（小升初高频易错）分数与百分数问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

分数与百分数问题 第一部分【知识考点归纳】 【知识点归纳】 下列五种基本类型的解题方法： 1．求：一个数的百分之几是多少？ 方法：单位1×对应分率＝比较量 2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数． 方法：比较量÷对应分率＝单位1； 或设这个数（单位1）为X，用方程解． 3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”， 求：标准量（单位1）或比较量？ 方法：（1）单位1±单位1×n%＝比较量 （2）单位1×（1±n%）＝比较量 （3）比较量÷（1±n%）＝单位1 4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？ 方法：相差数÷单位1 5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）” 方法：比较量÷单位1 【注意事项】 1、找准单位“1” （1）单位“1”通常在“是”“比”“占”等关键字后面的量。 （2）有时单位“1”可能需要通过分析题意来确定。 2、注意分数和百分数的转化 （1）分数化为百分数：先将分数化为小数（用分子除以分母），再将小数乘以 100%。 （2）百分数化为分数：先将百分数写成分母是 100 的分数，再约分。 第二部分【经典例题分析】 【典例1】A种酒精中纯酒精的含量为40%，B种酒精中纯酒精的含量为36%，C种酒精中纯酒精的含量为35%，它们混合后得到纯酒精含量为38.5%的酒精11升．其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升？ 【答案】7升 【分析】因为题目中B种酒精比C种酒精多3升，我们立即想到，如果去掉3升B种酒精，那么B种、C种酒精同样多．这时混合溶液中纯酒精的含量为：11×38.5%-3×36%=3.155（升）． 然后用假定法解答，设8升全部为A种酒精，那么纯酒精为8×40%=3.2（升），比实际多3.2-3.155=0.045（升）纯酒精． 这是因为把B、C混合液含的纯酒精量为（36%+35%）÷2=35.5%，也当成A种酒精40%了．那么0.045升中含有多少个（40%-35.5%），就有多少升B、C混合液．由此例可求解． 【详解】解法一：由上述分析可得8-[（11-3）×40%-（11×38.5%-3×36%）]÷[40%-（36%+35%）÷2]=7（升） 解法二：在11升混合液中，加入3升C种酒精，这时纯酒精的含量为：11×38.5%+3×35%=5.285（升） 假定14升全为B、C混合液，那么含纯酒精为：14×35.5%=4.97（升），比实际少5.285-4.97=0.315（升） 这是因为把A种酒精误认为B、C混合液了． 所以，类似于解法一，列出综合列式为（11×38.5%+3×35%-14×35.5%）÷[40%-（36%+35%）÷2]=7（升） 答：A种酒精有7升． 【典例2】甲、乙二人原有钱数相同，存入银行，第一年的利息为4%，存入一年后利息降至2%，甲将本钱和利息继续存入银行，而乙将一半本钱投资股市及房地产，获利20%，一年后，甲比乙赚到的钱的一半还少144元，则甲原来有多少元？ 【答案】10000元 【分析】本题为利息问题，本金×（1＋利息×期数）＝本息 【详解】详解过程：设甲和乙原有钱数都是x． 甲在银行存了两年，第一年利息为4%，钱变成了x（1+4%），接着再存了一年，第二年利息是2%，本息和为x（1+4%）（1+2%），两年赚的钱为：x（1+4%）（1+2%）－x＝0.0608x； 乙先将所有的钱在银行存了一年，本息和为x（1+4%），第二年将一半本息接着存入银行，一半本钱投入股市，存入银行的一年后本息和为x（1+4%）（1+2%），投入股市的钱一年后收入为x（1+20%），乙两年赚的钱为： x（1+4%）＋x（1+4%）（1+2%）＋x（1+20%）－x=0.1504x． 已知甲赚的比乙的一半还少144元，于是得到（144＋0.0608x）×2=0.1504 x， 解得x=10000元． 答：甲原来有10000元． 【点拨】本题考查的是利息问题和利润问题的综合求解．在计算本息和时最好写成x（1+4%），这样后面的也可以直接写为x（1+4%）（1+2%）了，比较简单明了方便计算．推而广之，在计算所有增加或者减少分率时都可以这样处理，一般公式为单位“1”×（1±增加或减少分率）． 【典例3】某容器中装有糖水．老师让小强再倒入5%的糖水800克，以配成20%的糖水．但小强却错误地倒入了800克水，老师发现后说，不要紧，你再将第三种糖水400克倒入容器，就可得到20%的糖水了．那么第三种糖水的浓度是百分之几？ 【答案】30% 【分析】老师让小强往容器中倒入5%的糖水800克配成20%的糖水，这800克糖水中应该含糖800×5%=40克，而小强倒入容器里的却是水，没有溶质，这样就少了40克糖，而多了40克水，这样将第三种糖水倒入容器的时候就应该多倒40克糖，少倒40克水． 【详解】解：第一次少倒糖800×5%=40（克） 第二次应该倒入糖400×20%+40=120（克） 所以，第二次倒入糖水浓度为120÷400=30%． 答：第三种糖水的浓度是30%． 【典例4】商品甲的成本是定价的80%；商品乙的定价是275元，成本是220元．现在商店把1件商品甲，与2件商品乙配套出售，并且按它们的定价之和的90%作价出售．这样每套可获得利润80元．商品甲的成本是多少元？ 【答案】200元 【详解】根据每套服装的利润，可以先得出两件服装乙的利润．2件服装乙可获得利润275×2× 90%-220×2＝55（元）．因此，1件服装甲获利润80-55=25（元）． 将服装甲的成本看作单位1， 服装甲成本是定价的80%，定价是成本的 125%． 因此服装甲的成本为：25÷（125%×90%-1）＝200（元）． 【典例5】如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？ 【答案】2690米 【分析】相遇后乙的速度提高20%，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5︰6，所以所花时间的比为6∶5。设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位时间。设甲原来单位时间行程V甲，由题意得：从A点到相遇点路程为40×6＝240，所以 V乙＝（490－50－240）÷6＝（米）。然后再求出两人速度变化后各自的速度；从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，进而求出甲一共跑的路程，解决问题。 【详解】以速度变化前后的比为1∶（1＋20%） ＝5∶6 所以所花时间比为6∶5 设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意的： 6V甲＋5×V甲×（1＋25%）＝490 6V甲＋5×V甲×1.25＝490 6V甲＋6.25V甲＝490 12.25V甲＝490 V甲＝490÷12.25 V甲＝40（米） 从A点到相遇点路程为：40×6＝240（米） 所以V乙为：（490－50－240）÷6 ＝（440－240）÷6 ＝200÷6 ＝（米） 两人速度变化后，甲的速度为：40×（1＋25%） ＝40×1.25 ＝50（米） 乙的速度为：×（1＋20%） ＝×1.2 ＝40（米） 从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行了一圈，所以甲一共跑了： 490÷（50－40）×50＋240 ＝490÷10×50＋240 ＝49×50＋240 ＝2450＋240 ＝2690（米） 答：甲一共跑了2690米。 【点拨】本题属于环形跑道问题，有一定难度，应认真分析，求出甲乙二人速度变化前后的速度就解答本题的关键。 第三部分【高频考题巩固】 1．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度为60千米/时，乙的速度为50千米/时。如图，点O是AB的中点，距离O点35千米处是C地，距离O点15千米处是D地，甲从D地开始减速，速度减少，乙从C地开始加速，速度增加20%。若两人同时到达目的地，求A、B两地的距离。 2．李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内。已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的卖给商店，卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%。原来东、西两院一共养鸡多少只？ 3．小静的书架上有三种不同种类的书，其中漫画书比故事书多本，小说书比故事书少本，已知故事书比小说书多，那么漫画书比故事书多百分之几？ 4．一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的，小亮答错5题，两人都答错的题目占总题数的。已知小明、小亮都答对的题目数超过了试题总数的一半，问他们都答对多少题？ 5．我国某城市煤气收费规定：每月用量在立方米或立方米以下都一律收元，用量超过立方米的除交元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月份煤气费是元，月份煤气费是元，又知道月份煤气用量相当于月份的，那么超过立方米后，每立方米煤气应收多少元？ 6．张华和李冰分别从A、B两地同时出发相向而行，张华的速度是李冰的，两人分别到达B地与A地后，立即返回各自的出发地。返回时，张华的速度比原来增加了，李冰比原来增加了。已知两人第一次相遇处距返回途中第二次相遇处35千米，A，B两地相距多少千米？ 7．某书店运来一批连环画．第一天卖出1800本，第二天卖出的本数比第一天多，余下总数的正好第三天全部卖完，这批连环画共有多少本？ 8．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？ 9．某水果店有一批苹果，第一天卖出，第二天卖出第一天剩下的，第三天补进第二天剩下的，这时还存有698千克，问原来有苹果多少千克？ 10．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 11．菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的，第二天卖出余下的，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？ 12．我校图书室去年买了科技书与文艺书共475本，今年又买了科技书与文艺书共640本．其中科技书比去年多买了48%，文艺书比去年多买了20%，今年买的新书中科技书与文艺书各有多少本？ 13．甲、乙两人共有人民币700元，甲用去自己钱数的，乙用去自己钱数的，两人总共还剩下360元，求原来甲、乙两人各有人民币多少元？ 14．学校买来一批图书，放在两个书柜中，其中第一个书柜中的图书占这批图书的58%，如果从第一个书柜中取出32本，放到第二个书柜中，这时两个书柜的图书各占这批图书的，求这批图书共有多少本？ 15．有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米．把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的．每段燃掉多少厘米？ 16．五年级有3个班，一班人数占全年级的，三班人数比二班人数多，如果从三班调走4人后，和二班人数同样多，求五年级共有多少人？ 17．甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油重量的．如果从乙桶倒出5千克油到甲桶，这时两桶油就相等了．甲、乙两桶油原来各有多少千克？ 18．甲种手机的价格是乙种手机价格的，如果这两种手机的价格都分别下降600元，那么甲种手机的价格是乙种手机价格的．甲种手机原来的价格是多少元? 19．小强和小明各有图书若干本．已知小强的图书本数占两人图书总数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3．两人一共有图书多少本？ 20．有两缸金鱼，如果从甲缸中取出1尾放入乙缸，则两缸的金鱼尾数相等，如果从乙缸中取出1尾放入甲缸，则乙缸是甲缸的．求原来甲、乙两缸各有金鱼多少尾？ 21．甲、乙、两三人共加工735个零件，已知甲加工的零件个数是乙的，乙加工的零件个数是丙的．甲、乙、丙三人各加工零件多少个？ 22．甲、乙、丙三人各有人民币若干元，丙的钱数比甲少，丙的钱数又比乙多，已知甲的钱数比乙的钱数多200元，求甲、乙、丙三人各有人民币多少元？ 23．阿木达是一位勤劳的牧民，他养了许多骆驼和毛驴．已知阿木达养的骆驼数占骆驼和毛驴总数的，毛驴数比骆驼数的少2头．求阿木达养了多少头骆驼，多少头毛驴？ 24．兄弟四人合买一台彩电，老大出的钱是其他三人出钱总数的，老二出的钱是另外三人出钱总数的，老三出的钱是另外三人出钱总数的，老四比老三多出40元．求这台彩电多少钱？ 25．逸仙小学有学生1350人，秋游组织全校男生的和全校女生的参观静海寺，其余的学生参观南京大屠杀纪念馆，结果发现参观南京大屠杀纪念馆的男生和女生人数正好相等，逸仙小学男生和女生各有多少人？ 26．六年级有学生300人，从六年级男生中选出，女生中选出参加校运动会，这样全年级还剩下91人参加布置会场工作．六年级有男、女生各多少人？ 27．有一个水池，第一次放出全部水的，第二次放出30立方米水，第三次又放出剩下水的，池里还剩水54立方米，全池蓄水为多少立方米？ 28．甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含金68%的合金；如果甲的重量是乙的3倍，得到含金62%的合金，求甲、乙两种含金样品中含金的百分数. 29．某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？ 30．张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？ 31．开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？ 32．某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？ 33．某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？ 34．有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占A堆的，B堆中黑子占．要从B堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？ 35．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 36．甲容器中有3升浓度为4%的盐水，乙容器中有若干浓度为9%的盐水。若将两种容器中盐水混合，则其中浓度为6%，如果取甲容器中的盐水与乙容器中盐水混合成新溶液，那么新溶液的浓度为百分之几？ 37．一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果原速行驶100千米后，再将车速提高30%，也比原定时间提前1小时到达，求甲、乙两地距离． 38．某商人用500元批入一批货物后，一次性以10%的利润批发给一买主，但买主不是付现金，而是付的存折．3个月以后，商人持存折向银行兑现，以年利率为2.25计算．兑现后，商人又批入与前次同样多钱的货物，又用与前次同样的方法批发给他人．这样进行8回，问这个商人共获利润多少元？ 39．白色容器中有浓度为12%的盐水500克，黄色容器中有500克水．把白色容器中盐水的一半倒入黄色容器中；混合后，再把黄色容器中现有盐水的一半倒入白色容器中；混合后，再把白色容器中的盐水倒入黄色容器，使两个容器盐水一样多．问最后黄色容器中的盐水浓度是多少？ 40．一满杯水中溶有10克糖，搅匀后喝去；添入6克糖，加满水搅匀，再喝去；添入6克糖，加满水搅匀，又喝去；再添入6克糖，加满水搅匀，仍喝去，那么此时杯中所剩的糖水中有多少克糖？ 41．把浓度为20%、30%、和45%的三种酒精溶液混合在一起，得到浓渡为35%的酒精溶液45千克．已知浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍．原来每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？ 42．有甲、乙、丙三个容量为1000毫升的容器．甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升，丙容器有浓度为20%的盐水400毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器盐水的浓度各是多少？ 43．甲容器中有纯酒精11升，乙容器有水9升．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精和水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样，甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？ 44．李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套．”厂长听后算了一下：若减价5%，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问这种课桌每套的成本价是多少元？ 45．某个体粮油经销店年初向赵先生借款500元，年利率为12%。第一年末还280元，第二年末赵先生到经销店购买10千克精制香油（折合成现金作为还款资金），第三年末又还207.20元，全都还清。每千克香油的价钱是多少元？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第四部分【答案详解点评】 1．180千米 【分析】根据时间＝路程÷速度，可知甲走CD段花的时间是（50÷60）时，乙走CD段花的时间是（50÷50）时，说明乙比甲多花了时；总时间相同，说明甲走AC、BD段的时间和比乙走AC、BD段的时间多花了时；根据分数和百分数乘法的意义，分别求出变速后甲、乙的速度，通过计算可知，因为AC段乙加速后速度和甲原来的速度相同，说明乙在AC段花的时间和甲在AC段花的时间相同，所以甲走BD段的时间和比乙走BD段的时间多花了时；根据路程相同，速度比等于时间的反比，甲走BD段的速度和乙走BD段的速度比是45∶50＝9∶10，据此可知，甲走BD段的时间和乙走BD段的时间比是10∶9；根据比的应用，用时除以（10－9）即可求出每份是多少，进求出9份，也就是乙走BD段的时间；然后根据速度×时间，就是BD段的路程，用BD段的路程加上OD段的路程，即可求出AB一半的路程，最后乘2即可求出AB的总路程。 【详解】CD段的路程：35＋15＝50（千米） 甲走CD段花的时间： 50÷60＝（小时） 乙走CD段花的时间： 50÷50＝1（小时） 甲走AC、BD段的时间和比乙走AC、BD段的时间多花了： 1－＝（小时） 甲减速后速度为： 60×（1－） ＝60× ＝45（千米/小时） 乙加速后速度为： 50×（1＋20%） ＝50×1.2 ＝60（千米/小时） 因为AC段乙加速后速度和甲原来的速度相同，说明乙在AC段花的时间和甲在AC段花的时间相同，所以甲走BD段的时间和比乙走BD段的时间多花了时； 甲走BD段的速度和乙走BD段的速度比： 45∶50 ＝（45÷5）∶（50÷10） ＝9∶10 根据路程相同，速度比等于时间的反比， 甲走BD段的时间和乙走BD段的时间比是10∶9； 乙走BD段的时间： ÷（10－9）×9 ＝÷1×9 ＝×9 ＝（小时） BD段：×50＝75（千米） OB段：75＋15＝90（千米） AB段：90×2＝180（千米） 答：A、B两地相距180千米。 【点拨】解答本题的关键是通过计算出CD段甲、乙的时间差推出AC、BD段两人的时间差，再利用比和比例的知识进行解答。 2．280只 【分析】可以将原来东、西两院鸡的总数设为未知数，东院养鸡40只，可以表示出西院的鸡的数量，然后表示出剩下的鸡的数量，列方程求解。 【详解】解：设原来东西两院一共养鸡只，那么西院养鸡只。 解出 答：原来东、西两院一共养鸡280只。 【点拨】列方程求解应用题的时候，关键是合理设出未知数，并找准等量关系。 3． 【分析】小说书比故事书少2本，且故事书比小说书多25%，量率对应可以求出小说的数量，然后再求出故事书和漫画书的数量，最后计算漫画书比故事书多百分之几。 【详解】（本） （本） 答：漫画书比故事书多20%。 【点拨】本题考查的是基础的百分数应用题，量率对应求单位“1”在百分数应用题中同样适用。 4．题 【分析】如图，根据题意小明答错的恰是题目总数的，两人都答错的题目占总题数的知试题总数为4的倍数也是6的倍数，所以试题数为12、24、36、48 ……；根据小亮错题为5题，两个人都错试题为知道试题数一定比题要少，但是根据都答对的题目数超过了试题总数的一半，知道试题总数为24。 【详解】如图所示： （题） （题） （题） （题） 答：他们都答对17题。 【点拨】本题将分数应用题与容斥问题相结合，可以画图表示各部分的关系，方便理解问题。 5．元 【分析】82.26元和40.02元都超出了6.9元，所以煤气用量都大于8立方米，先求出超出6.9元的部分分别是多少钱，把8月份煤气用量看成7份，那么1月份煤气用量是15份，多了8份，求出每一份对应多少钱，再求出每立方米对应多少钱。 【详解】（元） （元） （元） 份 份 （立方米） （元） 答：每立方米煤气应收0.48元。 【点拨】本题也可以设每立方米煤气的价钱为未知数，表示出1月份和8月份的煤气用量，根据煤气用量的关系列方程求解。 6．165千米 【分析】张华的速度是李冰的，以李冰的速度为单位“1”，张华和李冰的速度比则第一次相遇时，张华行驶的路程是李冰的路程的，张华行驶了全程的，也就是这时相遇点距离A点。 李冰的速度比张华的快，当李冰从B地到达A地时，也就是行驶了全程，这时张华才行驶了全程的，还有才能到B地，这时李冰的速度比原来增加了，李冰的速度就是1＋，张华的速度不变还是，则张华的速度就是李冰的，即张华的路程就是李冰的。 当张华到达B地时，也就是张华行驶了，张华的路程就是李冰的，用除法得出李冰又行驶了。 这时，张华的速度比原来增加了，则现在的速度是1。这时张华的速度是李冰的，即张华的路程是李冰的。 第二次相遇时，两个人的之间的路程应该是减去李冰行驶前程的，则是全程的。李冰这时候行驶了的，即，这时李冰距离A地是。 综上所述，第一次相遇点距离A点是，第二次相遇点距离A点，之间相差全程的，正好是35千米，已知一个数的几分之几是多少用除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 35÷（） （千米） 答：A，B两地相距165千米。 【点拨】时间是相同的，则速度比＝路程比，换一种说法是张华的速度是李冰的几分之几，张华的路程就是李冰的几分之几。复杂的行程问题，要理清题目中每个人的速度的变化，路程的变化，分析出对应的分率即可。 7．6650本 【分析】从图中可以清楚地看出第二天卖出1800×+1800=2000本． 进而得出第一天与第二天一共卖出1800+2000=3800本 一批连环画总本数是单位“1”，用线段图帮助我们分析数量关系从图上可以看出3800本对应的分率是（1－）． 【详解】1800×+1800=2000（本） 1800+2000=3800（本） 3800÷（1－）=6650（本） 答：这批连环画共有6650本． 8．18只 【详解】6÷（1-）=8（只） 8÷（1-）=12（只） 12÷（1-）=18（只） 答：篮里原有桃子18只． 9．698千克 【详解】698÷[1--（1-）×+（1-）×（1-）×] =698÷（1--+） =698÷1 =698（千克） 答：原来有苹果698千克． 10．600人 【详解】×（1-）×（1+30%） =××130% = 156÷=600（人） 答：这个厂全厂共有600人． 11．600千克 【分析】 从线段图上可以清楚地看出240千克的对应分率是第一天卖出后余下的（1－）．则第一天卖出后余下的大白菜千克数为：240÷（1－）=400（千克） 同理400千克的对应分率为这批大白菜的（1－），则这批大白菜的千克数为：400÷（1－）=600（千克） 【详解】240÷（1－）=400（千克） 400÷（1－）=600（千克） 答：这批大白菜有600千克． 12．科技书370本，文艺书270本 【详解】475×(1+20%)=570(本） 640-570=70（本） 48%-20%=28% 科技书去年的本数：70÷28%=250（本） 今年：250×（1+48%）=370（本） 文艺书：640-370=270（本） 答：今年新买的书中科技书370本，文艺书270本． 13．甲400元，乙300元 【详解】700-360=340（元） 700×=420（元） 乙钱数：（420-340）÷（-） =80÷ =300（元） 甲：700-300=400（元） 答：原来甲有400元，乙有300元． 14．400本 【分析】从第一个书柜取出32本放在第二个书柜中，第一个书柜少了32本，但是两个书柜的总本数不变，可以将总本数看作单位“1”，则第一个书柜减少32本后，本数占总本数的分率由原来的58%减少到，所以32本正好和第一书柜原来的分率和现在的分率的差相对应，这样可以用除法算出单位“1”量，也就是这批图书的总数． 【详解】解：32÷（58%－）=400（本） 答：这批图书共有400本． 15．3厘米 【分析】这两根蜡烛长度的差没有变．两根蜡烛都燃掉同样长的一部分，燃烧前与燃烧后的长度都相差8－6=2（厘米），2厘米相当于所剩的长的一段的1－=． 【详解】解：（8－6）÷（1－）=5（厘米） 8－5=3（厘米） 答：每段燃掉3厘米． 16．132人 【分析】三班人数比二班人数多，说明三班比二班多的人数占二班人数的，数量关系是：二班人数×=三班比二班多的人数；如果三班调走4人，和二班人数一样多，说明三班比二班多4人；二班人数为4÷=44人；三班人数：44+4=48人；再根据一班人数占全年级的，说明二班、三班占全年级的（1-），以此解答． 【详解】（4÷+4+4÷）÷（1-） =（44+4+44）÷ =92÷ =132（人） 答：五年级共有132人． 17．甲桶70千克，乙桶80千克 【详解】乙桶：5×2÷（1-） =10÷ =80（千克） 甲桶：80×=70（千克） 答：甲桶油原来有70千克，乙桶油原来有80千克． 18．甲手机3600元，乙手机6800元 【详解】解：设乙种手机的价格是x元，则甲种手机的价格是x元，降价后甲手机价格（x-600）元，乙手机价格（x-600）元． 根据题意列方程： 解得，x=6800 x=×6800=3600（元） 答：甲种手机的价格是3600元，乙种手机的价格是6800元． 19．100本 【分析】小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3，即此时小强的图书占总数的，那么这20本图书占总数的（60%-），由此可求总本数． 【详解】20÷（60%-）=100（本） 答：两人一共有书100本． 20．甲缸7尾，乙缸5尾 【分析】本题中，甲、乙两缸金鱼的尾数都在变，但两缸中金鱼的总尾数不变，所以把两缸的金鱼总尾数作为单位“1”．由题意可知，从甲缸中取出1尾放入乙缸时，乙缸中的金鱼是总尾数的；从乙缸中取出1尾放入甲缸时，乙缸中的金鱼是总尾数的＝ ．两种情况，乙缸中的金鱼相差1+1=2（尾），这2尾就是总尾数的－＝ ．所以总尾数为：2÷=12（尾）． 【详解】2÷（－）=12（尾） 甲缸原有：12÷2＋1＝7（尾） 乙缸原有：12－7＝5（尾） 答：甲缸原有7尾，乙缸原有5尾． 21．甲：210个  乙：245个  丙：280个 【详解】乙加工：735÷（+1+1÷） =735÷3 =245（个） 甲：245×=210（个） 丙：245÷=280（个） 答：甲加工零件210个，乙加工零件245个，丙加工零件280个． 22．甲500元，乙300元， 丙450元 【分析】根据题意可知，200元是甲钱数和乙钱数的差，因此只要找到甲的分率和乙的分率就可以了．而题目中给出的甲和乙都是单位“1”，因而需要转换单位“1”，我们可以把丙看作单位“1”，求出甲的钱数是乙丙的几分之几，乙的钱数是丙的几分之几． 【详解】甲钱数是丙钱数的：1÷（1－）= 乙的钱数是丙的钱数的：1÷（1＋）= 丙的钱数：200÷（－）=450（元） 甲的钱数：450×=500（元） 乙的钱数：450×=300（元） 答：甲的钱数是500元，乙的钱数是300元，丙的钱数是450元． 23．110头骆驼  88头毛驴 【分析】把骆驼和毛驴总数看作单位“1”，则骆驼占总数的，毛驴占总数的1－；根据题意找出和“2头”对应的分率是骆驼分率的减去毛驴的分率；根据已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题的解答方法，用已知的数除以和已知数对应的分率即可求出单位“1”的量；根据求一个数的几分之几是多少的应用题的解答方法，用单位“1”的量乘所求问题对应的分率即可求出骆驼和毛驴的头数． 【详解】2÷[×－(1－)] =2÷[－] =2÷ =198(头) 198×=110(头) 198－110=88(头) 答：阿木达养了110头骆驼，88头毛驴． 24．2400元 【分析】本题关键在于在于统一单位“1”，可以通过转化单位“1”，先求出老大、老二、老三出的钱分别占总钱数的几分之几．老大出的钱是总钱数的=，老二出的钱是总钱数的=，老三出的钱是总钱数的=． 【详解】老四出的钱占总钱数的：1－(＋＋)= 老四比老三多出的40元对应的分率为：－= 这台彩电的钱数为：40÷[1－(＋＋)－]=40÷=2400(元) 答：这台彩电钱数为2400元． 25．男生：750人  女生：600人 【分析】因为“参观南京大屠杀纪念馆的男生和女生人数正好相等”，可以知道全校男生的等于全校女生的，由此可以知道全校女生人数是男生人数的÷=，那么逸仙小学的1350名学生就是男生人数的（1+）倍．由此可解． 【详解】1350÷〔1+（1-）÷（1-）〕 =1350÷（1+÷） =1350÷ =750（人） 1350-750=600（人） 答：逸仙小学男生有750人，女生有600人． 26．男生236人，女生64人 【详解】解：设六年级有男生x人，那么女生300-x人．根据题意列方程： 300-x-（300-x）×=91 解得，x=236 300-x=300-236=64（人） 答：六年级有男生236人，女生64人． 27．200立方米 【分析】如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为x，第二次放出水是30立方米，第三次放出的水是剩下的水（x－x－30）的，所以有这样的等量关系：“第一次放水量+第二次放水量+第三次放水量+剩余水量=全池水量”． 【详解】解：设全池蓄水量为x立方米． x+ 30 +（x- x- 30）× + 54 =x x－x－x= 72 x=200 答：全池蓄水为200立方米． 28．甲含金60％，乙含金72％ 【详解】因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少. 画出如下示意图： 因为甲与乙的数量之比是1∶2，所以 （68％-甲百分数）∶（乙百分数-68％） ＝2∶1 ＝6∶3 因为甲与乙的数量之比是3:1，所以 （62%-甲百分数）：（乙百分数-62%） =1：3 =2:7 注意：6+3＝2＋7＝9. 如果把上面的线段分成9段，（68%-62%）是其中7-3=4段， 那么每段是（68%-62%）÷（7-3）=%. 因此乙的含金百分数是68%+%×3=72%. 甲的含金百分数是62%-%×2=60%. 答：甲含金 60％，乙含金 72％. 29．36支 【分析】配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，本题中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比. 【详解】相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％. （85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2. 他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3. 设买红笔是x支，可列出比例式 5x∶9×30＝2∶3 x==36(支) 答：红笔买了 36支. 30．76元 【详解】解：减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购4×3＝12（件）. 由于60件每件减价 4元，就少获得利润4×60＝240（元）. 这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润240÷12＝20（元）. 这种商品每件成本是100-4-20＝76 （元）. 答：这种商品每件成本76元． 31．88％ 【分析】因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷. 【详解】解：设去年的利润是“1”. 利润下降40％，转变成去年成本的10％，因此去年成本是40％÷10％＝4. 在售价中，去年成本占 因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％. 答：今年书的成本在售价中占88％. 32．17％ 【详解】解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3 其中80％的卖价是 1.3×80％，20％的卖价是 1.3÷2×20％. 因此全部卖价是1.3×80％ ＋1.3÷2×20％＝ 1.17. 实际获得利润的百分数是1.17－1＝0.17＝17％. 答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％. 33．14位 【详解】题目已给出平均数 85％，可作比较的基准. 1人买3件少 5％×3； 1人买2件多 5％×2； 1人买1件多 15％ ×1. 1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例. A组是2人买4件，每人平均买2件. B组是5人买12件，每人平均买2.4件. 现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2. B组人数是：（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人） 其中买3件25×=10（人） 买2件25×=15（人） A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人. 10＋4＝ 14（人）. 答：买3件的顾客有14位. 34．从B堆拿出黑子 175个，白子25个 【详解】要B堆中黑子占，即黑子与白子之比是3:1，先从B堆中拿出黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比. 现在 A堆已有黑子350＋100＝450个，与已有白子500个，相差50个．要黑子占，就是两种棋子一样多． 从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是：50÷（3-1）＝25（个）. 再要拿出黑子数是25×3＝ 75（个） 答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个. 35．30∶25∶26 【详解】略 36．6.9％ 【详解】略 37．360千米 【详解】题目给出的距离信息只有100千米一条，我们应当找到驾车行驶100千米的总时间． 车速提高20%，那么前后两次的速度比为5︰6，所以两次所用的时间比为6︰5，所花的时间减少1小时，由此可求原计划所花时间为（小时），汽车提速后从甲地到乙地只用5小时，这辆车如果提速30%，提速前后的速度比为10︰13，那么这辆车行驶相同距离所花的时间为13︰10，那么如果能将所花时间缩短1小时，则提速后行驶的时间应该为：（小时），所以原速行驶100公里所花的时间为：（小时），即这辆车原来的速度为：（千米/小时），甲乙两地的距离为：（千米）． 【点拨】此题是利用比例解行程问题非常经典的题型，事实上题目中给出的条件非常适合用比例法的应用，首先有前后的速度比例关系，其次有时间差．“比例+两者之一或两者和与差”的考题模式是非常常见的．它对应的解题模式是“比例转化+按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”． 38．428.08元 【分析】要求这个商人共获利润多少元，需计算出商人这八次每次获利润多少元，而这八次获利润均相同，因此只需求出第一次获利润多少元即可．这样就必须先求第一次买卖的成本与利润之和，用其减去最初的500元即为第一次的利润． 【详解】第一次买卖的成本与利润之和为500×(1+10%)=550(元) 兑现存折时得到的本利之和为 所以，第一次买卖所获利润为553.51－500=53.51(元)． 又因为第二次，第三次……第八次所获利润与第一次相同，所以这个商人共获利润为53.51×8=428.08(元)． 答：该商人共获利润428.08元． 39．4.8% 【详解】从白色容器中倒一半给黄色容器后，黄色容器中有盐水750克，其中含盐． 从黄色容器中倒一半给白色容器后，白色容器中有盐水250+375=625（克），其中含盐30+15=45（克），黄色容器中含盐为30-15=15（克）． 从白色容器中倒入625-500=125（克）给黄色容器，其中含盐．最后黄色容器中溶液浓度为（15+9）÷500×100%=4.8%． 40．克 【详解】根据题目，我们把原有的10克糖水和后加入的糖分别考虑．杯中原有10克糖，喝完第四次后还剩；第一次加入的6克糖，喝完第四次后还剩；第二次加入的6克糖，喝完第四次后还剩；第三次加入的6克糖，喝完第四次后还剩．所以，当第四次喝完后，杯中所剩糖水中有糖． 41．浓度为20%、30%、45%三种酒精溶液分别用了15千克、5千克、25千克 【分析】从“浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍”可知，无论它们各取多少，它们之间的用量的比总是3∶1，那么混合后得到一种新的酒精溶液，其浓度为：（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5%，这样原题变为“把浓度为22.5%和45%的两种酒精溶液混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45千克．求每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？” 【详解】浓度为20%与30%的两种酒精按3∶1的比例混合后所得到酒精溶液的浓度为：（3×20%+1×30%）÷（3+1）=22.5% 浓度为45%的酒精用量为：（45×35%-45×22.5%）÷(45%-22.5%)=25（千克） 浓度为30%的酒精用量为：（45-25）÷（3+1）=5（千克） 浓度为20%的酒精用量：5×3=15（千克） 答：浓度为20%、30%、45%三种酒精溶液分别用了15千克、5千克、25千克． 42．甲：27.5%   乙：15%   丙：17.5% 【分析】本题由于液体来回倒入，所以盐水浓度比较大．可以采取画表格的办法，列出每次倒后的浓度，边分析边填表，思路比较清晰，易得结果． 【详解】解： 甲 乙 丙 开始 40%的盐水400毫升 水400毫升 20%的盐水400毫升 第一次 40%的盐水200毫升 15%的盐水800毫升 20%的盐水200毫升 第二次 27.5%的盐水400毫升 15%的盐水400毫升 17.5%的盐水400毫升 答：最后甲容器中盐水的浓度是27.5%，乙容器中盐水的浓度是15%，丙容器的盐水浓度是17.5%． 43．8升 【分析】本题的关键在乙容器．第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器中，并不改变乙容器中酒精纯度．这是问题解决的突破口．由题意，“乙容器中纯酒精的含量即为25%”． 由此可知：第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器，乙容器中酒精与水的比为25%∶（1-25%）=1∶3 原来乙容器有水9升，可以知道第一次甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3（升），因此甲容器中酒精与水的比为62.5%∶（1-62.5%）=5∶3． 把这时甲容器的液体看成两部分：一部分是原来的8升纯酒精；另一部分是从乙容器倒过来的混合液．由乙容器中酒精与水的比为1∶3，便可以求出混合液的体积． 【详解】解法一：由已知，第一次和第二次乙容器中酒精含量都为25%，故乙容器酒精与水的比为25%∶（1-25%）=1∶3，从而第一次从甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3（升）． 甲容器剩下的酒精为11-3=8（升）． 第二次倒后，甲容器中酒精与水的比为62.5%∶（1-62.5%）=5∶3． 设倒过来的这部分混合液中的酒精为1份，水看成3份，与混合后甲容器中纯酒精与水的比例5∶3比较知：8升酒精是5-1=4（份），混合液是1+3=4（份）或（3+5）-4=4（份）． 再由8升纯酒精是4份，反过来4份混合液是8升． 解法二：与解法一相同，可知乙容器中纯酒精与水的比是1∶3；甲容器中的纯酒精与溶液重量的比是5∶8．设第二次从乙容器中倒入甲容器中的混合液是x升，依题意，列出方程 答：第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是8升． 【点拨】找到乙容器酒精含量在第一次和第二次倒的过程中不变这一突破口；对于几分之几，要把它化成几份对几份．这种技巧类似于分数应用题和工程应用题中的假设单位1． 44．70元 【详解】设这种课桌每套成本是x元．减价5%就是每套减100×5%=5(元)，这样李校长就多订购4×5=20(套)．由前、后获利润的情况，可列方程：(100－x)×80+100=(100－100×5%－x)×[80+4×(100×5%)]．解这个方程得x=70，所以这种课桌每套的成本价为70元． 45．12.86元 【分析】由题意可知：先求出第一年末还款后，还剩下款数，然后求出第二年末应还款数，再求出第二年末购油后，还剩欠款数，用第二年末购油后，还剩欠款数减去第二年末购油后，还剩欠款数，就是10千克香油的价钱，最后根据单价＝总价÷数量即可求出香油的单价。 【详解】第一年末还款后，还剩下款数为 500×（1＋12%）－280 ＝500×1.12－280 ＝280（元）。 第二年末应还款数为 280×（1＋12%） ＝280×1.12 ＝313.6（元）。 第二年末购油后，还剩欠款数 207.20÷（1＋12%） ＝207.20÷1.12 ＝185（元）。 10千克香油需要的钱数为313.6－185＝128.6（元）。 所以，每千克香油价格为128.6÷10＝12.86（元）。 答：每千克香油的价格是12.86元。 【点拨】本题考查利率问题，明确利息＝本金×利率是解题的关键。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$