专题2.5 一元二次不等式的恒成立与存在性问题（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第一册）

专题2.5 一元二次不等式的恒成立与存在性问题 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可. 【详解】由不等式恒成立， 所以, 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据和，结合判别式即可求解. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 故选:B． 3．（2024高一下·天津蓟州·阶段练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论 【详解】当，即时，，恒成立； 当时，，解之得， 综上可得 故选： 4．（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】依题意可得不等式对任意实数x均成立，对二次项系数分类讨论即可得实数a的取值范围. 【详解】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 故选：B 5．（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 6．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断充分必要条件，一般先就两个命题求出它们的等价命题，再根据要求判断即可. 【详解】由题意，，即； 又由“”为真命题当且仅当， 即，解得：或，即或.所以是的充分不必要条件. 故选：A. 7．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出. 【详解】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B 8．（2024高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·湖北·期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得的范围，再结合充分不必要条件的定义即可. 【详解】当时，不等式为，满足题意； 当时，则必有且，解之得， 综上a的取值范围为，显然及均为的真子集， 即选项B，C满足条件． 故选：BC 10．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）若命题“，”是假命题，则k的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据条件，将问题转化成恒成立问题，再分和两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】由题知，是真命题， 当，即时，恒成立，时，不恒成立； 当时，，解得，综上得， 故选：AB. 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用判别式法求解. 【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 13．（2024高一上·江苏·阶段练习）不等式的解集为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14．（2024高二下·天津北辰·阶段练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出原命题的否定，转化为恒成立问题，再利用一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【详解】依题意，“，”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，，显然成立， 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高一·上海·课堂例题）若关于x的不等式对于一切实数x都成立，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】分类讨论，当满足题意；当时，列出不等式组求解即可． 【详解】当时，符合题意； 当时，由题可知，即，解得； 综上所述，． 16．（2024高一·上海·课堂例题）若函数的图像都在x轴上方（不含x轴），求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】函数的图像都在轴上方等价或，解不等式，从而可求实数a的取值范围. 【详解】因为函数的图像都在轴上方， 所以① 或②， 由①解得：， 由②解得：，也即， 综上可知：实数的取值范围为. 17．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式和对应一元二次方程的关系列出方程组，解之即得； （2）将（1）求得的的值代入不等式并整理，由题意得到关于的不等式，解之即得. 【详解】（1）依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； （2）由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 18．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由得到关于的不等式，解得即可； （2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论. 【详解】（1）命题，不等式恒成立，为真命题， 则，解得，即实数的取值范围为. （2）命题，使成立， 当为真命题时， 即，解得或， . 当命题中恰有一个为真命题时， ①为真命题，为假命题，即，所以； ②为假命题，为真命题，即，所以； 综上可得：. 19．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点都在二次函数的图象上． (1)试求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)实数的取值范围为. 【分析】（1）利用点在二次函数图象上，列出方程组求解即得. （2）利用一元二次不等式恒成立，列出不等式求解即得. 【详解】（1）由点都在二次函数的图象上，得， 所以. （2）由（1）知， 不等式恒成立，即恒成立， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 一元二次不等式的恒成立与存在性问题 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2024高一下·天津蓟州·阶段练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 5．（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（2024高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·湖北·期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）若命题“，”是假命题，则k的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 13．（2024高一上·江苏·阶段练习）不等式的解集为，则实数的取值范围为 14．（2024高二下·天津北辰·阶段练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高一·上海·课堂例题）若关于x的不等式对于一切实数x都成立，求实数k的取值范围． 16．（2024高一·上海·课堂例题）若函数的图像都在x轴上方（不含x轴），求实数a的取值范围. 17．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 18．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 19．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点都在二次函数的图象上． (1)试求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$