第11讲 指数与指数函数（考点串讲课件）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版） 第11讲 指数与指数函数 目 录 易混易错练 3 常用结论 2 知识梳理 1 考点分类练 4 最新模拟练 5 【知识梳理】 1.有理数指数幂 (1)一般地,an中的a称为　　　　,n称为　　　　.  (2)一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得　　　　,则x称为a的n次方根.  ①0的任意正整数次方根均为　　　,记为　　　　.  ②正数a的偶数次方根有两个,它们互为　　　　,其中正的方根称为a的　　 　　,记为　　　　,负的方根记为　　　　;负数的偶数次方根在实数范围内　　　　　.  ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为　　　.而且正数的奇数次方根是一个　　　　 ,负数的奇数次方根是一个　　　.  底数 指数 xn=a 0 相反数 n次算术根 没有意义 正数 负数 根式 根指数 被开方数 a |a| as+t as t asbs 2.实数指数幂 一般地,当a>0且t是　　　　　　时,at都是一个确定的实数.因此,当a>0时,t为　　　　　　　　时,可以认为实数指数幂at都有意义.  无理数 任意实数 3.指数函数的图像和性质 函数 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 图像     图像 特征 在x轴　　　　,过定点　　　　　　  当x逐渐增大时,图像　　　　　　　  当x逐渐增大时,图像　　　　　　　   上方 (0,1) 逐渐下降 逐渐上升 函　数 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 性 质 定义域 　　　  值域 　　　  单调性 在R上　　　　　  在R上　　　　　  函数值 变化 规律 当x=0时,　　　　　  当x<0时,　　　;  当x>0时,　　   当x<0时,　　　;  当x>0时,　　  R (0,+∞) 单调递减 单调递增 y=1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 【常用结论】 2.y=ax(a>0,且a≠1)的图像特征:如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内图像越高,底数越大;在第二象限内图像越高,底数越小. 3.当a>0,且a≠1时,函数y=ax与函数y=( )x的图像关于y轴对称. 【易混易错练】 易错点1　忽略指数函数的值域而致错 解析 D 解析 (0，1] 易错点2　忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 解析 D 易错点3　忽略复合函数中函数的性质而致错 解析 B 解析 C 解析 (－3，＋∞) 解 【考点分类练】 命题点1　指数函数的图象及应用 与指数函数有关的图象问题的求解策略 数形 结合 指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象 位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解. 变换 作图 对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手， 通过平移、伸缩、对称变换而得到. 注意　 在指数函数图象变换时，注意特殊点(如定点)、特殊线(如渐近线)的变化 【例1】.已知函数 y ＝ kx ＋ a 的图象如图所示，则函数 y ＝ ax ＋ k 的图象可能是(　B　) A B C D [解析]　由函数 y ＝ kx ＋ a 的图象可得 k ＜0，0＜ a ＜1.函数 y ＝ ax ＋ k 的图象可以看 作是把 y ＝ ax 的图象向右平移－ k 个单位长度得到的，且函数 y ＝ ax ＋ k 是减函数， 故此函数的图象与 y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B. B 命题点2　指数函数的性质及应用 比较指数幂大小的常用方法 单调 性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所 以能够化同底的尽可能化同底. 取中间 值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是1)比较大 小，然后得出大小关系. 数形结 合法 根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象， 借助图象比较大小. 【例2】.[2023天津高考]若 a ＝1.010.5， b ＝1.010.6， c ＝0.60.5，则 a ， b ， c 的大小关系为(　D　) A. c＞a＞b B. c＞b＞a C. a＞b＞c D. b＞a＞c [解析]　因为函数 f ( x )＝1.01 x 是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1， 即 b ＞ a ＞1；因为函数 g ( x )＝0.6 x 是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即 c ＜1.综上， b ＞ a ＞ c .故选D. D 角度1　比较大小 【变式】.[2023全国卷甲]已知函数 f ( x )＝ .记 a ＝ f ( )， b ＝ f ( )， c ＝ f ( )，则(　A　) A. b＞c＞a B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. c＞a＞b [解析]　 f ( x )＝ 是由函数 y ＝e u 和 u ＝－( x －1)2复合而成的函数， y ＝e u 为R上的增函数， u ＝－( x －1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 由复合函数的单调性可知， f ( x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 易知 f ( x )的图象关于直线 x ＝1对称，所以 c ＝ f ( )＝ f (2－ )，又 ＜2－ ＜ ＜1，所以 f ( )＜ f (2－ )＜ f ( )，所以 b ＞ c ＞ a ，故选A. A 角度2　解简单的指数方程或不等式 解简单的指数方程或不等式问题的思路 (1) af ( x )＝ ag ( x )⇔ f ( x )＝ g ( x ). (2)① af ( x )＞ ag ( x )⇔或 ②形如 ax ＞ b 的不等式，一般先将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助函数 y ＝ ax 的单调性求解. 【例3】.[2024北京市十一学校模拟]若不等式3 ax －1＜( 恒成立，则实数 a 的取值范围是(　B　) A. (－4，0) B. (－4，0] C. (0，4) D. [0，4) [解析]　因为不等式3 ax －1＜( 恒成立，即3 ax －1＜ 恒成立，所以 ax －1 ＜－ ax 2恒成立，即 ax 2＋ ax －1＜0恒成立， 当 a ＝0时，－1＜0恒成立，符合题意； 当 a ≠0时，则解得－4＜ a ＜0. 综上可得－4＜ a ≤0，即实数 a 的取值范围是(－4，0].故选B. B 角度3　指数函数性质的应用 1. 形如 y ＝ af ( x )的函数的单调性：若 a ＞1，则函数 f ( x )的单调递增(减)区间即函数 y ＝ af ( x )的单调递增(减)区间；若0＜ a ＜1，则函数 f ( x )的单调递增(减)区间即函数 y ＝ af ( x )的单调递减(增)区间. 2. 求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路 一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解. 注意　 当底数 a 与1的大小关系不确定时应分类讨论. 【例4】.已知函数 f ( x )＝( . (1)若 a ＝－1，则 f ( x )的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ⁠； [解析]　(1)当 a ＝－1时， f ( x )＝( .令 u ＝－ x 2－4 x ＋3＝－( x ＋2)2＋7，则该函数在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减.因为 y ＝( ) u 在R 上单调递减，所以函数 f ( x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数 f ( x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2). (－2，＋∞) (－∞，－2) (2)若 f ( x )有最大值3，则 a 的值为 ⁠； [解析]　(2)令 h ( x )＝ ax 2－4 x ＋3，则 f ( x )＝( ) h ( x )，因为 f ( x )有最大值3，所以 h ( x )有最小值－1，因此必有解得 a ＝1，即当 f ( x )有最大值3时， a 的值为1. (3)若 f ( x )的值域是(0，＋∞)，则 a 的值为 ⁠. [解析](3)令 g ( x )＝ ax 2－4 x ＋3，由 f ( x )的值域是(0，＋∞)知， g ( x )＝ ax 2－4 x ＋3的值域为R，则必有 a ＝0. 1 0 【最新模拟练】 1.[2024辽宁省名校联考]已知函数 f ( x )＝ ( a ＞0，且 a ≠1)在区间[2，3]上单调递增，则 a 的取值范围为(　C　) A. (0，] B. (1，＋∞) C. (0，] D. [，] [解析]　由 a ＞0且 a ≠1，得 y ＝ 在[2，3]上单调递减，由复合函数单调性 法则得 a ∈(0，1)，由1－3 a ≥0，解得 a ≤ ，故 a ∈(0， ].故选C. C 2.[2024黑龙江省肇东市第四中学模拟]已知函数 f ( x )＝2 x ＋ a ·2－ x 的图象关于原点 对称，若 f (2 x －1)＞ ，则 x 的取值范围为(　B　) A. (－∞，1) B. (1，＋∞) C. [3，＋∞) D. (－∞，－2) [解析]　因为函数 f ( x )＝2 x ＋ a ·2－ x 的图象关于原点对称且定义域为R，所以 f (0)＝1 ＋ a ＝0，解得 a ＝－1，所以 f ( x )＝2 x －2－ x .因为 y ＝2 x 在R上单调递增， y ＝2－ x 在 R上单调递减，所以 f ( x )＝2 x －2－ x 在R上单调递增，由 f (1)＝ ， f (2 x －1)＞ ，得 f (2 x －1)＞ f (1)，所以2 x －1＞1，解得 x ＞1.故选B. B 3.[2024云南省昆明市第二十四中学模拟]已知奇函数 f ( x )＝ a e x － 在R上为增函数，则 a ＝ (　A　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 [解析]　因为 f ( x )在R上为奇函数，则 f (0)＝0，即 a － ＝0，解得 a ＝1或 a ＝－1. 当 a ＝1时， f ( x )＝e x － ，定义域为R，因为函数 y ＝e x 和 y ＝－ 在R上都为增函 数，所以 f ( x )在R上为增函数，且 f (－ x )＝e－ x － ＝ －e x ＝－ f ( x )，故 a ＝1符 合题意；当 a ＝－1时， f ( x )＝－e x ＋ ，在R上为减函数，不合题意，所以 a ＝1. 故选A. A 4.[2024广西南宁三中模拟]设函数 f ( x )＝若 a ＝ln 2， b ＝30.2， c ＝log0.32，则(　D　) A. f(a)＞f(b)＞f(c) B. f(b)＞f(a)＞f(c) C. f(a)＞f(c)＞f(b) D. f(c)＞f(a)＞f(b) D [解析]　∵函数 f ( x )＝∴当 x ＞0时，由 y ＝2－ x 和 y ＝－2 x 在定义域上单调递减，得 f ( x )＝－2 x ＋2－ x 在(0，＋∞)上单调递减， 当 x ≤0时， f ( x )＝－ x 3单调递减，又－20＋2－0＝－03＝0， ∴函数 f ( x )＝在R上单调递减， ∵0＜ a ＝ln 2＜1， b ＝30.2＞30＝1， c ＝log0.32＜0，∴ c ＜ a ＜ b ，∴ f ( c )＞ f ( a )＞ f ( b ).故选D. 5.[2024浙江温州联考]如果1＜2 a ＜2 b ＜2，那么(　C　) A. aa＜ab＜ba B. aa＜ba＜ab C. ab＜aa＜ba D. ab＜ba＜aa [解析]　因为函数 y ＝2 x 在R上单调递增，20＝1＜2 a ＜2 b ＜2＝21，所以0＜ a ＜ b ＜ 1.因为函数 y ＝ ax (0＜ a ＜1)在R上单调递减，所以 aa ＞ ab .因为函数 y ＝ xa (0＜ a ＜ 1)在(0，＋∞)上单调递增，所以 aa ＜ ba ，所以 ab ＜ aa ＜ ba .故选C. C 6.[多选/2023湖南益阳一中检测改编]已知函数 f ( x )＝ ，则下列说法正确的是 (　AC　) A. f(x)为奇函数 B. f(x)为减函数 C. f(x)有且只有一个零点 D. f(x)的值域为[－1，1] AC [解析]　∵函数 f ( x )＝ ， x ∈R，∴ f (－ x )＝ ＝－ ＝－ f ( x )，∴ f ( x )为奇函数，故A正确；∵ f ( x )＝ ＝1－ ，且 y ＝2 x ＋1在R上单调递增，∴ f ( x )＝1－ 在R上为增函数，故B错误；令 f ( x )＝0，则2 x －1＝0，得到 x ＝0，∴ f ( x )有且只有一个零点，故C正确；∵ f ( x )在R上为增函数，令 y ＝ ，则2 x ＝ ，∵2 x ＞0，∴ ＞0，即(1＋ y )( y －1)＜0，解得－1＜ y ＜1，∴ f ( x )∈(－1，1)，故D错误.故选AC. - 　 　=0 　 (3)当有意义的时候,称为　　,n称为　　　　,a称为　　　　　　.  根式具有以下性质:①()n=a.② (4)如果n是正整数,那么: 当有意义时,规定=　　　　;当没有意义时,称没有意义.  对于一般的正分数,也可作类似规定,即=　　　=　　　.其中为既约分数.  负分数指数幂:若s是正分数,as有意义且a≠0时,规定a-s=　　　　.  (5)有理指数幂的运算法则:asat=　　　　　,(as)t=　　　,(ab)s=　　　　.  ()m 1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像过三个定点:(1,a),(0,1),. ∵2x>0，∴4－2x<4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x<4，0≤eq \r(4－2x)<2，∴y∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1)，故选D. 1．函数y＝eq \r(4－2x)－1的值域为(　　) A．[1，＋∞) B．(－1，1) C．[－1，＋∞) D．[－1，1) 2．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1))的值域是________． 令t＝|x＋1|，则t≥0.∴0<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(t)≤1.故函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x＋1|)的值域是(0，1]． 3.若指数函数y＝ax(a>0且a≠1)在[－1，1]上的最大值与最小值的差为eq \f(8,3)，则实数a＝(　　) A．3 B.eq \f(1,3) C．2或eq \f(1,2) D．3或eq \f(1,3) 当0<a<1时，y＝ax在[－1，1]上单调递减，则a－1－a＝eq \f(8,3)，解得a＝－3(舍去)或a＝eq \f(1,3)； 当a>1时，y＝ax在[－1，1]上单调递增，则a－a－1＝eq \f(8,3)，解得a＝－eq \f(1,3)(舍去)或a＝3. 综上，a＝3或a＝eq \f(1,3).故选D. 4．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x2＋2x的值域是(　　) A．R B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) 令t＝－x2＋2x，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t，而t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t≥eq \f(1,2).故选B. 5．已知函数f(x)＝4x＋a·2x在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4] C．[－8，＋∞) D．(－∞，－8] 设t＝2x，则t是关于x的增函数，由x≥2可知t≥4.由题意可知，函数y＝t2＋at在区间 [4，＋∞)上单调递增，结合y＝t2＋at的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))可知，－eq \f(a,2)≤4，则a≥－8，故选C. 6．[吉林梅河口第五中学2022高一期末]已知函数f(x)＝4x＋(k＋1)·2x＋1，x∈R的图象与x轴无公共点，则实数k的取值范围是________． f(x)＝4x＋(k＋1)·2x＋1＝(2x)2＋(k＋1)·2x＋1，x∈R， 令2x＝t＞0，则f(x)＝g(t)＝t2＋(k＋1)t＋1. 由题可知g(t)>0在t＞0时恒成立，即t2＋(k＋1)t＋1>0对t＞0恒成立，即k>－(t＋eq \f(1,t))－1对t＞0恒成立， ∵t＋eq \f(1,t)≥2eq \r(t·\f(1,t))＝2，当且仅当t＝eq \f(1,t)，即t＝1时，等号成立， ∴－(t＋eq \f(1,t))－1≤－3， ∴k>－3. 7．[山西临汾一中2021高一期中]已知不等式9x－4·3x＋3≤0的解集为A，函数f(x)＝4－x－3·2－x－1＋1，x∈A. (1)求集合A； (2)求函数f(x)的值域． (1)由题意知9x－4·3x＋3≤0，则(3x)2－4·3x＋3≤0， 即(3x－1)·(3x－3)≤0， 即1≤3x≤3，解得0≤x≤1， 故集合A＝{x|0≤x≤1}． (2)f(x)＝4－x－3·2－x－1＋1＝(2－x)2－eq \f(3,2)·2－x＋1，令t＝2－x，则f(x)可化为g(t)＝t2－eq \f(3,2)t＋1. ∵x∈[0，1]，∴t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∵函数g(t)＝t2－eq \f(3,2)t＋1图象的对称轴为直线t＝eq \f(3,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))， ∴g(t)＝t2－eq \f(3,2)t＋1在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))上单调递减，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))上单调递增． 故g(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上的最大值为geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝g(1)＝1－eq \f(3,2)＋1＝eq \f(1,2)，g(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上的最小值为geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq \f(9,16)－eq \f(3,2)×eq \f(3,4)＋1＝eq \f(7,16)，故函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，\f(1,2))). $$