1.1 菱形的性质与判定 同步练习卷2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册数学同步练习卷 1.1 菱形的性质与判定 一、单选题 1.如图,用四张同样大小的正方形纸片围出一个菱形.一个小孩顺次在这四张纸片上轮流走动,每一步都踩在一张纸片的中心,则这个小孩走的路线所围成的图形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.如图,四边形ABCD是菱形,,,则( ) A.4 B.5 C.6 D.8 3.菱形ABCD中,AB=2,∠A=120 ,点P、Q、K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为( ) A.1 B.3 C. D. +1 4.如图,在 ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,DE=DF.在下列条件中,使四边形BECF是菱形的是( ) A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB=AC D.BF∥CE 5.下列说法中错误的是( ) A.四边相等的四边形是菱形 B.菱形的对角线长度等于边长 C.一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 6.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AC=6,BD=8,将 AOB沿射线AD的方向平移,平移的距离为线段AD的长,平移后得 DEC,则四边形ACED的周长为( ) A.15 B.18 C.20 D.25 7.如图,点P是菱形对角线上一点,于点E,且.连接,若菱形的周长为24.则的面积为() A.4 B.6 C.8 D.12 8.已知菱形的两条对角线长分别为10和24,则该菱形的周长是( ) A.108 B.52 C.48 D.20 二、填空题 9.如图,在边长为的菱形中,,是边的中点,是对角线上的动点,连接,,则的最小值 . 10.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60 ,AB=1,E为BC的中点,则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为 . 11.如图,在菱形中,连接,若,则 . 12.如图,在菱形中,,则 . 13.三个形状、大小相同的菱形按如图的方式摆放,已知 ABC为正三角形,若菱形的两条对角线长分别为3cm和cm,则 ABC的面积为 . 14.如图,在中E,F分别是AB,CD的中点,AF,DE交于点G,BF,CE交于点H.当满足 时,四边形EHFG是菱形. 三、解答题 15.完成下面各小题 (1)计算: (2)已知,求x2y+xy2的值. (3)如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点. ①求证:四边形EFGH是平行四边形; ②当AD=BC时, EFGH是 ; ③当AD⊥BC时, EFGH是 . 16.(1)计算:; (2)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,AD上,且,求证:. 17.(1)计算:. (2)如图,在中,,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF.求证:四边形DFCE是菱形. 18.如图,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=45 . (1)试建立适当的平面直角坐标系表示该菱形并写出其各顶点的坐标. (2)若要计算该菱形的面积,你有什么办法? 19.邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第二次操作,…依此类推,若第次余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为阶准菱形,如图,中,若,,则为1阶准菱形:中,若,,则为3阶准菱形. (1)判断与推理: 邻边长分别为2和3的平行四边形是_阶准菱形; (2)操作、探究、计算: ①已知的边长分别为1,且是3阶准菱形,请画出及裁剪线的示意图,并在下方写出的值. ②已知的邻边长分别为,,满足,,请写出是_阶准菱形. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 北师大版九年级上册数学同步练习卷 1.1 菱形的性质与判定 一、单选题 1．如图，用四张同样大小的正方形纸片围出一个菱形．一个小孩顺次在这四张纸片上轮流走动，每一步都踩在一张纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【详解】解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形， 2．如图，四边形ABCD是菱形，，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：设菱形对角线交于，如图所示：    ，， 在中，， ，， ． 3．菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（　　） A．1 B．3 C． D． +1 【答案】B 【详解】解： 如图：过点C作CE⊥AB ∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120° ∴∠ABC＝60°，BC＝2，BD平分∠ABD ∴BE＝，CE＝BE＝3 ∵BD平分∠ABD ∴在AB上作点P关于BD的对称点P' ∴PK+QK＝P'K+KQ ∴当P'，K，Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK+QK有最小值， 即最小值为平行线AB，CD的距离，则最小值为3 4．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（　　） A．EB⊥EC B．AB⊥AC C．AB＝AC D．BF∥CE 【答案】C 【详解】解：∵BD＝DC，DE＝DF， ∴四边形BECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直， 只有AB＝AC时， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴此时四边形BECF是菱形， 5．下列说法中错误的是(    ) A．四边相等的四边形是菱形 B．菱形的对角线长度等于边长 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：∵四边相等的四边形是菱形 ∴A选项正确 ∵菱形的对角线长度不一定等于边长， ∴B选项错误 ∵一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∴C选项正确 ∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ∴选项D正确 6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=6，BD=8，将△AOB沿射线AD的方向平移，平移的距离为线段AD的长，平移后得△DEC，则四边形ACED的周长为（   ） A．15 B．18 C．20 D．25 【答案】B 【详解】试题分析：根据菱形的性质可得：AD=5，AC=6，DE=3，CE=4，则四边形ACED的周长为：6+4+3+5=18． 考点：菱形的性质． 7．如图，点P是菱形对角线上一点，于点E，且．连接，若菱形的周长为24．则的面积为（） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】解：过点作， ∵四边形为菱形，周长为24， ∴，平分， ∴， ∴， 8．已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的周长是（　　） A．108 B．52 C．48 D．20 【答案】B 【详解】如图,BD＝10,AC＝24， ∵四边形ABCD是菱形, ∴OA＝AC＝12,OB＝BD＝5,AC⊥BD, ∴AB＝＝13, ∴菱形的周长＝4×13＝52, 二、填空题 9．如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是对角线上的动点，连接，，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：连接AE． ∵四边形ABCD为菱形， ∴点C、A关于BD对称， ∴PC=AP， ∴PC+EP=AP+PE， ∴当P在AE与BD的交点时， AP+PE最小， ∵E是BC边的中点， ∴BE=1， ∵AB=2，B=60°， ∴AE⊥BC， 此时AE最小，为， 最小值为. 10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接AC、AE，AE交BD于P，连接CP，则此时PE+PC最小， ∵四边形ABCD为菱形， ∴A、C关于BD对称，AB=BC=1， ∴连AE交BD于P， 则PE+PC=PE+AP=AE， 根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值． ∵∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABE=∠BAC=60°， 又∵BE=CE=BC=， ∴AE⊥BC， ∴AE=． 11．如图，在菱形中，连接，若，则 ．    【答案】/35度 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 12．如图，在菱形中，，则 ．    【答案】/40度 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴； 13．三个形状、大小相同的菱形按如图的方式摆放，已知△ABC为正三角形，若菱形的两条对角线长分别为3cm和cm，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【详解】∵为正三角形，∴， ∵菱形的两条对角线长分别为3cm和cm，∴菱形的边长为3cm， ∴AB=BC=AC=3×3=9(cm)， ∴三角形的高(cm)， ∴， 14．如图，在中E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE交于点G，BF，CE交于点H．当满足 时，四边形EHFG是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】当平行四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形． ∵四边形ABCD是矩形，，． ∵E是AB中点，F是CD中点，， ∴四边形AECF是平行四边形，，同理， ∴四边形EHFG是平行四边形． 在与中，， ，，， ，，∴平行四边形EHFG是菱形． 三、解答题 15．完成下面各小题 (1)计算： (2)已知，求x2y+xy2的值． (3)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点． ①求证：四边形EFGH是平行四边形； ②当AD=BC时，▱EFGH是 ； ③当AD⊥BC时，▱EFGH是 ． 【答案】(1)(2)(3)①见解析；②菱形；③矩形 【详解】（1）解： =4+； （2）解：∵， ∴， ， ∴x2y+xy2 =xy（x+y） =1×2 =2； （3）①证明：∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD， ∴GH∥EF，GH=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形； ②解：∵E、H分别是AB、AC的中点， ∴EH=BC， ∵AD=BC， ∴EH=EF， ∴▱EFGH是菱形， 故答案为：菱形； ③解：∵AD⊥BC， ∴∠DAB+∠CBA=90°， ∵EF∥AD， ∴∠BEF=∠DAB， 同理可得：∠AEH=∠CBA， ∴∠BEF+∠AEH=90°， ∴∠HEF=90°， ∴▱EFGH是矩形， 16．（1）计算：； （2）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，且，求证：． 【答案】（1） ；（2）答案见解析 【详解】（1）解：原式＝； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D， ∵AE＝AF， ∴BE＝DF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴EC＝FC． 17．（1）计算：． （2）如图，在中，，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形． 【答案】（1）；（2）见解析 （2）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论； 【详解】解：（1）原式= =； （2）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴DE∥CF，， DF∥CE，， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵AC=BC， ∴DE=DF， ∴四边形DFCE是菱形. 18．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=45°． （1）试建立适当的平面直角坐标系表示该菱形并写出其各顶点的坐标． （2）若要计算该菱形的面积，你有什么办法？ 【答案】（1）平面直角坐标系见解析，，，，；（2）． 【详解】（1）以点为坐标原点，菱形的所在的直线为轴，所在直线的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图， 过点A作于点， 菱形的边长为6，， ， ， ∴，， ∵， ∴，，，． （2）∵，，， ∴． 19．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，…依此类推，若第次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图，中，若，，则为1阶准菱形：中，若，，则为3阶准菱形． （1）判断与推理： 邻边长分别为2和3的平行四边形是______阶准菱形； （2）操作、探究、计算： ①已知的边长分别为1，且是3阶准菱形，请画出及裁剪线的示意图，并在下方写出的值． ②已知的邻边长分别为，，满足，，请写出是______阶准菱形． 【答案】（1）2；（2）①画图见解析；，，，；②6． 【详解】（1）邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形； 故答案为2． （2）①如图 a=4×1=4； a=2×1+1÷2= a=1+1÷3= ； ②6阶准萎形．如图所示： 故答案为6． 学科网（北京）股份有限公司 $$