[小升初典型培优]工程问题(知识精讲+典例分析+高频考题)(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

工程问题 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 1、概念：在日常生活中，我们经常会遇到完成一项工作的情况，比如修建一条道路、建造一座房屋等。工程问题就是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的数学问题。 2、工程问题公式： （1）、一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效； 工作总量÷工效＝工时． （2）、用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间． 【典例1】一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半，现在甲、乙两队干若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段时间相等，则共用几天？ 【答案】解：（-）÷2 =÷2 = 设合作了x天。 （＋）x＋x=1 x＋x=1 x=1 x=3 3×2=6（天） 答：共用3天。 【思路分析】把工作总量看作单位"1"，根据"工作总量÷工作时间＝工作效率"求出甲的工效，进而求出甲做3天完成的工作量，用1-甲完成的工作量=乙完成的工作量，根据"工作总量÷工作时间＝工作效率"计算出乙的工效，即（-）÷2=，根据两段时间相等，设合作了x天，进而列出方程，解方程。 【典例2】甲乙两个电视机厂合作生产一批彩色电视机，甲厂先生产4天，完成了生产计划的。接着甲乙两厂合作生产8天，完成了全部任务。已知乙厂每天生产50台，求这批彩色电视机的总台数。 【答案】解：÷4= （1-）÷8 =÷8 = 50÷（-） =50÷ =800（台） 答：这批彩色电视机共800台。 【思路分析】这批彩色电视机共有的台数=乙厂每天生产的台数÷（甲、乙工作效率的和-甲的工作效率） ；其中，甲的工作效率=÷4=，甲、乙工作效率的和=（1-甲计划完成的分率）÷甲、乙合作的天数。 【典例3】甲、乙两队挖一条水渠，甲队单独挖8天完成，乙队单独挖12天完成。现在两队合挖了几天后，乙队调走，余下的甲队3天内挖完。乙队挖了多少天？ 【答案】解：（1-×3）÷（＋） =（1-）÷ =÷ =3（天） 答：乙队挖了3天。 【思路分析】把这条水渠的长度看作单位“1”，乙队挖的天数=（工作总量-甲的工作效率×剩余挖完需要的天数）÷甲、乙工作效率的和。 【典例4】一项工程，甲队单独完成需要8天，乙队单独完成需要12天，丙队的工作效率是乙队的 ，甲、乙两队合作4天后。 （1）完成了这项工程的几分之几？ （2）剩下的由乙、丙两队合作完成，还需要多少天？ 【答案】（1）解：（ + ）×4 ＝ ×4 ＝ 答：完成了这项工程的 。 （2）解：1﹣ ＝ ÷（ + × ） ＝ ÷（ + ） ＝ ÷ ＝ （天） 答：还需要 天。 【思路分析】（1）把这项工程看作“1”，用分数分别表示出甲、乙两队的工作效率。用甲、乙两队的工作效率和乘4即可求出两队合作4天完成的工作量； （2）用乙的工作效率乘求出丙的工作效率。用1减去甲、乙两队合作4天完成的工作量求出剩下的工作量。用剩下的工作量除以乙、丙两队的工作效率和即可求出还需要的天数。 【典例5】某市政府决定对A区沿河两岸在房子进行重新装饰。这项工程甲单独做要12天完成，乙对单独做要8天完成，现乙队单独做3天，剩下在由甲乙两队合作完成，甲乙要合作几天才能完成全部工程？ 【答案】解：（1﹣3× ）÷（ + ） ＝ ÷ ＝3（天） 答：甲乙要合作3天才能完成全部工程。 【思路分析】先算出乙队3天做了这项工程的多少，把这项工程看作单位“1”，剩下的工程=1-已做的。最后用剩下的工程÷（甲的工效+乙的工效），即可解答。 1． 一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整个工程要挖多少方土？ 2．有一项工程，甲单独做要11小时完成，乙单独做要的时间是甲的，现在甲乙先合做3小时后再由甲单独做，还需多少小时完成？ 3．甲、乙两个修路队，共同修3600米长的一条铁路．当甲完成所分任务的，乙完成所分任务的又多40米时，还剩下780米的任务没完成。甲、乙两队各分了多少米的任务？ 4．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的 ，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的 ，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？ 5．有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷7个房间，结果其中有30m2的墙面未来得及粉刷。同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间之外，还多粉刷了另外的10m2墙面．每名师傅比徒弟一天多粉刷20m2墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 6．把加工一批零件的任务， 原计划按1：3分配给甲、 乙两人，如果他们同时开工就可以同时完成任务．实际用于某种原因，二人同时一开工，乙的工作效率就比原计划降低了50%，甲的工作效率不变．这样，当甲完成了自己的任务后，立即帮助乙一起加工，又经过2小时完成了全部任务，如果这批零件全部由甲单独加工，需要多少小时完成？ 7．一项工程，由甲先做a小时后，甲、乙二人再合作，完成时甲做了这项工程的；如果由乙先做a小时后，甲、乙二人再合作，完成时甲做了这项工程的。这项工程由甲单独做需要10小时完成，由甲、乙二人同时开工合作需几小时完成？ 8．现有甲、乙、丙、丁四个工程队，甲、乙、丙各接受一个工作量相同的工程。这四个队单独完成一个工程所用时间分别是28 天，24 天，20天，30天。甲、乙、丙、丁四个队同时开工，丁队先帮甲队工作x天，接着帮乙队工作y 天，最后帮助丙队工作到完工。如果甲、乙、丙、丁四队同时完工，则x，y的值分别是多少？丁队帮丙队工作的天数为多少天？ 9．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需要48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要多少天? 10．一项挖土工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做，要20天才能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成-时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每关少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整个工程要挖多少方土? 11．一项工程，甲、乙两公司合作， 16 天可以完成，共需付施工费 48000 元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的两倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少 800 元。 （1） 甲、乙两公司单独完成此项工程， 各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程， 哪个公司的施工费较少？ 12．甲工程队修一条长1600米的公路，施工12天后修好这条公路的75%，此后甲工程队采用新技术，每天比原来可多修1倍的公路，修完这条公路甲工程队共花了几天? 13．搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15 小时。有同样多货物的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间? 14．甲、乙两人合作为400米的环形花坛铺设草坪；两人同时从同一地点背向而行各自铺设，最初甲铺设草坪的速度比乙快，后来乙用了10分钟去调换工具，回来继续铺设，但工作效率比原来提高了一倍。结果从甲、乙开始铺设时间算起，经过1小时，就完成了铺设草坪工作，并且两人铺设的草坪距离一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？ 15．甲、乙各负责一项工程，晴天时，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天，雨天时，甲、乙的效率分别是晴天时的30%和80%，现在两队同时开工、同时完成，则在施工期间，下雨的天数是多少天？ 16．一项工程。甲单独做要12小时，乙单独做要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时…，两人交替工作，问完成任务共需要多少小时？ 17．某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 18．羊毛衫厂要生产756件羊毛衫，甲车间有19人，乙车间有17人，两个车间同时生产，平均每人每天生产3件，多少天可以完成？ 19．一件工作， 若由甲单独做 72 天完成， 现在甲做 1 天后， 乙加入一起工作， 合作 2 天后， 丙也一起工作。三人在一起工作 4 天， 完成全部工作的 ， 又过了 8 天， 完成了全部工作的 ， 若余下的工作由两单独完成，还需要几天？ 20．A、B两个工程队修一段路，如果A队修7天，然后由B队修3天可以完成；如果A队修4天，然后由B队修12天可以完成．现在由A、B两个工程队合修，多少天可以完成？ 21．修一段水渠，甲施工队单独修要20天完成，乙施工队单独修要15天完成。两队合修6天后，剩下的任务只安排一个队完成。至少还要多少天可以完成任务? 22．有160个机器零件，平均分给甲、乙两个车间加工，乙车间比甲车间晚3小时开工，所以比甲车间晚20分钟完成。已知甲车间加工1个零件和乙车间加工3个零件的时间相同，甲、乙两个车间加工1个零件各需要多长时间？ 23．某项工程，如果由甲、乙两队承包， 天完成，需付 1800 元；由乙、丙两队承包， 天完成，需付 1500 元； 由甲、丙两队承包， 天完成， 需付 1600 元， 现在工程由一个队承包， 在保证一周内完成的前提下，哪个队承包费用最少，最少费用是多少？ 24．一空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需6分钟流尽，某次池种没有水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管，又过了同样长的时间，水池的 注了水.如果继续注满水池，前后一共要花多少时间? 25． 一水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满，已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍。请问：该水箱注满时可容纳多少吨水? 26．某工程可由若干台机器在规定时间内完成．如果增加2台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成．如果由1台机器完成这项要程，需要多少小时？ 27．A、B两项工程分别由甲、乙两个工程队来承担。不是雨天时，甲队完成A工程需要15天，乙队完成B工程需要18天。在雨天，甲队的工作效率降低40%，乙队的工作效率降低10%。若两队完成自己承担的工程用了相同的天数，那么在施工期间共有多少个雨天？ 28．重庆名校联合中学新建教学楼挖地基，甲队单独做16天完成，乙队单独做20天完成，现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25立方米的土，结果共用了10天完成工程。问整个工程要挖多少立方米的土？ 29．一段路，如果一队单独修，需要10天；如果二队单独修，平均每天可修240米。一、二两队合作，6天正好修完。这段路长多少米？ 30．某货运公司安排甲乙两车运一批货物，甲车单独运完这批货物需要8次，乙车单独运完这批货物需要6次。如两车一起运这批货物，运3次后，这批货物还剩下6吨。这批货物一共有几吨？ 31．甲乙合作完成一件工作，合作8天后，乙又独做5天，这时还剩下这件工作的。已知乙单独做这件工作需要30天，那么甲单独完成这件工作需要多少天？ 32．有一批家具，用大、小卡车同时运送6小时可以运完。如果用大卡车单独运，10小时可以运完。用小卡车单独运，要几小时运完？ 33．甲乙合修一条公路，甲单独修要10天完成，已单独修要15天完成。一开始甲乙合修3天，中途甲因为生病休息了2天，最后完工时一共用了几天？ 34．一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。现先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？ 35．一项工程，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天。两队先合修8天后，剩下的工程由乙队单独去修，还需要几天完成？ 36．搬运完一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，问丙帮助甲比帮助乙少多少小时？ 37．一部书稿，甲单独打字要14 小时完成，乙单独打字要 20小时完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作．那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？ 38．有一水地，装有甲、乙两个注水管，下面装有丙管放水。池空时，单开甲管5分钟可注满：单开乙管10分钟可注满；水池装满水后，单开丙管15分钟可将水放完。如果在池子空时，将甲、乙、丙三管齐开。2分钟后关闭乙管。然后按“甲、丙、甲、丙。”的顺序轮流各开一分钟，再过多少时间后水开始溢出水池？ 39．甲乙两个工程队共同修筑一段长6000米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修50米，现由乙工程队先修5天，余下的路段由甲乙两队合修10天修完，问甲乙两个工程队每天各修路多少米？ 40．一水库装有1个进水管和3个同样的出水管，现水库中有一定量的水，居民用水时需要同时打开进水管和出水管，当打开1个进水管和1个出水管，水库中的水可使用30天；若居民用水量增加，需要同时打开2个出水管，则水库中的水只能使用10天，若将3个出水管全部打开，水库中的水可使用多少天？ 41．加工一批零件，张师傅单独加工需要40天完成，李师傅单独加工需要60天完成。现在由于工作需要，张师傅先单独加工了10天，李师傅接着单独加工了30天后，剩下的部分由张、李二位师傅合作完成，这样完成这批零件一共用了多长时间？ 42．贵阳一中新世界国际学校校园建设工程，甲队单独做15天完成，乙队单独做12天完成，两队一起合做5天后，剩下的由乙队完成，还需要多少天？ 43．某项工程计划在90天内完成，开始由6人用35天完成了全部工程的，随后再增加6人一起完成这项工程，那么这项工程提前多少天完成任务？ 44．希望小学新修建了一个图书馆，需要对书籍重新进行整理。李老师单独整理要用15天，张老师单独整理要用20天。两位老师一起整理了5天后，李老师因有其他事情被调走，剩下的由张老师单独整理完。张老师一共整理了多少天？ 45． 在“我是城市小主人”公益墙绘活动中，学校承担了400平方米的绘画任务。六⑴班单独完成需要20天，六⑵班单独完成需要25天，两个班一起画，多少天可以完成？ 1．【答案】解：甲乙合作工作效率：(+)×(1+20%) =×120% =； 遇到地下水后施工天数：10-÷ =10- =(天)； 遇到地下水后的工作效率：(1-)÷ =× = 工作总量：47.25÷(-) =47.25÷ =1100(方)； 答：整个工程要挖1100方土。 【思路分析】把工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，那么甲乙两队的工作效率之和为+，由于合作之后工作效率提高了20%，那么合作之后两人的工作效率之和为(+)×(1+20%)；合作后，两人先完成了工作总量的，因此，用除以两人合作的工作效率求出两人完成工作总量所用天数，再用完成工作总量的总天数减去完成工作总量所用的天数求出遇到地下水后的施工天数；遇到地下水后的工作量为1-，除以遇到地下水后的施工天数求出遇到地下水后的工作效率，最后用每天少挖的方数除以遇到地下水前后的工作效率之差即可求出工作总量。 2．【答案】解：11×=33（小时） [1-（）×3]÷ =（1-）÷ =×11 =7（小时） 答：还需7小时完成。 【思路分析】根据分数乘法的意义先求出乙单独做需要的时间。把这项工程看作单位“1”，用分子为1的分数分别表示出两队的工作效率。用两队的工作效率和乘3求出3小时完成的工作量，用1减去3小时完成的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以甲的工作效率即可求出甲完成任务还需要的时间。 3．【答案】解：[3600×（1--780-40）]÷（-） =80÷ =1600（米） 3600-1600=2000（米） 答：甲队分了2000米，乙队分了1600米。 【思路分析】如果两队都完成了，那么就还剩下3600×(1-)=900米，说明乙的-=，是900-780-40=80米，则乙队分的米数=80米÷对应的分率=1600米。甲队的任务=总长-乙队分的米数。 4．【答案】解：根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 ； 乙、丙两人的工作效率之和为 ； 甲、乙、丙三人的工作效率之和为 ． 分别可求得甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，则甲完成的工程量为： ，乙完成的工程量为： ，丙完成的工程量为： ，三人所完成的工作量之比为 ． 所以，甲应得 元，乙应得 元，丙应得 元． 【解析】【解答】解：÷6= （1-）×÷2= （1-）×（1-）÷5= -= -= -= ×（6+5）= ×（6+2+5）= ×（2+5）= ：：=33：91：56 1800×=330（元） 330×=910（元） 330×=560（元） 答：甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元。 【分析】先计算出甲、乙两人的工作效率之和，乙、丙两人的工作效率之和，甲、乙、丙三人的工作效率之和，然后根据他们之间的关系分别求出甲、乙、丙的工作效率，由此可以得出甲、乙、丙完成的工程量乙完成的工程量，据此可以得出三人所完成的工作量之比，所以甲应得的钱数=发的总工资×，乙应得的钱数=甲应得的钱数×，丙应得的钱数=甲应得的钱数×。 5．【答案】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2。 -=20 5（7x-30）-3（9x+10）=20×15 35x-150-27x-30=300 8x=300+180 x=480÷8 x=60 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为60平方米。 【思路分析】设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2，则每名师傅每天粉刷墙壁，每名徒弟每天粉刷墙壁。根据每名师傅比每名徒弟一天多粉刷20平方米列出方程，解方程求出x的值即可。 6．【答案】解： 原计划的甲工作效率：乙工作效率=1：3； 实际的甲工作效率：乙工作效率=1：[3×(1-50%)]=1：1.5； 甲工作效率：(3-1.5)÷2× =1.5÷2× =0.3(份) (1+3)÷0.3 =4÷0.3 =(小时) 答：如果这批零件全部由甲单独加工，需要小时完成。 【思路分析】由题意可知，将甲的工作量看作1份，则乙的工作量为这样的3份，总任务为这样的4份；根据工作效率之比等于工作总量之比可得，原计划的甲工作效率：乙工作效率=1：3；而实际的甲工作效率：乙工作效率=1：[3×(1-50%)]=1：1.5；因此，当甲完成1份的工作量时，乙还剩3-1.5=1.5(份)没有完成，剩下的1.5份是由两人合作完成，因此，用剩下的工作量除以合作时间得到两人的工作效率之和，再乘求出甲每小时完成多少份，最后用总任务除以甲的工作效率即可求出甲单独完成任务需要的时间。 7．【答案】解：（小时）， （小时）； （小时） （小时） 答：甲、乙二人同时开工合作需6 小时完成 【思路分析】 先计算出甲先做a小时，甲、乙二人再合作完成时甲用的时间，再求出乙先做a小时，甲、乙二人再合作完成时甲用的时间；甲先做a小时，则合作一共用8-a小时，即乙用了 8-a小时，甲做了这项工程的 ，则乙做了1-；乙先做a小时，合作4小时，则乙一共用了4+a小时，由于乙效率不变，工作总量÷工作时间就不变，据此列出等式求出a的值，再求出乙单独做完的时间，则甲的效率+乙的效率=，再根据公式求出合作时间即可。 8．【答案】解：由于4个队一起开工， 所以共需用的理论天数为 ，所以甲、乙、丙三队是在第19天内完工的，由于x、y都是整数。所以： ①丁帮甲工作的天数x不多于： (天)，而甲在第 19 天还开工，从而丁帮甲工作的天数不超过 10 天。 若 ，甲的工作时间为 ， 显然不可能， 所以 ， ②丁帮乙工作的天数 不多于： (天)， 而乙在第 19 天也还开工，所以丁帮乙工作的天数不超过 7 天。 若 时， 乙的工作时间为 ， 显然不可能， 所以 。 ③丁帮丙工作的天数为 (天)。 答： ， 丁队帮丙队工作的天数为 天。 【思路分析】通过计算四个工程队的工作效率来得到他们完成一个工程需要的天数，然后将甲、乙、丙的工作量相加，这样我们就可以得到丁队在帮甲队和乙队工作时，甲、乙、丙队各自完成的工程量，从而得到x和y的值。然后，我们可以计算出丁队在帮丙队工作的天数。注意：区别同一天完成和同时完成不一样。 9．【答案】解：甲、乙合作 28 天， 完成任务的 ， 甲的工作效率为： ， 乙的工作效率为： 乙还需要做： (天)。 答：乙还需要做 56 天。 【思路分析】先求出甲、乙合作 28 天， 完成任务的 几分之几 ，再分别据此求出各自的工作效率，从而能求出剩余任务乙单独做需要的天数。 10．【答案】解：甲、乙工作效来和： ； 遇到地下水前施工的天数： (天)； 遇到地下水后施工的天数： (天)； 遇到地下水后两人合作的工作效率： ； (方)； 答：整个工程要挖1100方土。 【思路分析】本题是典型的工程问题， 首先，我们需要找出甲乙两队合作的工作效率，然后计算出工程完成所用的时间，接着计算出遇到地下水后所用的时间和工作效率，最后通过前后工作效率的差值和每天少挖的土方数，求出整个工程要挖的土方数。 11．【答案】（1）总量一定： ） （2）甲、乙每天工资和： (元)， 甲每天工资： 乙每天工资： 甲独做工资： 乙独做工资： 45600元<52800元，甲施工费较少。 12．【答案】解：1600×75%÷12 =1200÷12 =100(米) 1600×(1-75%)÷(100×2)+12 =1600×25%÷200+12 =400÷200+12 =2+12 =14(天) 答：修完这条公路甲工程队共花了14天。 【思路分析】由题意可知，把全长看作单位“1”，先用全长乘75%计算出已经修好的长度，再除以修的天数求出原来的工作效率；采用新技术后，每天的工作效率为原来的2倍，再用剩下的长度除以现在的工作效率求出完成剩下工作量需要的天数，最后再加上已经修的天数即可得到一共用的时间。 13．【答案】解：设仓库A和B的货物都为“1” （小时） 丙帮甲搬运：（小时） 丙帮乙搬运时间为：8-3=5（小时） 答：丙帮甲3 小时，帮乙5小时。 【思路分析】首先，计算出甲、乙、丙三人合作完成两个仓库货物搬运所需的时间，再计算所需时间内甲完成的工作量，剩下的工作量就是丙的，再除以丙的工作效率，即可求出丙帮甲的时间，因三人自始至终都在工作，所以丙帮乙的时间即是三人合作所需的时间减去帮甲的时间。 14．【答案】解：1小时 分钟 设乙原来铺设速度为 ， 可得： 设乙换工具后又铺设了 分钟， 由此可得： 答： 换工具后， 乙又工作了 30 分钟 【思路分析】首先，我们需要确定甲和乙两人各自铺设草坪的总时间。甲工作了整整1小时，而乙因为去调换工具，实际工作时间少于1小时。 然后，我们需要根据题目条件，即两人铺设的草坪距离一样长，我们可以根据甲和乙的工作时间和速度，计算出他们各自铺设的草坪面积，并设立等式。 最后，我们可以通过解这个等式，求出乙换工具后又工作了多少分钟。 15．【答案】解：甲雨天效率：×30%=； 乙雨天效率：×80%=； 设下雨的天数是x天。 (1-x)÷=(1-x)÷ 10-x=16-x x-x=16-10 x=6 x=12 答：下雨的天数是12天。 【思路分析】把工作总量看作单位“1”，由题意可知，甲、乙晴天的工作效率分别为、，那么甲、乙雨天的工作效率分别为×30%=、×80%=；可以设下雨的天数是x天，则甲雨天完成了工作总量的x，晴天完成了工作总量的1-x，所以晴天的天数是(1-x)÷，同理，根据乙的工作效率用含x的式子表示晴天的天数，根据晴天天数相等，列方程解答。 16．【答案】解：1÷（+） =1÷ =7（组） [1-（+）×7]÷ =[1-]÷ =÷ =（小时） 7×2+ =14+ =14（小时） 答：完成任务共需要小时。 【思路分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间=工作效率，所以甲的工作效率=1÷12=，乙的工作效率=1÷18=； 甲、乙是按照甲工作1小时后乙接替工作1小时的顺序重复进行的，即是以甲、乙两小时的工作量为一组重复进行的，所以，工作总量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）=甲、乙重复工作了几组两小时完成全部任务，若结果不是整数，则说明还有不够1小时的工作量； （甲的工作效率+乙的工作效率）×整数组数=完成这几组后一共完成了的任务，总的工作总量－（甲的工作效率+乙的工作效率）×整数组数=剩下不够1小时的工作总量，这时剩下的工作量是由甲来完成的，所以，[总的工作总量－（甲的工作效率+乙的工作效率）×整数组数]÷甲的工作效率=剩下的工作需要的工作时间，每组需要的2小时×整数组数+剩下的工作需要的工作时间=完成任务需要的总工作时间，据此可以解答。 17．【答案】解：甲的工作效率：， 乙的工作效率：， 乙还要做：（天）。 答：乙还需要做56天。 【思路分析】“ 甲独做63天，再由乙单独做28天即可完”相当于两队合做28天，甲又独做（63-28）天。用工作质量减去两队合做28天完成的工作量即可求出甲独做35天的工作量，这样用这个工作量除以35即可求出甲的工作效率，进而求出乙的工作效率。然后用1减去甲独做42天完成的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求出乙还需要做的天数。 18．【答案】解：756÷[(19+17)×3] =756÷[36×3] =756÷108 =7(天) 答：7天可以完成。 【思路分析】本题属于应用题中的工程问题。从已知条件可以看出， 甲车间有19人，乙车间有17人，两个车间同时生产，平均每人每天生产3件，可以计算得出每天的产量(19+17)×3=108（件）。这时，题目就可以变化为生产756件羊毛衫，每天生产108件，几天可以完成？列式756÷108=7（天）。 19．【答案】还需要 6 天 20．【答案】解：B队修12-3=9天相当于A队修7-4=3（天）， 则B队修3天相当于A队修1天， A单独修完的天数：7+1=8（天）， B队单独修完的天数：8×3=24（天）， 合修完成的天数： 1÷（+） =1÷ =6（天） 答：6天可以完成。 【思路分析】根据两次修的情况可知，B队多修9天，则A队多修3天，所以B队修9天相当于A队修3天，也就是B队修1天相当于A队修1天。这样根据第一种情况判断出A队单独修完需要8天，B队单独修完需要24天。然后用工作总量除以两队的工作效率和即可求出合修完成需要的天数。 21．【答案】解：6×（） =6× = （1-）÷ =÷ =（天） 答：至少还要天可以完成任务。 【思路分析】完成任务至少还要的天数=（1-6天完成的工作总量）÷工作效率高的乙队的工作效率；其中，6天完成的工作总量=6×（甲的工作效率＋乙的工作效率）。 22．【答案】解：3时=180分钟 160÷2=80（个） 设乙车间加工1个零件要x分钟，那么甲加工1个零件要3x分钟。 80×3x-80x=180-20 160x=160 x=1 1×3=3（分钟） 答：甲车间车间加工1个零件需要3分钟；乙车间加工1个零件需要1分钟。 【思路分析】3时=180分钟，设乙车间加工1个零件要x分钟，那么甲加工1个零件要3x分钟；因为乙车间比甲车间晚3小时开工，所以比甲车间迟20分钟完成任务，也就是说甲车间比乙车间多180-20分钟；根据甲车间需要时间-乙车间需要时间=160分钟列方程解答。 23．【答案】丙队，1770元。 24．【答案】解：设注满池中 水需要x分钟。 x =× = +=4（分钟） 答：前后一共要花4分钟。 【思路分析】根据已知把一池水看作单位“1”，甲管的注水速度=水池水量÷注满水池需要的时间=1÷5=，乙管的注水速度=水池水量÷注满水池需要的时间=1÷10=，排水速度=水池水量÷排空水池需要的时间=1÷6=； （甲管注水速度－排水管排水速度）×同时注排水时间=未关排水管时注入的水量，（甲管的注水速度+乙管的注水速度）×注水时间=关上排水管后注入的水量，同时注排水时间=注水时间，同时注排水时间+注水时间=注水需要的时间，即同时注排水时间=注水时间=注水需要的时间×，因此，（甲管注水速度－排水管排水速度）×注水需要的时间×+（甲管的注水速度+乙管的注水速度）×注水需要的时间×=，据此关系式设注满池中 水需要x分钟，即可求出注满水需要的时间； 1－=剩下还要注入的水量，（1－）÷（甲管的注水速度+乙管的注水速度）=注满剩下的水池还需要的时间，最后将前后两次的时间相加即可解答。 25．【答案】解：设甲管每分钟注水x吨，丙管每分注水y吨 30+×y=40+×y 化简得：y=3x 40+30×3=130（吨） 答：该水箱注满时可容纳130吨水。 【思路分析】本题考查工程问题中的进水问题，明确乙管和丙管每分钟注水量的关系是解题关键。 根据题意设甲管每分钟注水x吨，丙管每分钟注水y吨，则根据乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，可知乙管每分钟注水1.5x吨，当甲管注入30吨水时，需要的时间为小时，此时丙管注水的量为吨，则水箱的注水量为；当乙管注入40吨水时，需要的时间为小时，此时丙管注水的量为吨，此时水箱的注水量为：吨，根据水箱内水的重量不变可列出关于x，y的方程：，解得：y=3x；也就是说丙管每分钟的注水量是甲管的3倍，即当乙管注入40吨水，水箱满时，丙管注入30×3=90吨，此时水箱可容纳90+40=130吨水，即可得出答案。 26．【答案】解：2÷（1÷-1） =2÷（-1） =2÷ =14（台） 1÷[（14-2）÷14]-1 =1÷-1 =-1 = ÷=4（小时） 14×4=56（小时） 答：需要56小时。 【思路分析】分析已知可知每台机器的工作效率是相同的，原来的机器数量=增加的机器数量÷效率的提高程度；完成工程所需的时间=增加的时间÷效率的降低程度；一台机器完成工程所需的时间=机器数量×完成工程所需的时间。 27．【答案】解：在雨天甲队完成A工程的工作效率： 乙队完成B工程的工作效率： 不是雨天时甲队比乙队高的工作效率： 雨天时乙队比甲队高的工作效率： 甲队和乙队在不是雨天和雨天时的工作效率比： 按照9个不是雨天，10个雨天可得甲完成的工作量是： 答： 那么在施工期间共有10个雨天。 【思路分析】因为要两队同时完成这项工作，为了平衡工作的进度，实际工作时不是雨天和雨天的比应达到9：10才可，按照9：10的时间比，并根据工作总量=工作时间x工作效率，依次代入甲完成的工作情况中即可解答。 28．【答案】解：（＋）×（1＋20%） =× = ÷=（天） （1-）÷（10-） =÷ = 47.25÷（-） =47.25÷ =1100（立方米） 答：整个工程要挖1100立方米的土。 【思路分析】整个工程要挖土的体积=平均每天少挖的体积÷（两队的工效效率和-遇到了地下水 后两队的工效效率和）；其中，两队的工效效率和=（甲单独的工作效率＋乙单独的工作效率）×（1＋提高的百分率）。 29．【答案】解：1÷(-) =1÷ =15(天) 15×240=3600(米) 答：这段路长3600米。 【思路分析】这段路的长度=二队平均每天可修的长度×修的天数；其中，二队修的天数=工作总量÷（两队合作的工作效率的和-第一队的工作效率）。 30．【答案】解：甲车单独运完这批货物需要8次，每次运这批货物的， 乙车单独运完这批货物需要6次。每次运这批货物的， 1-(+)×3 =1- = 6÷=48(吨) 答：这批货物一共有48吨。 【思路分析】两车一块运1次运的分率×3=两车一块运3次运的分率，单位1-两车一块运3次运的分率=剩下的分率，剩下的吨数÷剩下的分率=这批货物的总吨数。 31．【答案】解：1-= -×13 =- = ÷8= 1÷=20（天） 答：甲单独完成这件工作需要20天。 【思路分析】乙单独做这件工作需要30天，则乙单独完成每天的，13天完成×13；甲乙共同完成的工作量=1-=，而甲共干了8天，其工作量=-×13，工作时间=工作总量÷工效。 32．【答案】解：1÷() =1÷ =15(小时) 答：要15小时运完。 【思路分析】运完需要的时间=单位“1”÷（用大、小卡车同时运的分率-用大卡车单独运的分率）。 33．【答案】解：设修完这条路需要x天，则甲修了（x-2）天，乙修了x天。 ×（x-2）＋x=1 x=1＋ x=÷ x=7.2 答：最后完工时一共用了7.2天。 【思路分析】依据等量关系式：甲的工作效率×工作时间＋乙的工作效率×工作时间＋乙=工作总量，列方程，解方程。 34．【答案】解： ＝ ＝ ＝ ＝ （天） 答：10天可以完成。 【思路分析】三队同时开工修这条路完成需要的天数=工作总量÷工作效率的和；其中，工作效率的和=[1-（甲的工作效率＋乙的工作效率）×甲、乙的工作时间]÷从丙队参加一起修后全部完成需要的天数。 35．【答案】解：（）×8 = = 1-= ÷=10（天） 答：还需要10天完成。 【思路分析】乙队单独修还需要的天数=（1-甲、乙工作效率的和×合修的时间）÷乙的工作效率。 36．【答案】解：三人搬完仓库用时： =2÷ =8（小时） 甲完成了一个仓库的： 则丙运了这个仓库的：，且用时（小时） 丙帮助乙的工作用时：8-3=5（小时） 5-3=2（小时） 答：丙帮助甲比帮助乙少2小时。 【思路分析】把仓库货物总量看作单位“1”，则甲的工作效率为，同理乙的工作效率为，丙的工作效率为；要合作搬运两个同样的仓库，则工作总量就是2，工作总量÷(甲的工作效率+乙的工作效率+丙的工作效率)=三人一起搬运完两个仓库一共用的时间；这时，甲搬运的工作总量=甲的工作效率×三人一起搬运完两个仓库一共用的时间，甲只搬运一个仓库所以工作总量是1，1-甲搬运的工作总量=丙帮甲搬运的工作总量，丙帮甲搬运的工作总量+丙的工作效率=丙帮甲搬运的工作时间，三人一起搬运完两个仓库一共用的时间-丙帮甲搬运的工作时间=丙帮乙搬运的工作时间，据此解答。 37．【答案】解：甲乙的工效和： 两人合作做8小时后，还剩下的工作量： 甲单独完成剩余工作的时间： 甲乙两人共用的时间： 答：打完这部书稿时，甲、乙二人共用了 【思路分析】计算甲乙两人的工效：甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成，所以甲每小时完成，乙每小时完成，两人的工效和为： 计算两人合作做8小时后，还剩下的工作量：两人合作做8小时后，两人合作的话还要小时，即还有全部工作量的 计算甲单独完成剩余工作的时间：此时轮着甲单独来做， 计算甲乙两人共用的时间：所以那么轮流打完这部书稿时，甲乙两人共需 38．【答案】解：1-(+-)×2 =1-×2 =1- =； ÷(-) =÷ =4(组) -(-)×(4-1) =-×3 = 3×2+÷ =6+ =6(分钟) 答：再过6分钟后水开始溢出水池。 【思路分析】把工作总量看作单位“1”，则甲、乙、丙三管的工作效率分别为、、；由于丙管是放水管，所以三管同时打开的工作效率为+-，再乘2得到2分钟的进水量，先用工作总量减去2分钟的进水量得到剩下的工作量。由于剩下的工作量是按“甲、丙、甲、丙。”的顺序轮流各开一分钟，因此，可以把2分钟的工作量看作一个循环，用工作总量除以甲丙的工作效率之差求出循环的次数，甲在前，所以最后一个循环时，丙还没打开，水就会溢出，所以用剩下的工作量减去前(循环次数-1)的工作量求出最后剩下的工作量，再用最后剩下的工作量除以甲的工作效率求出甲管完成所用的时间，最后用循环次数乘2再加上完成剩下工作量所用时间即可解答。 39．【答案】解：设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修(x+50)米。 (x+50)×(10+5)+10x=6000 5x+750+10x=6000 25x=5250 x=210 210+50=260(米) 答：甲乙两个工程队每天各修210米、260米。 【思路分析】可以设甲工程队每天修x米，则乙工程队每天修(x+50)米，由题意可知，乙修了(10+5)天，甲修了10天，根据乙工程队修的长度+甲工程队修的长度=公路总长，列方程解答。 40．【答案】解：设1个出水管每天的出水量位1份； 1×30=30(份) 2×10=20(份) 进水管每天的进水量： (30-20)÷(30-10) =10÷20 =0.5(份) 原来的水：30-30×0.5 =30-15 =15(份) 15÷(3-0.5) =15÷2.5 =6(天) 答：水库中的水可使用6天。 【思路分析】设1个出水管每天的出水量位1份；那么一个出水管30天的出水量为1×30=30(份)；两个出水管同时打开，10天的出水量为2×10=20(份)；相差了30-20=10(份)，这两个相差的就是进水管30-10=20(天)的进水量，因此，再用10除以20即可求出进水管每天的进水量是0.5份；原来一个出水管30天出水30份，进水管30天进水量是30×0.5=15(份)；用30天的出水量减去30天的进水量求出原来水库中的水有多少份；最后用原来水库中水的分数除以每天出水管与进水管相差的份数即可解答。 41．【答案】解：(1-×10-×30)÷(+) =(1--)÷ =×24 =6(天) 10+30+6=46(天) 答：这样完成这批零件一共用了46天。 【思路分析】把工作总量看作单位“1”，由题意可知，张师傅的工作效率为，李师傅的工作效率为，根据两人单独工作天数求出两人单独完成的工作量，再用工作总量减去两人单独完成的工作量求出剩下的工作量，由于剩下的工作量由两人合作完成，因此，用剩下的工作量除以两人的工作效率之和求出两人合作的天数，再加上两人单独工作的天数即可求出完成这批零件一共用的天数。 42．【答案】解：1﹣（+）×5 ＝1﹣ ×5 ＝ 1- = ÷＝3（天） 答：还需要3天。 【思路分析】把这项工程看作单位“1”，用分数分别表示出两队的工作效率。用两队的工作效率和乘5求出合作5天完成的工作量。用1减去合作5天完成的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以乙队的工作效率即可求出乙队还需要的天数。 43．【答案】解：÷6÷35 =÷35 = （1-）÷[（6+6）×] =÷[12×] =÷ =35（天） 90-35-35=20（天） 答：这项工程提前20天完成任务。 【思路分析】这项工程提前完成任务的天数=（1-开始6人完成的工作总量）÷[（原来的人数＋随后又增加的人数）×平均每人每天的工作效率]；其中，平均每人每天的工作效率=开始6人完成的工作总量÷人数÷工作的天数。 44．【答案】解：5＋ =5＋[1-]÷ =5＋÷ =5＋ ＝(天) 答：张老师一共整理了天。 【思路分析】张老师一共整理的天数=两位老师一起整理的天数＋（1-两位老师工作效率的和×共整理的天数） ÷张老师的工作效率。 45．【答案】解：1÷（+） =1÷ =（天） 答：天可以完成。 【思路分析】完成需要的天数=工作总量÷工作效率的和。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$