专题21.14 二次函数与反比例函数单元提升卷-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数单元提升卷 【沪科版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·重庆·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（23-24九年级·广东湛江·期末）若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知点 都在反比例函数 （为常数） 的图象上，那么 , 的大小关系是 ( ) A． B． C． D． 5．（3分）（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（3分）（23-24九年级·浙江杭州·期末）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（3分）（23-24九年级·山东青岛·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．（3分）（23-24九年级·广东湛江·期末）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（　　）    A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤ 10．（3分）（23-24·浙江宁波·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ． 12．（3分）（23-24·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 13．（3分）（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图是反比例函数的图像，则k的取值范围是 ． 14．（3分）（23-24·湖北襄阳·一模）已知抛物线在区间上的最小值是，则m的值为 ． 15．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 16．（3分）（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限． （1）当G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）G上； （2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24九年级·北京大兴·期末）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 18．（6分）（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． (1)求直线和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积； (3)请直接写出不等式的的取值范围． 19．（8分）（23-24九年级·全国·专题练习）某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 20．（8分）（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 21．（8分）（23-24九年级·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 22．（8分）（23-24九年级·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上． (3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积． 23．（8分）（23-24九年级·广东深圳·期中）如图①，已知点，，的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．    (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图③），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数单元提升卷 【沪科版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·重庆·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 可设其解析式为 抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同 抛物线的解析式为． 故选：D． 2．（3分）（23-24九年级·广东湛江·期末）若反比例函数的图象在一、三象限，正比例函数的图象在二、四象限，则k的整数值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质，掌握反比例函数，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限． 根据反比例函数的性质得，解得，根据正比例函数的性质得，解得，所以，然后找出此范围内的整数即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， 正比例函数的图象经过第二、四象限， ，解得， ， 整数为4． 故选：C． 3．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与x轴的一个交点为， ， 故选C． 4．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知点 都在反比例函数 （为常数） 的图象上，那么 , 的大小关系是 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据，可得反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，，时，，据此即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，，时，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：． 5．（3分）（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解； 【详解】解：第三季度总值为； 故选：C 【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键． 6．（3分）（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 7．（3分）（23-24九年级·浙江杭州·期末）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 8．（3分）（23-24九年级·山东青岛·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b和的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵该抛物线对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即 当时，， ∴ ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象分布在第一、三象限， 故选：B 9．（3分）（23-24九年级·广东湛江·期末）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（　　）    A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列方程与不等式．①由抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴可得结论；③结合②得到的结论即可判断；④根据在对称轴处取得最值判断即可；⑤根据图像与x轴的交点得到结论即可． 【详解】解：①对称轴在y轴右侧， 异号， ，故正确； ②对称轴， ， ，故正确； ③， ，故错误； ④根据图象知，当时；有最大值， 当为实数时，有， （m为实数），故正确； ⑤如图，抛物线与x轴的交点A在点和之间， 故无法确定时，x的取值范围，故错误； 故选：A．    10．（3分）（23-24·浙江宁波·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，，则，把代入得到，进而推出，由反比例函数比例系数的几何意义可知，， 再根据进行求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E， 设，， ∴； ∵是的中点， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∴ ， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． 由，，可知当时，二次函数的值最小，为4，则，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，二次函数的值最小，为4， ∴， 解得，， 故答案为：6． 12．（3分）（23-24·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵， 当点在对称轴的左侧时，； 当点在对称轴的右侧时，，且， 解得：； 综上所述，k的取值范围为或． 故答案为：或． 13．（3分）（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图是反比例函数的图像，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由图象可知，再根据在函数图象的上方，可得，即可求得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，， ∵在函数图象的上方， ∴当时，， ∴， 即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象及图象上点的特征，理解函数反比例函数图象的特征是解决问题的关键． 14．（3分）（23-24·湖北襄阳·一模）已知抛物线在区间上的最小值是，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】先求出抛物线对称轴为直线，然后分当，即时，当，即时，当，即时，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， 当，即时， ∵抛物线在区间上的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得； 当，即时， ∵抛物线在区间上的最小值是， ∴当时，， ∴， ∴， 解得（不符合题意的值舍去）； 当，即时， ∵抛物线在区间上的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 15．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 【答案】或5/5或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可． 【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵一次函数经过，一次函数经过． ∴， 当时， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴ ， 此时； 当时，，， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴ ， 此时； 故答案为：或5 16．（3分）（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限． （1）当G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）G上； （2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ． 【答案】 不在 且 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像综合问题： （1）先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再代入点A的横坐标坐标计算即可得到答案； （2）先求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围． 【详解】解：（1）的直角顶点C的坐标为，轴， 则轴， ∴设点， ∵顶点A，B在直线上， 将代入得， 点A的坐标为， 令，解得， 点B的坐标为，代入，得， 双曲线G的解析式为， 当时，， 点A不在双曲线G上， 故答案为：不在； （2）点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合）， 分别为、、、、、， 由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图像越远离x轴而越接近y轴，即开口越大， 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值； 当时，有，即； 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值； 当时，有，即； 但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，； 综上，k的取值范围为且， 故答案为：且． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24九年级·北京大兴·期末）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)顶点坐标为 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式； （1）利用待定系数法把，代入二次函数中，即可算出、的值，进而得到函数解析式； （2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果． 【详解】（1）抛物线 经过点，， ， 解得， ； （2） 顶点坐标为． 18．（6分）（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． (1)求直线和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积； (3)请直接写出不等式的的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）由题意，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由代入坐标求解即可得到答案； （3）由函数图象与不等式的关系，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：已知直线与反比例函数的图象交于点， ，解得；； 直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，，即； 过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ， ， ； （3）解：直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为， 不等式的解集是当反比例函数图象在直线上方时的取值范围， 如图所示： ， 当时，反比例函数的图象在直线的上方，故不等式的的取值范围是． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数确定函数关系式、反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 19．（8分）（23-24九年级·全国·专题练习）某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)销售单价应为元或元； (3)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润单件利润销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， 故与的函数关系式为； （2）根据题意得： ， 解得：，， 答：销售单价应为元或元； （3）由题意可知： ， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，有最大值，． 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 20．（8分）（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)存在， 【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质， 根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则，，利用三角形面积公式求解即可； 联立方程求得点，利用勾股定理即可求得．连接、，结合对称性可知，则、、三点共线时，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为：，利用对称轴即可求得点P． 【详解】（1）解：令，即， 解得或 ∴，， 则， 当时，， ∴，， ∴． （2）存在这样的点，理由如下， 联立， 解得或， ∴， ∵， ∴． 连接、，如图， 则 ∵ ∴． ∴当、、三点共线时，有最小值， 设直线的解析式为：， 则， 解得， 则直线的解析式为：， ∵时，， ∴． 21．（8分）（23-24九年级·广西崇左·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】(1)2 (2) (3)可以，证明见解析 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 22．（8分）（23-24九年级·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上． (3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积． 【答案】(1) (2)点、点均在该抛物线上 (3)；9 【分析】（1）将点和点代入抛物线，求出、的值即可得到抛物线对应的函数解析式； （2）由坐标两点距离公式可得，再根据菱形的性质，得到，进而得出点、点的坐标，即可求解； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，设过点且平行于的直线的解析式为，联立直线与抛物线，得到关于的一元二次方程，在利用一元二次方程根的判别式，得出当时，过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大，进而得出点的坐标，然后根据的最大面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线可得： ，解得：， 抛物线对应的函数解析式为； （2）解：点、点均在该抛物线上，理由如下： ，， ． ∵四边形是菱形， ， ，， ． 当时，； 当时，． ∴点、点均在该抛物线上． （3）解：设直线的解析式为． ∵直线经过点和点， ，解得， ∴直线的解析式为． 是定值， ∴要使的面积最大，则当点到距离最大时，面积最大， 如图，过点作轴，垂足为点， 设过点且平行于的直线的解析式为， 联立方程组，得， 消去，整理得． 当直线与抛物线在点处相切时， ，解得， 此时方程有两个相等的实数根， 此时过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大， ∴当时，， ∴点的坐标为， 的最大面积 ． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 23．（8分）（23-24九年级·广东深圳·期中）如图①，已知点，，的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．    (1)求k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图③），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】(1) (2)或或 (3)，其值不发生改变，证明见解析 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，，设，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可； （2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标； （3）连、、，易证，故，，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，为中点且点E在y轴上， ， 设，， ∵四边形是平行四边形， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴ ， ∵C、D都在反比例函数的图象上， ， ， ； （2）解：由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形，则，    解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形，则，    解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时，则    解得， ，； 综上所述，满足题意的Q的坐标为或或； （3）解：，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连、、，    ∵M是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， 在与中， ，    ， ，， ∵， ， ∵， ∴， ∴． ， ． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$