专题突破：规律探索问题（3大题型）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（湘教版2024）

专题突破：规律探索问题 规律探索问题的方法归纳 解答这类规律探索的试题，关键是从已知条件（图形或代数式）中观察、分析、归纳出其中的规律，并用代数式描述这个规律，另外，利用列表的方法去归纳探究是一种常用的策略。 题型一 数列类规律 【例1-1】（2024·云南楚雄·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【例1-3】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【例1-4】（七年级上·四川成都·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论，在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【变式1-1】（七年级上·云南文山·期末）观察下列单项式：，，，……，按照此规律，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式： ，，，，，…，第 个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为18，我们发现第1次输出的结果为9，第2次输出的结果为12，……则第2023次输出的结果为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式1-4】（七年级上·山东日照·期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，的差倒数 ． 【变式1-5】（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【变式1-6】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【变式1-7】（七年级上·甘肃天水·期末）先阅读，再答题 根据你发现的规律，试写出： (1)； (2)________________； (3)计算： 【变式1-8】（山东泰安·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第四个等式： ； (2)第n个等式为： ； (3)计算：． 题型二 图形类规律 【例2-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【例2-2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）用火柴棒在平面上按规律摆出如下图形，第个图形需要根火柴棒，第个图形需要根火柴棒，第个图形需要根火柴棒…，依此规律，第个图形需要的火柴棒的根数是（      ） A． B． C． D． 【变式2-1】（重庆沙坪坝·阶段练习）用字母“C”，“H”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个“H”，第②个图案中有6个“H”，第③个图案中有8个“H”，按此规律排列下去，则第④个图案中字母“H”的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2-2】（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　） A．990 B．9900 C．985 D．9850 【变式2-3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为， …， 依次类推， 则 的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·山东聊城·模拟预测）由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图有颗棋子，图有颗棋子，…，则图有 颗棋子． 【变式2-5】（山东烟台·期末）按如图的方式摆放餐桌和椅子，张餐桌可以摆放 把椅子． 【变式2-6】（四川广安·阶段练习）如图所示的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第一个图案中有1个，第二个图案中有3个，第三个图案中有9个，第四个图案中有27个，按此规律，第n个图案有 ． 【变式2-7】（七年级上·广西南宁·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，5个正方形拼成如下的长方形，并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．若继续选取适当的正方形拼成长方形，那么按此规律，则序号为⑩的长方形的周长是 ． 题型三 数阵类规律 【例3】（七年级上·山东日照·期末）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行            1 第2行          2 3 4 第3行         5 6 7 8 9 第4行    10 1 1 12 13 14 15 16 第5行   17 18 19 20 21 22 23 24 25 …… 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（山东泰安·期末）如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 【变式3-2】（七年级上·江苏南京·阶段练习）将全体正奇数按如图规律排列，在这样的排列下，数字2021排在第 行． 【变式3-3】（广西南宁·阶段练习）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”． 如第行的个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算： ． 【变式3-4】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【变式3-5】（七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，．求的值； （3）观察数表． 根据其中的规律，在数表中的方框内填入适当的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：规律探索问题 规律探索问题的方法归纳 解答这类规律探索的试题，关键是从已知条件（图形或代数式）中观察、分析、归纳出其中的规律，并用代数式描述这个规律，另外，利用列表的方法去归纳探究是一种常用的策略。 题型一 数列类规律 【例1-1】（2024·云南楚雄·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式项式的变化规律，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的关键．根据题目所给多项式，总结出第n个多项式中各项的系数与次数，即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， ……， ∴第n个多项式是． 故选：D 【例1-2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字规律探究，根据已知的单项式，抽象概括出数字规律，是解题的关键，根据给出的单项式，抽象出相应的数字规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴第n个单项式为：， 故选A． 【例1-3】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的应用，数字规律探索，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式．由题意可知的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的．则，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，，，， ∴的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的． ∴， 故的末位数字是2， 故选：A． 【例1-4】（七年级上·四川成都·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论，在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． （1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，猜想， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 【变式1-1】（七年级上·云南文山·期末）观察下列单项式：，，，……，按照此规律，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化类，单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．通过观察题意可得：单项式的系数为2的n次方，次数为连续的奇数，从而得出结论． 【详解】解：第1个单项式是， 第2个单项式是， 第3个单项式是， •••， 第n个单项式是， 故选：C． 【变式1-2】（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式： ，，，，，…，第 个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过观察多项式中的系数和指数规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个单项式是， 故选：． 【变式1-3】（七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为18，我们发现第1次输出的结果为9，第2次输出的结果为12，……则第2023次输出的结果为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题考查在程序流程图中有理数的计算，解题的关键是发现其中的规律，利用规律进行解答．计算出第1次，第2次，第3次，第4次，第5次，…，输出的结果，根据计算结果得出规律即可求解． 【详解】解：输入18，则第1次输出的是：； 第2次输出的数是； 第3次输出的数是：； 第4次输出的数是：； 第5次输出的数是：； 第6次输出的数是：； 如此循环，从第3次开始，偶数次输出的是3，奇数次输出的是6． 故第2023次输出6． 故选：B． 【变式1-4】（七年级上·山东日照·期中）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，的差倒数 ． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数规律运算，先分别计算，，，发现规律：这些数以这三个数为一组循环，由此得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 可以发现，这些数以这三个数为一组循环， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式1-5】（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 【变式1-6】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查等式的规律探索，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解． （1）设，则，根据即可求出结果； （2）设，将等式两边同时乘以2，得，将以上两式相减得：，即可得出； （3）设，将等式两边同时乘以5得出，将以上两式相减得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得：， ∴； （2）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得： ， 即， ∴； （3）解：设， 将等式两边同时乘以5，得： ， 将以上两式相减，得： ， 则， 即， ∴． 【变式1-7】（七年级上·甘肃天水·期末）先阅读，再答题 根据你发现的规律，试写出： (1)； (2)________________； (3)计算： 【答案】(1)9；11 (2) (3) 【分析】本题考查数字规律的探索，结合题意分析规律是解题的关键． （1）根据题中规律得出第5个等式即可得出结果； （2）根据题意总结出规律即可； （3）结合（2）中规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式为， 故答案为：9；11； （2）由题意可得，第n个等式：， 故答案为： （3） ， ． 【变式1-8】（山东泰安·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第四个等式： ； (2)第n个等式为： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算： （1）根据已有等式，写出第四个等式即可； （2）根据已有等式，抽象概括出第n个等式即可； （3）利用（2）中规律，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，第四个等式为：； 故答案为：； （2）由题意，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ． 题型二 图形类规律 【例2-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 【例2-2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）用火柴棒在平面上按规律摆出如下图形，第个图形需要根火柴棒，第个图形需要根火柴棒，第个图形需要根火柴棒…，依此规律，第个图形需要的火柴棒的根数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律． 【详解】解：第个图形需要的火柴棒的根数：（个）； 第个图形需要的火柴棒的根数：（个）； 第个图形需要的火柴棒的根数：（个）； ； 第个图形需要的火柴棒的根数：（个）； 故选：． 【变式2-1】（重庆沙坪坝·阶段练习）用字母“C”，“H”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个“H”，第②个图案中有6个“H”，第③个图案中有8个“H”，按此规律排列下去，则第④个图案中字母“H”的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 根据题意可得第①个图案中有个“”，第②个图案中有个“”，第③个图案中有个“”，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：第①个图案中有个“”， 第②个图案中有个“”， 第③个图案中有个“”， …… 第n个图案中字母“”的个数为， 所以第④个图案中字母“”的个数为． 故选：A 【变式2-2】（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　） A．990 B．9900 C．985 D．9850 【答案】D 【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的a，进一步求得b，则可求得c． 【详解】解：观察网格图中的数字可以发现： ， ， ， 故选：D． 【变式2-3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为， …， 依次类推， 则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是得出 及． 【详解】解： ， ， ， ； ， 故选: D． 【变式2-4】（2024·山东聊城·模拟预测）由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图有颗棋子，图有颗棋子，…，则图有 颗棋子． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．由题意可知：最里面的三角形的棋子数是，由内到外依次比前面一个多个棋子，由此规律计算得出棋子的数即可． 【详解】解：第①个图形有颗棋子， 第②个图形一共有颗棋子， 第③个图形一共有颗棋子， 第④个图形有颗棋子， …， 第个图形一共有颗棋子， 故答案为：． 【变式2-5】（山东烟台·期末）按如图的方式摆放餐桌和椅子，张餐桌可以摆放 把椅子． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化类，根据题目中的图形可以发现椅子数的变化规律，从而可以写出n张餐桌可以摆放的椅子数． 【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：， 2张桌子可以摆放的椅子数为：， 3张桌子可以摆放的椅子数为：， …， n张桌子可以摆放的椅子数为：， 故答案为：． 【变式2-6】（四川广安·阶段练习）如图所示的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第一个图案中有1个，第二个图案中有3个，第三个图案中有9个，第四个图案中有27个，按此规律，第n个图案有 ． 【答案】 【分析】找到图形的变化规律，用代数式表示出来即可．本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形变化的规律，利用规律求解． 【详解】解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， ， 按此规律，第个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：． 【变式2-7】（七年级上·广西南宁·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，5个正方形拼成如下的长方形，并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．若继续选取适当的正方形拼成长方形，那么按此规律，则序号为⑩的长方形的周长是 ． 【答案】466 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律，分析图形中的长和宽的变化规律，然后结合图表中长方形归纳出长方形的周长变换规律成为解题的关键． 结合图形分析表格中图形的周长，①的周长为：，②的周长为：，③的周长为：，④的周长为：，…由此可推出第n个长方形的宽为第个长方形的长，第n个长方形的长为第个长方形的长和宽的和． 【详解】解：第1个长方形的周长为：； 第2个长方形的周长为：； 第3个长方形的周长为：； 第4个长方形的周长为：； 第5个长方形的周长为：； 第6个长方形的周长为：； 第7个长方形的周长为：； 第8个长方形的周长为：； 第9个长方形的周长为：； 第10个长方形的周长为：． 故答案为：466． 题型三 数阵类规律 【例3】（七年级上·山东日照·期末）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行            1 第2行          2 3 4 第3行         5 6 7 8 9 第4行    10 1 1 12 13 14 15 16 第5行   17 18 19 20 21 22 23 24 25 …… 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示，则表示的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案． 【详解】解：第行的最后一个数是，第行有个数， 在第行倒数第个， 第行有：个数， ∴在第行从左到右第个数，， 的有序数对是． 故选：A． 【变式3-1】（山东泰安·期末）如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n个数记为，再进行求解即可． 【详解】解：根据题意知 ， ， ， 则， ， 故答案为：210． 【变式3-2】（七年级上·江苏南京·阶段练习）将全体正奇数按如图规律排列，在这样的排列下，数字2021排在第 行． 【答案】32 【分析】本题考查了数的变化规律．先求出第行最后一个数的表达式，试求的取值，再判断2021在第几行即可． 【详解】解：观察数列可得， 第1行数的个数为1， 第2行数的个数为3， 第3行数的个数为5， ， 第行数的个数为， 则第1行到第行数，所有数的总数为， 第行数最后一个数为， 估算求的值：当时，，为正整数，则， 当时，， 当时，， 数字2021排在第32行． 故答案为：32． 【变式3-3】（广西南宁·阶段练习）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”． 如第行的个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据杨辉三角系数的特点进行计算，根据杨辉三角得到第行的项系数是，将变形为，即可得到，计算即可求解，理解杨辉三角中各项系数的特点，并将原式进行正确变形是解题关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-4】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其规律，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数的和． 【详解】解：展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， ∴展开的多项式中各项系数之和为， 故答案为：． 【变式3-5】（七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，．求的值； （3）观察数表． 根据其中的规律，在数表中的方框内填入适当的数． 【答案】（1）48；（2）9或；（3）10，15． 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，求整式的值，倒数的定义，相反数的定义，规律探究； （1）由绝对值的非负性得，，，求出、、，然后代入，即可求解； （2）由倒数的定义及相反数的定义，绝对值的定义得，，，①当，，时， ②当，，时，分别进行代值计算，即可求解； （3）由表得出规律：每一行的数的个数依次递加一个，每一行的第奇数个数是正，第偶数个数是负，且两端数的绝对值为，中间的数的绝对值恰是它上边两个数的绝对值之和；据此规律，即可求解； 理解绝对值非负性，倒数的定义，相反数的定义，找出规律是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）由题意得 ，，， ①当，，时， 原式 ； ②当，，时， 原式 ； 故值为9或； （3）由表得：每一行的数的个数依次递加一个，每一行的第奇数个数是正，第偶数个数是负，且两端数的绝对值为，中间的数的绝对值恰是它上边两个数的绝对值之和． ， ， 故答案：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$