（小升初高频易错）比例问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

比例应用题 第一部分【知识考点归纳】 【知识点归纳】 1．按比例分配定义： 在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配． 2．解题方法： （1）求总份数 （2）想各部分占总数量的几分之几 （3）用分数乘法求出各部分是多少． 【注意事项】 1、比例尺问题 （1）要清楚比例尺的意义，如 1:1000 表示图上 1 厘米代表实际距离 1000 厘米。 （2）在计算实际距离或图上距离时，单位要统一。 2、按比例分配问题 （1）首先要确定分配的总量和各部分的比例关系。 （2）计算出各部分占总量的分率。 （3）用总量乘以各部分的分率得到各部分的数量。 第二部分【经典例题分析】 【典例1】某工地用种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 ，速度比为，运送土方的路程之比为 ，三种车的辆数之比为。工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到 天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务。那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？ 【答案】32:79 【详解】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为，速度之比为 ，所以它们运送次所需的时间之比为 ，相同时间内它们运送的次数比为：。在前天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为 ．由于三种卡车载重量之比为，所以三种卡车的总载重量之比为。那么三种卡车在前天内的工作量之比为：。在后 天，由于甲车全部投入使用，所以在后天里的工作量之比为 。所以在这天内，甲的工作量与总工作量之比为： 。 【典例2】甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙．甲和丙的速度比是多少？ 【答案】25：18 【详解】根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50 =9：10 ，即速度比为10：9．甲和乙的时间比为60：75 =4：5 ，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为  25：20：18．甲和丙的速度比为25：18 【典例3】加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个．现在三人在同样的时间内一共加工个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 【答案】1400个；1200个；1050个 【详解】根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是，所以甲加工了个零件，乙加工了个零件，丙加工了个零件。 【典例4】某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是． 问报考的共有多少人？ 【答案】119人 【详解】(法1)录取的学生中男生有人，女生有(人)，先将未录取的人数之比变成，又有(人)，所以每份人数是(人)，那么未录取的男生有(人)，未录取的女生有(人)．所以报考总人数是(人)。 (法2)设未被录取的男生人数为人，那么未被录取的女生人数为人，由于录取的学生中男生有人，女生有(人)，则，解得．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是(人)。 【典例5】在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占、和，已知三缸酒精溶液总量是千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？ 【答案】12千克 【详解】解法一：设丙缸酒精溶液的重量为千克，则乙缸为千克．根据纯酒精的量可列方程： ， 解得，所以丙缸中纯酒精的量是(千克)． 解法二：由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为． 那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：，而它们合起来共50千克，所以丙缸酒精溶液有千克，丙缸中纯酒精的量是(千克)． 第三部分【高频考题巩固】 1．李华和王明都骑车从甲地出发前往乙地，李华与王明的速度之比是5∶4。已知王明比李华早出发15分钟，但在甲、乙中点处因故停留了8分钟；李华则不停地赶往乙地，最后李华比王明早3分钟到达乙地。那么王明出发多长时间后，李华就超过了王明？ 2．大巴和轿车都从A地出发驶向B地，大巴与轿车的速度之比为5∶6。大巴比轿车早出发18分钟，但在AB的中点C处停留了8分钟，轿车则不停的驶向B地。如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地。 （1）轿车出发多少分钟后追上大巴？ （2）如果轿车追上大巴后，速度增加，且轿车到达B地后立即原路返回A地，当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几？ 3．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度为60千米/时，乙的速度为50千米/时。如图，点O是AB的中点，距离O点35千米处是C地，距离O点15千米处是D地，甲从D地开始减速，速度减少，乙从C地开始加速，速度增加20%。若两人同时到达目的地，求A、B两地的距离。 4．一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 5．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？ 6．一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 7．王晓峰的书架有上、中、下三层．上层存书本数与存书总数的比是5：21．如果从下层拿18本书放到上层，则每层书架的存书本数相等．这个书架共有存书多少本？ 8．甲、乙两辆汽车同时从A、B两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时．已知甲车每小时比乙车快35千米．A、B两个城市间的公路长多少千米？ 9．一架飞机所加的油最多能够航行9小时，某天这架飞机要外出执行任务，去时顺风，每小时能飞900千米，返回时逆风每小时能飞行720千米，问飞机最多飞出多少千米就必须返航才能安全回家？ 10．甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有50米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 11．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行40千米．当乙车行至全程的时，甲车已超过中点12千米，A、B两地相距多少千米？ 12．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲行到全程的 的地方与乙相遇．甲每小时行30千米，乙行完全程需7小时．求A、B两地之间的路程． 13．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度是乙车速度的．当乙车行至全程的时，甲车距中点还有30千米，A、B两地相距多少千米？ 14．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5．这群羊原来有多少只？ 15．某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？ 16．高中学生的人数是初中学生人数的，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人．问高、初中毕业生共有多少人？ 17．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 18．小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？ 19．一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果原速行驶100千米后，再将车速提高30%，也比原定时间提前1小时到达，求甲、乙两地距离． 20．有一堆围棋棋子，其中黑子与白子个数的比是4∶3．从中取出91枚棋子，且黑子与白子个数的比是8∶5，而剩下的棋子中黑子与白子个数的比是3∶4．那么这堆围棋共有多少枚？ 21．师徒两人一直加工200个零件，师傅加工一个零件要用3分钟，徒弟加工一个零件要用5分钟．试问，当完成任务时，两人各加工多少个零件？ 22．猎犬发现在离它10米远的前方有一只狂跑着的野兔，立刻追赶．猎犬的步子大，它跑2步的路程，兔子要跑3步；但是兔子的动作快，猎犬跑3步的时间，兔子能跑4步．问猎犬至少要跑多少米方能追上野兔？ 23．一条路全长为30公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3公里．问此人走完全程共用了多少时间？ 24．超市商店运来264台冰箱，在两天时间里全部卖完，已知第一天卖出的与第二天卖出的相等，求这两天分别卖出多少台冰箱？ 25．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 26．A、B两地间有一座桥，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多行2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍旧在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇，则A、B两地相距多少千米？ 27．甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行的速度都是每小时4千米．学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米？ 28．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级． 29．李华每天上学步行5分钟以后，跑步2分钟恰好到校．有一天，他步行了2分钟就开始跑步，结果早到了1分40秒，他跑步的速度是步行速度的多少倍？ 30．两个连队同时分别从一个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？ 31．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？ 32．A、B两地相距24千米，甲和乙两人分别由A、B两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地．途中两人第一次相遇于C点，第二次相遇于点D．CD相距6千米，则甲、乙两人的速度比是为多少？ 33．小王、小明、小军春游结束后，三人从学校合乘一辆出租车回家．三人商定，出租车费要合理分摊．小王在全程的处下车，小明在全程的处下车，小军在终点下车，车费共46元．请你设计三人车费的分摊方案． 34．某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是： 甲组12∶13，乙组5∶3，丙组2∶1，那么丙有多少名男会员？ 35．航模一班和航模二班的人数比为8∶7，如果将航模一班的8名同学调到航模二班去，那么航模一班与航模二班人数比为4∶5，原来这两班各有多少人？ 36．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲乙二人都急于上楼办事,因此在扶梯的同时匀速登梯,甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍(单位时间乙登梯级数是甲的2倍)，他登了60级后到达楼上，求自动扶梯的级数？ 37．甲杯中有纯酒精克，乙杯中有水克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合．第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为，乙杯中纯酒精含量为．问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？ 38．(2008年清华附中考题)在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少；在上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加．小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是？ 39．师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 40．某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是，第一天售出苹果的，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是；第二天售出苹果吨，桃子吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？ 41．有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？ 42．甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A，B两地相距多少千米？ 43．枚壹分硬币摞在一起与枚贰分硬币摞在一起一样高，枚壹分硬币摞在一起与枚伍分硬币摞在一起一样高。用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？ 44．北京中学生运动会男女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为，已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多人，则总运动员人数为多少？ 45．、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第四部分【答案详解点评】 1．43分钟 【分析】根据题意可知，从甲地到乙地，王明比李华多花了（15－8＋3）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，可知李华与王明的速度之比是5∶4，时间之比是4∶5；把李华花的总时间看作4份，王明花的总时间看作5份，用（15－8＋3）÷（5－4）即可求出每份是多少，人求出李华花的总时间和王明花的总时间，求出李华行完全程需要40分钟，王明行完全程需要50分钟，当李华行了20分钟恰好到达两地的中点时，王明已经出发（15＋20）分钟，王明行走行程的一半需要（50÷2）分钟，也就是25分钟，据此用35－25－8即可求出王明此时已经离开中点几分钟，也就是2分钟，假设此时还需要x分钟，李华才能追上王明，根据路程相同，速度比＝时间的反比，列比例为：4∶5＝（20＋x）∶（35－8＋x），据此解出方程，然后用（15＋20）加上x的值，即可求出王明出发多长时间后，李华就超过了王明。 【详解】路程相同，李华与王明的速度之比是5∶4，时间之比是4∶5， （15－8＋3）÷（5－4） ＝10÷1 ＝10（分钟） 李华行完全程需要：10×4＝40（分钟） 王明行完全程需要：10×5＝50（分钟） 李华行到中点需要：40÷2＝20（分钟） 15＋20＝35（分钟） 50÷2＝25（分钟） 王明已经离开中点：35－25－8＝2（分钟） 解：设此时还需要x分钟，李华才能追上王明。 4∶5＝（20＋x）∶（35－8＋x） 5×（20＋x）＝4×（35－8＋x） 5×（20＋x）＝4×（27＋x） 100＋5x＝108＋4x 5x－4x＝108－100 x＝8 15＋20＋8 ＝35＋8 ＝43（分钟） 答：王明出发43分钟时，李华就超过了王明。 【点拨】本题考查了较复杂的行程问题，解答本题的关键是明确相同路程王明比李华实际多花的时间，然后利用比例的知识进行解答。 2．（1）50分钟；（2） 【分析】（1）通过题意可知，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，大巴车不停地驶向B地，已知如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地，则同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5，所以大巴车所花时间比轿车多花（6－5）份时间，据此根据比的应用，用（18－8＋2）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出6份和5份，也就是大巴与轿车分别行驶完全程需要的时间，轿车追上大巴时，大巴已离开C地，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，大巴与轿车的时间之比是6∶5，也就是两车的时间差是（6－5）份，根据比的应用，用（18－8）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出5份，也就是轿车追上大巴车需要的时间。 （2）把全程看作单位“1”，已知轿车出发追上大巴车时需要50分钟，而轿车行驶完全程需要60分钟，所以用50÷60即可求出轿车追上大巴车时行驶了全程的几分之几，也就是，剩下全程的（1－），也就是；如果轿车追上大巴后，速度增加，轿车现在的速度是原来的（1＋），据此可知大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]，也就是5∶7，根据时间相同，速度比＝路程比，可知大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程∶轿车开始增速到与大巴车相遇所行驶的路程＝5∶7，此时从增速到相遇时，两车的路程和占全程的2个，据此按比分配，用×2÷（5＋7）即可求出每份是多少，进而乘5即可求出大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的几分之几；再加上即可求出当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几。 【详解】（1）同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5， （18－8＋2）÷（6－5） ＝12÷1 ＝12（分钟） 大巴行驶完全程需要：12×6＝72（分钟） 轿车行驶完全程需要：12×5＝60（分钟） 轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟， （18－8）÷（6－5）×5 ＝10÷1×5 ＝50（分钟） 答：轿车出发50分钟后追上大巴。 （2）轿车追上大巴时，行驶了全程的50÷60＝ 剩下1－＝ 大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]， 5∶[6×（1＋）] ＝5∶[6×] ＝5∶7 时间相同，速度比＝路程比， 大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的： ×2÷（5＋7）×5 ＝×2÷12×5 ＝÷12×5 ＝××5 ＝ 当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的： ＋＝ 答：当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的。 【点拨】本题主要考查了较复杂的行程问题，明确路程相同，速度比等于时间的反比以及时间相同，速度比等于路程比是解答本题的关键。 3．180千米 【分析】根据时间＝路程÷速度，可知甲走CD段花的时间是（50÷60）时，乙走CD段花的时间是（50÷50）时，说明乙比甲多花了时；总时间相同，说明甲走AC、BD段的时间和比乙走AC、BD段的时间多花了时；根据分数和百分数乘法的意义，分别求出变速后甲、乙的速度，通过计算可知，因为AC段乙加速后速度和甲原来的速度相同，说明乙在AC段花的时间和甲在AC段花的时间相同，所以甲走BD段的时间和比乙走BD段的时间多花了时；根据路程相同，速度比等于时间的反比，甲走BD段的速度和乙走BD段的速度比是45∶50＝9∶10，据此可知，甲走BD段的时间和乙走BD段的时间比是10∶9；根据比的应用，用时除以（10－9）即可求出每份是多少，进求出9份，也就是乙走BD段的时间；然后根据速度×时间，就是BD段的路程，用BD段的路程加上OD段的路程，即可求出AB一半的路程，最后乘2即可求出AB的总路程。 【详解】CD段的路程：35＋15＝50（千米） 甲走CD段花的时间： 50÷60＝（小时） 乙走CD段花的时间： 50÷50＝1（小时） 甲走AC、BD段的时间和比乙走AC、BD段的时间多花了： 1－＝（小时） 甲减速后速度为： 60×（1－） ＝60× ＝45（千米/小时） 乙加速后速度为： 50×（1＋20%） ＝50×1.2 ＝60（千米/小时） 因为AC段乙加速后速度和甲原来的速度相同，说明乙在AC段花的时间和甲在AC段花的时间相同，所以甲走BD段的时间和比乙走BD段的时间多花了时； 甲走BD段的速度和乙走BD段的速度比： 45∶50 ＝（45÷5）∶（50÷10） ＝9∶10 根据路程相同，速度比等于时间的反比， 甲走BD段的时间和乙走BD段的时间比是10∶9； 乙走BD段的时间： ÷（10－9）×9 ＝÷1×9 ＝×9 ＝（小时） BD段：×50＝75（千米） OB段：75＋15＝90（千米） AB段：90×2＝180（千米） 答：A、B两地相距180千米。 【点拨】解答本题的关键是通过计算出CD段甲、乙的时间差推出AC、BD段两人的时间差，再利用比和比例的知识进行解答。 4．3∶4∶10 【分析】第一次溢出的水量的体积相当于是小球的体积；第二次溢出的水量的体积相当于是中球体积减去小球体积；第三次溢出的水量的体积相当于是大球体积减去中球体积。 【详解】设第二次溢出的水量是1份，那么第一次溢出的水量是3份，第三次溢出的水量是6份； 那么小球体积是3份，中球的体积为3＋1＝4份，大球体积是4＋6＝10份； 所以小中大三球的体积比是3∶4∶10。 答：小、中、大三球的体积比是3∶4∶10。 【点拨】本题考查的是比的应用与排水问题，当容器注满水时，溢出的水的体积就是物体的体积。 5．10个 【分析】先求出晴天时甲、乙的工作效率，再计算雨天时甲、乙的工作效率，求出晴天、雨天甲、乙的工作效率的关系；由于两队同时开工、同时完工，可以求出晴天和雨天之比，然后再计算具体的天数。 【详解】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高； 在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高； 由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。 答：工作时间内下了10天雨。 【点拨】本题考查的是工程问题，这里将工程问题与比例问题相结合，求出晴天和雨天的天数比是解题的关键。 6．小时 【分析】先求出甲、乙的工作效率之和，再按比例分配，得到各自的工作效率，然后求出乙完成一半需要的总时间，减去5小时，得到还需要的时间。 【详解】乙小时完成总工作量的； 乙每小时完成总工作量的； 乙需要完成的总工作量为； 乙要完成这个任务还需要的时间： （小时） 答：乙还要5小时才能完成分配的任务。 【点拨】本题考查的是工程问题与比例问题，按比例分配的问题可以设份数求解。 7．189本 【详解】18÷（-）=189（本） 8．840千米 【详解】35×2×（8+4）=840（千米） 【点拨】把“两车同时从A、B两城市出发，相向而行，8小时相遇，相遇后甲车继续行驶了4小时到达B地”转化成“甲、乙两车行驶相同的路程所用的时间比是1:2”，再将它转化成“甲、乙两车行驶的速度比是2:1”．这样就可以先求出甲车的速度，再求出两地相距的路程． 9．3600千米 【详解】飞机顺风与逆风的速度分别是每小时900千米和每小时720千米，速度比5∶4，所以往返时间之比为4∶5． 飞机顺风飞行的时间：9×=4小时， 飞机能保证安全返回的最大路程：900×4=3600千米， 答：飞机能保证安全返回的最大路程是3600千米． 【点拨】根据条件可知，要保证飞机安全返航，它飞出的路程必须与飞回的路程相等．根据路程一定，速度与时间成反比例，即可求出飞机往返的时间比，求出往返时间就能够求出飞机飞行的最大距离． 10．12.5米 【分析】当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙离终点还有50米，所用的时间相同．据此可知乙、丙的路程比、速度比． 【详解】甲跑完了200米时： 乙跑了：200-40=160（米）； 丙跑了：200-50=150（米）； 乙与丙的速度比：160：150=16：15 当乙跑200米时，丙跑了：200÷=200×=187.5（米） 丙离终点还有：200-187.5=12.5（米）； 答：当乙到达终点时，丙还有12.5米． 11．200千米 【分析】因为两车行驶的时间一定，所以速度与路程成正比例，根据甲、乙速度比，可推知路程比，根据乙行了全程的，可以求出甲行了全程的几分之几，再根据甲车超过中点12千米，即与全程的的差是12千米．最后可求出A、B两地相距多少千米． 【详解】甲车速度：乙车速度=56:40=7:5 甲车路程：乙车路程=7:5 甲行的路程：×= 全程：12÷（－）=200（千米） 答：A、B两地相距200千米． 12．280千米 【分析】①甲走了全程的，那么乙走了全程的1-=；②乙行完全程需7小时，所以乙一小时行驶全程的．综合①②可知相遇时甲、乙两辆汽车行驶了÷=4小时．甲每小时行30千米，4小时行驶了30×4=120千米，是全程的，所以甲、乙两地间的距离是120÷=280千米 【详解】相遇是所用的时间：（1-）÷（1÷7）=4（小时） 相遇时甲所走的路程：30×4=120（千米） A、B两地之间的路程：120÷=280（千米） 答：A、B两地之间的路程是280千米． 13．180千米 【分析】由甲车速度是乙车速度的，可知甲车速度：乙车速度=5:6；相同时间内甲车行驶的路程是乙车行驶路程的=. 当乙车行至全程的时，甲车行驶至全程的×=，由题意甲车距中点还有30千米可知，全程的-全程的=30千米，据此可得A、B两地相距30÷（-）=180千米. 【详解】当乙车行至全程的时，甲车行驶至全程的：×= A、B两地的距离：30÷（-）=180（千米） 答：A、B两地相距180千米． 14．49只 【分析】分析题意，设这群羊原有x只，结合已知条件可知：(原有羊的只数-1)×跑走一只公羊后现在公羊只数占总数的分率+1=(原有羊的只数-1)×跑走一只母羊后公羊占总只数的分率，根据这个等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这群羊原来有x只 (x-1)×+1=(x-1)× x=49 答：这群羊原来有49只． 15．14位 【详解】题目已给出平均数 85％，可作比较的基准. 1人买3件少 5％×3； 1人买2件多 5％×2； 1人买1件多 15％ ×1. 1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例. A组是2人买4件，每人平均买2件. B组是5人买12件，每人平均买2.4件. 现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2. B组人数是：（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人） 其中买3件25×=10（人） 买2件25×=15（人） A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人. 10＋4＝ 14（人）. 答：买3件的顾客有14位. 16．1160人 【详解】先画出如下示意图： 6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是：520÷（30-17）= 40（人）. 因此，高、初中毕业生共有：40×（17＋12）＝ 1160（人）. 答：高、初中毕业生共1160人. 17．27.5元 【详解】解法一：设每种糖果所花钱数为1． 平均价是：=27.5（元） 答：这些糖果每千克平均价是27.5元． 上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易．最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有： =27.5（元） 解法二：先求出这三种糖果所买数量之比. 不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10. 平均数是（15+11+10）÷3=12. 单价33元的可买10份，要买12份，单价是33×=27.5（元） 18．原来小明40张，小强30张 【详解】解法一：4∶3=20∶15 5∶2=20∶8 假设小强也买来15×=（张），那么变化后的比仍应是20:15，但现在是20∶8． 因此这个比的每一份是：（+8）（15-8）= 小明现有：20×=55（张），原有55-15=40（张） 小强现有：8×=22（张），原有22+8=30（张） 答：原来小明有40张，小强有30张. 解法二：设原来小明有4“份”，小强有3“份”.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图： 从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）. 因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张. 19．360千米 【详解】题目给出的距离信息只有100千米一条，我们应当找到驾车行驶100千米的总时间． 车速提高20%，那么前后两次的速度比为5︰6，所以两次所用的时间比为6︰5，所花的时间减少1小时，由此可求原计划所花时间为（小时），汽车提速后从甲地到乙地只用5小时，这辆车如果提速30%，提速前后的速度比为10︰13，那么这辆车行驶相同距离所花的时间为13︰10，那么如果能将所花时间缩短1小时，则提速后行驶的时间应该为：（小时），所以原速行驶100公里所花的时间为：（小时），即这辆车原来的速度为：（千米/小时），甲乙两地的距离为：（千米）． 【点拨】此题是利用比例解行程问题非常经典的题型，事实上题目中给出的条件非常适合用比例法的应用，首先有前后的速度比例关系，其次有时间差．“比例+两者之一或两者和与差”的考题模式是非常常见的．它对应的解题模式是“比例转化+按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”． 20．119枚 【详解】设这堆围棋棋子中黑子4x枚，那么白子3x枚．而在取出的91枚中，黑子有，白子有91-56=35（枚），由题意可得： （4x-56）∶（3x-35）=3∶4 9x-105=16x-224 即x=17 7x=7×17=119（枚） 答：这堆围棋子共有119枚． 21．师傅：125个   徒弟：75个 【分析】由已知，师傅加工一个零件用3分钟，那么他每分钟可以加工个零件；徒弟加工一个零件要用5分钟，所以他每分钟可以加工个零件．从而师徒二人的工作效率之比为．在本题中，师徒二人的工作时间一样，是题中的不变量，由，所以工作量和工作效率成正比例关系． 【详解】解法一：由于师徒两人工作效率的比是．在本题中，所以他们的工作量之比也是．因此师傅加工的零件个数是，徒弟加工的零件个数是200-125=75（个）． 解法二：设师傅加工x个零件，则徒弟加工（200-x）个零件．当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例的关系，得 解法三：因为师傅每分钟加工个零件，徒弟每分钟加工个零件，所以每分钟师徒二人可加工个零件，因此当完成任务时，师徒二人所用的时间是． 师傅每分钟加工个零件，因此最终师傅加工的零件数是，徒弟加工的零件数是200-125=75（个）． 22．90米 【分析】从猎犬开始追兔子到追上兔子，猎犬和兔子所用的时间相等，即时间一定，因此，它们跑的速度与距离成正比例的关系．要求出猎犬跑的距离，关键是求出猎犬与兔子的速度之比． 因为兔子3步距离等于猎犬2步距离，不妨设兔子一步为2距离单位，则猎犬一步为3距离单位；又因为兔子4步的时间等于猎犬3步的时间，所以可设兔子每跑一步需3时间单位，猎犬每跑一步需4时间单位，根据有 所以兔子与猎犬的速度之比为 【详解】解：兔子与猎犬的速度之比为 可设猎犬至少要跑过x米才能追到兔子，则此时兔子跑过（x-10）米，根据时间一定，速度和距离成正比，可列出比例式 8∶9=（x-10）∶x 8x=9(x-10) x=90 答：猎犬至少要跑过90米才能追上兔子． 23． 【分析】因为已知此人走三段路程的时间之比，所以要求出此人走完全程的时间，只要根据已知条件求出此人走上坡路所用的时间，从而只要求出此人上坡的速度和上坡的路程即可．又知道全程30公里且上坡、平路和下坡三段路程比是1∶2∶3，从而求出上坡的路程． 【详解】上坡路的路程为 走上坡路所用的时间为 上坡路所用时间与全程所用时间之比为 走完全程所用的时间为 答：此人走完全程共用． 24．第一天卖出192台，第二天卖出72台 【详解】可以利用比例关系把这题进行分率转化，得出第一天与第二天的倍数关系．因为第一天卖出的与第二天卖出的相等，所以第一天×=第二天×，第一天︰第二天=8︰3． 根据总冰箱数以及第一天和第二天卖出冰箱的关系，得出每天卖出冰箱的数． 第一天卖出：264×=192（台） 第一天卖出：264×=72（台） 答：第一天卖出192台，第二天卖出72台． 25．42分钟 【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题． 首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2． 其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2， 而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达． 解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即： ，解得，t=42． 26．72千米 【详解】三种方式相遇所行的路程都相等，典型的由时间比化速度比的题目，求出了速度再求总路程就简单了． 因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的． 在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5＝2.5（小时），两次相遇时间比为3：2.5，路程一样，所以甲的速度成反比为2.5：3=5：6，又速度增加2千米每小时，所以甲原速为2÷（6－5）×5=10（千米/小时）． 在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5＝3.5（小时），与第一种情况相比较，两种相遇时间比为3：3.5，路程一样，所以乙的速度成反比为3.5：3=7：6，又速度减少2千米每小时，所以乙原速为2÷（7－6）×7=14（千米/小时）． 这样就可以求出A 、B两地的距离为（10＋14）×3＝72（千米）． 27．2千米 【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系． 由于两班速度相同，所以要使时间最少，必须同时出发，同时到达，因此行走的路程要相同，即AD=CB，画图如下： 在某一班行走BC的时间内，车行走的路程就是C—A—B，即CB+BA+AB，这样得出CB︰（CB+BA+AB）=4︰48=1︰12 该比例式可以化为：CB︰BA=1︰=1︰5.5 所以CB和总路程的比为1︰（1+5.5+1）=1︰7.5=2︰15 CB的长度为（千米） 所以每个班步行的距离为2千米． 【点拨】此题的解决主要有两个关键点： 1，两个班的行走路程一样． 2，找出步行与汽车在相同时间内行走的路程，根据路程与速度成正比的关系得出相应路程的比例关系，最终求出答案． 28．60级 【详解】关键是找出两人上下楼的时间比． 因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，男孩下楼过程中由于自动扶梯上行而多走的路应该等于女孩上楼过程借助自动扶梯少走的路，男孩比女孩多走的路应等于行程过程中自动扶梯运行的级数的两倍． 因此自动扶梯向上运行了（80-40）÷2=20（级），扶梯可见部分有80-20=60（级）． 29．2.25 【详解】李华平时需要7分钟到校，早到1分40秒，即用了分钟到校，其中步行了2分钟，跑步了分钟．所以跑步2分钟，步行5分钟的距离与步行2分钟，跑步分钟的距离相等．跑步分钟的距离与步行3分钟的距离相等． 3÷=2.25， 所以他跑步的速度是步行速度的2.25倍． 30．1.6小时 【详解】40÷8=5，即卡车的速度是士兵行军速度的5倍，那么卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的（5+1）÷2=3倍．卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍．车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程才能追上A连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程，所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的总行程为（3+2+3）×8=64千米，这一段路，卡车行驶了64÷40=1.6小时，这也是两营士兵到达目的地所花的时间． 答：两营士兵到达目的地一共要1.6小时． 31．4000米 【分析】乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，得到甲、乙速度之比2︰2.25，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速之后乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，甲乙速度比为3︰3.75，乙的速度是甲的速度的1.25倍，由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500÷（1.25－1.125），依此计算即可。 【详解】加速前甲乙的速度之比为2︰2.25＝8︰9，乙的速度是甲的速度的1.125倍； 加速后甲乙的速度比为3︰3.75＝4︰5，乙的速度是甲的速度的1.25倍， 甲的速度为500÷（1.25－1.125） ＝500÷0.125 ＝4000（米/时）， 答：甲每小时行4000米。 【点拨】先求出甲乙二人的速度比是解答此题的关键。 32．9︰7 【详解】因为甲比乙早返回原地，甲的速度比乙快，第二个相遇点D应该比C更靠近A点．由于相关数量未知，首先假设第一次相遇时甲和乙分别行走了x千米和y千米．可得：x+y=24① 由假设可得：第二次相遇时，甲、乙分别行走了3x千米和3y千米，那么甲返回时走了3x-（x+y）=2x-y，第二个相遇点距B点（2x-y）千米，这段距离比y多6千米，所以有：（2x-y）-y=6② 联立①②两个方程能得到：x=13.5，y=10.5，所以两人的速度比为9︰7． 33．小王应分摊6元，小明应分摊16元，小军应分摊24元． 【详解】∶∶1＝3∶8∶12 3＋8＋12＝23 46×＝6(元) 46×＝16(元) 46×＝24(元) 34．12名 【详解】略 35．一班有48名，二班有42名 【详解】8＋7＝15 4＋5＝9 8÷(－)＝90(人) 90×＝48(名) 90×＝42(名) 36．66级 【详解】乙与甲的时间比为60/2：55/1=30：55，甲与乙走过的级数差5级，是由于扶梯自动运行的时间差导致的，时间差为25个单位，那么5个时间单位扶梯自动缩进1级，30个时间单位缩进6级，那么级数为60+6=66，或者55+55÷5=66． 37．14克 【详解】第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有：()(克)， 则甲杯中剩纯酒精(克)． 由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为，根据浓度倒三角，倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为， 所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是克． 38．49:36 【详解】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的，小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体重的，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，所以小明和小刚实际体重的比是：． 39．400 【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了个零件 40．74吨；37吨 【分析】本题可以理清题中数量关系，用方程方法求解；也可以用比例的方法分析求解。 【详解】法一： 解：设原来苹果有吨，则原来桃子有吨，得： 解得 所以原有苹果37吨； 原有桃子(吨) 答：原来苹果有37吨，桃子有74吨。 法二：原来苹果和桃子的吨数的比是，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是，剩下的桃子是，所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是．这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是，先售出桃子12吨，苹果吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是，再售出吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为，所以这相当于份，最后剩下的桃子有吨，那么第一天后剩下的桃子有吨，原有桃子吨，原有苹果吨。 答：原来苹果有37吨，桃子有74吨。 【点拨】本题较为复杂，要仔细分析数量间的等量关系。 41．4支 【分析】由于每个队的女队员人数是该队男队员人数的，所以原来全体女队员人数是全体男队员人数的，即原来女队员人数是全体队员人数的 ，当第一队调走一半队员，且全是男队员后，女突击队人数是剩下的全体男突击队员人数的，即总数的 ，这一过程中女队员人数没有发生变化，所以调走后的队员总数与调走前的队员总数之比是 ∶ ＝7∶8，即调走的队员人数占总数的，而调走的队员人数占第一突击队的，且原来每支突击队的总人数相同，所以共有＝4支突击队。 【详解】原来女队员人数是全体队员人数的 ＝ ； 当第一队调走一半队员，女突击队人数是剩下总数的 ＝ ； 调走后的队员总数与调走前的队员总数之比是 ∶ ＝7∶8， 则共有： ÷ ＝ ＝4（支） 答：共有4支突击队。 【点拨】首先根据这一过程中女队员人数没有发生变化，根据前后女队员人数占总人数的分率求出前后总人数的比是完成本题的关键。 42．450千米 【分析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4.8＝5∶6。相遇时，甲、乙分别走了全程的和。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩1－＝没有走，所以A、B全长为450千米。 【详解】[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）] ＝[5×0.8]∶[4×1.2] ＝4∶4.8 ＝5∶6 1－＝ 10÷＝450（千米） 答：A，B两地相距450千米。 【点拨】关键是确定相遇后的速度比，综合运用所学知识。 43．3.08元 【分析】由题意可知，所有的硬币共有124枚，然后求出把124枚硬币总共分成了多少份， 也就是要求出壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比，因为壹分硬币和贰分硬币的数量比为，壹分硬币和伍分硬币的数量比为 ，化为三联比后为壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比，从而可以求出总份数，以及每种硬币所占的比重。据此可解答。 【详解】由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为，壹分硬币和伍分硬币的数量比为 ，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为，即 ，因此壹分硬币的数量为枚，贰分硬币的数量为 枚，伍分硬币的数量为枚，这些硬币一共有分，即币值为 元。 【点拨】本题考查按比分配，明确总份数以及每种硬币所占的比重是解题的关键。 44．3185人 【详解】将运动会最初的运动员人数设为“”，那么男运动员人数为，女运动员人数为，而增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是，所以这时女运动员人数为，增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然是，所以男运动员人数增加为。女子艺术体操项目人数为，男子象棋项目的人数为女象棋项目运动员有人，女子艺术体操运动员有人，所以现在的总运动员人数为人。 45．4∶6∶3 【分析】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－。丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－，于是有、、，解方程组即可。 【详解】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－，丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－。 由此可得： 从而可得：即： 进而得：，即 所以，4∶6∶3 答：甲、乙、丙队的工作效率的比是4∶6∶3。 【点拨】解答此题的关键是利用假设法，然后列方程组计算。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$