第一章 勾股定理单元测试 （原卷版+解析版）2024-2025学年 北师大版数学 八年级上册

北师大版八年级上册数学同步练习卷 第1章 单元测试 一、单选题 1．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两圆孔中心B和C的距离为（    ）． A．120 B．135 C． D．150 【答案】D 【详解】解：由图可知：∠CAB=90°，() () 在Rt△ABC中，由勾股定理：() 2．下列各组数中，不是勾股数的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】A.，故此选项符合题意； B.，故此选项符合题意； C.，故此选项符合题意； D.，故此选项错误； 3．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（    ）    A．6 B．4 C．64 D．8 【答案】B 【详解】解：面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为， 由勾股定理得，正方形的边长， ∴正方形的面积为， 4．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,则正方形ABDE的面积为（　　　　） A．10 B．25 C．28 D．100 【答案】D 【详解】如图，∵∠C=90°， ∴AB2=BC2+AC2=100， 即S正方形ABDE=100． 故选D. 考点: 勾股定理. 5．在直角三角形中，若两条直角边的长分别是1cm、2cm，则斜边的长为（　　）cm． A．3 B． C．2或 D．或 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得，斜边长＝＝， 6．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．㎝ B．5cm C．㎝ D．7cm 【答案】B 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为6cm， ∴AC′=3cm， ∵PC′=BC′， ∴PC′=×6=4cm， 在Rt△ACP中， AP2=AC′2+CP2， ∴AP==5． 7．一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：①只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成个长方形，如图：    长方体的宽为，高为点离点的距离是， ，， 在直角三角形中,根据勾股定理得： ； ②只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图：    长方体的宽为，高为点离点的距离是， ，， 在直角三角形中,根据勾股定理得： ； ③只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图：    长方体的宽为，高为点离点的距离是， ， 在直角三角形中,根据勾股定理得: ， ． 蚂蚁爬行的最短距离是． 8．如图，在中，、分别是、的中点．已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°， ∵、分别是、的中点， ∴AC=2EC=2x，BC=2DC=2y， ∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16 在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49， ∴，即， 在直角△ABC中，． 9．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（    ）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】C 15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求． 【详解】解：如图， 将容器侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离， 根据题意：，， ． 所以底面圆的周长为9×2=18cm. 10．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=5， 由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6， ∴BD=DE， 作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G， ∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC， ∴∠DEB= 90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC， ∵DE=DE， ∴△DHE≌△EGD， ∴DH=EG，EH=DG， 设DG=x，则CG=5-x， ∵=， ∴， ∴， ∴， ∴BE=2EH=， 二、填空题 11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长度为 ． 【答案】 【详解】如图所示，作出直角三角形ABC，小方格的边长为1， ∴由勾股定理得． 12．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为 ． 【答案】3 【详解】∵四边形是矩形， ∴，． 根据折叠的性质得，，． 设，则，， 在中，， 即， 解得， 所以． 13．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．若，，则 ． 【答案】 【详解】证明：连接，如图所示： 与都是等腰直角三角形， ，， ，，， ．， 在和中， ， ． ，． ， ， 即． ， ， ，， ， ． 14．如图，矩形中，，，动点从点出发沿运动，速度是/秒；点从点出发沿运动，速度是/秒，设它们的运动时间为秒． （1）当时，连接， ； （2）若、两点第一次相遇时， 秒；第次相遇时， 秒． 【答案】 10 【详解】解：（1）当时，，， ∴， （2）根据题意得， 当P、Q两点第一次相遇时，（秒）， 从第一次相遇到第二次相遇需要的时间为：（秒）， ∴当P、Q两点第二次相遇时，（秒）， 从第二次相遇到第三次相遇需要的时间为：（秒）， ∴当P、Q两点第三次相遇时，（秒）， 从第三次相遇到第四次相遇需要的时间为：（秒）， ∴当P、Q两点第四次相遇时，（秒）， 以此类推， ∴第n次相遇时，秒． 15．在中，，，的面积为，则长为 ． 【答案】5或． 【详解】解：①当△ABC是锐角三角形时，作CD⊥AB于点D，如图1， ∵△ABC的面积为10， ∴ ∵AB=5 ∴CD=4 在Rt△ACD中，，即： ∴AD=2 又AB=AD+BD=5 ∴BD=3 在Rt△CBD中，，即： ∴BC=5； ②当△ABC是钝角三角形时，作CD⊥AB交BA的延长线于点D，如图2， ∵△ABC的面积为10， ∴ ∵AB=5 ∴CD=4 在Rt△ACD中，，即： ∴AD=2 ∴BD=AB+AD=5+2=7 在Rt△BCD中，，即： ∴BC=； 所以，BC的长为：5或． 16．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，则正方形B的面积为） ． 【答案】10 【详解】解：如图， 由题意：， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、20， ∴， ∴． 17．已知为实数，则代数式的最小值为 ． 【答案】 【详解】∵ 设点A（-3，11），B（4，13）， 作点B关于x轴的对称点D（4，﹣13），连接AD交x轴于点P， 则AD＝BP＋AP即为所求最小值，即≥＝＝25 ∴代数式最小值为25 三、解答题 18．如图在四边形中，，，，且，求的度数． 【答案】． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， 又， ， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 19．求出下列直角三角形中未知边的长度． 【答案】， 【详解】解：； ． 20．小土家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高为9m，请你帮小土计算这块菜地的面积. 【答案】或 【详解】解：①如图，当高在三角形内部时，根据勾股定理可得BD=40m，CD=12m，所以BC=52m，所以三角形菜地面积为=. ②如图，当高在三角形外部时，根据勾股定理可得BE=40m，CE=12m，所以BC=28m，则三角形菜地面积为=. 21．小丽家在装修，虽然房间比较小，但是小丽总想睡1.8米宽的大床，那样抱着她的大娃娃睡多好啊，妈妈说：“你已经八年级了，自己设计一下，怎样可以把1.8米宽的床放好，并且还比较美观？”下面是小丽的第一次设计图：1.8米宽的床一般长2.2米，床头柜一般需要50cm，门宽80cm，只能往房里开． 妈妈看了设计图以后，怀疑地说：“像你这样设计，门好像打不开啊．”请通过计算说明，此时门能否完全打开？ 小丽考虑将家具整体平移一下，她又设计了第二种方案，这时妈妈看了一会，问小丽：“你确定门能完全打开？”，小丽得意地笑了，请通过计算说明为什么这次可以了. 【答案】门无法完全打开；门可以完全打开. 【详解】经看图分析发现，门轴只能在左侧，于是第一种方案中，在中，由勾股定理可得， ＝，门无法完全打开； 第二种方案中，在Rt△BAC中，由勾股定理可得 ＝ ，门可以完全打开. 22．已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算高的长． 【答案】 【详解】解：作于点D，则和是直角三角形，． 设，则． 在中， 在中， ∴ 解得 答：高l的长为． 23．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米．求风筝的垂直高度． 【答案】米 【详解】解：根据题意，，米，米， ∴（米）， ∴（米）． 24．如图，将放在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，点，点均落在格点上. （1）计算的值等于______. （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为一边的矩形，使该矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明）. 【答案】（1）11；（2）详见解析 【详解】解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11； （2）如图，分别以，，为一边作正方形，正方形，正方形．延长交于点，连接，平移至，位置，直线分别交，于点，点，则四边形即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级上册数学同步练习卷 第1章 单元测试 一、单选题 1．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两圆孔中心B和C的距离为（    ）． A．120 B．135 C． D．150 2．下列各组数中，不是勾股数的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（    ）    A．6 B．4 C．64 D．8 4．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,则正方形ABDE的面积为（　　　　） A．10 B．25 C．28 D．100 5．在直角三角形中，若两条直角边的长分别是1cm、2cm，则斜边的长为（　　）cm． A．3 B． C．2或 D．或 6．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．㎝ B．5cm C．㎝ D．7cm 7．一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（  ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，、分别是、的中点．已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（    ）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 10．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 二、填空题 11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长度为 ． 12．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为 ． 13．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．若，，则 ． 14．如图，矩形中，，，动点从点出发沿运动，速度是/秒；点从点出发沿运动，速度是/秒，设它们的运动时间为秒． （1）当时，连接， ； （2）若、两点第一次相遇时， 秒；第次相遇时， 秒． 15．在中，，，的面积为，则长为 ． 16．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，则正方形B的面积为） ． 17．已知为实数，则代数式的最小值为 ． 三、解答题 18．如图在四边形中，，，，且，求的度数． 19．求出下列直角三角形中未知边的长度． 20．小土家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高为9m，请你帮小土计算这块菜地的面积. 21．小丽家在装修，虽然房间比较小，但是小丽总想睡1.8米宽的大床，那样抱着她的大娃娃睡多好啊，妈妈说：“你已经八年级了，自己设计一下，怎样可以把1.8米宽的床放好，并且还比较美观？”下面是小丽的第一次设计图：1.8米宽的床一般长2.2米，床头柜一般需要50cm，门宽80cm，只能往房里开． 妈妈看了设计图以后，怀疑地说：“像你这样设计，门好像打不开啊．”请通过计算说明，此时门能否完全打开？ 小丽考虑将家具整体平移一下，她又设计了第二种方案，这时妈妈看了一会，问小丽：“你确定门能完全打开？”，小丽得意地笑了，请通过计算说明为什么这次可以了. 22．已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算高的长． 23．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米．求风筝的垂直高度． 24．如图，将放在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，点，点均落在格点上. （1）计算的值等于______. （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为一边的矩形，使该矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明）. 学科网（北京）股份有限公司 $$