童每人80元；②团体票10人及10人以上每人100元。小明家和小丽家相约出游，共有儿童4人，成人8人。怎样购票最省钱？ （1）请你在提出最省钱方案的小朋友名字旁的括号里画√。 （2）请说明你认为最省钱方案的理由。 22．赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小河边，河岸边只有一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要2分钟，小八路划船需要3分钟，负伤的红军战士划船需要5分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式，三个人全部过河用时最少？ 23．去公园划船。 （1）如果每条船都坐满，可以怎样租船？ （2）租一条大船需要10元，租一条小船需要8元，哪个租船方案最省钱？ 24．电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 25．小明学妈妈打鸡蛋汤，他做事的顺序是：打鸡蛋2分钟﹣﹣切葱花2分钟﹣﹣准备佐料2分钟﹣﹣洗锅1分钟﹣﹣把水烧热6分钟﹣﹣汤出锅3分钟，最后他一共花了16分钟钟。你能比他节省6分钟完成打鸡蛋汤吗？把合理安排做事的顺序写出来。 26．红红早晨起来刷牙洗脸要3分钟，烧开水要15分钟，把水灌入水瓶2分钟，吃早饭要 8分钟．红红应该怎样合理安排时间用时最少？最少要几分钟？ 27．某超市从火龙果种植基地购进了52t的火龙果，小货车限重6t，每次运费80元；大货车限承8t，每次运费100元，怎样安排最省钱？请说明理由。 28．用一辆大卡车和一辆中卡车运送22吨沙子，大卡车每次只能运5吨，中卡车每次只能运3吨。大卡车和中卡各运送几次恰好把这些沙子运送完？（可以用列表的方法） 29．一副扑克牌共54张，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1－4张，谁拿到最后1张牌谁就赢。先拿牌的人怎样才能确保胜利？ 30．三(4)班共38人去春游．(不考虑司机的座位) (1)怎样租车没有空座？写出不同的租车方案． (2)比较哪种租车方案省钱． 31．小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？ 32．去阳光乐园游玩． （1）如果有6个大人、4个小孩，那么怎样买票合适？ （2）如果有4个大人、6个小孩，那么怎样买票合适？ （3）如果有5个大人、5个小孩，那么怎样买票合适？ 33．三个同学去图书室借阅图书．甲需要4分钟，乙需要8分钟，丙需要3分钟，怎样安排他们的借书顺序，使他们花的总时间（各自借书时间和各自等待时间的总和）最少？最少要多长时间？ 34．面包店一共要烤72个面包，已经烤好了27个。面包师傅每次能烤9个面包，剩下的面包还要烤几次？ 35．妙想放学回家后，妈妈对他说：“我今天做你最喜欢吃的红烧鱼，不过你要帮妈妈设计一下，看看怎么安排时间最少？”请你和妙想设计一个顺序帮他们尽早开饭． 杀鱼、洗鱼5分钟，烧鱼8分钟，淘米1分钟，做米饭15分钟． 36．三（1）班一共有32人，每条大船限坐8人，每条小船限坐6人。如果每条船都坐满，可以怎样租船？ 方案 大船8人/条 小船6人/条 总数/人 37．向阳小队26名同学准备租车前往党的诞生地嘉兴南湖，感受中国共产党走过的101年风雨历程。大面包车每辆限乘客6人，小汽车每辆限乘客4人。 （1）每辆车都坐满，可以怎样租车？（借助下面的表格解答） 租车方案 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 面包车/辆 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 小汽车/辆 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 可载乘客人数 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 答：每辆车都坐满，可以选择方案（    ）和方案（    ）。 （2）如果每辆车面包车的租金是220元，每辆小汽车的租金是170元，在每辆车都坐满的情况下，哪种租车方案最省钱。 38．甲、乙、丙三人同时到一水龙头处用水，甲洗拖把要3分钟，乙洗衣服要10分钟，丙用桶注水要2分钟，怎样安排三个人用水的顺序，使他们所花的总时间（各自用水时间和各自等待时间的总和）最少，最少用多少分钟？ 39．一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能使三个学校的学生上学放学所行的总路程最少？ 40．树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。这在生物学上称为“鲁德维格定律”。那么十年后这棵树上有多少条树枝？ 41．小冬和小春各有“团长”、“营长”、“连长”三枚军棋，级别高的“吃掉”级别低的(团长>营长>连长)．如果每人每次出一枚棋，且小冬先出，那么小春怎样出棋才能赢？(请根据小冬的出棋顺序，在 中填入适当的棋名) 参考答案： 1．见详解 【分析】我先取1张，那么还剩下29张，则只要使自己取到第29张，让对方取第30张，我就能获胜，依此解答。 【详解】答：我有必胜的策略，我先取一张，再看对方取几张，我要取的张数与对方的取张数的和是4张，这样下去，就能保证我会取到第29张，让对方取第30张，这样我就会获胜。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 2．（1）21分钟 （2）24分钟 【分析】烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间。 【详解】（1）7×2÷2×3 ＝14÷2×3 ＝7×3 ＝21（分钟） 答：烤7片面包至少要用21分钟。 （2）8×2÷2×3 ＝16÷2×3 ＝8×3 ＝24（分钟） 答：要烤8片面包至少用24分钟。 【点睛】此题考查了烙饼问题的应用，要熟记公式。 3．（1）想要获胜应先取扑克牌，第一次取4张，以后每轮保证两人取牌的张数和是5张，自己必取到最后一张，必胜． （2）想要获胜应先取扑克牌，第一次取3张，以后每轮保证两人取牌的张数和是5张，最后一张牌一定留给对手取，自己必胜． 【详解】（1）54÷(1＋4)＝10……4 想要获胜应先取扑克牌，第一次取4张，以后每轮保证两人取牌的张数和是5张，自己必取到最后一张，必胜． （2）　(54－1)÷(1＋4)＝10……3 想要获胜应先取扑克牌，第一次取3张，以后每轮保证两人取牌的张数和是5张，最后一张牌一定留给对手取，自己必胜． 4．至少需要64分钟 【分析】由题图分析可知，爸爸必须开车取资料，则最快的方法是先把妈妈送到商场，然后爸爸返回取资料，爸爸从商场去办公楼取资料，再到健身公园共用：2＋15＋10＋15＝42（分），此时妈妈刚好购物完步行到健身公园，所用时间为：30＋12＝42（分）；两人刚好汇合一起回家。 【详解】10＋2＋（2＋15＋10＋15）＋10 ＝12＋42＋10 ＝54＋10 ＝64（分） 答：至少需要64分钟。 【点睛】本题主要考查最优化问题。 5．方案一 【分析】根据两种购票方案，分别计算所需钱数，然后比较，即可得出结论。 【详解】方案一：购买3张成人票和27张学生票，则需要： 20×3＋10×27 ＝60＋270 ＝330（元） 方案二：全部购买团体票，则需要 12×（3＋27） ＝12×30 ＝360（元） 330元＜360元 答：选方案一合算。 【点睛】本题主要考查优化问题，关键根据两种购票方案，计算所需钱数。 6．赵宁 【分析】把两种方案的数据代入方案中求解出总价比较即可，大船的条数乘大船的租金，小船的条数乘小船的租金，据此解答。 【详解】杨丽方案：60×4＋48×5 ＝240＋240 ＝480（元） 赵宁方案：60×6＋48×2 ＝360＋96 ＝456（元） 因为480元＞456元 答：选择赵宁设计的租船方案最省钱。 【点睛】本题考查优化问题，掌握单价×数量＝总价是解题的关键。 7．14分钟 【分析】烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间。把面包片看作饼，代入公式计算即可。 【详解】7×2÷2×2 ＝14÷2×2 ＝7×2 ＝14（分钟） 答：可可烤7片面包片至少需要14分钟。 【点睛】此题考查了烙饼问题的应用，要熟记公式。 8．见详解 【分析】起床→烤面包（整理床铺）→热牛奶（刷牙→洗脸）→吃早饭，这样完成这些事情的时间为起床、烤面包、热牛奶和吃早饭的时间和，据此即可解答。 【详解】先起床，然后烤面包的同时整理床铺，再热牛奶的同时刷牙和洗脸，最后吃早饭，这样能最快完成这些事情。 【点睛】合理安排，把能同时进行的事情安排在同一时间完成，这样用时最少。 9．13件 【分析】根据题意，把两件运动衫看作1组，再看200元里有几个29元，用除法求出200元最多可以买几组，再看看剩下的钱是否可以买1件；据此解题即可。 【详解】200÷29＝6（组）……26（元） 26÷19＝1（件）……7（元） 6×2＋1 ＝12＋1 ＝13（件） 答：最多可以买13件。 【点睛】熟练掌握三位数除以两位数的计算方法，是解答此题的关键。 10．分四步：（1）带羊过河；（2）带狗过河，带羊回来；（3）带青菜过河；（4）带羊过河. 【解析】略 11．方案见详解； 16分钟 【分析】根据题意，先洗锅，然后将锅烧热、将油烧热，与此同时洗鱼、切鱼、切姜葱，然后再煎烧即可。 【详解】如图： 2＋2＋2＋10＝16（分钟） 【点睛】本题考查了合理安排时间的问题，抓住既节约时间又不使工序矛盾的原则进行设计。 12． 四（一）班派出选手 四（二）班派出选手 获胜班级 第一组 小张 小红 四（一） 第二组 小明 小刚 四（二） 第三组 小兰 小强 四（二） 【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使四（二）班胜出，则可以让四（二）班成绩最好的与四（一）班的第二名一组；让四（二）班的第二名与 （一）班的第三名一组，让四（二）班的第三名与（一）班的第一名一组，这样能保证四（二）班胜出2局．根据三局两胜的规则即可得出四（二）班胜． 【详解】根据题干分析可得： 四（一）班派出选手 四（二）班派出选手 获胜班级 第一组 小张 小红 四（一） 第二组 小明 小刚 四（二） 第三组 小兰 小强 四（二） 13．住3个五人间和2个四人间 【分析】根据题意可知，分别求出住四人间和五人间的每人需要花费的钱数，再比较住哪种房间更合适，在保证住满的前提下，尽量多的住花费钱数少的房间。 【详解】272÷4＝68（元） 310÷5＝62（元） 68＞62，则住五人间更省钱。 23÷5＝4（个）……3（人） 则住4个五人间，剩余的3人住1个四人间。 4×310＋272 ＝1240＋272 ＝1512（元） 这3人住不满四人间，可以把这3人和1个五人间的5人都安排住四人间。 （3＋5）÷4 ＝8÷4 ＝2（间） 则住3个五人间和2个四人间。 3×310＋2×272 ＝930＋544 ＝1474（元） 1474＜1512 答：住3个五人间和2个四人间最省钱。 【点睛】解决本题时先明确尽量多的住五人间，再根据剩余人数调整方案，找到最省钱的方案。 14．(1)3×2＝6(分钟)4张饼同时烙． (2)3＋3＋3＝9(分钟) 烙饼方法 时间(分钟) 第一次 ①②    ③④正 3 第二次 ①②反⑤⑥正 3 第三次 ③④    ⑤⑥反 3 (3)烙8饼至少需要几分钟？12分钟 【解析】略 15．见详解 【分析】要使需要的时间最短，应先淘米，然后打开炉子，再煮饭。在完成煮饭这项任务的同时，可完成扫地和洗菜这两项任务，最后炒菜。则一共需要1＋1＋18＋7＝27分钟。 【详解】 【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 16．订5张大桌和2张小桌；最少要1760元 【分析】大桌最多能坐10人每桌280元，每人平均280÷10＝28元。小桌最多能坐6人每桌180元，每人平均180÷6＝30元。要想最省钱，应在保证满座的情况下尽量多的订大桌。用总人数除以每张大桌可以坐的人数，求出订大桌数量，再结合余数判断是否订小桌，据此解答。 【详解】280÷10＝28（元） 180÷6＝30（元） 所以订大桌划算。 62÷10＝6（桌）……2（人） 剩下的2人订一张小桌，不能坐满。可以订5张大桌。 62－10×5 ＝60－50 ＝12（人） 12÷6＝2（张） 5×280＋2×180 ＝1400＋360 ＝1760（元） 答：订5张大桌和2张小桌能全部坐满，最省钱，最少要1760元钱。 【点睛】解决本题时应注意两点，一点是明确尽量多的订大桌最省钱，二点是尽量保证没有空座。 17．大车：5辆；小车：3辆；1285元 【分析】根据运费除以对应的吨数即可求出1吨运费是多少，先求出大车运1吨货物的价钱，再求出小车运1吨货物的钱数，看哪种车运1吨货物花费的钱数少，就尽量多租用哪种车，另外还要把62吨货物装下，由此即可得出答案。 【详解】200÷10＝20（元） 95÷4＝23（元）……3（元） 所以，尽量租用大车； 62÷10＝6（辆）……2（吨） 当租6辆大车，一辆小车需要的费用： 6×200＋95 ＝1200＋95 ＝1295（元） 当租5辆大车时，3辆小车的费用： 5×200＋3×95 ＝1000＋285 ＝1285（元） 1285＜1295 答：要使总费用最少，应租大车5辆、小车3辆；共需运费1285元. 【点睛】解答本题的关键是，设计方案时，尽量租用运费少的车，并且所租的车又能够正好装下62吨货物，由此即可得出的答案。 18．15分钟 【详解】先洗水壶2分钟 然后烧开水12分钟（买茶叶、洗茶杯、） 沏茶要1分钟 最少时间：2+12+1=15（分） 19．购团体票省钱 【分析】分别求得两家人买4张成人票和2张儿童票的价格，和买团体票的总价，再进行比较即可解答。 【详解】80×4＋40×2 ＝320＋80 ＝400（元） 60×6＝360（元） 400＞360，购团体票省钱。 答：购团体票省钱。 【点睛】解决问题的关键是分别求出两种方案的花费的钱数。 20．租2辆大客车和2辆小客车最省钱 【分析】先算出每种车每人需要的租金，大客车每人租金为：360÷45＝8（元），小客车每人租金为：315÷35＝9（元），通过比较可知，尽量多租大客车且尽量满载最省钱。由此根据人数及车辆的限乘人数，通过调整使之满座，然后进行计算、比较即可。 【详解】大客车每人租金为：360÷45＝8（元） 小客车每人租金为：315÷35＝9（元） 8＜9，所以尽量多租大客车且尽量满载最省钱。 160÷45＝3（辆）……25（人） 租3辆大客车和1辆小客车，所需要钱数为： 360×3＋315 ＝1080＋315 ＝1395（元） 160＝45×2＋35×2 租2辆大客车和2辆小客车，所需要钱数为： 360×2＋315×2 ＝720＋630 ＝1350（元） 1395元＞1350元 答：租2辆大客车和2辆小客车最省钱。 21．（1）小丽（√） （2）见详解 【分析】（1）直接对他们两个的总费用进行比较即可。 （2）根据计算过程说明理由，合理即可。 【详解】（1）1200＜1280，因此小丽的方案购票省钱。 （2）成人票价大于团体票价，成人多时买团体票可省钱。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 22．6分钟 【分析】一次过河是不可能的，要分两次过河，其中赵大爷划船最快，可以让赵大爷来回跑，赵大爷首先跟红军战士一起过河，用时2分钟，再由赵大爷把船划过来，用时2分钟，最后把剩下的人一起载过去，再用时2分钟，一共用时6分钟。 【详解】（分钟） 答：三个人全部过河用时最少是6分钟。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，对于此类问题，最快的人要来回跑。 23．（1）租大船1条小船7条；租大船3条小船4条；租大船5条小船1条 （2）租大船5条小船1条的方案最省钱 【分析】（1）不租大船，全租小船试算一下是否正好坐满；大船只租一条，剩下的都租小船试算一下是否正好坐满；大船租二条，剩下的都租小船试算一下是否正好坐满，逐一试算即可。 （2）先计算出大船、小船平均每人多少钱，然后比较，哪一种便宜就尽量多租便宜的船型，余下的人坐另一种船型，并且尽量使每一条船都坐满才最省钱，总人数除以每条坐的人数，得到的商就是坐该种船型的条数，余数就表示还有多少人，从而推算出租另一种船型的条数。 【详解】（1）①不租大船，全租小船：34÷4＝8（条）……2（人），不能正好坐满； ②大船只租一条，剩下的都租小船：（34－6）÷4＝28÷4＝7（条），租大船1条小船7条正好坐满； ③大船只租两条，剩下的都租小船：（34－6×2）÷4＝（34－12）÷4＝22÷4＝5（条）……2（人），不能正好坐满； ④大船只租三条，剩下的都租小船：（34－6×3）÷4＝（34－18）÷4＝16÷4＝4（条）；租大船3条小船4条能正好坐满； ⑤大船只租四条，剩下的都租小船：（34－6×4）÷4＝（34－24）÷4＝10÷4＝2（条）……2（人），不能正好坐满； ⑥大船只租五条，剩下的都租小船：（34－6×5）÷4＝（34－30）÷4＝4÷4＝1（条）；租大船5条小船1条能正好坐满； ⑦只租大船，不租小船：34÷6＝5（条）……4（人），不能正好坐满； 答：租大船1条小船7条或租大船3条小船4条或租大船5条小船1条每条船都坐满。 （2）大船每人：10÷6＝1（元）……4（元），每人的费用1元多； 小船每人：8÷4＝2（元），每人费用2元； 因此尽量租大船，而且不能有空座。 租大船5条小船1条花费： （元） 租大船3条小船4条花费： （元） 租大船1条小船7条花费： 10＋8×7 ＝10＋56 ＝66（元） 答：租大船5条小船1条的方案最省钱。 【点睛】“租车优化问题”首先要使便宜的车满座，如果剩余的人数比较多又接近满座，可以考虑剩下的人再租用同一种车，如果剩余的人数比较少可以通过调整租用其它载人少的车。 24．7天 【分析】由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28 如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出；由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题； 例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以； 所以最多可以播7天； 答：最多可以播7天。 【点睛】本题考查的是最值问题，在播出的集数互不相同的情况下，最多是7天，可以考虑如果播出的集数可以相同又会是什么情况呢？ 25．先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，这样节省6分钟完成打鸡蛋汤。 【分析】此类题目要奔着节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决，根据题干可知先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，由此即可设计出打鸡蛋汤的工序，从而计算得出所用的时间。 【详解】先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，6+1+3=10（分钟），16-10=6（分钟） 答：先洗锅1分钟，把水烧热6分钟，可以同时打鸡蛋、切葱花、准备佐料，最后汤出锅3分钟，这样节省6分钟完成打鸡蛋汤。 26．烧开水（刷牙、洗脸、吃早饭）、把开水灌入水瓶     17分钟 【详解】先烧开水，在烧开水的时间内（刷牙、洗脸、吃早饭．） 然后，再把开水灌入水瓶． 最少时间：15+2=17（分） 27．5辆大货车和2辆小货车运最省钱，只需660元；理由见详解 【分析】分别求出小货车和大货车运送每吨货物的运费，可知要想最省钱，在保证货车全部装满的情况下，应尽量多的租用大货车。可以租6辆大货车和1辆小货车，也可以租5辆大货车和2辆小货车，分别求出两种租车方案花费的钱数，再选出最优方案即可。 【详解】小货车：80÷6＝13（元）……2（元） 大货车：100÷8＝12……4（元）   13＞12，尽量用大货车运更划算。 52÷8＝6（辆）……4（吨） 可以租6辆大货车和1辆小货车： 6×100＋80 ＝600＋80 ＝680（元） 可以租5辆大货车和2辆小货车： 6－1＝5（辆）   （4＋8）÷6 ＝12÷6 ＝2（辆）   5×100＋80×2 ＝500＋160 ＝660（元） 680＞660   答：5辆大货车和2辆小货车运最省钱，只需660元。 【点睛】解决本题的关键是明确尽量多的租用大货车，其次是找出可能的租车方案，再比较不同方案花费的钱数大小。 28．大卡车运2次、中卡车运4次恰好把这些沙子运送完。 【分析】根据两种车每次的运沙量和沙子的总量，利用列表法进行解决即可。 【详解】 大卡车（5吨/次） 中卡车（3吨/次） 总吨数（吨） 2 4 22 大卡车运2次、中卡车运4次恰好把这些沙子运送完。 【点睛】本题考查最优化问题，关键是根据两种车每次的运沙量和沙子的总量，设计合理方案。 29．要确保甲获胜，必须甲先取牌。 【分析】设两人为甲和乙；首先理解题意，谁先取谁就能获胜，所以甲要先取，利用甲所取牌数均为5减去乙所取牌数之差解答此题即：甲先取4张，以后当乙取n张时，甲取5－n张，所以甲可以取到第4＋5×1，4＋5×2，…，4＋5×9＝49张，这时还剩5张，当乙再取不管是1，2，3，4张，甲总能取到第54张。 【详解】设先拿牌的为甲；要确保甲获胜，甲先取，由于54÷（4＋1），商10余4，所以甲先取走4张，乙再取走n（1≤n≤4）张，接着甲取走（5－n）张； 以后每次在乙取牌后，甲所取牌数均为5减去乙所取牌数之差；最后必剩54－49＝5张，由乙来取，乙无论怎么取，都得给甲剩下1～4张，这样，甲就能最后取走剩下的所有牌。 30．（1）有2种租车方案：①租4辆大车，1辆小车．②租1辆大车，5辆小车． （2）租4辆大车，1辆小车 【详解】(1)有2种租车方案： ①租4辆大车，1辆小车． ②租1辆大车，5辆小车． (2)①4×36＋30＝174(元) ②36＋5×30＝186(元) 174元＜186元 租4辆大车，1辆小车省钱． 31．18分钟 【分析】先骑甲马把乙马赶过河，再骑甲马回，需3＋2＝5分钟；再骑丙马赶丁马过河，骑乙马回，需7＋3＝10分钟；再骑甲马赶乙马过河不回，需3分钟。据此解答。 【详解】3＋2＋7＋3＋3 ＝5＋7＋3＋3 ＝12＋3＋3 ＝15＋3 ＝18（分钟） 答：最少需要的时间是18分钟。 【点睛】本题的关键是让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河，然后再骑用时最少的回来，然后再过河。 32．（1）买团体票合算 （2）4个大人买成人票，6个小孩买儿童票合算 （3）买团体票和5个大人买成人票，5个小孩买儿童票的价钱一样 33．顺序为：丙、甲、乙     22分 【详解】各自等待时间（安排顺序为：丙、甲、乙；等待时间为：3+4=7分） 各自借书时间和：4+8+3=15（分） 总时间为：7+15=22（分） 34．5次 【详解】72—27＝45（个） 45÷9＝5（次）        答：剩下的面包还要烤5次。 35．先淘米用1分钟，然后煮饭用15分钟，同时杀鱼、洗鱼和烧鱼，最少可以用16分钟就可以开饭． 【分析】根据题意得出：先淘米用1分钟，然后煮饭用15分钟，同时杀鱼、洗鱼和烧鱼，可以节省5+8=13分钟，一共用时1+15=16分钟．据此解答计算即可．此题类题目属于合理安排时间，本着既能节约时间，又不使每项程序相互矛盾是解决问题的主要思想方法． 【详解】先淘米用1分钟，然后煮饭用15分钟，同时杀鱼、洗鱼和烧鱼，可以节省5+8=13分钟 一共用时：1+15=16（分钟） 答：最少可以用16分钟就可以开饭． 36．表见详解；租4条大船或租1条大船和4条小船 【分析】大船最多需要租4条，大船每次减少1条，看需要增加多少条小船，然后把两种船可坐人数和填到总数栏中，找出刚好坐32人的方案即可。 【详解】 方案 大船8人/条 小船6人/条 总数/人 一 4 0 32 二 3 2 36 三 2 3 34 四 1 4 32 五 0 6 36 根据上表可知，租4条大船或1条大船和4条小船刚好每条船坐满。 答：租4条大船或租1条大船和4条小船刚好每条船坐满 【点睛】先确定租大船的条数，再求需要小船的条数。 37．（1）表见详解；②；④ （2）方案④最省钱。 【分析】（1）根据题干信息，总人数为26人，按照大面包车每辆限乘客6人，小汽车每辆限乘客4人的方式乘坐，可以从先全部坐小汽车开始思考，总人数除以小汽车的限乘人数＝租车的辆数，如果有余数则要多租一辆；然后少租一辆该租面包车，依次类推；可载客人数＝面包车的辆数×面包车每辆车的限乘人数＋小汽车的辆数×小汽车每辆车的限乘人数，据此解答。 （2）面包车的租金是220元，平均到每人是220÷6＝36（元）⋯⋯4，小汽车的租金是170元，平均到每人是170÷4＝42（元）⋯⋯2，所以尽可能多租面包车比较划算。 但也要考虑人要尽量的坐满，没有空位。据此解答。 【详解】（1）如表： 租车方案 1 2 3 4 5 6 面包车/辆 0 1 2 3 4 5 小汽车/辆 7 5 4 2 1 0 可载乘客人数 28 26 28 26 28 30 答：每辆车都坐满，可以选择方案（②）和方案（④）。 （2）方案②：1×220＋5×170 ＝220＋850 ＝1070（元） 方案④：3×220＋2×170 ＝660＋340 ＝1000（元） 1000元＜1070元，所以方案④最省钱。 答：方案④最省钱 【点睛】本题考查最优化方案的设计，应根据题目信息找到所有方案，再比较出最优方案。 38．顺序为：丙、甲、乙   最少用时：20分 【详解】各自等待时间（安排顺序为：丙、甲、乙；等待时间为：2+3=5分） 各自用水时间（3+10+2=15分） 时间总和：5+15=20分 39．B小学 【分析】如果在A设一个汽车站，则三个学校的学生上学放学所行的总路程为：A到B的距离加上A到C的距离；如果在B设一个汽车站，则总路程为：A到B的距离加上B到C的距离；如果在C设一个汽车站，则总路程为：A到C的距离加上B到C的距离。比较大小即可。 【详解】AB＋AC＞AB＋BC 同理：AC＋BC＞AB＋BC 所以站点设在B小学比较合适。 答：站点设在B小学，才能使三个学校的学生上学放学所行的总路程最少。 【点睛】本题重在考查线段和的最短距离问题。结合图形更容易解决问题。 40．89条 【分析】题目所描述的“鲁德维格定律”类似于兔子繁殖的规律，可以进行归纳递推求解。 【详解】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，… 答：十年后树上有89条树枝。 【点睛】本题也是基于斐波那契数列的归纳递推计数问题，与走楼梯问题、覆盖问题是类似的。 41．营长　连长　团长 【详解】【分析】根据田忌赛马问题，只要三局胜两局，即为获胜；只要小春三次有两次用级别高的“吃掉”小冬的军棋，则小春即可获胜。 学科网（北京）股份有限公司 $$