21.2.3解一元二次方程 因式分解法 课堂教学设计 2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2　解一元二次方程 21.2.3　因式分解法 实际情境　置疑探究　归纳探究　复习探究　类比探究　悬念激趣 实际情境　在新城区规划建设过程中,测量土地时,发现了一块正方形土地和一块矩形土地,矩形土地的宽和正方形土地的边长相等,矩形土地的长为80 m,测量人员说:“正方形土地面积是矩形土地面积的一半.”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗? [分析] 设正方形土地的边长为x m.根据题意,得2x2=80x.在解此方程时,我们可以通过直接开平方法或配方法或公式法来解决.那么,一元二次方程除了上述解法外,还有其他解法吗? [教学提示] 回顾已学过的一元二次方程的解法,在这一问题情境中,让学生根据已有的知识经验设未知数,寻找等量关系列方程,通过解方程获得实际问题的解,老师通过学生得到的方程讲解不同的解法,在此基础之上,加以引导,探求更简便的解法,自然而然地引入本节课的课题.利用具体问题列出了一元二次方程后,教师可以让学生思考怎样解答,进而拓展学生的思维. 复习探究　1.根据要求解下列方程: ①x2-5x=0(公式法);②2x(x-3)-5(x-3)=0(配方法);③25y2-16=0(直接开平方法). 2.分解因式的方法有哪些?试将下列各式分解因式. ①x2-5x;②2x(x-3)-5(x-3);③25y2-16. 3.若a·b=0,则a=0或b=0.根据这一性质,你能快速解出下列方程吗? ①x2-5x=0;②2x(x-3)-5(x-3)=0;③25y2-16=0. [教学提示] 通过复习解方程和因式分解的方法,为新课的学习奠定基础,再根据a·b=0得到a=0或b=0的性质尝试分解因式解方程,从而导出因式分解法解方程的可行性.让学生理解因式分解法解一元二次方程的原理和特点;对比方程的各种解法,体会因式分解法解一元二次方程的优势. 教材母题——第14页例3 解下列方程:(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-=x2-2x+. 【模型建立】 因式分解法解一元二次方程,就是利用分解因式将一元二次方程化为(x-a)(x-b)=0的形式,进而得到几个因式分别为0,最终达到降次的目的,即变2次为1次. 【变式变形】 1.方程(x-2)(x+3)=0的解是 (D) A.x=2 B.x=-3 C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3 2.方程(x+4)(x-5)=1的解是 (D) A.x=-4 B.x=5 C.x1=-4,x2=5 D.以上结论都不对 3.若实数a,b满足(a+b)2+a+b-2=0,则(a+b)2的值为 (D) A.4 B.1 C.-2或1 D.4或1 4.方程x2-2x=0的解是　x1=0,x2=2　.  5.已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2-3x=4(x-3)的两个实数根,则该等腰三角形的周长是　10或11　.  6.解下列一元二次方程: (1)x(2x-3)=(3x+2)(2x-3);(2)(x-1)2-2(x2-1)=0;(3)2x2+1=2x; (4)2(t-1)2+t=1.答案:(1)x1=-1,x2=　(2)x1=1,x2=-3　(3)x1=,x2=　(4)t1=1,t2= 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　【评价角度1】 利用因式分解法解一元二次方程 方法指引:因式分解法解一元二次方程,其原理就是利用因式分解,将方程写成两个因式的积等于0的形式,从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程.例如本课素材二[教材母题模型],注意变式变形第2题和第6(1)题这两类常考的易错题. 【评价角度2】 给出两根,开放性列方程 方法指引:这类题目一般开放性较强,解题思路:若-a和-b是一元二次方程的解,则方程可写为(x+a)(x+b)=0. 例　请写出一个根为x=1,另一个根满足-1<x<1的一元二次方程　答案不唯一,如x2-x=0　.  【评价角度3】 用合适的方法解一元二次方程 方法指引:解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法,其中直接开平方法和因式分解法较为简便,但是不适用于所有方程,配方法和公式法适用于所有方程,所以解一元二次方程时先考虑用直接开平方法和因式分解法,再考虑用配方法和公式法. 例　选择合适的方法解下列方程: (1)x2+3x=0;(2)5x2-4x-1=0;(3)x2+2x-3=0. 答案:(1)x1=0,x2=-3　(2)x1=1,x2=-　(3)x1=1,x2=-3 【评价角度4】 用因式分解法解决问题 例　若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足a2-ac-ab+bc=0,试判断△ABC的形状. 解:∵a2-ac-ab+bc=0,∴(a-b)(a-c)=0, ∴a-b=0或a-c=0,∴a=c或a=b,∴△ABC为等腰三角形. 课题 21.2.3　因式分解法 授课人 教 学 目 标 　　1.了解因式分解法的概念,会用因式分解法解一元二次方程. 2.学会观察方程的特征,选用适当的方法解一元二次方程. 3.体会转化思想:把一个一元二次方程降次转化为两个一次方程求解. 4.结合实际与探索,寻找解决问题的策略和方法,以求简便,积极探索不同的解法,与同学们交流,勇于发表自己的观点,从交流中发现最优解法. 5.通过知识之间的相互联系,培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题,树立转化的思想方法. 教学 重点 用因式分解法解某些一元二次方程. 教学 难点 针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　问题:1.对于一元二次方程我们学习了哪些解法?一般步骤是什么? 2.什么叫做因式分解?因式分解的方法有哪些?并把下列各式进行因式分解. (1)x2-25;(2)x2-2x;(3)x2-6x+9;(4)4x(x+3)+3(x+3). 学生独自思考,回答,教师点评. 　　复习前面所学习的一元二次方程的几种解法和因式分解的基本方法,为进入新课做好准备. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地面的高度为(10x-4.9x2)m.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01 s)? 分析:设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0 m,则得方程　　　　　　.请大家分别用配方法和公式法求解该方程.  教师选派两名学生分别板演出两种解法的解题过程,并提出疑问:除了配方法和公式法外,是否能找到更简便的方法? 教师板书:因式分解法解一元二次方程. 　　让学生用两种方法分别解一元二次方程,一方面达到复习巩固的目的,另一方面便于后面对比因式分解法,使学生充分体会因式分解法的优越性. 活动 二: 探究 与 应用 　　问题1:当a,b分别取什么值时,等式ab=0成立? 学生交流,讨论,得出结论. 教师板书:理论依据:若ab=0,则a=0或b=0. 问题2:依据问题1,你能解情境问题中的一元二次方程10x-4.9x2=0吗?对比配方法和公式法,这种解法有什么优点? 教师点拨,指导;学生思考,求解,回答,板演过程: 方程左边分解因式,得x(10-4.9x)=0,则x=0或10-4.9x=0,解得x1=0,x2=. 应用探究: (1)若(x+1)(x-2)=0,则x1=　-1　,x2=　2　;  (2)若(2x-1)(3x+5)=0,则x1= 　,x2=　-　;  (3)解方程x2-x=0时,方程可以变形为　x(x-1)　=0,则x1=　0　,x2=　1　;  (4)解方程4x(x+3)+3(x+3)=0时,方程可以变形为　(4x+3)(x+3)　=0,则x1=　-　,x2=　-3　.  学生自主解答问题,教师进行个别指导,然后学生进行做法讲述,教师进行点评与总结. 教师板书:利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤: ①将方程的右边化为0; ②将方程的左边进行因式分解; ③令每个因式为0,得到两个一元一次方程; ④解一元一次方程,得到方程的解. 　　1.设置ab=0的探讨,培养学生分析问题、归纳问题的能力及勇于探索的精神,为因式分解法解一元二次方程提供理论依据. 2.学生在问题1的基础上探索用因式分解法解一元二次方程,更容易办到. 3.通过活动二为理解因式分解法解一元二次方程打好基础,循序渐进,使学生易于接受新知. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　用因式分解法解下列方程: (1)x+x-2=0;(2)5x2-2x-=x2-2x+. 师生活动:教师指导学生观察方程的特点,学生经历观察、思考后阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价、辅导以及总结. 变式练习:用因式分解法解下列方程: (1)x(2x-3)=(3x+2)(2x-3); (2)(x+4)(x-5)=0. 例2　选择合适的方法解下列方程: (1)x2+3x=0;(2)5x2-4x-1=0;(3)x2+2x-3=0. 师生活动:学生自主进行解答,选三名学生进行板演,然后教师引导学生进行对比,总结出较为简便的方法. 归纳:解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法,其中直接开平方法和因式分解法较为简便,但是不适用于所有方程,配方法和公式法适用于所有方程,所以在解一元二次方程时,先考虑用直接开平方法和因式分解法,再考虑用配方法和公式法. 　　通过利用因式分解法解两道一元二次方程问题的教学,可以巩固所学新知,同时培养学生良好的观察能力和分析、解决问题的能力. 【拓展提升】 例3　用因式分解法解下列方程: (1)(x-1)2-2(x2-1)=0;(2)2(t-1)2+t=1. 教师总结:整体思想的运用. 例4　我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可转化为(x-a)(x-b)=0,请你用上面的方法解下列方程: (1)x2-3x-4=0;(2)x2-7x+6=0. 　　通过拓展练习,及时反馈学生的学习情况,及时地查漏补缺,进一步提升教学效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.方程x(x-1)=x的根是 (D) A.x=2　　　　　　　　　B.x=-2 C.x1=-2,x2=0 D.x1=2,x2=0 2.一元二次方程=x-2的解是　x1=2,x2=3　.  3.方程x=2的解是　x1=1,x2=2　.  4.用适当的方法解下列方程: (1)=5;(2)x2-6x+5=0; (3)=;(4)2x2-10x=3. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 　　1.课堂总结: (1)本节课主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法? (2)本节课还有哪些疑惑?说一说! 教师总结用因式分解法解一元二次方程的步骤: 将方程右边化为0,左边因式分解;根据“若ab=0,则a=0或b=0”,得到两个一元一次方程; 两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.布置作业: (1)教材第17页习题21.2第6,10题. 　　(2)补充(选做题): ①若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足a2-ac-ab+bc=0,试判断△ABC的形状. ②已知2x2-xy-3y2=0,求的值. 　　指导学生养成系统整理知识的好习惯,加强教学反思,进一步提高教学效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾的环节中,复习好因式分解是顺利完成本节课的重要环节,教师给予学生充分的时间进行回顾和练习,是本课时顺利完成、学生有效学习的保障;教学过程中,教师注意引导学生发现方程的特点,判断采用的方法,使学生明确用因式分解法解一元二次方程的简便性和灵活性. ②[讲授效果反思] 引导学生注意:(1)乘积为0的等式,每一个因式都可能等于0;(2)根据一元二次方程的特征选用恰当的解法. ③[师生互动反思] 整个教学流程较为顺利,学生充分发挥自主性,回答问题积极,问题难度适中,层次有序,学生学习效果显著. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $$