第1章 《勾股定理》 综合练习 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

章末综合练习 第一章《勾股定理》 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1，3，4 B．1，1， C．3，4，5 D．13，14，15 2．在直角三角形中，若两条直角边分别为6和8，则斜边为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（　　） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 4．下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2 6．如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 7．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 8．如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米，若梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向左移（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S1﹣S2＝2，AC＝4，则AB的长为（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知直角三角形两条边的长为3和4，则斜边长是 　 　． 12．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为 　 　． 13．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　 　尺． 14．如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为 　 　． 15．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 　 　m的路程． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长． 17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，且a+b＝7，c＝5，求Rt△ABC的面积． 18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AB＝15，AD＝12，CD＝16． 求证：△ABC是直角三角形． 19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 20．如图，直角三角形三边长分别为3厘米、4厘米和5厘米，分别以三边为直径作半圆，求阴影部分的面积． 21．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 22．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD＝12，AC＝13，CD＝5． （1）求证：AD⊥BC； （2）若AB＝15，求BC的长． 23．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 24．吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点C处，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A、B的距离分别为180m和240m，AB＝300m，若吊车周围150m以内会受噪声影响． （1）求∠ACB的度数； （2）街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． 25．【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　 　； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　 　； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．CDBDB． 6-10．DDCAA． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．4或5． 12．64． 13．4.55． 14．29． 15．26m． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵AC＝10，CD＝2， ∴AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8， 在Rt△ADB中，由勾股定理得， BD6， 在Rt△BDC中，BC． 17．解：∵a+b＝7， ∴（a+b）2＝49， ∴2ab＝49﹣（a2+b2）＝49﹣c2＝49﹣25＝24 ∴ab＝6． 答：Rt△ABC的面积是6． 18．证明：∵AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，CD＝16， ∴BD9，AC20， ∴BC＝BD+CD＝25， ∴BC2＝252＝625，AB2+AC2＝152+202＝625， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC是直角三角形． 19．解：∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 又∵AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC5， 又∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， 则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB•BCAC•CD3×45×12＝36． 故四边形ABCD的面积是36． 20．解：如图，由题意知，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm， S半圆AC， S半圆BC， S半圆AB， S， 则阴影部分的面积＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆ABS△ABC， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴则阴影部分的面积＝S（cm2）． 21．解：连接AC， 在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC5（米）， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC5×123×4＝24（平方米）， 即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元． 22．（1）证明：∵AD＝12，AC＝13，CD＝5， ∴AD2+CD2＝122+52＝169，AC2＝132＝169， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC； （2）解：∵∠ADC＝90°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝90°， ∵AB＝15，AD＝12， ∴BD9， ∵CD＝5， ∴BC＝BD+CD＝9+5＝14， ∴BC的长为14． 23．解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米， ∵∠A＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， 又∵AB＝4米， ∴AC＝3（米），BC＝5（米）， 故旗杆距地面3米处折断； （2）如图， ∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75（米）， ∴B'D＝8﹣1.75＝6.25（米）， ∴AB′（米）， ∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． 24．解：（1）∵AC＝180m，BC＝240m，AB＝300m， ∴AC2+BC2＝1802+2402＝90000，AB2＝3002＝90000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）街道上的居民会受到噪声的影响， 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 由（1）得∠ACB＝90°， ∴， ∴， 解得：CD＝144m， ∵吊车周围150m以内会受到噪声的影响， ∴街道上的居民会受到噪声的影响． 当EC＝150m，FC＝150时，此范围内的居民会受影响． ∴， ∴DF＝ED＝42m， 即会影响位于吊车垂直位置左右42m街道上的居民，即EF范围内的居民会受影响．（说法合理即可） 25．解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°． ∴AC2＝AD2+CD2＝a2+m2，BC2＝CD2+BD2＝m2+b2． ∴AC2+BC2＝a2+b2+2m2． ∵AC2+BC2＝（a+b）2， ∴a2+b2+2m2＝a2+b2+2ab． 整理得：m2＝ab． ∴m（取正值）． 设CE是Rt△ABC的斜边上的中线． ①若△ABC为一般的直角三角形， 则CE＞CD． ②若△ABC为等腰直角三角形． 则CE＝CD． 综上CE≥CD． ∴m． 故答案为：a2+b2+2m2，，m； （2）∵Rt△ABC的面积为6， ∴AB•CD＝6． ∴•m＝6． ∵m， ∴m2≤6． ∵m＞0， ∴m． ∴m的最大值为； （3） 设图2中与墙平行的边AB长x m，垂直于墙的边AD长y m． ∵面积为32平方米， ∴＝32． 由（1）得：， ∴a+b≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥32． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$