2024-2025学年新人教版七年级数学上 点拨训练第07讲 有理数复习小结

新人教版七年级数学上 点拨*训练 第07讲 有理数复习小结 第一部分：知识点归纳 知识点1 有理数 1.整数和分数统称为有理数 2.分类： 1．按照性质分类： 2．按照符号分类： 3．按小数分类： 注意：正数和0统称为非负数；负数和零统称为非正数 知识点2数轴 1．数轴： （1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴； （2）三要素： ①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向； ③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示 2．数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 （2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4．可以表示什么数 （1）,表示是正数；反之,是正数,则； （2）,表示是负数；反之,是负数,则 （3）,表示是0；反之,是0,则 知识点3 相反数 １．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意以下几点： ⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 ２．相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0； ⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则=1（a0，b0））。 ３．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 ４．相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“”即可求得（如：5的相反数是5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“”，然后化简（如；5a+b的相反数是（5a+b），化简得5ab）； ⑶求前面带“”的单个数，也应先用括号括起来再添“”，然后化简（如：5的相反数是（5），化简得5）。 ５．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，a<0（正数的相反数是负数）；当a<0时，a>0（负数的相反数是正数）； 当a=0时，a=0，（0的相反数是0）。 ６．多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“”号的个数决定最后化简结果；即：“”的个数是奇数时，结果为负，“”的个数是偶数时，结果为正。 知识点4 绝对值 １．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 ２．绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。 可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=a；③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数）。 ②a≤0，<═>|a|=a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数）。 ３．绝对值的性质 （1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即： ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=|b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） ４．绝对值的化简 ①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=||a ５．已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 知识点5 有理数大小比较 （1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； （2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数； （3）若a>b，b>c，则a>c； （4）作差法，ab>0←→a>b；ab<0←→a<b；ab=0←→a=b； （5）大数|小数＞0，小数|大数＜0． 第二部分：考点分类点拨 考点1 正负数的意义 例1-1．如图是同一时刻莫斯科与中国北京的中国北京与莫斯科的时差时间，则当莫斯科时间为17：08时，北京时间为 _____． 针对训练1 1．如果收入60元，记作+60元，那么支出30元记作 _____元． 2．等高线指的是地形图上高程相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．如图，吐鲁番盆地的等高线标注为-155m,表示此处的高度 _____海平面155米（填高于或低于）． 考点2 有理数的概念及分类 例2-1．下列说法错误的是（　　） A. 负整数和负分数统称负有理数 B. 正整数，0，负整数统称为整数 C. 正有理数与负有理数组成全体有理数 D. 3.14是小数，也是分数 针对训练2 1．在数+8.3，-4，-0.8，-，0，90，-，-|-24|中，_____是正数，_____不是整数． 2．把下列各数分别填在题后相应的集合中： -，0，-1，0.73，2，-5，，-29.52，+28． （1）正数集合：{_____…} （2）负数集合：{_____…} （3）整数集合：{_____…} （4）分数集合：{_____…} （5）正整数集合：{_____…} （6）负整数集合：{_____…} （7）正分数集合：{_____…}． （7）负分数集合：{_____…}． 3．将下列各数填在相应的集合里． -3.8，-20%，4.3，-|-|，42，0，-（-），-32 整数集合：{_____…}； 分数集合：{_____…}； 正数集合：{_____…}； 负数集合：{_____…}． 在已知的数据中，最大的数是_____，最小的数是_____． 考点3 数轴 例3-1 .下列说法中正确的是(   ) A．无法用数轴上的点表示，因为不能被整除 B．数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是 C．数轴上，在和之间只有一个数 D．数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度 针对训练3 1．在数轴上把数4，-2.5，0，-1表示出来，并用“＜”号把它们连接起来． 2．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接： -3.5，，-1，4，0，2.5． 3．在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为-2.5，点B表示的数为4． （1）求AB的长度； （2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化： ①此时点A表示的数为_____，点B表示的数为_____； ②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数． 考点4 相反数 例4-1．的相反数的绝对值是（　　） A. - B. 2 C. -2 D. 针对训练4 1．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A. 和0.2 B. 和 C. -1.75和 D. 2和-（-2） 2．下列说法中正确的是（　　） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数的相反数都与它本身不相同 C. 任何一个数都有它的相反数 D. 数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 3．把下列各数及其相反数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“＜”连接起来-2.5，0，+3.5，-． 考点5 绝对值 例5-1．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　） A. -4 B. -5 C. -6 D. -2 针对训练5 1．一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是（　　） A. 正数和零 B. 负数或零 C. 一切正数 D. 所有负数 2．如果|x|=6，则x=_____． 3．某电路检修小组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆向东行驶为正，向西行驶为负，某一天施工过程中七次车辆行驶记录如下（单位：千米）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -3 +7 -9 +10 +8 -6 -2 （1）问检修小组收工时在P的哪个方位？距P处多远？ （2）若检修车辆每千米耗油0.2升，每升汽油需6元，问这一天检修车辆所需汽油费多少元？ 考点6有理数大小比较 例6-1．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来． -3，-4，0，|-2.5|，． 针对训练6 1．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．． 2．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并求它们的相反数，它们的绝对值，比较它们大小． -1，2，3，-2.7，1，-3，0． 3．已知数轴上点A表示的数为a. （1）判断：a _____-1（填“＞”，“=”或“＜”）； （2）用“＜”号将-，1，-a,a-1连接起来． 第三部分：牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．四个数中，其中负数是( ) A. B.0 C.1 D.2 2．下列说法错误的是( ) A.-2是负有理数 B.0不是整数 C.是正有理数 D.-0.25是负分数 3．数轴上到点-3的距离为3的点表示的数为( ) A.0 B.-6 C.-6或1 D.-6或0 4．如图，数轴上点M所表示的数可能是( ) A.1.5 B.-2.6 C.-1.6 D.2.6 5．下列计算结果为5的是( ) A. B. C. D. 6．下列各组数中，互为相反数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 7．如果，则x的值是( ) A. B. C. D. 8．实数在数轴上的对应点的位置如图所示,化简的结果是(     ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在中，整数有______________. 10．一只蚂蚁从数轴上一点出发，爬了7个单位长度到了+1，则点所表示的数是_________. 11．________. 12．若，则__________ 13．同学们都知道, 表示与之差的绝对值,实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离,则使得这样的整数有_____个. 三、解答题 14．（8分）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列8个数填入这两个圈中合适的位置： . 15．（8分）在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”号将这些数按从小到大的顺序连接起来: . 16．（8分）（1）化简下列各数： ①； ②； ③； ④； （2）化简过程中发现：化简结果的符号与原式中“-”的个数有着密切联系，当“”的个数是奇数时，最后结果为_________数；当“-”的个数是偶数时，最后结果为_________数. 17．（8分）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数x与数0的对应点之间的距离.这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离. 例1：已知，求x的值. 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为-2或2， 所以x的值为-2或2. 例2：已知，求x的值. 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或-1， 所以x的值为3或-1. 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值. （1）； （2）. 18．（8分）如图，数轴的单位长度为1. 请回答下列问题: （1）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？ （2）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？ 19．（8分）已知在纸面上有一数轴(如图),折叠纸面. 1.若1表示的点与-1表示的点重合,则-7表示的点与数__________表示的点重合; 2.若-1表示的点与8表示的点重合,回答以下问题: ①12表示的点与数__________表示的点重合; ②若数轴上A、B两点之间的距离为2017(A在B的左侧),且A、B两点经折叠后重合,求A、B两点表示的数是多少? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新人教版七年级数学上 点拨*训练 第07讲 有理数复习小结（解析版） 第一部分：知识点归纳 知识点1 有理数 1.整数和分数统称为有理数 2.分类： 1．按照性质分类： 2．按照符号分类： 3．按小数分类： 注意：正数和0统称为非负数；负数和零统称为非正数 知识点2数轴 1．数轴： （1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴； （2）三要素： ①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向； ③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示 2．数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 （2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4．可以表示什么数 （1）,表示是正数；反之,是正数,则； （2）,表示是负数；反之,是负数,则 （3）,表示是0；反之,是0,则 知识点3 相反数 １．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意以下几点： ⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 ２．相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0； ⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则=1（a0，b0））。 ３．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 ４．相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“”即可求得（如：5的相反数是5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“”，然后化简（如；5a+b的相反数是（5a+b），化简得5ab）； ⑶求前面带“”的单个数，也应先用括号括起来再添“”，然后化简（如：5的相反数是（5），化简得5）。 ５．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，a<0（正数的相反数是负数）；当a<0时，a>0（负数的相反数是正数）； 当a=0时，a=0，（0的相反数是0）。 ６．多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“”号的个数决定最后化简结果；即：“”的个数是奇数时，结果为负，“”的个数是偶数时，结果为正。 知识点4 绝对值 １．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 ２．绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。 可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=a；③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数）。 ②a≤0，<═>|a|=a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数）。 ３．绝对值的性质 （1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即： ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=|b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） ４．绝对值的化简 ①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=||a ５．已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 知识点5 有理数大小比较 （1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； （2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数； （3）若a>b，b>c，则a>c； （4）作差法，ab>0←→a>b；ab<0←→a<b；ab=0←→a=b； （5）大数|小数＞0，小数|大数＜0． 第二部分：考点分类点拨 考点1 正负数的意义 例1-1．如图是同一时刻莫斯科与中国北京的中国北京与莫斯科的时差时间，则当莫斯科时间为17：08时，北京时间为 _____． 【答案】22：08 【解析】根据同一时刻莫斯科与中国北京的中国北京与莫斯科的时差时间是5小时，即可求解． 解：如图可知：同一时刻莫斯科与中国北京的中国北京与莫斯科的时差时间是5小时， 所以当莫斯科时间为17：08时，北京时间为22：08， 故答案为：22：08． 针对训练1 1．如果收入60元，记作+60元，那么支出30元记作 _____元． 【答案】-30 【解析】利用相反意义量的定义判断即可． 解：如果收入60元，记作+60元，那么支出30元记作-30元． 故答案为：-30． 2．等高线指的是地形图上高程相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．如图，吐鲁番盆地的等高线标注为-155m,表示此处的高度 _____海平面155米（填高于或低于）． 【答案】低于 【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 解：海平面的海拔高度为0米，吐鲁番盆地的等高线标注为-155m,表示此处的高度地低于海平面155米． 故答案为：低于． 考点2 有理数的概念及分类 例2-1．下列说法错误的是（　　） A. 负整数和负分数统称负有理数 B. 正整数，0，负整数统称为整数 C. 正有理数与负有理数组成全体有理数 D. 3.14是小数，也是分数 【答案】C 【解析】按照有理数的分类判断： 有理数． 解：负整数和负分数统称负有理数，A不符合题意． 整数分为正整数、负整数和0，B不符合题意． 正有理数与0，负有理数组成全体有理数，C符合题意． 3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D不符合题意． 故选：C． 针对训练2 1．在数+8.3，-4，-0.8，-，0，90，-，-|-24|中，_____是正数，_____不是整数． 【答案】(1)+8.3，90;(2)+8.3，-0.8，-; 【解析】按照有理数的分类填写： 有理数． 解：+8.3，90是正数，+8.3，-0.8，-不是整数． 2．把下列各数分别填在题后相应的集合中： -，0，-1，0.73，2，-5，，-29.52，+28． （1）正数集合：{_____…} （2）负数集合：{_____…} （3）整数集合：{_____…} （4）分数集合：{_____…} （5）正整数集合：{_____…} （6）负整数集合：{_____…} （7）正分数集合：{_____…}． （7）负分数集合：{_____…}． 【答案】(1)0.73，2，，+28;(2)-，-1，-5，-29.52;(3)0，-1，2，-5，+28;(4)-，0.73，，-29.52;(5)2，+28;(6)-1，-5;(7)0.73，;(8)-，-29.52; 【解析】按照有理数的分类填写： 有理数． 解：（1）正数集合：0.73，2，，+28 （2）负数集合：-，-1，-5，-29.52 （3）整数集合：0，-1，2，-5，+28 （4）分数集合：-，0.73，，-29.52 （5）正整数集合：2，+28 （6）负整数集合：-1，-5 （7）正分数集合：0.73， （8）负分数集合：-，-29.52 3．将下列各数填在相应的集合里． -3.8，-20%，4.3，-|-|，42，0，-（-），-32 整数集合：{_____…}； 分数集合：{_____…}； 正数集合：{_____…}； 负数集合：{_____…}． 在已知的数据中，最大的数是_____，最小的数是_____． 【答案】(1)42，0，-32;(2)-3.8，-20%，-|-|，-（-）;(3)4.3，42，-（-）;(4)-3.8，-20%，-|-|，-32;(5)42;(6)-32; 【解析】先根据绝对值的性质和相反数的定义化简，根据有理数的乘方进行计算，再根据整数、分数、正数、负数的定义填空，根据有理数的大小比较确定出最大的数和最小的数． 解：-|-|=-，42=16，-（-）=，-32=-9， 整数集合：{42，0，-32…}； 分数集合：{-3.8，-20%，-|-|，-（-）…}； 正数集合：{4.3，42，-（-）…}； 负数集合：{-3.8，-20%，-|-|，-32…}． 在已知的数据中，最大的数是42，最小的数是-32． 考点3 数轴 例3-1 .下列说法中正确的是(   ) A．无法用数轴上的点表示，因为不能被整除 B．数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是 C．数轴上，在和之间只有一个数 D．数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度 【答案】D 【分析】根据有理数与数轴的关系理解判断即可． 【详解】A. 能用数轴上的点表示，故不符合题意； B.数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是或，故不符合题意； C.数轴上，在和之间有无数个数，故不符合题意； D. 数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数与数轴的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 针对训练3 1．在数轴上把数4，-2.5，0，-1表示出来，并用“＜”号把它们连接起来． 【解析】先利用数轴表示数的方法表示出所给的4个数，然后写出它们的大小关系． 解：用数轴表示为： ， 它们的大小关系为：-2.5＜-1＜0＜4． 2．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接： -3.5，，-1，4，0，2.5． 【解析】先在数轴上表示出来，再根据数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可． 解：如图所示： 用“＜”连接为：-3.5＜-1＜0＜＜2.5＜4． 3．在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为-2.5，点B表示的数为4． （1）求AB的长度； （2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化： ①此时点A表示的数为_____，点B表示的数为_____； ②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数． 【答案】(1)-75;(2)120; 【解析】（1）根据数轴上计算两点距离的方法即可得出答案； （2）①根据题意把单位长度扩大30倍，即原来每个表示点的数扩大30倍，列式计算即可得出答案； ②根据题意可分为两种情况，即当M靠近点A和当M靠近点B时，根据题意列式计算即可得出答案． 解：（1）AB=4-（-2.5）=6.5； （2）①根据题意可知，数轴的单位长度扩大30倍， 则点A表示的数为-2.5×30=-75， 点B表示的数为4×30=120， 故答案为：-75，120； ②所以AB=120-（-75）=195， 当点M靠近点A时，AM=AB=65， 所以点M表示的数为65-75=-10； 当点M靠近点B时，BM=AB=65， 所以点M表示的数为120-65=55； 综上所述，点M表示的数为-10或55． 考点4 相反数 例4-1．的相反数的绝对值是（　　） A. - B. 2 C. -2 D. 【答案】D 【解析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 解：∵的相反数是-，∴|-|=． 故选：D． 针对训练4 1．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A. 和0.2 B. 和 C. -1.75和 D. 2和-（-2） 【答案】C 【解析】注意相反数的特征：绝对值相等但是符号不同的数是互为相反数． 解：在和0.2中，它们的绝对值不等； 在和中，它们互为倒数； -1.75的相反数为； 在2和-（-2）中，∵-（-2）=2，它们相等． 故选：C． 2．下列说法中正确的是（　　） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数的相反数都与它本身不相同 C. 任何一个数都有它的相反数 D. 数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 【答案】C 【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数；0的相反数是0．即一对相反数符号不同而绝对值相等判断即可． 解：A、例如1与-2，它们一个是正数和一个是负数，但是他们不是互为相反数，故本选项错误； B、0的相反数是0，故本选项错误； C、根据相反数的概念，任何一个数都有相反数，故本选项正确； D、数轴上原点两旁的两个点表示的数-5，4，但-5，4不是互为相反数，故本选项错误． 故选：C． 3．把下列各数及其相反数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“＜”连接起来-2.5，0，+3.5，-． 【解析】负数的绝对值越大则负数的值越小，由此可得出答案． 解：这几个数分别为，2.5，-2.5，0，+3.5，-3.5，1，-1， 在数轴上表示，如图所示： 由数轴可得：-3.5＜-2.5＜-1＜0＜1＜2.5＜3.5． 考点5 绝对值 例5-1．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　） A. -4 B. -5 C. -6 D. -2 【答案】A 【解析】首先根据绝对值的意义“数轴上表示一个数的点到原点的距离，即该数的绝对值”，分析出原点的位置，进一步得到点B所对应的数，然后根据点A在点B的左侧，且距离两个单位长度进行计算． 解：因为点B，C表示的数的绝对值相等，即到原点的距离相等， 所以点B，C表示的数分别为-2，2， 所以点A表示的数是-2-2=-4．故选A． 针对训练5 1．一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是（　　） A. 正数和零 B. 负数或零 C. 一切正数 D. 所有负数 【答案】A 【解析】根据绝对值的性质解答即可． 解：因为互为相反数的两个数的绝对值相等，所以一个数等于它的相反数的绝对值，即这个数的绝对值等于它本身； 又因为正数和零的绝对值等于它本身，故一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是正数和零． 故选：A． 2．如果|x|=6，则x=_____． 【答案】±6 【解析】绝对值的逆向运算，因为|+6|=6，|-6|=6，且|x|=6，所以x=±6． 解：|x|=6，所以x=±6． 故本题的答案是±6． 3．某电路检修小组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆向东行驶为正，向西行驶为负，某一天施工过程中七次车辆行驶记录如下（单位：千米）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -3 +7 -9 +10 +8 -6 -2 （1）问检修小组收工时在P的哪个方位？距P处多远？ （2）若检修车辆每千米耗油0.2升，每升汽油需6元，问这一天检修车辆所需汽油费多少元？ 【解析】（1）七次行驶的和即收工时检修小组距离A地的距离； （2）每次记录的绝对值的和，是检修小组一天的行程，根据单位行程的耗油量计算出该检修小组一天的耗油量． 解：（1）-3+7-9+10+8-6-2=5（km）， 所以收工时在P的正东方向，距P地5 km； （2）（3+7+9+10+8+6+2）×0.2×6.2=45×0.2×6=54（元）， 答：检修小组工作一天需汽油54元． 考点6有理数大小比较 例6-1．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来． -3，-4，0，|-2.5|，． 【解析】首先在数轴上表示出所给的各数，然后根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可． 解：如下图， ． 针对训练6 1．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．． 【解析】首先在数轴上表示出各数，根据数轴上的大小比较（右边的数总比左边的数大）比较即可． 解：如图所示： 从小到大的顺序排列为：-3＜＜-0.5＜0＜1＜2.5． 2．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并求它们的相反数，它们的绝对值，比较它们大小． -1，2，3，-2.7，1，-3，0． 【解析】（1）根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫相反数； （2）根据绝对值的性质：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零可得答案； （3）直接将各数在数轴上表示，进而得出大小关系． 解：（1）-1的相反数是1； 2的相反数是-2； 3的相反数是-3； -2.7的相反数是2.7； 1的相反数是1； -3 的相反数是3； 0的相反数是0； （2）|-1|=1； |2|=2； |3|=3； |-2.7|=2.7； |1|=1； |-3|=3； |0|=0； （3）如图所示： -3＜-2.7＜-1＜0＜1＜2＜3． 3．已知数轴上点A表示的数为a. （1）判断：a _____-1（填“＞”，“=”或“＜”）； （2）用“＜”号将-，1，-a,a-1连接起来． 【答案】＞ 【解析】（1）根据数轴上右边的数比左边的数大判断即可； （2）根据有理数大小比较法则判断即可． 解：（1）由题意得，a＞-1； 故答案为：＞； （2）∵a＞0且|a|＞2， ∴． 第三部分：牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．四个数中，其中负数是( ) A. B.0 C.1 D.2 答案：A 解析：根据负数的定义，在正数前加“”号的数就是负数，为负数.0既不是正数也不是负数,1和2是正数. 故选A 2．下列说法错误的是( ) A.-2是负有理数 B.0不是整数 C.是正有理数 D.-0.25是负分数 答案：B 解析：A选项中-2是负有理数，说法正确，故本选项不符合题意；B选项中0是整数，说法错误，故本选项符合题意；C选项中是正有理数，说法正确，故本选项不符合题意；D选项中-0.25是负分数，说法正确，故本选项不符合题意，故选B. 3．数轴上到点-3的距离为3的点表示的数为( ) A.0 B.-6 C.-6或1 D.-6或0 答案：D 解析：点在-3左侧时，与-3距离为3的点表示的数为-6；点在-3右侧时，与-3距离为3的点表示的数为0. 故选D. 4．如图，数轴上点M所表示的数可能是( ) A.1.5 B.-2.6 C.-1.6 D.2.6 答案：C 解析：点M位于-2和-1之间，离-2较近，故选C. 5．下列计算结果为5的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：-（+5）=-5，故A错， +（-5）=-5，故B错， -（-5）=5，故C正确， -|-5|=-5，故D错 6．下列各组数中，互为相反数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 答案：D 解析：A选项，，，两数相等，不符合题意；B选项，，不符合题意；C选项，与不是相反数，不符合题意；D选项，，，两数互为相反数，符合题意.故选D. 7．如果，则x的值是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：， ， 故选：C. 8．实数在数轴上的对应点的位置如图所示,化简的结果是(     ) A. B. C. D. 答案：C 解析：a>0, b< 0,a-b>0,|a-b|=a-b, 故选C 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在中，整数有______________. 答案：0； 解析： 全部是分数. 10．一只蚂蚁从数轴上一点出发，爬了7个单位长度到了+1，则点所表示的数是_________. 答案：﹣6或8 11．________. 答案： 解析：原式．故答案为：. 12．若，则__________ 答案： 13．同学们都知道, 表示与之差的绝对值,实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离,则使得这样的整数有_____个. 答案：7 三、解答题 14．（8分）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列8个数填入这两个圈中合适的位置： . 答案：见解析. 解析： ∴负数集：,,, 分数集: 15．（8分）在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”号将这些数按从小到大的顺序连接起来: . 答案： 解析：首先对所给的数进行化简,然后在数轴上表示各数,最后根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数,用“<”号把它们连接起来即可. , 数轴表示如图所示: 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大,得. 点睛: 本题主要考查数轴,有理数的大小比较,解题的关键是要注意:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的数大. 16．（8分）（1）化简下列各数： ①； ②； ③； ④； （2）化简过程中发现：化简结果的符号与原式中“-”的个数有着密切联系，当“”的个数是奇数时，最后结果为_________数；当“-”的个数是偶数时，最后结果为_________数. 答案：（1）1，8，-a，a （2）负，正 解析：（1）①； ②； ③； ④； （2）通过（1）中化简过程中发现，化简结果的符号与原式中“-”的个数有着密切联系，当“-”的个数是奇数时，最后结果为负数；当“-”的个数是偶数时，最后结果为正数. 故答案为：负，正. 17．（8分）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数x与数0的对应点之间的距离.这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离. 例1：已知，求x的值. 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为-2或2， 所以x的值为-2或2. 例2：已知，求x的值. 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或-1， 所以x的值为3或-1. 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值. （1）； （2）. 答案：（1）在数轴上与原点距离为3的点表示的数为3或-3，所以x的值为3或-3. （2）在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为-2或6，所以x的值为-2或6. 18．（8分）如图，数轴的单位长度为1. 请回答下列问题: （1）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？ （2）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？ 答案：(1)因为点表示的数互为相反数，所以原点就应该是线段的中点，即在C点右边一格，所以C点表示数. (2)如果点表示的数互为相反数，那么原点是线段的中点，即点C左边半格，所以点C表示的数是正数点C表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是0.5. 19．（8分）已知在纸面上有一数轴(如图),折叠纸面. 1.若1表示的点与-1表示的点重合,则-7表示的点与数__________表示的点重合; 2.若-1表示的点与8表示的点重合,回答以下问题: ①12表示的点与数__________表示的点重合; ②若数轴上A、B两点之间的距离为2017(A在B的左侧),且A、B两点经折叠后重合,求A、B两点表示的数是多少? 答案：1.7; 2.①-5,②A点表示的数为-1005,B点所表示的数为1012. 学科网（北京）股份有限公司 $$